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第3 讲 圆锥曲线中的二级结论
1.(2023·全国甲卷，文T7)设F1，F2为椭圆C：x
2
5 +y2=1 的两个焦点，点P 在C 上，若⃗P F1·⃗P F2=0，则|PF1|
·|PF2|等于( )
A.1
B.2
C.4
D.5
2.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T10)已知O 为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F 的直线与C 交于
A，B 两点，其中A 在第一象限，点M(p，0).若|AF|=|AM|，则( )
A.直线AB 的斜率为2√6
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
3.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T10)已知抛物线C：y2=6x 的焦点为F，过F 的一条直线交C 于A，B 两点，过A
作直线l：x=-3
2的垂线，垂足为D，过F 且与直线AB 垂直的直线交l 于点E，则( )
A.|AD|=|AF|
B.|AE|=|AB|
C.|AB|≥6
D.|AE|·|BE|≥18
4.(2022·新高考全国Ⅱ卷，T16)已知直线l 与椭圆x
2
6 + y
2
3 =1 在第一象限交于A，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别
交于M，N 两点，且|MA|=|NB|，|MN|=2√3，则l 的方程为 .
命题热度：
本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12 分.
考查方向：
一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线
的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与
三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题.
1.答案 B
解析 方法一 因为⃗P F1·⃗P F2=0，
所以∠F1PF2=90°，
从而S△F1 P F2=b2tan 45°=1=1
2|PF1|·|PF2|，
所以|PF1|·|PF2|=2.
方法二 因为⃗P F1·⃗P F2=0，
所以∠F1PF2=90°，
由椭圆方程可知，c2=5-1=4，解得c=2，
所以|P F1|
2+|P F2|
2=| F1 F2|
2=42=16，
又|PF1|+|PF2|=2a=2√5，
平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=16+2|PF1|·|PF2|=20，所以|PF1|·|PF2|=2.
2.答案 ACD
解析 对于A，由题意，得F(
p
2 ，0).因为|AF|=|AM|，且M(p，0)，所以xA= xF + xM
2
=3
4 p，将其代入抛物
线方程y2=2px，得yA=√6
2 p，所以A(
3
4 p，√6
2 p)，所以直线AB 的斜率kAB=kAF=
√6
2 p-0
3
4 p- p
2
=2√6，故A 正确；
对于B，方法一
1
| AF | +
1
|BF | =
1
3
4 p+ p
2
+
1
|BF | = 2
p，解得|BF|=5
6p，xB= p
3 ，yB=-√6
3 p，所以|OB|2=xB
2+yB
2
=7 p
2
9 ≠|OF|2，故B 错误；
方法二 由选项A 的分析，知直线AB 的方程为y=2√6(x - p
2)，代入y2=2px，得12x2-13px+3p2=0，解得
x=3
4 p 或x=1
3p，所以xB=1
3p，所以yB=-√6
3 p，所以|OB|=√xB
2 + yB
2=√7
3 p≠|OF|，故B 不正确；
对于C，由抛物线的定义及选项A，B 的分析，得|AB|=xA+xB+p=13
12p+p=25
12p>2p，即|AB|>4|OF|，故C 正确；
对于D，方法一 易知|OA|=√33
4 p，|AM|=5
4 p，|OB|=√7
3 p，|BM|=√10
3 p，
则cos∠OAM=|OA |
2+| AM |
2-|OM |
2
2|OA |·| AM |
=
33
16 p
2+ 25
16 p
2- p
2
2× √33
4
p· 5
4 p
= 21
5√33>0，
cos∠OBM=|OB|
2+|BM |
2-|OM |
2
2|OB|·|BM |
=
7
9 p
2+ 10
9 p
2- p
2
2× √7
3 p· √10
3
p
= 4
√70>0，
所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM+∠OBM<180°，故D 正确.
方法二 由选项A，B 知A(
3
4 p，√6
2 p)，
B(
p
3 ，- √6
3 p)，⃗OA=(
3
4 p，√6
2 p)，⃗
OB=(
p
3 ，- √6
3 p)，⃗MA=(- p
4 ，√6
2 p)，⃗
MB=(- 2
3 p，- √6
3 p)，
所以⃗OA·⃗OB=-3 p
2
4 <0，所以∠AOB 为钝角，
又⃗MA·⃗MB=-5 p
2
6 <0，所以∠AMB 为钝角，
又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°，
所以∠OAM+∠OBM<180°，故D 正确.
