专项微测_2026版高中《二三轮复习+冲刺复习》_word_教师word

专项微测
第一部分　小题标准测
小题标准测1　“ 8+3+3”　73 分测
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2025·全国二卷)样本数据2,8,14,16,20 的平均数为(C)
A.8
B.9
C.12
D.18
解析　1
5 (2+8+14+16+20)=12,故选C.
2.(2025·全国一卷)已知集合U={x|x 是小于9 的正整数},A={1,3,5},则∁UA 中元素的个数为(C)
A.0
B.3
C.5
D.8
解析　U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},故∁UA={2,4,6,7,8},故∁UA 中有5 个元素.故选C.
3.(2025·长沙模拟)在复平面内,若i 是虚数单位,复数z 与2
1+i
3关于虚轴对称,则z=(C)
A.1+i
B.-1-i
C.-1+i
D.1-i
解析　因为2
1+i
3= 2
1-i =
2(1+i)
(1-i)(1+i)=1+i,由复数z 与2
1+i
3对应的点关于虚轴对称,所以z=-1+i.
4.(2025·日照一模)已知α 是第一象限角,且sin α+cos α=3cos αtan α,则sin(α + π
2)的值为(D)
A.-√5
5
B.-2√5
5
C.√5
5
D.2√5
5
解析　因为sin α+cos α=3cos αtan α,所以sin α+cos α=3sin α,所以cos α=2sin α,左右两侧平方得cos2α=4sin2α=4(1-cos2α),所以
5cos2α=4,又因为α 是第一象限角,所以cos α=2√5
5
,则sin(α + π
2)=cos α=2√5
5
.
5.(2025·贵州模拟)已知数列{an}满足an+1=
2
2-an
,且a1=1
2,则a2 025=(C)
A.3
B.4
3
C.1
2
D.-2
解析　由题意数列{an}满足an+1=
2
2-an
,且a1=1
2,得a2=
2
2- 1
2
=4
3 ,a3=
2
2- 4
3
=3,a4= 2
2-3 =-2,a5= 2
2+2=1
2,由此可知数列{an}是周
期为4 的周期数列,所以a2 025=a4×506+1=a1=1
2.
6.(2025·北京高考)已知平面直角坐标系xOy 中,|⃗OA|=|⃗OB|=√2,|⃗AB|=2,设C(3,4),则|2⃗CA+⃗AB|的取值范围是(D)
A.[6,14] B.[6,12]
C.[8,14] D.[8,12]
解析　因为|⃗OA|=|⃗OB|=√2,|⃗AB|=2,所以|⃗OA|2+|⃗OB|2=|⃗AB|2=4,所以OA⊥OB,且点A,B 在以点O 为圆心,√2为半径的圆上,如
图,所以|2⃗CA+⃗AB|=|⃗CA+⃗CB|=|⃗OA-⃗OC+⃗OB-⃗OC|=|⃗OA+⃗OB-2⃗OC|,所以|2⃗CA+⃗AB|2=(⃗OA+⃗OB)2+4⃗OC
2-4(⃗OA+⃗OB)·⃗
OC=⃗OA
2+⃗OB
2+4⃗OC
2-4(⃗OA+⃗OB)·⃗OC=104-4(⃗OA+⃗OB)·⃗OC.令⃗OD=⃗OA+⃗OB,则点D 在以点O 为圆心,2 为半径的圆
上,所以(⃗OA+⃗OB)·⃗OC=⃗OD·⃗OC=|⃗OD||⃗OC|cos<⃗OD,⃗OC>=10cos<⃗OD,⃗OC>.因为<⃗OD,⃗OC>∈[0,π],所以(⃗OA+⃗OB)·⃗
OC∈[-10,10],所以|2⃗CA+⃗AB|2=104-4(⃗OA+⃗OB)·⃗OC∈[64,144],所以|2⃗CA+⃗AB|∈[8,12].故选D.
7.(2025·杭州模拟)已知表面积为16π 的球与一圆台的上、下底面以及侧面均相切,若该圆台的下底面半径为上底面半径的
4 倍,则该圆台的体积为(D)
A.100
3
πB.32π
C.92
3
π D.28π
解析　设球的半径为R(R>0),由4πR2=16π,解得R=2.作出圆台的轴截面,如图,设CO1=r(r>0),则O2B=4r,由相切的性质可知
MC=CO1=r,O2B=BM=4r,易知OC,OB 分别是∠DCB,∠ABC 的平分线,即∠OCM=1
2∠O1CM,∠OBM=1
2∠O2BM,又
∠O1CM+∠O2BM=180°,所以∠OCM+∠OBM=1
2(∠O2BM+∠O1CM)=90°,所以∠COB=90°,所以OC⊥OB,又OM⊥BC,则
∠OCM=∠BOM,所以△OCM∽△BOM,即OM
MB =CM
OM ,所以OM2=MC·MB,所以22=4r2,解得r=1(负值已舍去),所以该圆台的体
积为V=1
3π[r2+(4r)2+4r2]×h=1
3π(1+16+4)×4=28π.
8.设A,B 为双曲线x2- y
2
9
=1 上两点,下列四个点中,可为线段AB 中点的是(D)
A.(1,1)
B.(-1,2)
C.(1,3)
D.(-1,-4)
解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB 的中点M(
x1+ x2
2
, y1+ y2
2 ),可得kAB= y1- y2
x1- x2
,k=
y1+ y2
2
x1+ x2
2
= y1+ y2
x1+ x2
,因为A,B 在双曲线上,则
{
x1
2- y1
2
9 =1,
x2
2- y2
2
9 =1,
两式相减得(x1
2-x2
2)- y1
2- y2
2
9
=0,所以kAB·k= y1
2- y2
2
x1
2- x2
2 =9.对于选项A: 可得k=1,kAB=9,则AB:y=9x-8,联立方程
{
y =9 x -8,
x
2- y
2
9 =1,消去y 得72x2-2×72x+73=0,此时Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直线AB 与双曲线没有交点,故A 错误;对于
选项B:可得k=-2,kAB=-9
2,则AB:y=-9
2x-5
2,联立方程{
y =- 9
2 x - 5
2 ,
x
2- y
2
9 =1,
消去y 得45x2+2×45x+61=0,此时Δ=(2×45)2-
4×45×61=-4×45×16<0,所以直线AB 与双曲线没有交点,故B 错误;对于选项C:可得k=3,kAB=3,则AB:y=3x,由双曲线方程可得
a=1,b=3,则AB:y=3x 为双曲线的渐近线,所以直线AB 与双曲线没有交点,故C 错误;对于选项D:k=4,kAB=9
4 ,则AB:y=9
4 x-7
4 ,联
立方程{
y = 9
4 x - 7
4 ,
x
2- y
2
9 =1,
消去y 得63x2+126x-193=0,此时Δ=1262+4×63×193>0,故直线AB 与双曲线有两个交点,故D 正确.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6 分,部分选对
的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025·河南模拟)坐位体前屈(Sit And Reach)是一种体育锻炼项目,也是大中小学体质健康测试项目.已知某地区进行体育
达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩ξ(单位:cm)服从正态分布N(20,σ2),且P(ξ≥22)=0.1,现从该地区高三女生中随
机抽取3 人,记ξ 不在区间(18,22)的人数为X,则(BC)
A.P(18<ξ<22)=0.9
B.E(3X+2)=3.8
C.D(√5X)=2.4
D.P(X≥1)=0.476
解析　对于A,由ξ~N(20,σ2),得P(ξ≤18)=P(ξ≥22)=0.1,则P(18<ξ<22)=1-0.1-0.1=0.8,A 错误;对于B,由A 知,ξ 不在区间(18,22)的
概率为0.2,X~B(3,0.2),E(X)=0.6,因此E(3X+2)=3E(X)+2=3.8,B 正确;对于C,由B 知,D(X)=3×0.2×0.8=0.48,因此D(√5
X)=5D(X)=2.4,C 正确;对于D,P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.83=0.488,D 错误.
10.(2025·哈尔滨模拟)函数f(x)=2sin(ωx + π
3)(|ω|≤1)的图象如图所示,则下列说法中正确的是(AC)
A.ω=1
B.函数f(x)的图象关于点(
π
3 ,0)对称
C.将y=f(x)向左平移π
3
个单位长度,得到函数g(x)=2cos(x + π
6)
D.若方程f(2x)=m 在[0, π
2]上有2 个不相等的实数根,则m 的取值范围是[√3,2]
解析　观察可得函数f(x)的图象过点(
π
6 ,2),所以2sin(
π
6 ω+ π
3)=2,所以π
6
ω+π
3
=2kπ+π
2
,k∈Z,所以ω=12k+1,k∈Z,又|ω|≤1,
所以ω=1,A 正确;所以f(x)=2sin(x + π
3),因为x=π
3
时,x+π
3
=2π
3
,所以点(
π
3 ,0)不是函数f(x)的图象的对称中心,B 错误;函数
y=f(x)向左平移π
3
个单位长度,可得函数y=2sin(x + 2π
3 )的图象,又y=2sin(x + 2π
3 )=2sin(x + π
6 + π
2)=2cos(x + π
6),所以
C 正确;因为f(2x)=2sin(2 x + π
3),由0≤x≤π
2
可得,π
3
≤2x+π
3
≤4 π
3
,令t=2x+π
3
,由已知可得2sin t=m 在[
π
3 , 4 π
3 ]上有2 个不相
等的实数根,因为函数y=2sin t 在[
π
3 , π
2]上单调递增,在[
π
2 , 4 π
3 ]上单调递减,且t=π
3 时,y=2sinπ
3 =√3,t=π
2 时,y=2sinπ
2 =2,t=
4 π
3
时,y=2sin4 π
3
=-√3,所以√3≤m<2,D 错误.
11.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”.如图,
曲线C:( x
2+ y
2)
2=a(x2-y2)是双纽线,关于曲线C,下列说法正确的是(ACD)
A.a=9
B.C 上存在点(x0,y0),使得√x0
2+ y0
2>3
C.C 上的点的纵坐标的最大值为3√2
4
D.若直线y=kx 与C 恰有一个公共点,则k 的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)
解析　由题图可知,点(3,0)在C 上,所以a=9,A 正确.设曲线C 上任一点P(x,y),由( x
2+ y
2)
2=9(x2-y2),可得0<x2+y2=9( x
2- y
2)
x
2+ y
2
≤9,√x
2+ y
2≤3,即C 上不存在点(x0,y0),使得√x0
2+ y0
2>3,B 不正确.方程( x
2+ y
2)
2=9(x2-y2)可化为x4+(2y2-9)x2+y2(y2+9)=0,令
t=x2,得t2+(2y2-9)t+y2(y2+9)=0,由{
Δ=(2 y
2-9)
2- 4 y
2( y
2+9)=-9(8 y
2-9)≥0,
t1+t2=-(2 y
2-9)≥0,
t1t2= y
2( y
2+9)≥0,
可得0≤y2≤9
8
,即-3√2
4
≤y≤3√2
4
,等号成
立,故C 上的点的纵坐标的最大值为3√2
4
,C 正确.直线y=kx 与C 均经过原点(0,0),则直线y=kx 与C 除原点外无其他公共点.
联立方程组{
( x
2+ y
2)
2=9( x
2- y
2),
y =kx ,
整理得x4(1+k2)2-9x2(1-k2)=0.当1-k2=0 时,方程x4=0 仅有一解x=0,满足题意,当1-k2≠0 时,
当x=0 时,方程恒成立,即恒有一解,当x≠0 时,方程化简得x2=9(1-k
2)
(1+k
2)
2 ,即当1-k2<0 时,方程无解,满足题意,综上,1-k2≤0,解得
k≥1 或k≤-1,D 正确.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2025·内江一模)若函数f(x)=mcos x
1+e
x
-cos x 为奇函数,则实数m 的值为 2   .
解析　函数f(x)=mcos x
1+e
x
-cos x 为定义在R 上的奇函数,所以f(0)=mcos 0
1+e
0
-cos 0=m
2 -1=0,所以m=2.
13.(2025·福建模拟)若曲线y=ln x 在x=1 处的切线也是曲线y=x2+3x-2+a 的切线,则实数a= 2 .
解析　令y=f(x)=ln x,则f(1)=0,故切点为(1,0),设切线斜率为k,而f'(x)=1
x ,则k=f'(1)=1,则曲线在x=1 处的切线方程为y=x-1,由
题意得曲线y=ln x 在x=1 处的切线也是曲线y=x2+3x-2+a 的切线,联立方程组{
y = x -1,
y = x
2+3 x -2+a,
得到x2+2x-1+a=0,则Δ=4-
4(a-1)=0,解得a=2.
14.若函数y=f(x)满足:对任意的正实数m,n,有f(m+n)>f(m)+f(n)恒成立,则称函数y=f(x)为“Γ 函数”.若函数f(x)=ln(x+1)+ax2是
“Γ 函数”,则实数a 的取值范围是 [
1
2 ,+∞) .
解析　由题可知,∀m,n∈(0,+∞),有ln(m+n+1)+a(m+n)2>ln(m+1)+am2+ln(n+1)+an2恒成立,即2amn+ln(m+n+1)-ln(m+1)-
ln(n+1)>0 恒成立.令φ(x)=2anx+ln(x+n+1)-ln(x+1)-ln(n+1),x≥0,n>0.所以φ'(x)=2an+
1
x +n+1- 1
x +1,令h(x)=φ'(x),所以h'(x)=-
1
( x +n+1)
2+
1
( x +1)
2>0,所以φ'(x)在区间[0,+∞)上单调递增.①当a≥1
2
时,φ'(x)≥n+
1
x +n+1
- 1
x +1
=n
[1-
1
( x +1)( x +n+1)]>0 恒成立,故φ(x)在区间[0,+∞)上单调递增.因为m>0,所以φ(m)>φ(0)=0 成立,符合题意;②当a≤0 时,
φ'(x)<0 恒成立,所以φ(x)在区间[0,+∞)上单调递减.因为m>0,所以φ(m)<φ(0)=0,与题意矛盾;③当0<a<1
2时,φ'(0)=2an- n
n+1
=n·(2a-
1
n+1),当n∈(0, 1
2a -1)时,φ'(0)<0.又φ'(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且φ'(
1
2a -1)=2an[
1-
1
1
2a +n]
>2an(1-
2a)>0,所以∃x0∈(0, 1
2a -1),使得φ'(x0)=0,当x∈[0,x0)时,φ'(x)<0,φ(x)在区间[0,x0)上单调递减.所以∃m∈(0,x0)时,使得φ(m)<φ(0)=0,
矛盾.综上所述,a≥1
2.
小题标准测2　“ 8+3+3”　73 分测
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2025·天津高考)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则∁U(A∪B)=(D)
A.{1,2,3,4}
B.{2,3,4}
C.{2,4}
D.{4}
解析　由题可得A∪B={1,2,3,5},所以∁U(A∪B)={4},故选D.
2.(2025·全国一卷)(1+5i)i 的虚部为(C)
A.-1
B.0
C.1
D.6
解析　(1+5i)i=-5+i,其虚部为1.故选C.
