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第2 讲 导数初步
微点一 导数的几何意义
例1 (1)(2025·全国Ⅰ卷)若直线y=2x+5 是曲线y=ex+x+a 的一条切线，则a= .
答案 4
解析 y=ex+x+a 的导数为y'=ex+1，
因为直线y=2x+5 是曲线y=ex+x+a 的一条切线，直线的斜率为2，
令y'=ex+1=2，即ex=1，解得x=0，
将x=0 代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，
所以切点坐标为(0，5)，
因为切点(0，5)在曲线y=ex+x+a 上，
所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4.
(2)若曲线y=ex-a(a>0)在x=0 处的切线也是曲线y=ln(x+b)(b>0)的切线，则a+b= .
答案 2
解析 对于y=ex-a(a>0)，有y'=ex，则y'|x=0=1，则曲线y=ex-a(a>0)在x=0 处切线为y-(1-a)=x，即y=x+1-a，
对于y=ln(x+b)(b>0)，有y'= 1
x +b ，又y=x+1-a 也是y=ln(x+b)(b>0)的切线，
令1
x +b=1，可得x=1-b，则y=0，即切点(1-b，0)在直线y=x+1-a 上，
所以1-b+1-a=0⇒a+b=2.
[规律方法] 求曲线的切线方程要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，
点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
跟踪演练1 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x 在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a 的切线，则
a= .
答案 ln 2
解析 由y=ex+x 得y'=ex+1，
当x=0 时，y'=e0+1=2，
故曲线y=ex+x 在点(0，1)处的切线方程为
y=2x+1.
由y=ln(x+1)+a 得y'= 1
x +1 ，
设切线与曲线y=ln(x+1)+a 相切的切点为(x0，y0)，
由两曲线有公切线得y'=
1
x0+1=2，
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解得x0=-1
2 ，代入切线方程y=2x+1 得y0=2×(−1
2)+1=0，
则y0=ln(x0+1)+a=0，
即ln(−1
2 +1)+a=0，解得a=ln 2.
(2)(2025·南昌模拟)过点(1，0)可以作三条直线与曲线f(x)=xex-t 相切，则实数t 的取值范围是( )
A.(−5
e
2 ，0)
B.(−5
e
2 ，e)
C.(−5
e ，e)
D.(−1
e ，0)
答案 A
解析 因为f(x)=xex-t，
所以f'(x)=ex(x+1)，
设过点(1，0)的切线与曲线f(x)=xex-t 相交于点(m，mem-t)，
则切线方程为y-(mem-t)=em(m+1)(x-m)，又切线过点(1，0)，
所以0-(mem-t)=em(m+1)(1-m)，
根据题意可得，上式关于m 的方程有3 个解，
即方程t=-em(m2-m-1)有3 个解，
所以直线y=t 与y=-em(m2-m-1)的图象有3 个交点，
设g(m)=-em(m2-m-1)，则g'(m)=-em(m+2)(m-1)，
所以当m∈(-∞，-2)时，g'(m)<0，g(m)单调递减；
当m∈(-2，1)时，g'(m)>0，g(m)单调递增；
当m∈(1，+∞)时，g'(m)<0，g(m)单调递减，
所以g(m)的极小值为g(-2)=- 5
e
2 ，极大值为g(1)=e，
且当m<-2 时，g(m)<0；当m→+∞时，g(m)→-∞，
所以要使直线y=t 与y=-em(m2-m-1)的图象有3 个交点，则- 5
e
2<t<0，即实数t 的取值范围是(−5
e
2 ，0).
微点二 三次函数图象与性质
1.三次函数的对称性
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象是中心对称曲线，且对称中心是(−b
3a ，f(−b
3a)).
2.三次函数韦达定理
设ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1，x2，x3.则x1+x2+x3=-b
a ，x1x2+x2x3+x3x1=c
a ，x1x2x3=-d
a .