3.答案 ACD
解析 方法一 易知l 为抛物线的准线，点A 在抛物线C 上，由抛物线的定义可知A 选项正确；
设∠AFx=θ，易证△ADE≌△AFE，则∠DAE=∠EAF=θ
2，
因为|AF|=|AD|=|AF|·cos θ+p，
所以|AF|=
p
1-cosθ ，同理|BF|=
p
1+cosθ ，
所以|AE|=
| AF |
cos θ
2
=
p
(1-cosθ)cos θ
2
，
则|AB|=|AF|+|BF|=
p
1-cosθ +
p
1+cosθ = 2 p
sin
2θ ≠|AE|，选项B 错误；
|AB|= 2 p
sin
2θ ≥2p=6，选项C 正确；
由∠DAE=∠EAF=θ
2，则AE 为抛物线C 的切线，同理BE 也为抛物线C 的切线，
由阿基米德三角形可知AE⊥BE，
|AE||BE|=|AB|·|EF|= 2 p
sin
2θ ·
p
sinθ= 18
sin
3θ ≥18，选项D 正确.
方法二 对于A，抛物线C：y2=6x，
则p=3，其准线为l：x=-3
2，焦点F(
3
2 ，0)，
则|AD|为抛物线上的点A 到准线的距离，|AF|为抛物线上的点A 到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A 正确；
对于B，过点B 作准线l 的垂线，垂足为P，
由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB 为Rt△ABE 的斜边，则|AE|<|AB|，故B 错误；
对于C，当直线AB 的斜率不存在时，|AB|=2p=6；
当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=k(x - 3
2)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立{
y =k(x - 3
2)，
y
2=6 x，
消去y，得k2x2-(3k2+6)x+9
4 k2=0，
易知Δ>0，则x1+x2=3+ 6
k
2，x1x2=9
4 ，
所以|AB|=√1+ k
2|x1-x2|=√1+ k
2×√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2
=√1+k
2×√(3+ 6
k
2)
2
-9=6(1+ 1
k
2)>6，
综上，|AB|≥6，故C 正确；
对于D，在Rt△ABE 与Rt△AEF 中，∠BAE=∠EAF，
所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则| AE|
| AB| =| AF |
| AE| ，即|AE|2=|AF|·|AB|，
同理|BE|2=|BF|·|AB|，
当直线AB 的斜率不存在时，|AB|=6，|AF|=|BF|=1
2|AB|=3，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=3×3×62，即|AE|·|BE|=18；
当直线AB 的斜率存在时，|AB|=6(1+ 1
k
2)，
|AF|·|BF|=(x1+ 3
2)(x2+ 3
2)=x1x2+3
2(x1+x2)+9
4
=9
4 +3
2(3+ 6
k
2)+9
4 =9(1+ 1
k
2)，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=9(1+ 1
k
2)×36(1+ 1
k
2)
2
，
则|AE|·|BE|=3(1+ 1
k
2)
1
2×6(1+ 1
k
2)=18(1+ 1
k
2)
3
2>18，
综上，|AE|·|BE|≥18，故D 正确.
方法三 对于A，抛物线C：y2=6x，
则p=3，其准线为l：x=-3
2，焦点F(
3
2 ，0)，
因为点A 在抛物线C 上，
由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A 正确；
对于B，过点B 作准线l 的垂线，垂足为P，如图，
由题意可知AD⊥l，EF⊥AB，则∠ADE=∠AFE=90°，
又|AD|=|AF|，|AE|=|AE|，所以△ADE≌△AFE，
所以∠AED=∠AEF，同理∠BEP=∠BEF，
又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，
所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°，
显然AB 为Rt△ABE 的斜边，则|AE|<|AB|，故B 错误；
对于C，易知直线AB 的斜率不为0，
设直线AB 的方程为x=my+3
2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立{
x =my + 3
2 ，
y
2=6 x，
消去x，得y2-6my-9=0，
易知Δ>0，则y1+y2=6m，y1y2=-9，
又x1=my1+3
2，x2=my2+3
2，
所以|AB|=x1+x2+p=m(y1+y2)+3+3=6m2+6≥6，
当且仅当m=0 时取等号，故C 正确；
对于D，在Rt△ABE 与Rt△AEF 中，∠BAE=∠EAF，
所以Rt△ABE∽Rt△AEF，则| AE|
| AB| =| AF |
| AE| ，即|AE|2=|AF|·|AB|，
同理|BE|2=|BF|·|AB|，
又|AF|·|BF|=(x1+ 3
2)(x2+ 3
2)=(my1+3)(my2+3)
=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=-9m2+18m2+9=9(m2+1)，
|AB|=6m2+6=6(m2+1)，
所以|AE|2·|BE|2=|AF|·|BF|·|AB|2=9(m2+1)×36(m
2+1)
2，
则|AE|·|BE|=3(m
2+1)
1
2×6(m2+1)=18(m
2+1)
3
2≥18，当且仅当m=0 时取等号，故D 正确.