3.(2025·佳木斯模拟)在等比数列{an}中,记其前n 项和为Sn,已知a3=-a2+2a1,则S8
S4
的值为(D)
A.2
B.17
C.2 或8 D.2 或17
解析　由等比数列的通项公式可得a1q2=-a1q+2a1,整理得q2+q-2=0,解得q=1 或q=-2.当q=1 时,S8
S4
=8a1
4 a1
=2;当q=-2 时, S8
S4
=
a1(q
8-1)
q -1
a1(q
4-1)
q -1
=q
8-1
q
4-1
=q4+1=17.所以S8
S4
的值为2 或17.
4.(2025·齐鲁名校一模)设甲:曲线
x
2
co s
2θ
+
y
2
sin
2θ
=1 表示焦点在x 轴上的椭圆,乙:2θ 是第一或第四象限角,则(C)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析　由条件可知,若甲正确,则cos2θ>sin2θ>0,即cos2θ-sin2θ>0,cos 2θ>0,且sin2θ>0,得2θ 是第一或第四象限角,即甲是乙的
充分条件;反过来,若2θ 是第一或第四象限角,则cos 2θ=cos2θ-sin2θ>0,即cos2θ>sin2θ,此时sin θ≠0,即sin2θ>0,所以
cos2θ>sin2θ>0,则甲也是乙的必要条件.所以甲是乙的充要条件.故选C.
5.(2025·郑州二模)函数f(x)=2sin(2 x + π
6)与函数g(x)=log2x 的图象交点个数为(A)
A.3
B.5
C.6
D.7
解析　通过五点法(
π
6 ,2),(
5 π
12 ,0),(
2π
3 ,-2),(
11π
12 ,0),(
7 π
6 ,2)作出周期函数f(x)的图象,再通过两点法(1,0),(4,2)作
出单调函数g(x)=log2x 的图象,图象如图所示.因为4∈(
7 π
6 , 17 π
12 ),所以通过图象可判断它们有3 个交点.
6.曲线f(x)=ln x 在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(A)
A.1
2
B.1
C.e
2
D.e
解析　由f(x)=ln x,求导得f'(x)=1
x ,则f'(1)=1,而f(1)=0,因此曲线f(x)=ln x 在点(1,f(1))处的切线为y-0=x-1,该切线交x 轴于点
(1,0),交y 轴于点(0,-1),所以该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S=1
2×1×1=1
2.
7.蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的.若不计蜂巢壁的厚度,蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图,如图所
示.设P 为图中7 个正六边形(边长为4)的某一个顶点,A,B 为两个固定顶点,则⃗PA·⃗PB的最大值为(B)
A.44
B.48
C.72
D.76
解析　建立如图所示的平面直角坐标系,设点P(x,y),正六边形的边长为4,所以A(-8,0),B(8,0),所以⃗PA=(-8-x,-y),⃗PB=(8-x,-y),所
以⃗PA·⃗PB=-(8+x)(8-x)+y2=x2+y2-64,设点P(x,y)到原点的距离为d,则⃗PA·⃗PB的最大值为dmax
2
-64,由图可知,离原点距离最远的
正六边形顶点为最外围的顶点,如图,可取P(8,4√3),所以dmax
2
-64=|OP|2-64=64+48-64=48,即⃗PA·⃗PB的最大值为48.
8.(2025·葫芦岛模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)>f(x)+f(x-1),且当x<4 时,f(x)=x2,则下列结论一定正确的是(C)
A.f(8)>100
B. f(8)<100
C. f(16)>1 000
D. f(16)<10 000
解析　因为当x<4 时,f(x)=x2,所以f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,又因为f(x+1)>f(x)+f(x-1),所以
f(4)>f(3)+f(2)=13,f(5)>f(4)+f(3)>22,f(6)>f(5)+f(4)>35,f(7)>f(6)+f(5)>57,f(8)>f(7)+f(6)>92,f(9)>f(8)+f(7)>149,f(10)>f(9)+f(8)>241,f(11
)>f(10)+f(9)>390,f(12)>f(11)+f(10)>631,f(13)>f(12)+f(11)>1 021,f(14)>f(13)+f(12)>1 652,f(15)>f(14)+f(13)>2 
673,f(16)>f(15)+f(14)>4 325,故C 正确,A 错误,且无证据表明BD 正确.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6 分,部分选对
的得部分分,有选错的得0 分.
9.有一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数、中位数、方差、极差分别记为a1,b1,c1,d1,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中
yi=kxi+2 025(i=1,2,…,n),其平均数、中位数、方差、极差分别记为a2,b2,c2,d2,则
(ABC)
A.a2=ka1+2 025
B.b2=kb1+2 025
C.c2=k2c1
D.d2=kd1
解析　对于A 选项,由平均数的性质可得a2=ka1+2 025,A 对;对于B 选项,不妨设x1≤x2≤…≤xn,若n 为奇数,设n=2m+1(m∈N),则
数据x1,x2,…,x2m+1的中位数为xm+1,若k>0,新样本数据由小到大依次为y1,y2,…,y2m+1,这组数据的中位数为b2=ym+1=kxm+1+2 
025=kb1+2 025;当k≤0,新样本数据由小到大依次为y2m+1,y2m,…,y1,这组数据的中位数为b2=ym+1=kxm+1+2 025=kb1+2 025;若n 为
偶数,同理可知,b2=kb1+2 025,B 对;对于C 选项,由方差的性质可得c2=k2c1,C 对;对于D 选项,若xi,xj(1≤i,j≤n)是x1,x2,…,xn中的最
大值、最小值,当k>0 时,则yi=kxi+2 025 为y1,y2,…,yn中的最大值,yj=kxj+2 025 为y1,y2,…,yn中的最小值,此时,d2=yi-yj=k(xi-
xj)=kd1;当k≤0 时,则yi=kxi+2 025 为y1,y2,…,yn中的最小值,yj=kxj+2 025 为y1,y2,…,yn中的最大值, 此时,d2=yj-yi=-k(xi-xj)=-kd1,D 错.
10.(2025·河南四市二模)塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有tanh(x)=e
x -e
- x
e
x+e
- x
,sig(x)= e
x
1+e
x ,设tanh(x)的值域为D,sig(x)的值域为E,则下列结论正确的是
(ABD)
A.E⊆D
B. ∑
i=1
2 025
❑[sig(i)+sig(-i)]=2 025
C.方程2sig(x)=1+tan x 的所有实根之和为1
D.若关于x 的不等式sig(ex+e-x)+sig(-m2+2m+1)>1 恒成立,则实数m 的取值范围为(-1,3)
解析　对于A,因为tanh(x)=e
x(e
x -e
- x)
e
x(e
x+e
- x)
=e
2 x -1
e
2 x+1
=1-
2
e
2 x+1
,所以tanh(x)在R 上为增函数,且tanh(x)的值域为(-1,1)=D,又
sig(x)= e
x
1+e
x =
1
1+e
- x ∈(0,1)=E,所以E⊆D,故A 正确;对于B,因为sig(x)+sig(-x)= e
x
1+e
x + e
- x
1+e
- x = e
x
1+e
x +
1
1+e
x =1,所以
∑
i=1
2 025
❑[sig(i)+sig(-i)]=2 025,故B 正确;对于C,因为2sig(x)=1+tan x,所以sig(x)=1
2+1
2tan x,由B 知sig(x)的图象关于点(0, 1
2)
对称,又y=1
2+1
2tan x 的图象也关于点(0, 1
2)对称,所以两函数图象的交点也关于点(0, 1
2)对称,则方程2sig(x)=1+tan x 的所
有实根之和为0,故C 错误;对于D,易知sig(x)为增函数,又sig(x)+sig(-x)=1,由题得sig(ex+e-x)>1-sig(-m2+2m+1)=sig(m2-2m-1),即
ex+e-x>m2-2m-1,而ex+e-x≥2√e
x·e
- x=2,当且仅当x=0 时等号成立,所以m2-2m-1<2,解得-1<m<3,综上,实数m 的取值范围是
(-1,3),故D 正确.
11.如图,是某同学发现的一种曲线,因形如小恐龙,因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线C:x2+y3-axy=20,下列说法正确的
是
(ABC)
A.曲线C 与直线x=8 最多存在3 个交点
B.若曲线C 如图所示(x 轴向右为正方向,y 轴向上为正方向),则a>0
C.存在a,使得曲线C 是偶函数的图象
D.当a=3 时,曲线C 中x≥8 的部分可以表示为y 关于x 的某一函数
解析　对于A,曲线C:x2+y3-axy=20,令x=8,得关于y 的一元三次方程y3-8ay+44=0,令f(y)=y3-8ay+44,则f'(y)=3y2-8a,所以方程
f'(y)=0 最多有两个实根,即函数f(y)最多有两个极值点,即方程y3-8ay+44=0 最多有三个实根,因此曲线C 与直线x=8 最多存在
3 个交点,故A 正确;对于B,若曲线C 如题图所示,则存在x0>0,使得直线x=x0与曲线C 有三个交点,即存在x0>0,使得关于y 的
方程y3-ax0y+x0
2-20=0 有三个实根.令f(y)=y3-ax0y+x0
2-20,则f'(y)=3y2-ax0.假设a≤0,则∀x0>0 都有f'(y)≥0 且等号不恒成立,即f(y)
单调递增,则方程y3-ax0y+x0
2-20=0 在(0,+∞)上最多有一个实根,与题图矛盾,假设错误.故a>0,故B 正确;对于C,当a=0 时,曲线
C:x2+y3=20,即为函数y=3√20- x
2的图象,设f(x)=3√20- x
2,x∈R,定义域关于原点对称,且f(-x)=3√20-(- x)
2=3√20- x
2=f(x),所
以f(x)是偶函数,故存在a,使得曲线C 是偶函数的图象,故C 正确;对于D,当a=3 时,曲线C 的方程为x2+y3-3xy-20=0.令x=8,得
y3-24y+44=0,令f(y)=y3-24y+44,则f(0)=44>0,f(3)=-1<0,f(4)=12>0,由零点存在定理可知,方程f(y)=0 至少有两个实根,则x=8 对应
的y 值不唯一,不符合函数的定义,故D 错误.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.已知α,β 满足tan α
tan β
=5,sin(α-β)=1
5
,则sin(α+β)=  3
10
 .
解析　因为tan α
tan β = sin α
cos α ×cos β
sin β =5,所以sin αcos β=5cos αsin β,又因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=4cos αsin β=1
5,
所以cos αsin β= 1
20,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=6cos αsin β=6× 1
20= 3
10.
13.(2025·呼和浩特一模)边长为2 的正方形,经如图所示的方式裁剪后,可以围成一个正四棱锥,若内部小正方形的边长为1
2,
则此正四棱锥的体积为 √2
24 .
解析　如图①,设底面ABCD 的中心为O,设线段AD 的中点为E,连接PE,OE,因为PA=PD,则PE⊥AD,因为O 为BD 的中点,
则OE∥AB,OE=1
2AB=1
4 ,且AB⊥AD,所以OE⊥AD,翻折前,则P,O,E 三点共线,则PE+OE=PE+1
4 =1,可得PE=3
4 ,翻折后,在正四
棱锥P ABCD
⁃
中,如图②所示,由正四棱锥的几何性质可得PO⊥平面ABCD,因为OE⊂平面ABCD,所以PO⊥OE,由勾股定理
可得PO=√P E
2-O E
2=√(
3
4)
2
-(
1
4)
2
=√2
2
,正方形ABCD 的面积为S=(
1
2)
2
=1
4 ,因此,正四棱锥P ABCD
⁃
的体积为VP ABCD
⁃
=
1
3
S·PO=1
3
×1
4
×√2
2
=√2
24
.
　
14.(2025·临汾模拟)已知双曲线E: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左焦点为F,过点F 且倾斜角为45°的直线与E 的左支交于A,B 两点,
M 为线段AB 的中点,若|MF|=4√2|OF|(O 为坐标原点),则双曲线E 的离心率是 3√5
5
 .
解析　设双曲线E 的半焦距为c,则F(-c,0),直线AB 方程为y=x+c,由{
y = x +c ,
b
2 x
2-a
2 y
2=a
2b
2,
消去y 得(a2-
b2)x2+2a2cx+a2(c2+b2)=0,且{
a
2-b
2>0,
Δ=8a
2b
4>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- 2a
2c
a
2-b
2,y1+y2=x1+x2+2c=- 2b
2c
a
2-b
2,于是点M
(- a
2c
a
2-b
2 ,- b
2c
a
2-b
2),|MF|=√(c - a
2c
a
2-b
2)
2
+(- b
2c
a
2-b
2)
2
=√2b
2c
a
2-b
2 =4√2c,解得b
2
a
2=4
5
,所以双曲线E 的离心率e=√
1+ b
2
a
2
=3√5
5
.
小题标准测3　“ 8+3+3”　73 分测
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z= 2i
2-i (i 为虚数单位),则|z|=(B)
A.√5
B.2√5
5
C.√5
5
D.2
3
解析　因为z= 2i
2-i =
2i(2+i)
(2-i)(2+i)=4i-2
5
=-2
5+4
5 i,所以|z|=|- 2
5 + 4
5 i|=√(- 2
5)
2
+(
4
5)
2
=2√5
5
.
2.已知集合A={x|0<x<3},集合B={x|0<log2x<2},则A∩B=(A)
A.{x|1<x<3}
B.{x|0<x<4}
C.{x|0<x<3}
D.{x|1<x<4}
解析　由0<log2x<2,得1<x<4,所以B={x|1<x<4},又A={x|0<x<3},所以A∩B={x|1<x<3}.
3.已知向量a,b 满足a·(a-2b)=0,则b 在a 上的投影向量为(B)
A.2a
B.1
2
a
C.√2a
D.2√2a
解析　因为a·(a-2b)=0,所以a2-2a·b=0,所以a2=2a·b,从而b 在a 上的投影向量为|b|cos θ· a
|a|=b·a
|a| · a
|a|= b·a
|a |
2·a=1
2
a.
4.已知椭圆C: x
2
a
2+y2=1 的右顶点与抛物线y2=8x 的焦点重合,则C 的离心率为(D)
A.1
2
B.3
4
C.√3
4
D.√3
2
解析　由题意得y2=8x 的焦点为(2,0),则a=2,而b=1,得到c=√3,即方程为x
2
4
+y2=1,则离心率为√3
2
.
5.(2025·山东聊城二模)各项均为正数的等比数列{an}的前5 项和为31
2 ,且3a3+4a1=a5,则a3=(A)
A.2
B.4
C.8
D.16
解析　设等比数列的首项为a1,公比为q(q>0),根据题意3a1q2+4a1=a1q4即q4-3q2-4=0,解得q=2(q2=-1 舍),而S5=a1q
5-1
q -1
=31
2 ,
故a1=1
2,所以a3=a1q2=1
2×22=1
2×4=2.