3.三次函数图象的切线条数问题
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设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在对称中心N(−b
3a ，f(−b
3a))处的切线为l，曲线Γ 及l 把坐标平面分成Ⅰ，
Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域，如图1(a<0)、图2(a>0)所示.
(1)当定点P 在对称中心N 或在Ⅰ和Ⅲ区域时，过点P 的切线有且仅有一条；
(2)当定点P 在曲线上或在切线l 上且不在对称中心N 时，过点P 的切线有两条；
(3)当定点P 在Ⅱ和Ⅳ区域时，过点P 的切线有三条.
4.三次函数切割线定理
如图3，设P 为三次函数y=f(x)图象上任意一点(非对称中心)，过点P 作y=f(x)图象的一条切线PT 和一条割
线PB，其中T(不与P 重合)为切点，A，B 为交点，则点T 的横坐标是A，B 两点的横坐标的算术平均数，
即xT= x A+ xB
2
.
推论1：如图4，设P 为三次函数y=f(x)图象上任意一点(非对称中心)，过点P 作y=f(x)图象的两条切线PM
和PN，其中M，P 为两条切线的切点，N 为交点.
则点M 的横坐标是N，P 两点的横坐标的算术平均数，即xM= xN + xP
2
.
推论2：如图5，设三次函数f(x)的极大值为m，方程f(x)=m 的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则区间[x1，x2]被-
b
3a和极小值点三等分；设三次函数f(x)的极小值为n，方程f(x)=n 的两根分别为x3，x4(x3<x4)，则区间[x3，
x4]被- b
3a和极大值点三等分.
例2 (多选)(2025·合肥模拟)设函数f(x)=x3-3x2-9x-a 有三个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，则(
)
A.-27<a<5
B.函数y=f(x)+a 图象的对称中心为(1，-11)
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C.过(x1，f(x1))引曲线y=f(x)的切线，有且仅有1 条
D.若x1，x2，x3成等差数列，则a=-11
答案 ABD
解析 由f'(x)=3x2-6x-9，令f'(x)>0，解得x>3 或x<-1，
∴f(x)在(-∞，-1)，(3，+∞)上单调递增，在(-1，3)上单调递减.
对于A，若f(x)有三个零点，则f(-1)>0>f(3)，解得-27<a<5，故A 正确；
对于B，令g(x)=f(x)+a=x3-3x2-9x，则g'(x)=3x2-6x-9，设h(x)=g'(x)，
令h'(x)=6x-6=0 得，x=1，又g(1)=-11，
∴g(x)图象的对称中心为(1，-11)，故B 正确；
对于C，结合图象，过(x1，f(x1))引曲线y=f(x)的切线有2 条，故C 错误；
对于D，f(x)=x3-3x2-9x-a=(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x3-(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x2x3+x3x1)x-x1x2x3，
∴x1+x2+x3=3，
x1x2+x2x3+x3x1=-9，
(*)
x1x2x3=a，
若x1，x2，x3成等差数列，则2x2=x1+x3，则x2=1，x1+x3=2，代入(*)得2+x1x3=-9，
∴x1x3=-11，a=x1x3=-11，故D 正确.
[规律方法]函数y=f(x)的图象关于直线x=a 对称，则有f(a+x)=f(a-x)；函数y=f(x)的图象关于点(a，b)中心对
称，则有f(x)=-f(2a-x)+2b.