4.答案 x+√2y-2√2=0
解析 方法一 设直线l 的方程为x
m+ y
n =1(m>0，n>0)，C 为AB 的中点，则C 也是MN 的中点，分别令
y=0，x=0，得点M(m，0)，N(0，n)，则C(
m
2 ，n
2).
由垂径定理知，kAB·kOC=-b
2
a
2=-1
2，
又kAB=- n
m，kOC=
n
2
m
2
= n
m，
所以kOC+kAB=0，所以kAB=-√2
2 ，
所以n
m=√2
2 ，又|MN|=2√3，即m2+n2=12，
解得{
m=2√2，
n=2，
所以直线l 的方程为x
2√2+ y
2 =1，
即x+√2y-2√2=0.
方法二 设直线l 的方程为x
m+ y
n =1(m>0，n>0)，分别令y=0，x=0，得点M(m，0)，N(0，n).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由题意知线段AB 与线段MN 有相同的中点，
所以{
x1+ x2
2
= m+0
2
，
y1+ y2
2
= 0+n
2
，
即{
x1+ x2=m，
y1+ y2=n.
因为kAB=kMN，
所以
y1- y2
x1- x2
= 0-n
m-0=- n
m.
将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，得{
x1
2
6 + y1
2
3 =1，
x2
2
6 + y2
2
3 =1，
相减得( x1+ x2)( x1- x2)
6
+( y1+ y2)( y1- y2)
3
=0，
由题意知x1+x2≠0，x1≠x2，
所以
y1+ y2
x1+ x2
·
y1- y2
x1- x2
=-1
2，
即n
m·(- n
m)=-1
2，
整理得m2=2n2.
①
又|MN|=2√3，
所以由勾股定理，得m2+n2=12，
②
由①②并结合m>0，n>0，
得{
m=2√2，
n=2，
所以直线l 的方程为x
2√2+ y
2 =1，
即x+√2y-2√2=0.
考点一 焦半径与焦点弦
例1 (1)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ 的直线l
交双曲线C 的右支于A，B 两点，其中点A 在第一象限，且cos θ=1
4 .若|AB|=|AF1|，则双曲线C 的离心率
为( )
A.4
B.√15
C.3
2
D.2
答案 D
解析 |AF2|=
b
2
a-c cosθ ，|BF2|=
b
2
a+c cosθ ，
|AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2|⇒|BF2|=2a⇒
b
2
a+ 1
4 c =2a⇒2e2-e-6=(2e+3)(e-2)=0⇒e=2(负值舍去).
(2)已知椭圆方程为x
2
4 +y2=1，AB 为椭圆过右焦点F 的弦，则|AF|+2|FB|的最小值为 .
答案 3+2√2
4
解析 由焦半径公式可得
1
| AF | +
1
|BF | =4，
∴|AF|+2|FB|
=1
4 (|AF|+2|FB|)(
1
| AF | +
1
|BF |)
=| AF |
4|BF |+|BF |
2| AF |+3
4 ≥3+2√2
4
，
当且仅当| AF |
4|BF |=|BF |
2| AF |时取等号，
又
1
| AF | +
1
|BF | =4，
得{
| AF |= √2+1
4
，
|BF |= √2+2
8
，
∴|AF|+2|FB|的最小值为3+2√2
4
.
[规律方法] (1)椭圆
①通径：2b
2
a .
②椭圆上点到焦点的距离：[a-c，a+c].