6.(2025·安徽模拟)如图,这是一朵美丽的几何花,且这八片花瓣的顶端A,B,C,D,E,F,G,H 恰好可以围成一个正八边形,设
∠ACG=α,∠EBH=β,则tan(α+β)=(D)
A.-3
B.-2√2
C.-2√2+1
D.-√2-1
解析　如图,连接AE,BF,CG,DH,AC,BE,BH,设线段AE 与CG 的交点为O,线段BH 与线段AE 的交点为M,因为
∠COB=∠AOB=π
4 ,所以∠AOC=π
2 ,又OC=OA,所以∠ACG=∠ACO=π
4 ,设OA=a,则OB=OE=a,所以OM=MB=√2
2
a,所以tan 
∠EBH=tan ∠EBM=
a+ √2
2 a
√2
2 a
=2+√2
√2
=√2+1,所以tan α=1,tan β=√2+1,所以tan(α+β)= tan α + tan β
1- tan αtan β
= 1+√2+1
1-(√2+1)
=-√2
-1.
7.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 作直线交抛物线于A,B 两点,若|AF|=3|BF|,AB 的中点到y 轴的距离为5
2
,则p 的值为(B)
A.2
B.3
C.4
D.5
解析　抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(
p
2 ,0),准线l:x=- p
2 ,准线交x 轴于点K,由对称性,不妨令点A 在第一象限,过点A,B 分别
作AD⊥l,BE⊥l,垂足分别为D,E,过点B 作BG⊥AD 于点G,交FK 于点H,令|BE|=|BF|=n,则|AD|=|AF|=3n,|FK|=p,|AG|=2n,|FH|=p-
n,由FH∥AG,得| FH |
| AG| =|BF |
| AB| ,即p-n
2n = n
4 n ,则p=3n
2 ,设线段AB 的中点为M,过点M 作MN⊥l 于点N,则|MN|=
| AD|+|BE|
2
=2n=4 p
3
,由AB 的中点到y 轴的距离为5
2
,得|MN|= p
2
+5
2
,因此4 p
3
= p
2
+5
2
,所以p=3.
8.(2025·江苏模拟)已知函数f(x)=e-x(ln a+ln x),若存在x>0,使得f(x)>1
a ,则实数a 的取值范围是(D)
A.(0, 1
e)
B.(
1
e ,+ ∞)
C.(0,√e)D.(e,+∞)
解析　由题意可知,a>0,x>0,由f(x)=e-x(ln a+ln x)>1
a ,可得ln a+ln x>e
x
a
=ex-ln a,可得x+ln x>ex-ln a+x-ln a=ex-ln a+ln ex-ln a,令g(x)=x+ln 
x,其中x>0,则g'(x)=1+1
x >0,所以,函数g(x)在(0,+∞)上为增函数,由x+ln x>ex-ln a+ln ex-ln a可得g(x)>g(ex-ln a),则x>ex-ln a=e
x
a
,可得a>
e
x
x
,令h(x)=e
x
x
,其中x>0,则h'(x)=e
x( x -1)
x
2
,当0<x<1 时,h'(x)<0,即函数h(x)在(0,1)上递减,当x>1 时,h'(x)>0,即函数h(x)在
(1,+∞)上递增,所以,a>h(x)min=h(1)=e,即实数a 的取值范围是(e,+∞).
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6 分,部分选对
的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025·浙江模拟)已知函数f(x)=sin(
π
4 + x),g(x)=2f(x)f(-x)f(x + π
4),则下列说法正确的有
(ABD)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.g(x)是偶函数
C.g(x)在区间(0, π
2)上单调递减
D.g(x)在[0, π
2]上的值域为[- √6
9 ,1]
解析　因为f(x)=sin(
π
4 + x),所以函数f(x)的最小正周期T=2π
1
=2π,A 正确;因为g(x)=2f(x)f(-x)f(x + π
4),所以g(x)=2sin
(
π
4 + x)·sin(
π
4 - x)sin(
π
4 + x + π
4)=2cos(
π
4 - x)·sin(
π
4 - x)cos x=sin(
π
2 -2 x)cos x=cos 2xcos x,函数g(x)的定义域为
R,定义域关于原点对称,g(-x)=cos(-2x)cos(-x)=cos 2xcos x=g(x),所以函数g(x)是偶函数,B 正确,g'(x)=-2sin 2xcos x-sin xcos 2x=-
sin x(4cos2x+cos 2x)=-sin x(6cos2x-1),当0<x<π
2 时, 令g'(x)=0,可得cos x=√6
6
,设方程cos x=√6
6
的解为θ0,即cos θ0=√6
6
,0<θ0<
π
2 ,当0<x<θ0时,此时sin x>0,6cos2x-1>0,所以g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,θ0)上单调递减,当θ0<x<π
2 时,此时sin x>0,6cos2x-1<0,
所以g'(x)>0,所以函数g(x)在(θ0, π
2)上单调递增,C 错误;因为函数g(x)在(0,θ0)上单调递减,在(θ0, π
2)上单调递增,其中cos 
θ0=√6
6
,0<θ0<π
2
,又g(0)=cos 0·cos 0=1,g(
π
2)=cos π·cosπ
2
=0,g(θ0)=cos 2θ0·cos θ0=(2cos2θ0-1)cos θ0=(2× 1
6 -1)×√6
6
=-√6
9
,
所以函数g(x)在[0, π
2]上的值域为[- √6
9 ,1],D 正确.
10.(2025·黄山模拟)设函数f(x)=x3-3ax+3,则(BC)
A.存在a∈R,使函数f(x)仅有一个极值点
B.曲线f(x)关于点(0,3)对称
C.当a=1 时,9x-y-13=0 是曲线f(x)的切线方程
D.当a>1 时,函数f(x)有唯一零点
解析　对于A,由题意可得f'(x)=3x2-3a,当a≤0 时,f'(x)≥0 恒成立,函数f(x)在R 上单调递增,无极值点,当a>0 时,令f'(x)=0,即3x2-
3a=0,解得x=±√a,此时函数有两个极值点,所以不存在a∈R,使函数f(x)仅有一个极值点,故A 错误;对于B,设(x,y)是f(x)图象上
任意一点,则y=x3-3ax+3,点(x,y)关于点(0,3)对称的点为(-x,6-y),将-x 代入函数方程可得f(-x)=(-x)3-3a(-x)+3=-x3+3ax+3,而6-y=6-
(x3-3ax+3)=-x3+3ax+3,所以曲线f(x)关于点(0,3)对称,故B 正确;对于C,当a=1 时,f(x)=x3-3x+3,f'(x)=3x2-3,若9x-y-13=0 是切线方
程,则其斜率为9,令f'(x)=3x2-3=9,解得x=±2,当x=2 时,f(2)=23-3×2+3=5,切线方程为y-5=9(x-2),化简可得9x-y-13=0;当x=-2 时,
f(-2)=(-2)3-3×(-2)+3=1,切线方程为y-1=9(x+2),化简可得9x-y+19=0;所以9x-y-13=0 是曲线f(x)的切线方程,故C 正确;对于D,由
f'(x)=3x2-3a,当a>1 时,令f'(x)=0,可得x=±√a,当x<-√a或x>√a时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当-√a<x<√a时,f'(x)<0,函数f(x)单
调递减;f(-√a)=(-√a)
3-3a(-√a)+3=-a√a+3a√a+3=2a√a+3>0,f(√a)=(√a)
3-3a√a+3=3-2a√a=3-2a
3
2.令3-2a
3
2<0,得a>
(
3
2)
2
3≈1.31,所以a>(
3
2)
2
3时,f(√a)<0.当x→+∞时,f(x)→+∞,当x→-∞时,f(x)→-∞,所以当a>(
3
2)
2
3时,函数f(x)在(-∞,-√a),(-√a,
√a),(√a,+∞)上各有一个零点,即函数有三个零点,故D 错误.
11.(2025·安徽模拟)已知△ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=2,E,F 分别在线段BA,CA 上,且⃗BE=λ⃗BA,⃗CF=λ⃗CA(λ∈(0,1)).现将△AEF
沿EF 折起,使二面角A EF C
⁃
⁃
的大小为α(α∈(0,π)).以下命题正确的是
(ACD)
A.若λ=1
2,α=π
3 ,则点F 到平面ABC 的距离为√3
2
B.存在λ 使得四棱锥A BCFE
⁃
有外接球
C.若λ=1
3 ,则三棱锥F AEB
⁃
体积的最大值为16
81
D.若α=π
2 ,三棱锥A BEF
⁃
的外接球的半径取得最小值时,λ=2
3
解析　⃗BE=λ⃗BA,⃗CF=λ⃗CA(λ∈(0,1)),易知EF∥BC,折叠后的图形中,EF⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.故点F
到平面ABC 的距离即为点E 到平面ABC 的距离.因为AB⊥BC,所以AB⊥EF,所以EF⊥BE,EF⊥AE,所以∠BEA 为二面角
A EF C
⁃
⁃
的平面角,又AE,BE 为平面ABE 内两条相交直线,所以EF⊥平面ABE,所以BC⊥平面ABE,又BC 在平面ABC 内,所以
平面ABC⊥平面ABE,所以点E 到平面ABC 的距离即为点E 到AB 的距离,A 选项:λ=1
2,α=π
3 ,即BE=AE=1,∠BEA=π
3 ,所以三
角形ABE 为等边三角形,可得点E 到AB 的距离为1×sin 60°=√3
2
,故A 正确;B 选项:由于直角梯形EFCB 不可能共圆,所以四
棱锥A BCFE
⁃
无外接球,所以B 错误;C 选项:设BE=2λ,则AE=2-2λ,EF=2-2λ,∠AEB=α,VF AEB
⁃
=1
3S△ABE·EF=1
6 AE·BE·sin 
∠AEB·EF=1
6
×2λ(2-2λ)(2-2λ)sin ∠AEB,由基本不等式可知:4λ(2-2λ)(2-2λ)≤(
4 λ+2-2 λ+2-2 λ
3
)
3
=64
27
,当且仅当4λ=2-
2λ=2-2λ,即λ=1
3 时取得最大值,所以VF AEB
⁃
=1
6 ×2λ(2-2λ)(2-2λ)sin ∠AEB≤16
81sin ∠AEB,所以当λ=1
3 ,∠AEB=α=π
2 时,体积取到最
大值16
81,故C 正确;D 选项:由题意可知BE=2λ,AE=2-2λ,EF=2-2λ,α=π
2 ,也即EF,EB,EA 两两垂直,可以依此构造长方体,长方体
的体对角线即为外接球的直径,设外接球半径为r,则(2r)2=4λ2+2(2-2λ)2=12λ2-16λ+8,λ∈(0,1),所以λ=2
3时,2r 取得最小值2√6
3
,
此时rmin=√6
3
,所以D 正确.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.已知等差数列{an}的首项a1=-3,公差d=2,则该数列的前6 项和为 12 
  .
解析　该数列的前6 项和为6×(-3)+6×5
2
×2=12.
13.(2025·天津高考)若a,b∈R,∀x∈[-2,2],均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0 恒成立,则2a+b 的最小值为 -4 
  .
解析　令t=2a+b,则b=t-2a,所以tx2+(t-2a)x-a-1≤0 在[-2,2]上恒成立,即t·(x2+x)≤2ax+a+1 在[-2,2]上恒成立,所以∀x∈[-2,2],函数
y=t(x2+x)的图象总在直线y=2ax+a+1 的下方或与直线相切.函数y=t(x2+x)的图象过点(-1,0)和点(0,0),直线
y=2ax+a+1=a(2x+1)+1 过定点A(- 1
2 ,1).当t=-1 时,如图①,二次函数y=t(x2+x)=-(x2+x)图象的顶点坐标为(- 1
2 , 1
4),存在
a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1 恒成立.当t∈(-1,0)时,随着t 逐渐增大,总存在a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1 恒成立.当
t∈(-∞,-1)时,若t 逐渐减小,如图②,取临界位置,即二次函数图象与直线相切时,二次函数y=t(x2+x)的图象过点(- 1
2 ,1),此时
t=-4,存在a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1 恒成立;若t 继续减小,如图③,则定点(- 1
2 ,1)在二次函数图象开口的内部,则不
存在a,∀x∈[-2,2],使得t(x2+x)≤2ax+a+1 恒成立.综上,tmin=(2a+b)min=-4.
①　
②　
③
14.如图,已知圆C 的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,且P 是直线l:x+2y+2=0 上的一个动点,过点P 作圆C 的两条切线PA,PB,切点分别
为A,B,则线段AB 长度的最小值为 2√30
5
 .
解析　显然P,A,C,B 四点共圆,且PC 为该圆的一条直径.设这四点所在圆的圆心为Q,而P 在直线l:x+2y+2=0 上,设P(-2t-2,t),
由C(1,1),可知Q(- 2t +1
2
, t +1
2 ),又|QC|2=(
2t +3
2 )
2
+(
1-t
2 )
2
,则圆Q 的方程为(x + 2t +1
2 )
2
+( y - t +1
2 )
2
=(
2t +3
2 )
2
+
(
1-t
2 )
2
,即x2+y2+(2t+1)x-(t+1)y-t-2=0　①,又圆C 的半径r=√2,圆C 的方程可化为x2+y2-2x-2y=0　②,由①-②可得圆C 与圆
Q 的公共弦AB 所在直线的方程为(2t+3)x+(1-t)y-t-2=0,点C 到直线AB 的距离d=
2
√(2 t +3)
2+(1-t )
2=
2
√5t
2+10t +10
,所
以|AB|=2√r
2-d
2=2√
2-
4
5t
2+10t +10
=2√2√
1-
2
5t
2+10t +10
=2√2√
1-
2
5(t +1)
2+5
,所以当t=-1 时,线段AB 的长度
取得最小值2√30
5
.
小题标准测4　“ 8+3+3”　73 分测
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2025·全国二卷)已知z=1+i,则1
z -1=(A)
A.-i
B.i
C.-1
D.1
解析　1
z -1=1
i =-i.故选A.
2.(2025·天津高考)设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(A)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析　由x=0 得sin 2x=0,所以充分性成立;由sin 2x=0 得x=kπ
2 (k∈Z),所以必要性不成立.故“x=0”是“sin 2x=0”的充分不
必要条件.故选A.
3.(2025·湖北一模)集合A={ω>0|函数y =sin(ωx + π
6)的最小正周期不小于π
2},B={x|y=√lo g2( x -1)-1},则
A∩B=(A)
A.[3,4]
B.[4,+∞)
C.[3,4)
D.(3,4]
解析　依题意,{
2π
ω ≥π
2 ,
ω>0,
解得0<ω≤4,则集合A=(0,4];log2(x-1)-1≥0,解得x≥3,则集合B=[3,+∞),所以A∩B=[3,4].
4.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)间的关系为P=P0e-kt,其中
P0,k 是正的常数,如果前10 h 消除了50%的污染物,那么从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历(A)
A.10 h
B.4 h
C.40 h
D.8 h
解析　由题意可知:当t=0 时,P=P0,当t=10 时,P=50%P0,所以0.5P0=P0e-10k,即0.5=e-10k,即k=ln 2
10
,设消除60%的污染物对应时
间为t1,即0.4P0=P0e
-k t1,设消除80%的污染物对应时间为t2,即0.2P0=P0e
-k t2,两式相除可得:2=e
-k(t1-t2),即ln 2=-k(t1-t2),所以
t2-t1=10,即从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历10h.