跟踪演练2 (多选)已知函数f(x)=x3+3x2+ax-3，则( )
A.当a=4 时，f(x)在R 上单调递减
B.当a<3 时，f(x)有两个极值
C.若f(x)有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3=3
D.过点(0，1)且与曲线y=f(x)相切的直线恰有两条
答案 BC
解析 对于A，当a=4 时，f(x)=x3+3x2+4x-3，f'(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+1>0 恒成立，故函数f(x)在R 上单调递
增，A 错误；
对于B，f'(x)=3x2+6x+a，∵a<3，Δ=36-12a>0，∴f'(x)=0 有两个不相等的实数根，∴f(x)有两个极值，故B
正确；
对于C，∵f(x)有三个不同的零点x1，x2，x3，
∴f(x)=x3+3x2+ax-3=(x-x1)(x-x2)(x-x3)，
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取x=0 可得，f(0)=-3=-x1x2x3，
∴x1x2x3=3，故C 正确；
对于D，显然点(0，1)不在y=f(x)的图象上，
设切点为M(n，n3+3n2+an-3)，∵f'(x)=3x2+6x+a，∴f'(n)=3n2+6n+a，
故切线方程为y-(n3+3n2+an-3)=(3n2+6n+a)(x-n)，
又切线过点(0，1)，
故1-(n3+3n2+an-3)=-n(3n2+6n+a)，
整理得2n3+3n2+4=0，设h(n)=2n3+3n2+4，则h'(n)=6n2+6n，
令h'(n)=0，得n=0 或n=-1，
令h'(n)>0，得n>0 或n<-1，
令h'(n)<0，得-1<n<0，
故h(n)=2n3+3n2+4 在(-∞，-1)，(0，+∞)上单调递增，在(-1，0)上单调递减，
其中h(-1)=-2+3+4=5>0，h(0)=4>0，
又h(-2)=0，故2n3+3n2+4=0 只有1 个根-2，
故过点(0，1)且与曲线y=f(x)相切的直线有且仅有一条，D 错误.
微点三 含参函数的单调性
例3 (1)已知函数f(x)=(x-2)ex+a
2x2-ax，讨论函数f(x)的单调性.
解 由题意得函数f(x)的定义域为R，
f'(x)=(x-1)ex+a(x-1)=(x-1)(ex+a).
①当a≥0 时，
若x∈(-∞，1)，则f'(x)<0，
所以f(x)在(-∞，1)上单调递减；
若x∈(1，+∞)，则f'(x)>0，
所以f(x)在(1，+∞)上单调递增.
②当-e<a<0 时，ln(-a)<1，
若x∈(-∞，ln(-a))∪(1，+∞)，则f'(x)>0，
所以f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增；
若x∈(ln(-a)，1)，则f'(x)<0，
所以f(x)在(ln(-a)，1)上单调递减.
③当a=-e 时，ln(-a)=1，
对∀x∈R，f'(x)≥0，所以f(x)在R 上单调递增.
④当a<-e 时，ln(-a)>1，
若x∈(-∞，1)∪(ln(-a)，+∞)，则f'(x)>0，
所以f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增；
若x∈(1，ln(-a))，则f'(x)<0，
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所以f(x)在(1，ln(-a))上单调递减.
综上所述，当a≥0 时，f(x)在(-∞，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增；
当-e<a<0 时，f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增，在(ln(-a)，1)上单调递减；
当a=-e 时，f(x)在R 上单调递增；
当a<-e 时，f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增，在(1，ln(-a))上单调递减.
(2)(2025·威海模拟)已知函数f(x)=ax-loga(x+1)(a>1)在(0，+∞)上存在单调递减区间，则a 的取值范围是(
)
A.(1，e]
B.(1，e)
C.[e，+∞)
D.(e，+∞)
答案 B
解析 求导可得f'(x)=axln a-
1
( x +1)ln a ，
由题意f'(x)=axln a-
1
( x +1)ln a<0 在(0，+∞)上有解，即f'(x)min<0.
因为a>1，所以ln a>0，y=ax，y=- 1
x +1在(0，+∞)上单调递增，
所以函数f'(x)=axln a-
1
( x +1)ln a在(0，+∞)上单调递增，
所以f'(x)>f'(0)=ln a- 1
ln a ，
故ln a- 1
ln a<0，即(ln a)
2−1
ln a
<0，
又ln a>0，所以(ln a)2<1，
所以0<ln a<1，解得1<a<e，
所以a 的取值范围是(1，e).