③焦半径：(ⅰ)坐标式：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；(ⅱ)角度式：长焦半径|AF1|=
b
2
a-c cosα =
ep
1-ecosα ，短
焦半径|BF1|=
b
2
a+c cosα =
ep
1+ecosα ，
1
|A F1|+
1
|B F1|= 2
ep.
(其中α 为焦半径所在直线与焦点所在轴所成的较小的角，p 为焦点到对应准线的距离b
2
c ).
④焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1|=
2ep
1-e
2co s
2α .
(2)双曲线
①通径：2b
2
a .
②双曲线上点到焦点的距离：[c-a，+∞).
③焦半径：(ⅰ)坐标式： |PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|；(ⅱ)角度式：若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|
AF1|=
ep
1+ecosα ，|BF1|=
ep
1-ecosα ，
1
|A F1|+
1
|B F1|= 2
ep.
若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|=
ep
ecosα +1，|BF1|=
ep
ecosα -1，|
1
|A F1| -
1
|B F1||= 2
ep.
图1 图2
④焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF1|+|BF1|=
2ep
1-e
2co s
2α .
若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF1|-|BF1||=
2ep
e
2co s
2α -1.
(3)抛物线
①通径：2p.
②焦半径：(ⅰ)坐标式：|AF|=x0+ p
2 ；(ⅱ)角度式：|AF|=
ep
1-ecosα =
p
1-cosα ，|BF|=
ep
1+ecosα =
p
1+cosα ，
1
| AF | +
1
|BF | = 2
ep= 2
p.
③抛物线焦点弦弦长公式：
|AB|=|AF|+|BF|=
2ep
1-e
2co s
2α = 2 p
sin
2α .
(4)焦点弦定理
已知焦点在 x 轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F 的直线交曲线于 A，B 两点，直线AB 的倾斜
角为α，⃗AF=λ⃗FB，则曲线的离心率e 满足等式|ecos α|=|
λ-1
λ+1|.
跟踪演练1 已知椭圆C：x
2
4 + y
2
2 =1 的左焦点为F，过F 的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，若|AF|=3，则|
AB|= .
答案 18
5
解析 设|AF|>|BF|，∠AFO=α，则由焦半径公式，|AF|=
b
2
a-c cosα =
2
2-√2cosα =3，
解得cos α=2√2
3 ，
由焦点弦公式|AB|=
2ab
2
a
2-c
2co s
2α
=18
5 .
考点二 焦点三角形
例2 (2023·全国甲卷)设O 为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x
2
9 + y
2
6 =1 的两个焦点，点P 在C 上，
cos∠F1PF2=3
5，则|OP|等于( )
A.13
5
B.√30
2
C.14
5
D.√35
2
答案 B
解析 方法一 设∠F1PF2=2θ，0<θ<π
2 ，
所以S△P F1F2=b2tan∠F1 P F2
2
=b2tan θ，
由cos∠F1PF2=cos 2θ=co s
2θ - sin
2θ
co s
2θ+ sin
2θ
=1-tan
2θ
1+tan
2θ
=3
5，
解得tan θ=1
2(负值舍去)，
由椭圆方程可知，a2=9，b2=6，c2=a2-b2=3，
所以S△P F1F2=1
2×|F1F2|×|yP|
=1
2×2√3×|yP|=6×1
2，
解得y P
2=3.
代入椭圆方程得xP
2=9×(1- 3
6)=9
2，
因此|OP|=√xP
2 + y P
2=√
9
2 +3=√30
2 .
方法二 因为|PF1|+|PF2|=2a=6，
①
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2-6
5|PF1||PF2|=12，
②
联立①②，解得|PF1||PF2|=15
2 ，
设P(x0，y0)，由焦半径公式得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，
所以|PF1||PF2|=a2-(ex0)2，
解得x0
2=9
2，则y0
2=6×(1-
9
2
9)=3，
因此|OP|=√x0
2+ y0
2=√
9
2 +3=√30
2 .
方法三 因为|PF1|+|PF2|=2a=6，
①
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2-6
5|PF1||PF2|=12，
②
联立①②，解得|PF1||PF2|=15
2 ，|PF1|2+|PF2|2=21，
而⃗PO=1
2 (⃗P F1+⃗P F2)，
所以|OP|=|⃗PO|=1
2|⃗P F1+⃗P F2|
=1
2 √|⃗P F1|
2+|⃗P F2|
2+2|⃗P F1||⃗P F2|cos∠F1 P F2
=1
2√21+2× 15
2 × 3
5
=√30
2 .