5.(2025·荆州模拟)已知cos(θ+ π
4)=-√10
10
,θ∈(0, π
2),则sin(2θ - π
3)=(A)
A.4+3√3
10
B.3+ 4√3
10
C.4 -3√3
10
D.3- 4√3
10
解析　因为θ∈(0, π
2),则θ+π
4 ∈(
π
4 , 3 π
4 ),且cos(θ+ π
4)=-√10
10
,可得sin(θ+ π
4)=√
1-co s
2(θ+ π
4)=3√10
10
,则sin 
2θ=sin[2(θ+ π
4)- π
2]=-cos 2(θ+ π
4)=1-2cos2(θ+ π
4)=4
5
,cos 2θ=cos[2(θ+ π
4)- π
2]=sin 2(θ+ π
4)=2sin(θ+ π
4)cos
(θ+ π
4)=-3
5,所以sin(2θ - π
3)=1
2sin 2θ-√3
2
cos 2θ=4+3√3
10
.
6.(2025·苏州模拟)设等比数列{an}的前n 项和为Sn,且S2
2
=S6
6
=2,则a2 025=(B)
A.
1
2
2 024
B.2
C.2 025 D.22 024
解析　因为S2
2
=S6
6
=2,则S2=4,S6=12,设等比数列{an}的公比为q(q≠0),当q≠1 时,{
S2= a1(1-q
2)
1-q
= 4 ,
S6= a1(1-q
6)
1-q
=12,
整理得q4+q2-2=0,即
(q2+2)(q2-1)=0,解得q=1 或q=-1,若q=-1,S2=a1+a2=a1+a1q=0≠4,所以q≠-1;当q=1 时,{
S2=2a1= 4 ,
S6=6a1=12,解得a1=2,所以a2 025=a1q2 
024=2,综上,a2 025=2.
7.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数,且y=f(2x)的图象关于直线x=1 对称,若f(0)=-1,则∑
i=1
50
❑f(i)=(C)
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析　由f(x+1)为奇函数,知f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(1)=0,由f(0)=-1,得f(2)=-f(0)=1.由y=f(2x)的图象关于直线x=1 对称,
则f(x)的图象关于直线x=2 对称,所以f(4)=f(0)=-1,f(1)=f(3)=0,综上,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,由上f(x)+f(2-x)=0,f(2-x)=f(2+x),得f(x)=-
f(2+x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),则4 为f(x)的一个周期,所以∑
i=1
50
❑f(i)=0×12+f(1)+f(2)=1.
8.(2025·辽宁鞍山二模)如图,圆O:x2+y2=4 与x 轴交于A,B 两点,l1,l2是分别过A,B 的圆O 的切线,过圆O 上任意一点P 作圆O
的切线,分别交l1,l2于C,D 两点,记直线AD 与BC 交于点M,则点M 的轨迹方程为(B)
A.x2+y2=1(y≠0)
B. x
2
4
+y2=1(y≠0)
C.x2+y2=2(y≠0)
D. x
2
4
+ y
2
2
=1(y≠0)
解析　设点P(x0,y0),当圆心O 与切点P 所成直线的斜率不存在时,即当点P(0,±2)时,易知点C(-2,2),D(2,2),所以此时点M 为矩
形ABDC 的对角线的交点,即M(0,1);当圆心O 与切点P 所成直线的斜率存在时,则kOP= y0
x0
,因为OP⊥CD,所以切线CD 的斜
率为kCD=- 1
kOP
=- x0
y0
,又切线CD 过点P(x0,y0),所以切线CD 的方程为y-y0=- x0
y0
(x-x0),整理得x0x+y0y=x0
2+y0
2,又点P 在圆O 上,
所以x0
2+y0
2=4,故切线CD 的方程为x0x+y0y=4.易知A(-2,0),B(2,0),在切线CD 的方程中,令x=-2,则y=4+2 x0
y0
,令x=2,则y=
4 -2 x0
y0
,所以C(-2, 4 +2 x0
y0 ),D(2, 4 -2 x0
y0 ),所以直线AD 的斜率kAD=
4 -2 x0
y0
2-(-2)
=2- x0
2 y0
,直线AD 的方程为y=2- x0
2 y0
(x+2),直线BC 的斜率kBC=
4+2 x0
y0
-2-2
=2+ x0
-2 y0
,直线BC 的方程为y=2+ x0
-2 y0
(x-2),联立直线AD 和直线BC 的方程
{
y = 2- x0
2 y0
( x +2),
y = 2+ x0
-2 y0
( x -2),
解得{
x = x0,
y = y0
2 ,
所以点M(x0, y0
2 ),又x0
2+y0
2=4,所以点M 所满足的方程为x0
2
4
+y0
2=1,因为切线CD 分别
交l1,l2于C,D 两点,所以切线不能为l1,l2,即y0≠0,且直线OP 的斜率不存在时即M(0,1)也满足上述方程,所以点M 的轨迹方程
为x
2
4
+y2=1(y≠0).故选B.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6 分,部分选对
的得部分分,有选错的得0 分.
9.已知定义域为R 的函数f(x)满足∀a,b∈R,f(a+b)+f(a)f(b)=9ab,且f(- 1
3)≠0,记an=f(n),n∈N*,则下列结论正确的是
(ABC)
A.f(0)=-1
B.f(1)=2
C.{an}为等差数列
D.∑
i=1
20
❑ai=600
解析　对于A,令a=-1
3,b=0,则f(- 1
3)+f(- 1
3)f(0)=0,又f(- 1
3)≠0,所以1+f(0)=0,即f(0)=-1,A 正确.对于BC,令a=1
3,b=-1
3 ,则
f(0)+f(
1
3)f(- 1
3)=9×1
3
×(- 1
3)=-1,由f(0)=-1,f(- 1
3)≠0,可得f(
1
3)=0,令b=1
3
,则f(a+ 1
3)=3a,令m=a+1
3
,则a=m-1
3
,所以
f(m)=3(m- 1
3)=3m-1,所以f(a)=3a-1,则f(1)=2,an=f(n)=3n-1,故BC 正确.对于D,由an=3n-1,可得∑
i=1
20
❑ai=2+59
2
×20=610,故D
错误.
10.记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若c2=b(a+b),则
(BCD)
A.c<b
B.C=2B
C.B∈(0, π
3)
D.a
b
∈(0,3)
解析　对于A,因为c2=b(a+b),a+b>c>0,所以c2>bc,所以c>b,所以A 错误,对于B,因为c2=b(a+b),所以由余弦定理得cos B=
a
2+c
2-b
2
2ac
=a
2+ab
2ac
=a+b
2c =
c
2
b
2c
= c
2b ,所以由正弦定理得cos B= sin C
2sin B ,所以sin C=2sin Bcos B=sin 2B,因为
C∈(0,π),2B∈(0,2π),所以C=2B 或C+2B=π,若C+2B=π,则A=B,所以a=b,此时c2=b(a+b)=a2+b2,所以C=π
2 ,则A=B=π
4 ,此时
C=2B,所以B 正确,对于C,由选项B 可知C=2B,所以B+C=3B∈(0,π),所以B∈(0, π
3),所以C 正确,对于D,由正弦定理得a
b =
sin A
sin B
=sin(π - B -C )
sin B
=sin(B+C )
sin B
=sin Bcos C +cos Bsin C
sin B
=sin Bcos 2B+cos Bsin 2B
sin B
=cos 2B+
2sin Bco s
2B
sin B
=2cos2B-1+2cos2B=4cos2B-1,因为B∈(0, π
3),所以cos B∈(
1
2 ,1),所以cos2B∈(
1
4 ,1),所以4cos2B∈(1,4),所
以(4cos2B-1)∈(0,3),所以a
b ∈(0,3),所以D 正确.故选BCD.
11.(2025·青岛一模)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点,O 为坐标原点,点P(2,x0)为C 上一点,且|
PF|=3,则(BD)
A.过点M(2,3)且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有2 条
B.当△AOB 的面积为2√2时,|AF|·|BF|=8
C.△AOB 为直角三角形
D.2|AF|+|BF|的最小值为3+2√2
解析　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(
p
2 ,0),准线为x=- p
2 .因点P(2,x0)为C 上一点,且|PF|=3,由抛物线定义可得2+ p
2
=3⇒p=2,则抛物线方程为:y2=4x.对于A,注意到32>4×2,则点M 在抛物线外,如图所示,则过M 点可做抛物线的两条切线,另外
直线y=3 过点M,且与抛物线只有一个公共点,故过点M(2,3)且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有3 条,故A 错误;对于B,
设直线AB 的方程为:x=my+1,将直线AB 的方程与抛物线联立,可得:y2=4(my+1)⇒y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的
关系,可得:y1+y2=4m,y1y2=-4,由图可得S△AOB=1
2|OF||y1-y2|=| y1- y2|
2
=2√2⇒( y1- y2)
2=32,则( y1+ y2)
2
-4y1y2=16(m2+1)=32⇒m2=1.又由抛物线定义可得|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=(my1+2)(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=-4m2+8m2+4=8,故
B 正确;对于C,可得注意到⃗OA=(x1,y1),⃗OB=(x2,y2),则⃗OA·⃗OB=x1x2+y1y2=(my1+1)
(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=-4(m2+1)+4m2+1=-3<0,故∠AOB 为钝角,则△AOB 为钝角三角形,故C 错误;对于D,由
B,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=-4m2+4m2+1=1,则由抛物线定义:2|AF|+|BF|=2(x1+1)+x2+1=2x1+ 1
x1
+3≥2√2+3.当且
仅当2x1= 1
x1
,即x1=√2
2
时取等号.故D 正确.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+1)是偶函数,当x>3
2
时,f(x)=ln(2x-3),则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为 -2 
  .
解析　因为f(x+1)是偶函数,所以函数f(x)的图象关于x=1 对称,则f(2-x)=f(x),当x<1
2时,2-x>3
2,所以f(2-x)=ln[2(2-x)-3]=ln(1-2x),
则f(x)=ln(1-2x),此时f'(x)=-2
1-2 x ,f'(0)=-2,即曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线的斜率为-2.
13.(2025·蚌埠二模)键线式可以简洁直观地描述有机物的结构,在有机化学中极其重要.有机物萘可以用左图所示的键线式
表示,其结构简式可以抽象为右图所示的图形.已知六边形ABCHIJ 与六边形CDEFGH 为全等的正六边形,且AB=4,点M 为
正六边形CDEFGH 内的一点(包含边界),则⃗AB·⃗AM的取值范围是 [ 16
  , 48
  ]  .
解析　如图,过点M 作直线AB 的垂线,垂足为M1,则⃗AB·⃗M 1 M=0,⃗AM=⃗A M 1+⃗M 1 M,所以⃗AB·⃗AM=⃗AB·⃗AM 1,当点M
与点H 重合时,⃗AB·⃗AM取最小值,(⃗AB·⃗AM)min=4×4=16,当点M 与点E 重合时,⃗AB·⃗AM取最大值(⃗AB·⃗AM)max=4×12=48,
所以⃗AB·⃗AM的取值范围是[16,48].
14.圆柱O1O2的轴截面是正方形,O1,O2分别是上、下底面的圆心,A,B 是下底面圆周上两个不同的点,BC 是母线,若圆柱O1O2
的侧面积为16π,则圆柱O1O2内切球的表面积是 16
  π  ;点B 到直线AO1距离的最大值为 8√5
5
 .
解析　设圆柱O1O2的底面半径为r,所以母线为2r,因为圆柱O1O2的侧面积为16π,所以2πr·2r=16π⇒r=2.所以母线为4,所以
圆柱O1O2内切球的半径为2,所以圆柱O1O2内切球的表面积是4π·22=16π.建立如图所示的空间直角坐标系,
O1(0,0,4),B(0,2,0),C(0,2,4),设A(2cos θ,2sin θ,0),sin θ≠1,⃗A O1=(-2cos θ,-2sin θ,4),⃗BC=(0,0,4),设a=⃗AB=(-2cos θ,2-2sin θ,0),直
线AO1的单位方向向量为u=⃗
A O1
|⃗A O1|
=
1
√4 co s
2θ+ 4 sin
2θ+16
(-2cos θ,-2sin θ,4)=√5
5
(-cos θ,-sin θ,2),所以点B 到直线AO1
的距离为d=√a
2-(a·u)
2=√
4 co s
2θ+ 4 -8sin θ+ 4 sin
2θ -[
√5
5
(2 co s
2θ -2sin θ+2sin
2θ)]
2
=
√- 4
5 sin
2θ - 32
5 sin θ+ 36
5
=√- 4
5 (sin θ+ 4)
2+20,由题意知-1≤sin θ<1,所以当sin θ=-1 时,dmax=8√5
5
.
小题标准测5　“ 8+3+3”　73 分测
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z 满足z+2i=zi,则|z|=(C)
A.√5
B.√5
5
C.√2
D.√3
3
解析　因为(1-i)z=-2i,所以z=-2i
1-i =1-i,故|z|=√2.
2.若集合A={-1,0,1,2},B={x|log2(2-x)≤1},则A∩B=(B)
A.{-1,1} B.{0,1}
C.{1,2}
D.{-1,2}
解析　解法一:由题得B={x|log2(2-x)≤1}={x|0≤x<2},所以A∩B={0,1}.
解法二:当x=-1 时,log2(2-x)=log23>1,所以-1∉(A∩B),排除A,D;易知2∉B,所以2∉(A∩B),排除C.故选B.
3.(2025·邯郸模拟)已知tan(θ+ π
4)=-2
3
,则sin θcos 2θ
sin θ -cos θ
=(B)
A.-13
10
B.-10
13
C.1
D.3
解析　由tan(θ+ π
4)=tan θ+1
1- tan θ =-2
3,解得tan θ=-5,故sin θcos 2θ
sin θ -cos θ =sin θ(co s
2θ - sin
2θ)
sin θ -cos θ
=
sin θ(sin θ+cos θ)(cos θ -sin θ)
sin θ -cos θ
=-sin θ(cos θ+sin θ)=-sin θ(cos θ+sin θ)
co s
2θ+ sin
2θ
=- tan θ -tan
2θ
tan
2θ+1
=-10
13
.
4.某班研究性小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力,设计了一种活性炭污水净化装置.现污水中该种
污染物含量为W0(单位:mg/L),测得污水通过长度为l(单位:m)的净化装置后污染物的含量W 如下表:
l
0
1
2
3
W
W0
0.5W0
0.25W0
0.125W0
研究小组的同学根据表格数据建立了W 关于l 的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是(D)
A.W=W0+0.5l
B.W=W0·log0.5(l+1)
C.W=0.5W0l
D.W=W0·(0.5)l
解析　由图表中数据可知函数模型满足:第一,定义域为[0,3];第二,在定义域单调递减且单位减少率变慢;第三,函数图象过
(0,W0).函数W=0.5W0l 和W=W0·log0.5(l+1)图象不过(0,W0),不符合条件,故BC 错误;函数W=W0+0.5l 单调递增,故A 错误;D 选项:
W=W0·(0.5)l满足上述条件,故D 正确.