[规律方法] (1)讨论函数的单调性一般可以归结为参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)函数f(x)在区间D 上单调递增(或递减)，可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在x∈D 上恒成立.
(3)若函数y=f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f'(x)=0 在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
(4)函数f(x)在区间D 上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在x∈D 上有解.
跟踪演练3 (1)(2025·菏泽模拟)已知函数f(x)=(x-a-1)ex-(
x
2 −a)bx 是R 上的增函数，则( )
A.a=b
B.a=1
b
C.a=ln b
D.a=eb
答案 C
解析 由f(x)=(x-a-1)ex-(
x
2 −a)bx，
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得f'(x)=(x-a)ex-bx+ab=(x-a)(ex-b)，
因为f(x)是R 上的增函数，则f'(x)≥0 对x∈R 恒成立，即(x-a)(ex-b)≥0 对x∈R 恒成立，
当b≤0 时，ex-b>0，此时x-a≥0 对x∈R 不恒成立，不满足题意；
当b>0 时，等价于(x-a)(x-ln b)≥0 对x∈R 恒成立，则a=ln b.
(2)(2025·张掖模拟)已知a=9eln 2，b=18，c=4eln 3，则a，b，c 的大小关系为( )
A.b>a>c
B.a>c>b
C.a>b>c
D.b>c>a
答案 A
解析 令f(x)=ln x
x ，x∈(1，e)，
则f'(x)=1−ln x
x
2
>0 对任意的x∈(1，e)恒成立，
所以函数f(x)在(1，e)上单调递增，
所以f(e)>f(2)>f(1)=0，
即1
e >ln 2
2 >0，故2>eln 2>0，
所以9eln 2<9×2=18，即a<b，
又因为a=9eln 2=eln 29=eln 512>eln 81=eln 34=4eln 3=c，即a>c，因此b>a>c.
专题强化练
[分值：80 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.已知f(x)为奇函数，当x<0 时，f(x)=ln(-x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1，3)处的切线方程是( )
A.2x-y-5=0
B.2x-y+1=0
C.2x+y+1=0
D.2x+y+5=0
答案 B
解析 因为f(x)为奇函数，当x<0 时，f(x)=ln(-x)+3x，
则当x>0 时，f(x)=-f(-x)=-ln x+3x，f'(x)=-1
x +3，
从而f'(1)=2，则曲线y=f(x)在点(1，3)处的切线方程是y-3=f'(1)(x-1)，
即2x-y+1=0.
2.函数f(x)=ln x-1
2x2的单调递增区间是( )
A.(0，e)
B.(0，1)
C.(e，+∞)
D.(1，+∞)
答案 B
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解析 因为f(x)=ln x-1
2x2，x>0，所以对函数求导得f'(x)=1
x -x=1−x
2
x
，
令f'(x)>0，即1−x
2
x
>0，1-x2>0，x2<1，
解得0<x<1，
因此函数f(x)的单调递增区间为(0，1).
3.已知函数f(x)=(a2-2)ln x+ax 在x=1 处有极小值，则a 等于( )
A.1 或-2
B.1
C.-2
D.-1
答案 B
解析 函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=a
2−2
x
+a，
因为函数f(x)在x=1 处有极值，
所以f'(1)=0，即a2+a-2=0，解得a=1 或a=-2，
检验，当a=1 时，f'(x)=1−2
x
+1= x−1
x
，
当0<x<1 时，f'(x)<0，当x>1 时，f'(x)>0，
所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，
所以当a=1 时，函数f(x)在x=1 处有极小值，符合题意；
当a=-2 时，f'(x)=4−2
x
-2=2(1−x)
x
，
当0<x<1 时，f'(x)>0，当x>1 时，f'(x)<0，
所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
所以当a=-2 时，函数f(x)在x=1 处有极大值，不符合题意，舍去，
综上，函数f(x)在x=1 处有极小值，则a=1.