方法四 因为|PF1|+|PF2|=2a=6，
①
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2，
即|PF1|2+|PF2|2-6
5|PF1||PF2|=12，
②
联立①②，解得|PF1|2+|PF2|2=21，
由中线定理可知，2|OP|2+1
2|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，
解得|OP|=√30
2 .
[规律方法] 焦点三角形的面积公式：
P 为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则在椭圆中，
S△P F1 F2=b2tanθ
2；在双曲线中，S△P F1 F2=
b
2
tan θ
2
.
跟踪演练2 (2025·宁波模拟)已知双曲线C：x2- y
2
b
2 =1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A 在C 上，
且2|AF1|=|AF2|，△AF1F2的面积为2√3.若∠F1AF2为钝角，则C 的焦距为( )
A.√7
B.2√7
C.7
D.14
答案 B
解析 根据双曲线的定义，a2=1，c2=a2+b2=1+b2，|F1F2|=2c，|AF2|-|AF1|=2a=2，
又因为2|AF1|=|AF2|，
可得|AF1|=2，|AF2|=4，
因为△AF1F2的面积为2√3，
所以1
2|AF1||AF2|sin∠F1AF2=2√3⇒1
2×2×4×sin∠F1AF2=2√3，解得sin∠F1AF2=√3
2 ，
因为∠F1AF2为钝角，所以∠F1AF2=2π
3 ，
又S△A F1F2=
b
2
tan ∠F1 A F2
2
=2√3，
所以b2=6，c2=a2+b2=7，
因此双曲线的焦距为2√7.
考点三 垂径定理
例3 (多选)已知A，B 是椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)上任意两点，且弦AB 不平行于x 轴和y 轴，弦AB 不过
坐标原点O，M 为线段AB 的中点，则有kAB·kOM等于( )
A.b
2
a
2
B.-b
2
a
2
C.-1
D.e2-1
答案 BD
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则M(
x1+ x2
2
，y1+ y2
2 )，
kOM= y1+ y2
x1+ x2
，kAB= y1- y2
x1- x2
，kAB·kOM= y1
2- y2
2
x1
2- x2
2 ，
∵A，B 在椭圆上，代入A，B 坐标得
x1
2
a
2+ y1
2
b
2 =1，x2
2
a
2+ y2
2
b
2 =1，
两式相减得x1
2- x2
2
a
2
+ y1
2- y2
2
b
2
=0，
整理得
y1
2- y2
2
x1
2- x2
2 =-b
2
a
2，
∴kAB·kOM=-b
2
a
2=e2-1.
[规律方法] 双曲线中的垂径定理：已知A，B 是双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)上任意两点，且弦AB 不平行
于x 轴和y 轴，弦AB 不过坐标原点O，M 为线段AB 的中点，则有kAB·kOM=b
2
a
2=e2-1.
跟踪演练3 (多选)(2025·泸州模拟)已知双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，
其中|F1 F2|=2c，过右焦点F2的直线l 与双曲线的右支交于A，B 两点，则下列说法中正确的是( )
A.弦AB 的最小值为2b
2
a
B.若|AB|=m，则△F1AB 的周长为2m+4a
C.若AB 的中点为M，且AB 的斜率为k，则kOM·k=b
2
a
2
D.若直线AB 的斜率为√3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)
答案 ABC
解析 对于A，弦AB 的最小值为通径2b
2
a ，故A 正确；
对于B，由双曲线的定义得|A F1|-|A F2|=2a，
|B F1|-|B F2|=2a，
所以|A F1|=|A F2|+2a，|B F1|=|B F2|+2a，
|A F1|+|B F1|=|A F2|+2a+|B F2|+2a=|AB|+4a，
则△F1AB 的周长=|A F1|+|B F1|+|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B 正确；
对于C，根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=b
2
a
2，故C 正确；
对于D，
若直线AB 的斜率为√3，所以b
a<√3，
所以b2<3a2，所以c2<4a2，
所以e=c
a∈(1，2)，故D 错误.
专题强化练
[分值：52 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.设直线y=kx 与双曲线C：x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)相交于A，B 两点，P 为C 上不同于A，B 的一点，直线
PA，PB 的斜率分别为k1，k2，若C 的离心率为√2，则k1·k2等于( )
A.3
B.1
C.2
D.√3
答案 B
解析 由题意可知点A，B 关于原点对称，根据双曲线的第三定义可知k1·k2=e2-1，
又由e=√2，则k1·k2=1.