5.已知某圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=2r1,若半径为2 的球与圆台的上、下底面及侧面均相切,则该圆台的体积
为(C)
A.28 π
3
B.40 π
3
C.56 π
3
D.112π
3
解析　如图①,设圆台上、下底面圆心分别为O1,O2,则圆台内切球的球心O 一定在O1O2的中点处,设球O 与母线AB 切于M
点,所以OM⊥AB,所以OM=OO1=OO2=2,所以△AOO1与△AOM 全等,所以AM=r1,同理BM=r2,所以AB=r1+r2=3r1,如图②,过A
作AG⊥BO2,垂足为G,则BG=r2-r1=r1,AG=O1O2=4,所以AG2=AB2-BG2,所以16=(3 r1)
2-r1
2=8r1
2,所以r1=√2,所以r2=2√2,所以该
圆台的体积为1
3 (2π+8π+4π)×4=56 π
3
.
①　
②
6.(2025·湖北一模)已知数列{an}为等比数列,a5=2,若{an}的前9 项和为12
5
,则数列{
1
an}的前9 项和为(D)
A. 5
12
B.12
5
C.5
3
D.3
5
解析　记数列{an}的公比为q 且q≠1,则S9=a1(1-q
9)
1-q
=12
5 ,故1-q
9
1-q
=12
5 · 1
a1
,所以1
a9
, 1
a8
,…, 1
a1
的公比也为q,则{
1
an}前9 项
和T9=
1
a9
·(1-q
9)
1-q
=12
5 · 1
a1a9
=12
5 · 1
a5
2=12
5 ×1
4 =3
5.
7.(2025·黑龙江二模)已知椭圆C: x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C 交于A,B 两点,若|AF1|=3|BF1|,
且∠F2AB=π
3 ,则C 的离心率为(D)
A.1
3
B.1
2
C.√2
2
D.√3
3
解析　设|BF1|=t,由|AF1|=3|BF1|,得|AF1|=3t,由椭圆定义可知|AF2|=2a-3t,|BF2|=2a-t,因为∠F2AB=π
3 ,所以在△ABF2中,由余弦定
理得(2a-t)2=(4t)2+(2a-3t)2-2·4t·(2a-3t)·cosπ
3 ,解得t=4 a
9 或t=0(舍去),所以在△F1AF2中,|AF1|=4 a
3 ,|AF2|=2a
3 ,|F1F2|=2c,所以
(2c)2=(
4 a
3 )
2
+(
2a
3 )
2
-2·4 a
3
·2a
3
·cosπ
3
,解得a=√3c,所以离心率e=c
a
=√3
3
.
8.(2025·湖北九校联盟联考)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,设g(x)=f'(x),h(x)=g'(x),且g(0)>0,若
g(xy+1)=g(x+1)g(y+1),h(2)=4g(2),则下列结论错误的是(B)
A.g(1)=0
B.f(1)=0
C.h(1)=0D. ∑
i=-2 023
2 025
❑h(i)=0
解析　令x=1,y=-1,可得g(0)=g(2)g(0),因为g(0)>0,则g(2)=1,h(2)=4,令x=0,则g(1)=g(1)g(y+1),所以g(1)=0 或g(y+1)=1,若
g(y+1)=1,则h(y+1)=0,与h(2)=4 矛盾,故g(1)=0,A 对;令x=-1,y=-1,得g(2)=g(0)g(0)=1,则g(0)=1,令y=-1,得g(1-x)=g(0)g(1+x),即
g(1-x)=g(1+x),即函数g(x)的图象关于直线x=1 对称,在等式g(1-x)=g(1+x)两边求导得-g'(1-x)=g'(1+x),即h(1+x)=-h(1-x),所以函
数h(x)的图象关于点(1,0)对称,因为g(1+x)=g(1-x),即f'(1+x)=f'(1-x),可得出f(1+x)=-f(1-x)+c(c 为常数),无法判断f(x)的图象是否
关于点(1,0)对称,B 错C 对;因为函数h(x)的图象关于点(1,0)对称,所以h(0)+h(2)=h(-1)+h(3)=h(-2)+h(4)=…=h(-2 023)+h(2 
025)=0,因此, ∑
i=-2 023
2 025
❑h(i)=0,D 对.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6 分,部分选对
的得部分分,有选错的得0 分.
9.在一次考试后的数学成绩分析中,分别采用简单随机抽样的方式抽取A 班的一组数据:a1,a2,a3,a4,a5,a6和B 班的一组数据:
b1,b2,b3,b4进行分析.经计算,两组数据的平均数分别为a=90,b=80,方差分别为sa
2=36,sb
2=16.将两组数据合并为一组数据
c1,c2,c3,…,c9,c10,则这组新数据的平均数和方差分别为(BD)
A.平均数为85
B.平均数为86
C.方差为28
D.方差为52
解析　c=6a+ 4 b
10
=540+320
10
=86,sc
2= 6
10[sa
2+(90-86)2]+ 4
10[sb
2+(80-86)2]=52.
10.(2025·南宁模拟)已知函数f(x)=1
3 x3+ax2+3x-1,则下列结论正确的是
(ABD)
A.当a=2 时,函数y=f(x)只有一个零点
B.若函数f(x)的对称中心为(1, 4
3),则a=-1
C.若函数f(x)在(
1
2 ,3)上为减函数,则a≤-2
D.当a=-2 时,设f(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,曲线f(x)在点(x1,0),(x2,0),(x3,0)处的切线斜率分别记为k1,k2,k3,则1
k1
+ 1
k2
+ 1
k3
=0
解析　对于A,a=2 时,f(x)=1
3 x3+2x2+3x-1⇒f'(x)=(x+3)(x+1),令f'(x)>0⇒x∈(-∞,-3)∪(-1,+∞),令f'(x)<0⇒x∈(-3,-1),即y=f(x)在(-∞,-3),
(-1,+∞)上单调递增,在(-3,-1)上单调递减,则y=f(x)的极大值为f(-3)=-1<0,极小值f(-1)=-2-1
3 <0,又f(1)=1
3 +4>0,即函数y=f(x)只
有一个零点,在区间(-1,1)内,故A 正确;对于B,若函数f(x)的对称中心为(1, 4
3),则有f(x+1)+f(1-x)=1
3(x+1)3+a(x+1)2+3(x+1)-1+
1
3(1-x)3+a(1-x)2+3(1-x)-1=8
3 ,即(2+2a)x2+14
3 +2a=8
3 ,所以a=-1,故B 正确;对于C,可知f'(x)=x2+2ax+3,若函数f(x)在(
1
2 ,3)上为
减函数,则有x2+2ax+3≤0 在(
1
2 ,3)上恒成立,分离参数得3
x +x≤-2a 在(
1
2 ,3)上恒成立,结合对勾函数的性质可知:(
3
x + x)max
=13
2
,故a≤-13
4
,故C 错误;对于D,当a=-2 时,f(x)=1
3
x3-2x2+3x-1⇒f'(x)=(x-3)(x-1),令f'(x)>0⇒x∈(-∞,1)∪(3,+∞),令f'(x)<0⇒x∈(1,3),
即y=f(x)在(-∞,1),(3,+∞)上单调递增,在(1,3)上单调递减,则y=f(x)的极大值为f(1)=1
3 >0,极小值f(3)=-1<0,又f(0)=-1<0,f(4)=1
3 >0,
即函数y=f(x)有三个零点,分别在区间(0,1),(1,3),(3,4)内,则有f(x)=1
3 (x-x1)(x-x2)(x-x3),故f'(x)=1
3 [(x-x2)(x-x3)+(x-x1)(x-x3)+(x-x1)(x-
x2)],所以f'(x1)=1
3(x1-x2)(x1-x3),f'(x2)=1
3(x2-x1)(x2-x3),f'(x3)=1
3(x3-x1)(x3-x2),则1
k1
+ 1
k2
+ 1
k3
=
3
( x1- x2)( x1- x3)+
3
( x2- x1)( x2- x3)+
3
( x3- x2)( x3- x1)=3( x2- x3)-3( x1- x3)+3( x1- x2)
( x1- x2)( x1- x3)( x2- x3)
=0,故D 正确.
11.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,A,B 是抛物线上两动点,且|AF|的最小值为1,M 是线段AB 的中点,P(2,3)是平面内一定
点,则
(ACD)
A.p=2
B.若|AF|+|BF|=8,则M 到x 轴的距离为4
C.若⃗AF=2⃗FB,则|⃗AB|=9
2
D.|AP|+|AF|的最小值为4
解析　抛物线x2=2py(p>0)上的点A 到抛物线焦点F 距离的最小值为1,则有p
2 =1,解得p=2,A 正确;抛物线的方程为x2=4y,焦
点F(0,1),准线l:y=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),对于B,点M(
x1+ x2
2
, y1+ y2
2 ),由抛物线的定义知,|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=8,有y1+y2=6,
所以M 到x 轴的距离y1+ y2
2
=3,B 不正确;对于C,⃗AF=(-x1,1-y1),⃗FB=(x2,y2-1),由⃗AF=2⃗FB得:1-y1=2(y2-1),即y1+2y2=3,又|⃗AF|
=2|⃗FB|,即y1+1=2(y2+1),则y1-2y2=1,解得y1=2,y2=1
2
,于是得|AB|=|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=9
2
,C 正确;对于D,抛物线x2=4y 中,当x=2
时,y=1<3,因此点P(2,3)在抛物线x2=4y 上方,过点P 作PP'⊥l 于P',交抛物线于点Q,连接QF,过A 作AA'⊥l 于A',连AF,AP,PA',
如图,显然|AP|+|AF|=|AP|+|AA'|≥|PA'|≥|PP'|=|PQ|+|QP'|=|PQ|+|QF|,当且仅当点A 与Q 重合时取等号,所以(|AP|+|AF|)min=|PP'|=3-
(-1)=4,D 正确.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2025·广东一模)已知θ 是第三象限角,则曲线C:4x2+y2cos θ=4cos θ 的离心率的取值范围为 (1, √5
2 ) .(用区间表示)
解析　因为θ 是第三象限角,则-1<cos θ<0,曲线C 的方程可化为
x
2
cos θ
+ y
2
4
=1,曲线C 为双曲线,且a2=4,b2=-cos θ,所以双曲
线C 的离心率为e=c
a =√
1+ b
2
a
2=√1- cos θ
4
∈(1, √5
2 ).
13.如图所示,制作某回旋飞梭的飞行翅膀时,需从一个直角三角形的塑料板上裁去一个以其斜边为一边且对角为150°的三
角形(图中的阴影部分)再加工而成.为游戏者安全考虑,具体制作尺寸为∠ABC=90°,∠BPC=120°,AC=2BC=2√3,则
tan(∠PAB+60°)= 5√3 .
解析　由题意可得,AB=√A C
2- BC
2=3.又∠APC=150°,∠BPC=120°,所以∠APB=90°.设∠PAB=θ,则AP=3cos θ.因为
∠PAB+∠ABP=90°,且∠ABP+∠PBC=90°,所以∠PBC=∠PAB=θ.又∠PBC+∠PCB=180°-∠BPC=60°,且∠ACP+∠PCB=60°,所
以∠ACP=∠PBC=θ.在△ACP 中,由正弦定理可得
AP
sin ∠ACP
=
AC
sin ∠APC
,即3cos θ
sin θ
=
2√3
sin 150°
,解得tan θ=√3
4
.
故tan(∠PAB+60°)= tan θ+ tan 60°
1- tan θtan 60° =
√3
4 +√3
1- √3
4 ×√3
=5√3.
14.2025 年春晚,一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作,机器人从原点O 出发,每一次等可能地向左
或向右或向上或向下移动一个单位,共移动3 次.则该机器人在有且仅有一次经过(含到达)点M(-1,0)位置的条件下,水平方向
移动2 次的概率为  8
17 .
解析　设事件A=“有且仅有一次经过M(-1,0)”,事件B=“水平方向移动2 次”,按到M(-1,0)位置需要1 步,3 步分类讨论.记
L=向左,R=向右,U=向上,D=向下,(1)若1 步到位为事件A1,则满足要求的是LU(L 或U 或R),LL(L 或U 或D),LD(L 或R 或
D),LR(U 或D 或R),所以P(A1)=4×3×(
1
4)
3
=12
64 = 3
16 ;(2)若3 步到位为事件A2,则满足要求的是ULD,DLU,RLL,UDL,DUL,所以
P(A2)=5×(
1
4)
3
= 5
64
;所以P(A)=P(A1)+P(A2)=17
64
,满足AB 的情况有:LU(L 或R),LD(L 或R),LL(U 或D),LR(U 或D).所以P(AB)=
8
64 =1
8 ,所以P(B|A)=P( AB)
P( A)
= 8
17 .
小题标准测6　“ 8+3+3”　73 分测
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2025·八省八校联考)已知集合P={x|y=ln(1-2x)},Q={y | y = 1-e
x
2 },则P∩Q=(A)
A.(-∞, 1
2)
B.(
1
2 ,+∞)
C.(0, 1
2)
D.⌀
解析　对于集合P,由1-2x>0,得x<1
2
,所以P=(-∞, 1
2),对于集合Q,由ex>0,得1-e
x
2
<1
2
,所以Q=(-∞, 1
2),故P∩Q=
(-∞, 1
2).
2.已知复数z1,z2在复平面内所对应的点分别为(1,-3),(-2,5),则|
z2
z1
+1|=(A)
A.√2
2
B.1
C.√2
D.2
解析　由复数的几何意义可得z1=1-3i,z2=-2+5i,所以|
z2
z1
+1|=|
-2+5i
1-3i +1|=|
-1+2i
1-3i |=|-1+2i|
|1-3i|
=√2
2
.
3.已知等差数列{an}的公差d=1,且a3,a5+1,2a6成等比数列,则数列{(-1)n+1an}的前2 025 项和为(D)
A.-1 013B.-505
C.505
D.1 013
解析　设首项为a1,因为a3,a5+1,2a6成等比数列,所以(a5+1)2=a3×2a6,则(a1+5)2=(a1+2)×2(a1+5),解得a1=1 或a1=-5,当a1=-5 时,
a6=0,此时与a3,a5+1,2a6成等比数列矛盾,故排除,当a1=1 时,an=1+n-1=n,此时令bn=(-1)n+1an=(-1)n+1n,而其前2 025 项和为1-
2+3-4+…-2 024+2 025=(1-2)+(3-4)+…+(2 023-2 024)+2 025=1 012×(-1)+2 025=1 013.
4.(2025·兰州一模)若函数y=e
x+e
- x
2
的一条切线与x 轴平行,则切点的坐标为(B)
A.(1,0)
B.(0,1)
C.(1,1)
D.(1,e)
解析　设切点坐标为(x0,y0),函数y=e
x+e
- x
2
,所以y'=e
x -e
- x
2
, 因为切线与x 轴平行,所以y'|x = x0=e
x0-e
- x0
2
=0,解得x0=0,y0=
e
x0+e
- x0
2
=1+1
2
=1,故切点坐标为(0,1).