4.(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=a
2x2+bln x 在x=2 处有最小值，且最小值为1-2ln 2，则a+b 的值为(
)
A.3
B.1
2
C.-3
2
D.-3
答案 C
解析 函数f(x)=a
2x2+bln x 的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=ax+b
x ，
由于函数f(x)在x=2 有最小值，则函数f(x)在x=2 处取极小值，则f'(2)=2a+1
2b=0，
所以b=-4a，
又f(x)min=f(2)=2a+bln 2=2a-4aln 2，
所以2a-4aln 2=1-2ln 2，解得a=1
2 ，
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所以b=-2，
经检验，当a=1
2 ，b=-2 时，函数f(x)=a
2x2+bln x 在x=2 处有最小值，且最小值为1-2ln 2，故a+b=-3
2.
5.(2025·哈尔滨模拟)若函数f(x)=xln x-(m-1)ln 2x 存在唯一极值点，则实数m 的取值范围是( )
A.(1，+∞)
B.[1，+∞)
C.{1−1
e
2}∪[1，+∞)
D.[1−1
e
2 ，+∞)
答案 B
解析 由f(x)=xln x -(m-1)ln 2x，x>0，求导可得f'(x)=ln x+1-m−1
x
，
由题意得函数f'(x)存在唯一变号零点，
令f'(x)=0 得，m-1=xln x+x，
令g(x)=xln x+x，x>0，求导可得g'(x)=ln x+2，由g'(x)=0，解得x= 1
e
2 ，
当0<x< 1
e
2时，g'(x)<0；当x> 1
e
2时，g'(x)>0，
所以函数g(x)在(0，1
e
2)上单调递减，在(
1
e
2 ，+∞)上单调递增，则g(x)min=g(
1
e
2)=- 1
e
2 ，
画出函数g(x)的大致图象如图所示，
由图知，当m-1=- 1
e
2 ，即m=1- 1
e
2时，x= 1
e
2为f'(x)的不变号零点，不符合题意；故m-1≥0，即m≥1，故实
数m 的取值范围是[1，+∞).
6.已知函数f(x)=sin x
e
x ，x∈[0，+∞)，记xn为f(x)从小到大的第n 个极值点，数列{an}满足an=f(xn)，其前n
项和为Sn，则S2 026等于( )
A.
√2(e
π−e
−2 025 π)
2e
π
4 (1−e
π)
B.
√2(1−e
2 026 π)
2e
π
4 (1−e
π)
C.
√2(e
π−e
−2 025 π)
2e
π
4 (e
π +1)
D.
√2(1−e
2 026 π)
2e
π
4 (e
π +1)
答案 C
解析 由题意f(x)=sin x
e
x ，f'(x)=e
xcos x−e
xsin x
e
2 x
=cos x−sin x
e
x
=√2cos(x + π
4)
e
x
，
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令f'(x)=0，则cos(x + π
4)=0，
所以x+π
4 =π
2 +kπ(k∈Z)，解得x=π
4 +kπ(k∈Z).
由函数y=cos(x + π
4)的图象可知，x=π
4 +kπ(k∈Z)是f(x)的极值点，
又x∈[0，+∞)，所以{xn}是以π
4 为首项，π 为公差的等差数列，
所以xn=-3 π
4 +nπ(n∈N*)，
当n=2k-1，k∈N*时，设an=f(xn)=
√2
2e
−3 π
4 +n π =
√2
2e
−3 π
4 +(2k −1)π =bk(k∈N*)，
当n=2k，k∈N*时，设an=f(xn)=-
√2
2e
−3 π
4 +n π =-
√2
2e
−3 π
4 +2k π =ck(k∈N*)，
从而S2 026=(a1+a3+…+a2 025)+(a2+a4+…+a2 026)=(b1+b2+…+b1 013)+(c1+c2+…+c1 013)
=
√2
2e
π
4
[1−(e
−2 π)
1 013]
1−e
−2 π
+
−√2
2e
5 π
4
[1−(e
−2 π)
1 013]
1−e
−2 π
=
√2(1−e
−π)[1−(e
−2 π)
1 013]
2e
π
4 (1−e
−2 π)
=
√2(e
π−e
−2 025 π)
2e
π
4 (e
π +1)
.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·邯郸模拟)已知函数f(x)=(x2-3)ex，则下列结论正确的是( )
A.