2.设O 为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x
2
4 + y
2
3 =1 的两个焦点，点P 在C 上，cos∠F1PF2=3
5，则⃗P F1·⃗P F2
等于( )
A.9
4
B.7
4
C.2
D.7
2
答案 A
解析 记∠F1PF2=θ，由焦点三角形公式变形得
|PF1||PF2|=
2b
2
1+cosθ ，
即|PF1||PF2|=15
4 ，
则⃗P F1·⃗P F2=|⃗P F1||⃗P F2|cos∠F1PF2=15
4 ×3
5=9
4 .
3.(2025·辽宁模拟)过椭圆C：x
2
5 + y
2
4 =1 的左焦点F 作倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，则
1
| AF | +
1
|BF | 等于( )
A.5
4
B.4
5
C.√5
2
D.2√5
5
答案 C
解析 方法一 由焦点弦的性质
1
| AF | +
1
|BF | = 2
ep=√5
2 .
方法二 由x
2
5 + y
2
4 =1，
得a2=5，b2=4，c2=a2-b2=1，左焦点为(-1，0).
则过左焦点F，倾斜角为45°的直线l 的方程为y=x+1.
代入x
2
5 + y
2
4 =1，
得9x2+10x-15=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2=-5
3，x1+x2=-10
9 ，
又y1y2=(x1+1)·(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-16
9 ，
根据弦长公式得
|AB|=√1+1×√(- 10
9 )
2
- 4×(- 5
3)=16√5
9
，
且|AF||BF|=√( x1+1)
2+ y1
2·√( x2+1)
2+ y2
2=√y1
2+ y1
2·√y2
2+ y2
2=2|y1y2|=32
9 ，
所以
1
| AF | +
1
|BF | =| AB|
| AF ||BF | =√5
2 .
4.已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为π
6 的直线与椭圆相交于
A，B 两点，若⃗A F2=2⃗F2B，则椭圆C 的离心率e 为( )
A.2√3
9
B.1
3
C.3
4
D.4
5
答案 A
解析 由题意得|⃗A F2|=2|⃗F2B|，则
b
2
a
1-ecosθ
=2·
b
2
a
1+ecosθ
⇒ecos θ=1
3⇒e=2√3
9 .
5.已知直线l 经过抛物线y2=4x 的焦点F，且与抛物线交于A，B 两点(点A 在第一象限)，若⃗BA=4⃗BF，则
△AOB 的面积为( )
A.8√3
3
B.4√3
3
C.8√2
3
D.4√2
3
答案 B
解析 设直线l 的倾斜角为θ(0<θ<π)，
由题意知| AF |
|BF | =3，|AF|=
p
1-cosθ ，
|BF|=
p
1+cosθ ，
∴1+cosθ
1-cosθ =3，解得cos θ=1
2，则sin θ=√3
2 ，
又抛物线焦点弦弦长|AB|= 2 p
sin
2θ ，
∴S=1
2|OF|·|AB|·sin θ=
p
2
2sinθ = 4
√3=4√3
3
.