5.(2025·哈尔滨一模)已知一个圆锥的母线长为√3,则当其体积最大时,该圆锥的内切球半径为(A)
A.√6-2 B.1
2
C.√3-√2
D.1
解析　设圆锥的底面半径为r,高为h,则h2+r2=3,则V=f(h)=1
3 πr2h=-π
3 h3+πh,h∈(0,√3),则f'(h)=π(1-h)(1+h),当0<h<1 时,f'(h)>0,
当1<h<√3时,f'(h)<0,所以f(h)在(0,1)上单调递增,在(1,√3)上单调递减,所以当圆锥体积取得最大值时,h=1,r=√2,设圆锥内切
球的半径为R,则由轴截面面积可得1
2·2rh=1
2(2r+2√3)R,解得R=√6-2.
6.在(x2+x+y)6的展开式中,x7y 的系数为(C)
A.3
B.6
C.60
D.30
解析　根据二项式定理,可得[( x
2+ x)+ y ]
6展开式的通项为Tr+1=C6
r( x
2+ x)
6-ryr(r=0,1,2,…,6). 要求x7y 的系数,则y 的次数
r=1,此时(x2+x)6-r=(x2+x)5. 同理根据二项式定理,( x
2+ x)
5展开式的通项为Tm+1=C5
m( x
2)
5-mxm=C5
mx10-2mxm=C5
mx10-
m(m=0,1,2,…,5). 要得到x7,则令10-m=7,解得m=3. 当r=1,m=3 时,x7y 的系数为C6
1C5
3=6×10=60.所以在(x2+x+y)6的展开式中,x7y
的系数为60.
7.如图,在△ABC 中,点O 是线段BC 上靠近点B 的三等分点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于点M,N.设⃗AB=m⃗AM,⃗AC
=n⃗AN,则2m+n 的值为(C)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析　如图,连接AO,因为点O 是线段BC 上靠近点B 的三等分点,则⃗CO=2⃗OB,即⃗AO-⃗AC=2(⃗AB-⃗AO),所以⃗AO=2
3⃗AB+
1
3⃗AC,又因为⃗AB=m⃗AM,⃗AC=n⃗AN,则⃗AO=2
3 m⃗AM+1
3n⃗AN,因为M,N,O 三点共线,2
3m+1
3n=1,故2m+n=3.
8.(2025·漳州模拟)如图,在高为16 的圆柱型筒中,放置两个半径均为3 的小球,两个小球均与筒壁相切,且分别与两底面相切,
已知平面α 与两个小球也相切,平面α 被圆筒所截得到的截面为椭圆,则该椭圆的离心率为(D)
A.1
3
B.1
2
C.3
4
D.4
5
解析　设平面α 被圆筒所截得到的截面为椭圆Γ,如图,作出圆柱过椭圆Γ 的长轴的截面图,设长轴AB 与两圆的切点是F1,F2.
连接O1O2,记椭圆长轴与O1O2交于点C,过C 作CD⊥O1O2,且CD 交圆柱的母线于点D,连接O1F1,O2F2,则O1F1⊥AB,O2F2⊥AB.
因为圆柱的高为16,球的半径是3,所以圆柱的底面半径为3,O1O2=16-2×3=10,O1F1=3,CD=3.根据对称性可知C 是O1O2,AB 的
中点,故CO1=5,则CF1=CF2=4.易得Rt△F1CO1 Rt
≌
△DBC,故BC=CO1=5,则椭圆的长半轴长a=5.由题意得椭圆的短半轴长b=3,
所以半焦距长c=4,则椭圆的离心率为c
a =4
5 .
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6 分,部分选对
的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025·菏泽一模)已知函数f(x),若存在实数λ,使得f(x+λ)+λf(x)=0 对任意的实数x 恒成立,则称f(x)满足性质R(λ),下列说法错
误的为(ABC)
A.若f(x)的周期为1,则f(x)满足性质R(1)
B.若f(x)=sin πx,则f(x)不满足性质R(λ)
C.若f(x)=ax(a>0 且a≠1)满足性质R(λ),则λ>0
D.若偶函数f(x)满足性质R(-1),则f(x)图象关于直线x=1
2
对称
解析　对于选项A,f(x)的周期为1,则f(x+1)=f(x)=f(x-1),从而有f(x-1)-f(x)=0,因此f(x)具有性质R(-1),但f(x+1)+f(x)=2f(x)=0 不一
定成立,A 错;对于选项B,f(x)=sin πx,f(x+1)=sin(x+1)π=sin(xπ+π)=-sin xπ=-f(x),所以f(x+1)+f(x)=0,所以f(x)具有性质R(1),B 错;对
于选项C,若f(x)=ax(a>0 且a≠1)满足性质R(λ),则f(x+λ)+λf(x)=ax+λ+λax=ax(aλ+λ)=0,所以aλ+λ=0,从而λ=-aλ<0,C 错;对于选项D,
偶函数f(x)满足性质R(-1),即f(x-1)-f(x)=0,又f(x)是偶函数,所以f(1-x)=f(x),所以f(x)图象关于直线x=1
2对称,D 正确.
10.函数f(x)=2√3sin ωxcos ωx+2cos2ωx-1(0<ω<1)的图象如图所示,则(BCD)
A.f(x)的最小正周期为π
B.函数f(2 x + 5 π
6 )是奇函数
C.y=f(x + π
6)cos x 的图象关于点(- π
6 , √3
2 )对称
D.若y=f(tx)(t>0)在[0,π]上有且仅有三个零点,则t∈[
17
6 , 23
6 )
解析　依题意,f(x)=√3sin 2ωx+cos 2ωx=2sin(2ωx + π
6),由f(
π
3)=2,得2ω·π
3
+π
6
=2kπ+π
2
,k∈Z,解得ω=3k+1
2
,k∈Z,又0<ω<1,
则ω=1
2,所以f(x)=2sin(x + π
6),则f(x)的最小正周期为2π,故A 错误;y=f(2 x + 5 π
6 )=2sin(2x+π)=-2sin 2x 是奇函数,故B 正确;
y=f(x + π
6)cos x=2sin(x + π
3)cos x=2(sin xcos π
3 +cos xsin π
3)cos x=sin xcos x+√3cos2x=1
2
sin 2x+√3·cos 2 x +1
2
=sin(2 x + π
3)+√3
2
,令2x+π
3
=kπ,k∈Z,得x=kπ
2
-π
6
,k∈Z,所以y=f(x + π
6)cos x 的对称中心为(
kπ
2 - π
6 , √3
2 )(k∈Z),当k=0 时,
函数y=f(x + π
6)cos x 的对称中心为(- π
6 , √3
2 ),故C 正确;y=f(tx)=2sin(tx + π
6),t>0,当x∈[0,π]时,tx+π
6 ∈[
π
6 ,tπ + π
6],因为
函数y=f(tx)(t>0)在[0,π]上有且仅有三个零点,所以3π≤tπ+π
6 <4π,解得17
6 ≤t<23
6 ,故D 正确.
11.(2025·成都模拟)已知椭圆E: x
2
2
+y2=1 的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线与椭圆E 相交于P,Q 两点,则
(ABD)
A.以椭圆E 的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=2
B.以|F1F2|为直径的圆与椭圆E 有且仅有2 个公共点
C.以F1为圆心,√2-1 为半径的圆与椭圆E 有3 个公共点
D.以|PQ|为直径的圆与直线l:x=-2 相离
解析　对于A,以椭圆E 的长轴为直径的圆的半径为a=√2,圆心为原点,故该圆的方程为x2+y2=2,选项A 正确;对于B,由椭圆
方程可得|F1F2|=2,故以|F1F2|为直径的圆的半径为1,圆心为原点,故其方程为x2+y2=1,由{
x
2+ y
2=1,
x
2+2 y
2=2
可得{
x =0,
y =1 或
{
x =0,
y =-1,故该圆与椭圆E 有且仅有2 个公共点,选项B 正确;对于C,由于椭圆E 上的任意一点H 与左焦点F1的距离|HF1|≥a-
c=√2-1,当且仅当H 为左顶点时取等号,故以F1为圆心,√2-1 为半径的圆与椭圆E 只有一个公共点(-√2,0),选项C 错误;对于
D,设M 为线段PQ 的中点,过点P,Q,M 作直线l 的垂线,垂足分别为点P1,Q1,M1,如图所示.设P(x,y),则x∈[-√2,√2],因为
F1(-1,0),所以|PF1|=√( x +1)
2+ y
2=√( x +1)
2+1- 1
2 x
2=√2
2
(x+2),而|PP1|=|x+2|=x+2,故|P F1|
|P P1|
=√2
2
,同理|Q F1|
|Q Q1|
=√2
2
,则1
2|
PQ|=1
2
(|PF1|+|QF1|)=1
2(
√2
2 | P P1|+ √2
2 |QQ1|)=√2
4
(|PP1|+|QQ1|)=√2
2
|MM1|<|MM1|,即以|PQ|为直径的圆的圆心到直线
l 的距离大于该圆的半径,选项D 正确.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2025·菏泽一模)若n 是数据1,3,2,2,9,3,3,10 的第75 百分位数,则(x+y)(2x-y)n展开式中x4y3的系数为 80 
  .
解析　已知数据从小到大排列为:1,2,2,3,3,3,9,10,共8 个,8×75%=6,第6 个数是3,第7 个数是9,3+9
2
=6,所以n=6,(x+y)(2x-y)6
展开式中x4y3的系数为23C6
3×(-1)3+24C6
2×(-1)2=80.
13.(2025·广西模拟)将一副三角板按如图所示的位置拼接:含30°角的三角板(ABC)的长直角边与含45°角的三角板(ACD)的
斜边恰好重合.AC 与BD 相交于点O,若BD2=10+4√3,则AO-CO= 12-6√3 .
解析　由题可知∠BCD=90°+45°=135°,设AC=m,则CD= m
√2
,BC= m
√3
,由余弦定理得BD2=CD2+CB2-2·CD·CB·cos 135°,则
10+4√3=(
m
√2)
2
+(
m
√3)
2
-2· m
√2
· m
√3
·(- √2
2 ),解得AC=m=2√3,所以CD=√6,BC=2,则AD=√6,AB=4,sin∠DAB=sin(30°
+45°)=√6+√2
4
.由S△ADO+S△ABO=S△ABD可得:1
2
AD·AOsin∠DAO+1
2
AB·AOsin∠BAO=1
2
AD·ABsin∠DAB,则√6·AO·√2
2
+4·AO·1
2
=√6×4×√6+√2
4
,解得AO=6-2√3,则CO=4√3-6,所以AO-CO=12-6√3.
14.设a∈R,f(x)=x2+ax+ln x,若函数y=f(x)存在两个不同的极值点,则a 的取值范围为 ( -∞
  , -2
  √2)  .
解析　易知函数f(x)=x2+ax+ln x 的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x+a+1
x =2 x
2+ax +1
x
,因为函数y=f(x)存在两个不同的极值点,所以
f'(x)=0 在(0,+∞)内有两个不等根,设g(x)=2x2+ax+1,x∈(0,+∞),则只需{
g(0)>0,
Δ>0,
- a
4 >0,
即{
1>0,
a
2-8>0,
a<0,
所以a<-2√2,则a 的取值范围为
(-∞,-2√2).
小题标准测7　“ 8+3+3”　73 分测
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2025·辽宁模拟)已知集合A={x|x2-5x-6<0},B={y|y=2sin x},则A∪B=(D)
A.[-2,3) B.(-3,2]
C.(-6,2] D.[-2,6)
解析　由题意得A={x|x2-5x-6<0}={x|-1<x<6},B={y|y=2sin x}={y|-2≤y≤2},所以A∪B=[-2,6).
2.在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是⃗OA=(2,-1),⃗OB=(-1,2),则
z1
z1+ z2
的复数所对应的点位于(D)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析　由题意得z1=2-i,z2=-1+2i,则
z1
z1+ z2
=2-i
1+i =(2-i)(1-i)
(1+i)(1-i)
=1-3i
2
=1
2-3
2i,其对应的点为(
1
2 ,- 3
2),位于第四象限.
3.(2025·青岛一模)若正项等差数列{an}的前n 项和为Sn,S20=100,则a10·a11的最大值为(C)
A.9
B.16
C.25
D.50
解析　因为S20=a1+a20
2
×20=100,所以a1+a20=10,则a10+a11=a1+a20=10.又因为a10>0,a11>0,所以a10·a11≤(
a10+a11
2 )
2
=100
4 =25,
当且仅当a10=a11=5 时,等号成立,所以a10·a11的最大值为25.
4.(2025·宁波一模)已知椭圆C 的左、右焦点分别为F1,F2,过上顶点A 作直线AF2交椭圆于另一点B.若|AB|=|F1B|,则椭圆C 的
离心率为(C)
A.1
3
B.1
2
C.√3
3
D.√2
2
解析　如图,因为△ABF1的周长为4a,|AF1|=|AF2|=a,|AB|=|F1B|,所以|AB|=|F1B|=3
2a,|BF2|=a
2.又cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,所以
c
a
+(
a
2)
2
+(2 c)
2-(
3a
2 )
2
2× a
2 ×2c
=0 3
⇒c2=a2⇒c
a
=√3
3
=e.所以椭圆C 的离心率为√3
3
.
5.已知函数f(x)=sin6x+cos6x,把f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍,纵坐标不变,再将所得图象向左平移π
4
个单位长
度,得到函数g(x)的图象,若h(x)=f(x)+g(x),则h(x)取最大值时,f(x)=(D)
A. 3
16
B. 9
16
C.27
64
D.61
64
解析　f(x)=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=(sin
2 x +co s
2 x)
2-3sin2xcos2x=1-3
4 sin22x,则g(x)=1-3
4 sin2
(x + π
4)=1-3
4[
√2
2 (sin x +cos x)]
2
=5
8
-3
8
sin 2x,所以h(x)=f(x)+g(x)=1-3
4
sin22x+5
8
-3
8
sin 2x=-3
4(sin 2 x + 1
4)
2
+107
64
,
所以当sin 2x=-1
4 时,h(x)取最大值,此时f(x)=1-3
4 sin22x=1-3
4 × 1
16 =61
64 .
6.(2025·八省八校联考)在研究性学习活动中,某位学生收集了两个变量x 与y 之间的几组数据如下表:
x
1
2
3
4
y
0
2
3
5
根据上表数据所得经验回归方程为^y=^bx+^a.该同学又收集了两组数据x=5,y=4 和x=6,y=5,利用这六组数据求得的经验回归
方程为^y=^b'x+^a',则以下结论正确的是(D)
A.^b>^b',^a>^a'
B.^b<^b',^a>^a'
C.^b<^b',^a<^a'
D.^b>^b',^a<^a'
解析　该同学收集了四组数据,由表中数据知x=5
2,y=5
2,所以^b=
(1×0+2×2+3×3+ 4×5)- 4× 5
2 × 5
2
(1
2+2
2+3
2+ 4
2)- 4×(
5
2)
2
=8
5 ,^a=5
2-5
2×8
5
=-3
2
.又收集了两组数据(5,4)和(6,5)后,新的平均数为x'=7
2
,y'=19
6
,所以^b'=
(1×0+2×2+3×3+ 4×5+5×4 +6×5)-6× 7
2 × 19
6
(1
2+2
2+3
2+ 4
2+5
2+6
2)-6×(
7
2)
2
=33
35
,^a'=19
6
-33
35
×7
2
=- 2
15
,所以^b>^b',^a<^a'.