lim
x→0 f ( x)+3
x
=3
B.函数f(x)在(-1，1)上单调递减
C.函数f(x)有极大值6e-3
D.函数f(x)在[-4，-2]上的最小值为f(-4)
答案 BC
解析 由题意得，f'(x)=(x2+2x-3)ex=(x+3)(x-1)ex，
因为f(0)=-3，则
lim
x→0 f ( x)+3
x
=
lim
x→0 f ( x)−f (0)
x−0
=f'(0)=-3，故A 不正确；
由f'(x)>0 得，x<-3 或x>1，
由f'(x)<0 得，-3<x<1，
则f(x)在(-∞，-3)和(1，+∞)上单调递增，在(-3，1)上单调递减，
所以f(x)在x=-3 处取得极大值为f(-3)=6e-3，故B，C 正确；
因为f(-4)=13
e
4 >f(-2)= 1
e
2 ，则函数f(x)在[-4，-2]上的最小值为f(-2)，故D 不正确.
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8.(2025·厦门模拟)已知f(x)=x3+ax2+bx-2，不等式f(x)<2 的解集为{x|x<1 且x≠-2}，则下列说法中正确的是(
)
A.函数f(x)的极大值点为1
B.函数f(x)的一个对称中心为点(-1，0)
C.当-2<x<-1
2时，f(2x+1)>-2
D.过点(-3，-2)且与曲线y=f(x)相切的直线有2 条
答案 BCD
解析 对于A，因为不等式f(x)<2 的解集为{x|x<1 且x≠-2}，
即不等式x3+ax2+bx-4<0 的解集为{x|x<1 且x≠-2}，
所以方程x3+ax2+bx-4=0 的根为x=1 和x=-2(二重根)，
得(x+2)2(x-1)=0，即x3+3x2-4=0，
所以{
a=3,
b=0,则f(x)=x3+3x2-2，
得f'(x)=3x2+6x=3x(x+2)，
令f'(x)<0 得-2<x<0，
令f'(x)>0 得x<-2 或x>0，
所以函数f(x)在(-2，0)上单调递减，在(-∞，-2)，(0，+∞)上单调递增，
所以x=-2 是f(x)的极大值点，故A 错误；
对于B，由A 知，f(x)=x3+3x2-2，
则f(-2-x)=(-2-x)3+3(-2-x)2-2=-x3-3x2+2，
所以f(-2-x)+f(x)=0，
即f(x)的一个对称中心为点(-1，0)，故B 正确；
对于C，令u=2x+1，当-2<x<-1
2时，则-3<u<0，
则要满足f(2x+1)>-2，只需使f(u)>-2，
而f(u)+2=u3+3u2=u2(u+3)，由-3<u<0，
得u2(u+3)>0，即f(u)>-2，所以f(2x+1)>-2，故C 正确；
对于D，由A 知，f'(x)=3x2+6x，
设f(x)在点(x0，x0
3+3x0
2-2)处的切线方程为y-(x0
3+3x0
2-2)=(3x0
2+6x0)(x-x0)，
由切线经过点(-3，-2)得，-2-(x0
3+3x0
2-2)=(3x0
2+6x0)(-3-x0)，
整理得x0
3+6x0
2+9x0=0，
即x0(x0
2+6x0+9)=x0(x0+3)2=0，
解得x0=-3 或x0=0，此时存在2 条切线满足题意，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
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9.(2025·全国Ⅱ卷)若x=2 是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)= .
答案 -4
解析 由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)，
所以f'(x)=(x-2)(x-a)+(x-1)(x-a)+(x-1)(x-2)，
因为x=2 是函数f(x)的极值点，所以f'(2)=2-a=0，得a=2.