6.已知F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线l1与C 交于A，B 两点，直
线l2与C 交于 D，E 两点，则 |AB|+|DE|的最小值为( )
A.16
B.14
C.12
D.10
答案 A
解析 设 l1 的倾斜角为 θ，不妨设θ∈(0，π
2)，
那么|AB|= 2 p
sin
2θ =
4
sin
2θ ，
因为l1⊥l2，所以 l2 的倾斜角为θ+π
2 ，
则|DE|=
4
sin
2(θ+ π
2)
=
4
co s
2θ ，
求|AB|+|DE|的最小值，即求4(
1
sin
2θ
+
1
co s
2θ)在(0，π
2)上的最小值，
令f(θ)=4(
1
sin
2θ
+
1
co s
2θ)=
4
sin
2θ co s
2θ =
16
sin
22θ ，θ∈(0，π
2)，
当sin22θ=1，即θ=π
4 时，f(θ)取得最小值16，即|AB|+|DE|的最小值为16.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.下列与双曲线有关的结论，正确的是( )
A.双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b
B.双曲线的顶点到渐近线的距离为常数ab
c
C.双曲线上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积为定值
D.过双曲线x2-y2=2 上任意一点P(m，n)分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB 的面
积为2mn
答案 ABC
解析 对于A，B，由点到直线的距离公式知A，B 正确；对于C，设双曲线方程为x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0，b>0)，
过点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，
设P(x0，y0)，则|PA|=|b x0+a y0|
c
，
|PB|=|b x0-a y0|
c
，
|PA|·|PB|=|b x0+a y0|
c
·|b x0-a y0|
c
=|b
2 x0
2-a
2 y0
2|
c
2
，
又点P(x0，y0)在双曲线上，
所以x0
2
a
2- y0
2
b
2 =1，b2x0
2-a2y0
2=a2b2，
即|PA|·|PB|=a
2b
2
c
2 ，C 正确；
对于D，双曲线x2-y2=2 的渐近线方程为
x+y=0 和x-y=0，
直线x+y=0 与x-y=0 相互垂直，
又PA⊥OA，PB⊥OB，
所以四边形OAPB 为矩形，所以四边形OAPB 的面积为|PA|·|PB|=a
2b
2
c
2 =1，D 错误.
8.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，若直线AB 过抛物线的焦点F 且倾斜角为θ，则
下列命题正确的是( )
A.x1x2= p
2
4
B.|AB|=x1+x2+p= 2 p
sin
2θ
C.
1
| AF | +
1
|BF | = 2
p
D.y1y2=-2x1x2
答案 ABC
解析 对于选项A，D，设直线AB 的方程为x=my+ p
2 ，代入y2=2px，
可得y2-2pmy-p2=0，Δ>0，
所以y1y2=-p2，
x1x2= y1
2 y2
2
4 p
2 = p
2
4 ，选项A 正确，选项D 错误；
对于选项B，因为AB 是过抛物线y2=2px 的焦点的弦，
所以由抛物线定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+ p
2 +x2+ p
2 =x1+x2+p，
由选项A 知，y1y2=-p2，y1+y2=2pm，
所以y1
2+y2
2=( y1+ y2)
2-2y1y2=4p2m2+2p2.
即y1
2+y2
2=2p(x1+x2)=4p2m2+2p2，
解得x1+x2=2pm2+p，
当θ=π
2 时，m=0，所以|AB|=2p，
当θ≠π
2 时，m=
1
tanθ ，
所以|AB|= 2 p
tan
2θ +2p=2p(
1
tan
2θ
+1) =2p(
co s
2θ
sin
2θ
+1)= 2 p
sin
2θ ，
当θ=π
2 时，sin θ=1 也适合上式，所以|AB|=x1+x2+p= 2 p
sin
2θ ，选项B 正确；
对于选项C，不妨设θ∈(0，π
2)，点A 在x 轴上方，设A'，B'分别是A，B 在准线上的射影，C 是A 在x
轴上的射影，K 是准线与x 轴的交点，如图，
|AF|=|AA'|=|CK|=p+|CF|=p+|AF|cos θ，
所以|AF|=
p
1-cosθ ，同理可得|BF|=
p
1+cosθ ，
所以
1
| AF | +
1
|BF | = 2
p，
同理可证θ∈[
π
2 ，π)时，等式也成立，选项C 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知椭圆C：x
2
4 + y
2
2 =1 的左焦点为F，过F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，则|AB|=
；若|AF|>|BF|，则|AF|∶|BF|= .
答案 8
3 3∶1
解析 如图，设∠AFO=α，
则α=45°，由焦点弦公式，
|AB|=
2ab
2
a
2-c
2co s
2α
=
2×2×2
4 -2×co s
245° =8
3.
由焦半径公式，
|AF|=
b
2
a-c cosα =
2
2-√2cos 45° =2，
|BF|=
2
2+√2cos 45° =2
3，所以|AF|∶|BF|=3∶1.
10.已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为√3
2 ，与过右焦点F 且斜率为k(k>0)的直线相交于A，B 两点.
若⃗AF=3⃗FB，则k= .
答案 √2
解析 设直线的倾斜角为α，α∈(0，π
2)，
则|ecos α|=|
λ -1
λ+1|，即|
√3
2 cosα|=|
3-1
3+1|，
即cos α=√3
3 (负值舍去)，
则sin α=√6
3 ，所以k=tan α=√2.