7.(2025·黑龙江一模)如图,O 是圆台上底面的圆心,A,B 是圆台下底面圆周上的两个动点,MN 是圆台的一条母线,记圆台的上、
下底面圆的半径分别为r,R.若MN=R=2r,MN∥平面OAB,且AB 的最小值为6,则该圆台的体积为(C)
A.7√3
3
π
B. 15π
C. 21π
D. 18√3π
解析　如图,取圆台下底面圆心O',令MO'∩AB=C,连接ON,OO',OC,显然ON∥O'M,由平面OO'MN∩平面OAB=OC,MN∥平面
OAB,MN⊂平面OO'MN,得MN∥OC,则四边形OCMN 为平行四边形,OC=MN=2r,CM=ON=r=1
2R=O'C,在△OO'C 中,
OO'⊥O'C,∠COO'=30°,在圆O'中,当且仅当AB⊥O'M 时,AB 取最小值6,由3=√R
2-(
1
2 R)
2
,解得R=2√3,因此r=√3,圆台的高
h=OO'=Rcos 30°=3,所以该圆台的体积为V=1
3π(r2+rR+R2)h=1
3π(3+6+12)×3=21π.
8.若函数f(x)=x(ex-1)的图象恒在g(x)=ln x+a 图象的上方,则a 的最大整数值为(B)
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析　依题意,∀x>0,f(x)>g(x)⇔a<xex-x-ln x 恒成立,令h(x)=xex-x-ln x,求导得h'(x)=(x+1)ex-1-1
x =(x+1)(e
x - 1
x),函数φ(x)=ex-1
x
在(0,+∞)上单调递增,φ(
1
2)=√e-2<0,φ(1)=e-1>0,则存在x0∈(
1
2 ,1),使得φ(x0)=0,即e
x0= 1
x0
,当0<x<x0时,h'(x)<0;当x>x0时,
h'(x)>0,函数h(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,由e
x0= 1
x0
,得x0e
x0=1,x0+ln x0=0,因此h(x)min=h(x0)=x0e
x0-x0-ln x0=1,则
a<1,所以a 的最大整数值为0.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6 分,部分选对
的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025·湖北模拟)已知互不相同的20 个样本数据,若去掉其中最大和最小的数据,设剩下的18 个样本数据的方差为s1
2,平均
数x1;去掉的两个数据的方差为s2
2,平均数x2;原样本数据的方差为s2,平均数x,若x1=x2,则(AB)
A.x=x1
B.10s2=9s1
2+s2
2
C.剩下18 个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D.剩下18 个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
解析　对A:因为x=18 x1+2 x2
20
,且x1=x2,所以x=18 x1+2 x1
20
=x1,故A 正确;对B:设20 个数据按从小到大的顺序排列为:
x1,x2,x3,…,x20,则s1
2= 1
18(x2
2+x3
2+…+x19
2 )-x1
2,s2
2=1
2(x1
2+x20
2 )-x2
2,因为x1=x2=x,所以9s1
2+s2
2=1
2(x2
2+x3
2+…+x19
2 )-9x1
2+1
2(x1
2+x20
2
)-x2
2=1
2
(x1
2+x2
2+x3
2+…+x19
2 +x20
2 )-10x
2=10[
1
20 ( x1
2+ x2
2+ x3
2+…+ x19
2 + x20
2 )- x
2]=10s2,故B 正确;对C:剩下18 个数据的中
位数和原样本数据的中位数均为x10+ x11
2
,是相等的,故C 错误;对D:因为18×22%=3.96,则剩下18 个数据的22%分位数为x5;
又20×22%=4.4,所以原样本数据的22%分位数也是x5,故D 错误.
10.已知函数f(x)=xex-a,则下列说法正确的是(BD)
A.f(x)有最大值-1
e
-a
B.当a=1 时,f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程是y=x-1
C.f(x)在区间[-2,0]上单调递减
D.若关于x 的方程f(x)=0 有两个不等实根,则a 的取值范围是(- 1
e ,0)
解析　因为f'(x)=ex(x+1),选项A,当x<-1 时,f'(x)<0,当x>-1 时,f'(x)>0,所以在区间(-∞,-1)上f(x)单调递减,在区间(-1,+∞)上f(x)单
调递增,所以f(x)有最小值f(-1)=-1
e -a,无最大值,故A 错误;选项B,当a=1 时,f'(0)=1,f(0)=-1,所以f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线
方程是y=x-1,故B 正确;选项C,因为在区间(-∞,-1)上f(x)单调递减,在区间(-1,+∞)上f(x)单调递增,故C 错误;选项D,方程f(x)=0,
即xex-a=0⇔xex=a,令g(x)=xex,而g'(x)=ex+xex=ex(x+1),当x<-1 时,g'(x)<0,当x>-1 时,g'(x)>0.所以在区间(-∞,-1)上g(x)单调递减,在
区间(-1,+∞)上g(x)单调递增,当x<0 时g(x)<0,且g(0)=0,函数g(x)的图象如图,则a 的取值范围是(- 1
e ,0),故D 正确.
11.Ω 曲线的形状类似希腊字母“Ω”,其方程为x| x|
4
+ y | y |
5
=1.若点P 在Ω 曲线上,A1(-3,0),B1(3,0),A2(0,-1),B2(0,1),则(BC)
A.当点P 在第一象限时,|PA2|+|PB2|=4
B.当点P 在第四象限时,|PA1|-|PB1|=4
C.直线y=-2x+4 与Ω 曲线的所有交点的横坐标之和大于6
D.直线y=-3
4 x+2 与Ω 曲线恰有4 个公共点
解析　当x≥0,y≥0 时, x| x|
4
+ y | y |
5
=1 可化为x
2
4
+ y
2
5
=1,A2(0,-1),B2(0,1)为椭圆x
2
4
+ y
2
5
=1 的两个焦点,则|PA2|+|PB2|=2a=2
√5,A 错误.当x≥0,y≤0 时, x| x|
4
+ y | y |
5
=1 可化为x
2
4
- y
2
5
=1,A1(-3,0),B1(3,0)为双曲线x
2
4
- y
2
5
=1 的两个焦点,则|PA1|-|PB1|
=2a=4,B 正确.当x<0,y<0 时, x| x|
4
+ y | y |
5
=1 可化为x
2
4
+ y
2
5
=-1<0,所以点P 不可能在第三象限.当x≤0,y≥0 时, x| x|
4
+
y | y |
5
=1 可化为y
2
5
- x
2
4
=1,所以Ω 曲线由三段曲线组成,其图形如图所示,因为双曲线y
2
5
- x
2
4
=1 的渐近线方程为y=±√5
2
x,
所以直线y=-2x+4 与曲线y
2
5
- x
2
4
=1(x≤0,y≥0)无公共点.将y=-2x+4 代入x
2
4
+ y
2
5
=1,得21x2-64x+44=0,由图可知直线y=-2x+4 与
曲线x
2
4
+ y
2
5
=1(x≥0,y≥0)有2 个交点,则这2 个交点的横坐标之和为64
21 ,其中1 个交点为(2,0).将y=-2x+4 代入x
2
4
- y
2
5
=1,得
11x2-64x+84=0,由图可知直线y=-2x+4 与曲线x
2
4
- y
2
5
=1(x≥0,y≤0)有2 个交点,则这2 个交点的横坐标之和为64
11 ,其中1 个交
点为(2,0),所以直线y=-2x+4 与Ω 曲线的所有交点的横坐标之和为64
21+64
11 -2>63
21+55
11 -2=6,C 正确.结合双曲线y
2
5
- x
2
4
=1 与
x
2
4
- y
2
5
=1 的渐近线的斜率,
由图可知直线y=-3
4 x+2 与曲线y
2
5
- x
2
4
=1(x≤0,y≥0)有2 个公共点,与曲线x
2
4
+ y
2
5
=1(x≥0,y≥0)只有1 个公共点,与曲线x
2
4
- y
2
5
=1(x≥0,y≤0)没有公共点,所以直线y=-3
4 x+2 与Ω 曲线恰有3 个公共点,D 错误.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.已知函数f(x)=x2+2f'(
1
2)x+ln x,则f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 3 x + y +2=0 
 
 .
解析　对f(x)求导可得f'(x)=2x+2f'(
1
2)+1
x ,则f'(
1
2)=1+2f'(
1
2)+2,解得f'(
1
2)=-3,所以f(x)=x2-6x+ln x,所以f(1)=-5,f'(x)=2x-6+
1
x ,f'(1)=-3,所以切线方程为y+5=-3(x-1),整理得3x+y+2=0.
13.(2025·长沙模拟)如图,现有两排座位,第一排3 个座位,第二排5 个座位,将8 人(含甲、乙、丙)随机安排在这两排座位上,
则甲、乙、丙3 人的座位互不相邻(相邻包括左右相邻和前后相邻)的概率为 2
7
 .
解析　甲、乙、丙3 人的座位互不相邻的情况分为三种:第一种,这3 人都在第二排,共有A3
3 A5
5种不同的安排方法;
第二种,这3 人中2 人在第一排,1 人在第二排, 共有C3
1 A3
3 A5
5=3A3
3 A5
5种不同的安排方法;
第三种,这3 人中1 人在第一排,2 人在第二排,①若第一排的这1 人安排在中间的位置,则有C2
1C2
1 A3
3 A5
5=4A3
3 A5
5种不同的
安排方法,
②若第一排的这1 人不安排在中间的位置,则有C2
1(C4
2-2)A3
3 A5
5=8A3
3 A5
5种不同的安排方法.
故甲、乙、丙3 人的座位互不相邻的概率为(1+3+ 4 +8) A3
3 A5
5
A8
8
= 16×6
8×7×6 =2
7 .
14.如图所示,将绘有函数f(x)=M·sin(
π
3 x +φ)(M>0,0<φ<π)部分图象的纸片沿x 轴折成钝二面角,夹角为2π
3
,此时A,B 之间
的距离为√15,则φ= 2π
3 .
解析　如图,过A,B 分别作x 轴的垂线,垂足分别为C,D,过A,D 分别作y 轴、x 轴的垂线相交于点E,连接AB,BE,则∠BDE=
2π
3 ,BD=DE=M,由余弦定理得BE2=M2+M2-2M2cos2π
3 =3M2,由上可知,x 轴垂直于BD,DE,又BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE,所
以x 轴垂直于平面BDE,又AE∥x 轴,所以AE⊥平面BDE,因为BE⊂平面BDE,所以AE⊥BE,因为f(x)的周期T=
2π
π
3
=6,所以
AE=CD=3,由勾股定理得3M2+9=15,解得M=√2,由图知,f(x)的图象过点(0, √6
2 ),且在递减区间内,所以f(0)=√2sin φ=√6
2
,即
sin φ=√3
2
,因为0<φ<π,点(0, √6
2 )在递减区间内,所以φ=2π
3
.
小题标准测8　“ 8+3+3”　73 分测
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复平面内坐标原点为O,复数z 对应点Z,z 满足z(4-3i)=3+4i,则|⃗OZ|=(C)
A.4
5
B.3
4
C.1
D.2
解析　由z(4-3i)=3+4i 可得z=3+ 4i
4 -3i =(3+ 4i)(4+3i)
(4 -3i)(4+3i)
=12+9i+16i+12i
2
4
2-9i
2
=25
25i=i,所以可得Z(0,1),即⃗OZ=(0,1);即|⃗OZ|=
√0
2+1
2=1.
2.我国文化体育事业蓬勃发展,正从体育大国向体育强国的目标持续迈进.中国代表队在历届夏季奥运会获得的金牌数依次
为15,5,16,16,28,32,48,39,26,38,40,则这11 届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40 百分位数为(B)
A.16
B.26
C.28
D.32
解析　将这组数据按照从小到大的顺序排列为5,15,16,16,26,28,32,38,39,40,48.因为11×40%=4.4,所以这11 届夏季奥运会中
国代表队获得的金牌数的第40 百分位数是第五个数26.
3.设集合A={x|y=3√1- x},B={-1,0,1,2},则A∩B=(B)
A.R
B.{-1,0,1,2}
C.{-1,0,1}
D.(-1,2]
解析　函数y=3√1- x中,x∈R,则集合A=R,而B={-1,0,1,2},所以A∩B={-1,0,1,2}.
4.(2025·韶关一模)椭圆C: x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与椭圆C 没有公共点,则双曲线x
2
a
2
- y
2
b
2 =1 的离心率的取值范围是(D)
A.(
√6
2 ,+∞)
B.(1, √6
2 )
C.(1,√2)
D.(
√6
2 ,√2)
解析　以|F1F2|为直径的圆的方程为x2+y2=a2-b2,依题意,椭圆短轴的端点在此圆外,即b2>a2-b2,解得a2<2b2,则双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1
的离心率为e=√a
2+b
2
a
=√
1+ b
2
a
2>√
1+ b
2
2b
2=√6
2
,由a>b,得e=√
1+ b
2
a
2<√
1+ a
2
a
2=√2,所以所求离心率的取值范围为
(
√6
2 ,√2).
5.(2025·贵州模拟)函数f(x)=5 xcos x
e|x|
+sin x 的大致图象为(D)
A　　
B
C　　
D
解析　由题意,函数f(x)=5 xcos x
e|x|
+sin x 的定义域为(-∞,+∞),关于原点对称,且f(-x)=5(- x)cos(- x)
e|- x|
+sin(-x)=
-5 xcos x
e|x|
-sin x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点中心对称,排除C;又由当x∈(0, π
2)时,f(x)>0,排除A,B.
6.(2025·咸阳一模)已知f(x)=aex-1
2x2在区间(
1
2 ,2)内存在2 个极值点,则实数a 的取值范围为(B)
A.(
2
e
2 , 1
e)
B.(
1
2√e , 1
e)
C.(
2
e
2 ,
1
2√e)
D.(
1
e , 2
e)
解析　f'(x)=aex-x,由题可知f'(x)在(
1
2 ,2)内有2 个变号零点,由f'(x)=0 可得a= x
e
x ,可知:y=a 与g(x)= x
e
x 在(
1
2 ,2)内有2 个交
点,又因为g'(x)=1- x
e
x ,令g'(x)>0,解得1
2<x<1;令g'(x)<0,解得1<x<2;可知g(x)在(
1
2 ,1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,则
g(x)≤g(1)=1
e
,且g(
1
2)= 1
2√e
,g(2)= 2
e
2, 1
2√e
> 2
e
2,结合图象可得1
2√e
<a<1
e
,所以实数a 的取值范围为(
1
2√e , 1
e).