当a=2 时，f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)2=(x-2)(3x-4)，令f'(x)=0，得x=2 或x=4
3 ，
当x∈(−∞，4
3)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(
4
3 ，2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
所以x=2 是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点，符合题意，故a=2.
所以f(0)=-1×(-2)×(-2)=-4.
10.(2025·石家庄模拟)已知f(x)=a x
2
e
2 x -ln x+x 的最小值为0，则a 的值为 .
答案 -e2
解析 f(x)=a(
x
e
x)
2
-ln x
e
x ，
记t= x
e
x(x>0)，则t'=1−x
e
x ，
令t'>0，则0<x<1；
令t'<0，则x>1，且当x=1 时，t=1
e ，
则t 的取值范围为(0，1
e].
令h(t)=at2-ln t，t∈(0，1
e]，所以h(t)的最小值为0，
h'(t)=2at-1
t =2at
2−1
t
，
当a>0 时，因为t∈(0，1
e]，
所以at2>0，-ln t>0，故h(t)=at2-ln t>0，
与h(t)的最小值为0 矛盾，不符合题意；
当a≤0 时，h'(t)=2at
2−1
t
<0，所以h(t)在(0，1
e]上单调递减，
所以h(t)min=h(
1
e)= a
e
2+1=0，解得a=-e2.
四、解答题(共28 分)
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11.(13 分)(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=ax-ln x+a2(a∈R).
(1)若f(x)在(1，e)上不单调，求实数a 的取值范围；(6 分)
(2)当a>0 时，求证：f(x)≥3ln a+2.(7 分)
(1)解 函数f(x)=ax-ln x+a2的定义域为(0，+∞)，
求导得f'(x)=a-1
x ，
当a≤0 时，f'(x)<0 在(0，+∞)上恒成立，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，不符合题意；
当a>0 时，由f'(x)<0，得0<x<1
a ，
由f'(x)>0，得x>1
a ，
函数f(x)在(0，1
a)上单调递减，在(
1
a ，+ ∞)上单调递增，
故1<1
a<e，解得1
e <a<1，
所以实数a 的取值范围为(
1
e ，1).
(2)证明 由(1)知，当a>0 时，f(x)的最小值为f (
1
a)=1+a2+ln a，
则1+a2+ln a-(3ln a+2)=a2-2ln a-1，
设g(x)=x2-2ln x-1，x>0，
求导得g'(x)=2x-2
x =2( x−1)( x +1)
x
，
当0<x<1 时，g'(x)<0；当x>1 时，g'(x)>0，
因此函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，g(x)≥g(1)=0，即g(a)≥0，
则f (
1
a)=1+a2+ln a≥3ln a+2，
所以f(x)≥3ln a+2.
12.(15 分)(2025·张家口模拟)已知函数f(x)=(x2-a)ln x+(a-1)x，a>0.
(1)当a=2 时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5 分)
(2)探究x=a 是否为f(x)的极大值点.(10 分)
解 (1)当a=2 时，f(x)=(x2-2)ln x+x，f(1)=1，
则f'(x)=2xln x+ x
2−2
x
+1，f'(1)=0，
所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-1=0.
(2)易得f'(x)=2xln x+ x
2−a
x
+a-1，
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假设x=a 是f(x)的极大值点，则f'(a)=0，
即2aln a+a
2−a
a
+a-1=0，
化简得aln a+a=1，
当0<a<1 时，aln a<0，aln a+a<1，
当a>1 时，aln a>0，aln a+a>1，
只有当a=1 时，上式才成立，
故f'(x)=2xln x+ x
2−1
x
，
当x>1 时，2xln x>0，x
2−1
x
>0，则f'(x)>0，
但由假设知x=a=1 是f(x)的极大值点，
于是由极大值的定义知，存在x0，使得当x∈(1，x0)时，f'(x)<0，与假设矛盾.
所以x=a 不是f(x)的极大值点
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