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第08 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
目录
01 常考题型过关练
型
题
01 直
与
曲
的位置关系
线
圆锥
线
型
题
02 弦长问题
型
题
03 中点弦问题
型
题
04 面积问题
型
题
05 定点、定直线问题
型
题
06 定值问题
型
题
07
合
综
问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
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01 直线与圆锥曲线的位置关系
1．已知直线
与曲线
有两个公共点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．过点
与双曲线
有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ．
3．已知抛物线
上存在关于直线
对称的相异两点，求实数
的取值范围．
02 弦长问题
4．双曲线
的焦点弦长为
的弦有（ ）
A．8 条
B．4 条
C．2 条
D．1 条
5．设抛物线
被直线
截得的弦
的长为
，则
．
6．已知
是双曲线
与直线
的交点，求线段
的长度为 .
7．已知斜率为1 的直线过椭圆
的上焦点
交椭圆于
两点，则
．
8．过双曲线
右焦点的直线交双曲线于
两点，若
，则这样的直线有 条．
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03 中点弦问题
9．直线与双曲线
交于
两点，线段
的中点为
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知抛物线
与直线
交于
，
两点，且线段
中点的横坐标为
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知抛物线
，直线与
交于
两点，
为弦
的中点，则直线的斜率为 ．
04 面积问题
12．如图，
，
分别是双曲线
的左、右焦点，C，A 分别是双曲线上第一、二象限的点，若
，则四边形
的面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
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13．(多选)已知点P 是抛物线
上的一个动点，点F 为抛物线的焦点，点Q 是圆
上
的一个动点，直线l 与抛物线交于M、N 两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值为4
B．过P 作圆C 的切线，切点为A，B，则
的最小值是
C．设线段
的中点坐标为
，则直线l 的斜率与
无关
D．若直线l 过点F，且
，则直线l 的斜率为
14．(多选)已知双曲线
，则（ ）
A．C 的离心率为
B．
的渐近线方程为
C．直线
与
有2 个公共点
D．过右焦点的直线与
的交点分别为
，当
时，这样的直线有3 条
15．（多选）已知双曲线
，不与
轴垂直的直线与双曲线右支交于点
，
（点
在
轴上方，点
在
轴下方），与双曲线渐近线交于点
，
（点
在
轴上方，点
在
轴下方），
为
坐标原点，则下列选项中正确的是（ ）
A．
恒成立
B．若
，则
C．
面积的最小值为1
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D．对每一个确定的
，若
，则
的面积为定值
05 定点、定直线问题
16．已知抛物线
是曲线上两点，且
，求证：直线
过定点．
17．已知双曲线
的左顶点为
，离心率为3，
是
上的两点.
(1)求
的标准方程；
(2)若线段
的中点为
，求直线
的方程；
(3)若
（
不在直线
上），证明：直线
过定点.
18．已知
分别是双曲线
的左､右焦点，
是
的右顶点，
，且
与
椭圆
有相同的焦点.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
的公共点个数为1，求
的值；
(3)已知
是
上不同的两点，直线
的斜率分别为
不在直线
上，且
，证明：
直线
过定点.
06 定值问题
19．已知椭圆
：
的离心率
．
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(1)求椭圆
的方程；
(2)如图所示，
是椭圆
的顶点，
是椭圆
上除顶点外的任意点，直线
交
轴于点
，直线
交
于点
．设
的斜率为
的斜率为
，求证：
为定值．
20．已知椭圆
的离心率为
，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为
、
，
过右焦点
的直线l 交椭圆于点M、N，且
的周长为
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)（i）求
的最小值；
（ii）记直线AM、BN 的斜率分别为
、
，证明：
为定值.
21．已知椭圆
：
的焦点与双曲线
的焦点重合，椭圆
的离心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
作斜率不为
的直线，交椭圆
于
两点，点
，若
为定值，求
点
的坐标．
22．在直角坐标系
中，已知椭圆
（
）的长轴长为
，离心率为
，直线与
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轴交于点
，与
相交于
、
两点．
(1)求
的标准方程；
(2)若的斜率为，且
，求
的值；
(3)是否存在
，使
恒为定值
？若存在，请求出
与
的值，若不存在，请说明理由．
07 综合问题
23.如图，椭圆的方程为
，左、右焦点分别为
．设
是椭圆上位于
轴上方的
两点，且直线
与直线
平行，
与
交于点
．
(1)若
，求直线
的斜率；
(2)求证：
是定值．
24.曲线
的方程为
，曲线
的方程为
，设
为圆
外一点，过点
作圆
的两条切线，分别与曲线
相交于点
，
和C，D．求证：当点
在直线
上运动时，
四点的纵坐标之积为定值．
25.过椭圆
上一点
向圆
引两条切线
，
，切点分别为
，如直线
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与
轴、
轴分别交于
两点．
(1)若
，求
点坐标；
(2)求直线
的方程（用
表示）；
(3)求
面积的最小值（
为原点）；
(4)求
面积的最大值．
26.已知抛物线
上一点
到焦点
的距离为，直线
与抛物线交于
、
两点，
（
为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)求的值．
1．
已知抛物线方程为
，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交
点，定义：
．已知点
，则
；设点
，若
恒成立，则k 的取值范围为 ．
2．如图，已知点
是抛物线
上两个动点，且
，求证：直线
过定点．
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3．
设
为椭圆
上任一点，过焦点
的弦分别为
．设
，求
的值．
4．已知椭圆
和抛物线
．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混
合记录如下：
，
．
(1)求椭圆
和抛物线
的方程；
(2)设
为实数，已知点
，直线
与抛物线
交于
两点，记直线
的斜率分别为
，判断
是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
5．
已知椭圆C：
经过点
．
(1)求C 的离心率．
(2)设A，B 分别为C 的左、右顶点，P，Q 为C 上异于A，B 的两动点，且直线
的斜率恒为直线
的斜
率的5 倍．
①当b 的值确定时，证明：直线
过x 轴上的定点；
②按下面方法构造数列
：当
时，直线
过的定点为
，且
，设
，
证明：
．
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1．（2024·北京·高考真题）若直线
与双曲线
只有一个公共点，则
的一个取值为
．
2．（2024·北京·高考真题）已知椭圆
：
，以椭圆
的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2 的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆
交于不同的两点
，过点
和
的直线
与椭圆
的另一个交点为
．
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．
3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆
的离心率为
．左顶点为
，下顶点为
是
线段
的中点（O 为原点），
的面积为
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C 的动直线与椭圆相交于
两点．在
轴上是否存在点
，使得
恒成立．若存在，
求出点
纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
4．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知
和
为椭圆
上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线交C 于另一点B，且
的面积为9，求的方程．
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5．（2023·北京·高考真题）已知椭圆
的离心率为
，A、C 分别是E 的上、下顶
点，B，D 分别是
的左、右顶点，
．
(1)求
的方程；
(2)设
为第一象限内E 上的动点，直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
．求证：
．
6．（2025·上海·高考真题）已知椭圆
，
，A 是
的右顶点．
(1)若
的焦点
，求离心率e；
(2)若
，且
上存在一点P，满足
，求m；
(3)已知AM 的中垂线l 的斜率为2，l 与
交于C、D 两点，
为钝角，求a 的取值范围．
7．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知双曲线
，点
在
上，
为常数，
．按照如下方式依次构造点
：过
作斜率为
的直线与
的左支交于点
，令
为
关于
轴的对称点，记
的坐标为
.
(1)若
，求
；
(2)证明：数列
是公比为
的等比数列；
(3)设
为
的面积，证明：对任意正整数
，
.