7.已知函数f(x)的定义域为R,若f(2x-1)+3,f'(x-2)都是奇函数,且f'(1)=-2f(-1),则∑
k =1
2 025
❑f'(k)=(A)
A.6
B.-9
C.3
D.-12
解析　由f(2x-1)+3 为奇函数可得f(2x-1)+3=-f(-2x-1)-3,两边分别求导可得2f'(2x-1)=2f'(-2x-1), 即f'(2x-1)=f'(-2x-1),故f'(x-1)=f'(-
x-1),所以f'(x-2)=f'(-x),又f'(x-2)为奇函数,所以f'(x-2)=-f'(-x-2),可得f'(-x)=-f'(-x-2),故f'(x+2)=-f'(x),从而f'(x+4)=f'(x),故4 是f'(x)的
一个周期,在f'(x+2)=-f'(x)中,分别令x=1 和2 可得:f'(3)=-f'(1),f'(4)=-f'(2),所以f'(1)+f'(2)+f'(3)+f'(4)=0.由f(2x-1)+3 为奇函数可得
f(-1)+3=0, 故f'(1)=-2f(-1)=6,所以∑
k =1
2 025
❑f'(k)=506×0+f'(1)=6.
8.(2025·湖北名校联盟模拟)近年来,各地旅游事业得到飞速发展,越来越多的周边游客来参观天门市的陆羽故园、胡家花园、
天门博物馆、黄潭七屋岭、海龙岛景区、西塔寺6 处景点.现甲、乙两位游客准备从6 处景点各随机选一处游玩,记事件
A=“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”,事件B=“甲和乙选择不同的景点”,则P(B|A)=(C)
A.8
9
B. 9
10
C.10
11
D.11
12
解析　甲、乙从6 处景点各选一处的总情况数为n=6×6=36 种,“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园”的对立事件是“甲
和乙都不前往陆羽故园”,甲不选陆羽故园有5 种选法,乙不选陆羽故园也有5 种选法,所以甲和乙都不前往陆羽故园的情况
数为5×5=25 种,则P(A)=1-25
36 =11
36 ,“甲和乙至少有一个人前往陆羽故园且甲和乙选择不同的景点”,分两种情况:(1)甲去陆
羽故园,乙不去,甲去陆羽故园有1 种选法,乙从除陆羽故园外的5 个景点选有5 种选法,共1×5=5 种情况;(2)乙去陆羽故园,甲
不去,乙去陆羽故园有1 种选法,甲从除陆羽故园外的5 个景点选有5 种选法,共1×5=5 种情况,所以P(AB)=5+5
36 =10
36 ,所以
P(B|A)=P( AB)
P( A )
=10
11
.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6 分,部分选对
的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025·安徽淮北二模)设数列{an}的前n 项和为Sn,对任意正整数n 有Sn+2=4Sn+3,下列命题正确的有
(ABD)
A.若a1=1,则S3=7
B.{an}一定不是等差数列
C.若{an}为等比数列,则公比为2
D.若a1=1,a2=2,则{an}为等比数列
解析　对于A,a1=1,当n=1 时,S3=4S1+3=4a1+3=7,故A 正确;对于B,假设{an}是等差数列,设公差为d,则Sn=na1+n(n-1)
2
d,Sn+2=(n+2)a1+(n+1)(n+2)
2
d,由Sn+2=4Sn+3 得(n+2)a1+(n+1)(n+2)
2
d=4na1+4 n(n-1)
2
d+3,即n
2
2
d+(
3
2 d +a1)
n+(2a1+d)=2n2d+(4a1-2d)n+3,根据多项式相等可得{
d
2 =2d ,
3
2 d +a1= 4 a1-2d ,
2a1+d =3,
方程组无解,所以{an}一定不是等差数列,故B 正确;
对于C,若{an}为等比数列,由Sn+2=4Sn+3,Sn+3=4Sn+1+3 两式相减得an+3=4an+1,即anq3=4anq,由an≠0 得q2=4,解得q=±2,故C 错误;对
于D,若a1=1,a2=2,则S1=a1=1,S2=a1+a2=1+2=3,当n=1 时,S3=4S1+3=7,所以a3=S3-S2=7-3=4,当n≥2 时,Sn+2=4Sn+3,Sn+1=4Sn-1+3,两式
相减可得an+2=4an,即an+2
an
=4,所以数列{an}的奇数项是以a1=1 为首项,4 为公比的等比数列,偶数项是以2 为首项,4 为公比的
等比数列,又a2
a1
=2,a3
a2
=2,所以数列{an}为等比数列,故D 正确.
10.如图是函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,-π
2
<φ<0)的部分图象,则下列结论正确的是(AC)
A.f(x)=2cos(
1
2 x - π
3)
B.f(x)的图象关于(
3 π
2 ,0)中心对称
C.f(x)在(-1,2)上单调递增
D.f(x)的图象向左平移2π
3
个单位长度后为奇函数
解析　对于A,由f(0)=1 得cos φ=1
2
,由-π
2
<φ<0 得φ=-π
3
,由f(- π
3)=0 得cos[- π
3 (ω+1)]=0,故-π
3
(ω+1)=π
2
+kπ(k∈Z),化简
得ω=-5
2-3k(k∈Z),由图可知该函数的周期T=2π
ω >π
3 ×4,故0<ω<3
2,解得ω=1
2,所以f(x)=2cos(
1
2 x - π
3),故A 正确;对于B,由f
(
3 π
2 )=2cos5 π
12
≠0,得(
3 π
2 ,0)不是函数的对称中心,故B 错误;对于C,由-1<x<2,可得-1
2
-π
3
<1
2
x-π
3
<1-π
3
,由-π
2
<-1
2
-π
3
<1
2
x-
π
3 <1-π
3 <0,得函数f(x)在(-1,2)上单调递增,故C 正确;对于D,f(x)的图象向左平移2π
3 个单位长度后得到函数f(x + 2π
3 )=2cos
1
2x 的图象,此时f(x + 2π
3 )为偶函数,故D 错误.
11.(2025·池州二模)定义:既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”,“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美
曲线”的顶点.已知曲线C:2x2+3y2+x2y2=6,下列说法正确的是(AD)
A.曲线C 是“和美曲线”
B.点(√2,0)是曲线C 的一个顶点
C.曲线C 所围成的封闭图形的面积S>4√6
D.当点(x0,y0)在曲线C 上时,y0
2≤
6
x0
2+3
解析　对于A,将(-x,-y)代入曲线方程,易知成立,故曲线关于原点对称,将(-x,y),(x,-y)代入,易知成立,故曲线关于坐标轴对称,故
A 正确;对于B,令y=0 可得:x2=3,即x=±√3,故B 错,对于C,2x2+3y2=6-x2y2≤6,所以曲线C 所围成的封闭图形在椭圆x
2
3
+ y
2
2
=1
内部,而椭圆面积为:π×√3×√2=√6π<4√6,故C 错误;对于D,由2x2+3y2+x2y2=6,可得y2=6-2 x
2
3+ x
2 ,所以y0
2=6-2 x0
2
x0
2+3
≤
6
x0
2+3 ,当
x0=0 时取等号,故D 正确.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.已知正实数a,b 满足logab+logba=5
2
,aa=bb,则a+b= 3
4
 .
解析　令t=logab,则logba=1
t ,由logab+logba=5
2,得t+1
t =5
2,所以2t2-5t+2=0,解得t=1
2或t=2,所以logab=1
2或logab=2,所以a
1
2=b
或a2=b,当a
1
2=b 时,则a=b2,由aa=bb,得(b
2)
a=b2a=bb,所以2a=b,由{
2a=b,
a=b
2,
又a>0,解得{
a= 1
4
b= 1
2
,所以a+b=3
4 ;当a2=b 时,由
aa=bb,得aa=(a
2)
b=a2b,所以a=2b,由{
a=2b,
a
2=b,
又a>0,解得{
a= 1
2 ,
b= 1
4 ,
所以a+b=3
4
,综上所述,a+b=3
4
.
13.(2025·威海模拟)已知底面半径为3 的圆锥SO,其轴截面是正三角形,它的一个内接圆柱的底面半径为1,则此圆柱的侧面
积为 4 √3π   .
解析　如图作出圆锥的轴截面SAB,根据题意可知AB=SA=SB=6,OB=OA=3,OC=OD=1,所以可得SO=√S A
2-O A
2=√36-9
=3√3,根据三角形相似可得△ACE∽△AOS,所以CE
SO
= AC
AO
,可求得CE=2√3,根据圆柱侧面积公式可得S=2πrh=2×π×1×2√3
=4√3π.
14.(2025·安庆模拟)将3 个1,3 个2,3 个3 共9 个数分别填入如图3×3 方格中,使得每行、每列的和都是3 的倍数的概率为 
1
70 .
解析　将3 个1,3 个2,3 个3 共9 个数填入一共有C9
3C6
3C3
3=1 680 种方法.每行,每列的和为3 的倍数有两种可能:①每行或
每列的数字相同,有2A3
3=12 种方法,②每行或每列的数字1,2,3 各一个,有A3
3C2
1=12 种方法.所以每行,每列的和都是3 的倍
数的概率为P=12+12
1 680 = 1
70 .
小题标准测9　“ 8+3+3”　73 分测
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在复平面内,复数z=i-a
i
对应的点坐标为(1,-2),则实数a=(D)
A.1
B.-1
C.2
D.-2
解析　因为z=i-a
i
=(i-a)i
i
2
=1+ai,则复数z 在复平面内对应的点为(1,a),又复数z=i-a
i
对应的点坐标为(1,-2),所以a=-2.
2.已知集合A={x|lg x<0},B={x|x2-2x-3≤0},则(∁RA)∩B=(C)
A.(-∞,-1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,3]
D.(-∞,0]∪[1,+∞)
解析　由lg x<0,得0<x<1,故A=(0,1),∁RA=(-∞,0]∪[1,+∞).由x2-2x-3≤0,得-1≤x≤3,故B=[-1,3],所以(∁RA)∩B=[-1,0]∪[1,3].
3.(2025·黑龙江一模)已知sin(α-β)=-1
3,且sin αcos β=1
6 ,则cos(2α+2β)=(C)
A.5
9
B.-1
9
C.1
9
D.4
9
解析　已知sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-1
3,且sin αcos β=1
6 ,则cos αsin β=1
2,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=2
3 ,则
cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1-2×(
2
3)
2
=1-8
9
=1
9
.
4.(2025·兰州一模)将1,2,3,4,5,6 随机排成一行,前三位数字构成三位数a,后三位数字构成三位数b,记m=|a-b|,m 大于100 的概
率是(D)
A.11
12
B. 9
10
C.8
9
D.5
6
解析　先求m 小于100 的概率,百位必相邻,且较大数的十位小于较小数的十位,个位无限制,分两步:(1)取百位的概率为5
C6
2 =
1
3
;(2)取十位,在剩下的4 个数字中取两数分配给a,b 作十位,而a 的十位大于b 的十位与a 的十位小于b 的十位的概率相等,
此步符合要求的概率为1
2,所以m 小于100 的概率为1
3 ×1
2=1
6 .故m 大于100 的概率是1-1
6 =5
6 .
5.(2025·辽宁模拟)如图,正方形A1B1C1D1的边长为1,
取正方形各边的四等分点A2,B2,C2,D2,得到第2 个正方形A2B2C2D2,再取正方形A2B2C2D2各边的四等分点A3,B3,C3,D3,得到第
3 个正方形A3B3C3D3,依此方法一直进行下去,若从第k 个正方形开始它的面积小于第1 个正方形面积的1
50
,则k=(参考数据:
lg 2≈0.3)(C)
A.8
B.9
C.10
D.11
解析　由已知得正方形的边长成等比数列,第二个正方形的边长为√(
3
4)
2
+(
1
4)
2
=√10
4
,所以其公比为√10
4
.设第n 个正方
形的面积为an,则an
an-1
=(
√10
4 )
2
=5
8 (n≥2),当n=1 时,a1=1,所以an=(
5
8)
n-1
,由an< 1
50a1,得(
5
8)
n-1
< 1
50,所以(n-1)lg5
8 <lg 1
50 ,即
n-1>-lg 50
lg 5-lg 8
=-lg 5-1
lg 5-3lg 2
=-(1-lg 2)-1
1-lg 2-3lg 2
= lg 2-2
1- 4lg 2
≈
0.3-2
1- 4×0.3
=8.5,所以n>9.5,所以k=10.
6.(2025·天津高考)已知r 为相关系数,则下列说法中错误的是(B)
A.若X~N(μ,σ2),则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)
B.若X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X<1)<P(Y<2)
C.|r|越接近1,线性相关性越强
D.|r|越接近0,线性相关性越弱
解析　由正态曲线的对称性可知P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ),A 项正确.若X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X<1)=P(Y<2)=1
2,B 项错误.样本
相关系数r 的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度,当|r|越接近1 时,成对样本数据的线性相关程度越强;
当|r|越接近0 时,成对样本数据的线性相关程度越弱,所以C 项,D 项正确.
7.(2025·河北二模)已知圆台的母线长为4,下底面的半径是上底面半径的3 倍,母线与底面所成的角为60°,那么圆台的外接
球的表面积为(D)
A.28
3
π B.56
3
π C.28π
D.112
3
π
解析　因为母线与底面所成的角为60°,则圆台的高DF=2√3,上底面半径BD=1,下底面半径AC=3,设外接球的半径为R,球
心到上底面的距离为h,则{
R
2=h
2+1,
R
2=(2 √3-h)
2+9,
解得h=5√3
3
,所以R2=h2+1=28
3 ,所以S=4πR2=112π
3
.
8.(2025·北京朝阳区模拟)某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园,如图所示.这条河两岸所在直线l1,l2互相平行,桥DE
与河岸所在直线垂直.休闲公园的形状可视为直角三角形,它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A,B,C 处,其中入口A 点
(定点)在桥DE 上,且A 到直线l1,l2的距离分别为h1,h2(h1,h2为定值),入口B,C 分别在直线l2,l1上,公园的一边AB 与直线l2所成
的锐角∠ABD 为α,另一边AC 与AB 垂直.设该休闲公园的面积为S(α),当α 变化时,下列说法正确的是(D)
A.函数S(α)的最大值为h1h2
B.函数S(α)的最小值为h1h2
2
C.若α1,α2∈(0, π
2)且α1<α2,则S(α1)<S(α2)
D.若α1,α2∈(0, π
2)且α1+α2=π
2
,则S(α1)=S(α2)
解析　在Rt△ABD 中,∠ABD=α,AD=h2,根据正弦函数的定义,可得AB=
h2
sin α
. 因为∠BAC=π
2 ,∠ABD=α,所以∠CAE=α,在
Rt△ACE 中,AE=h1,根据余弦函数的定义,可得AC=
h1
cos α
. 对于△ABC,S(α)=1
2AB·AC,将AB=
h2
sin α
,AC=
h1
cos α
代入可得:
S(α)=1
2
·
h2
sin α
·
h1
cos α
=
h1h2
2sin αcos α
,进一步化简为S(α)=
h1h2
sin 2α
,α∈(0, π
2). 对于选项A,因为α∈(0, π
2),所以
2α∈(0,π),sin 2α∈(0,1].当sin 2α 取最小值0(取不到)时,S(α)=
h1h2
sin 2α
没有最大值,所以A 错误. 对于选项B,由S(α)=
h1h2
sin 2α
,sin 2α∈(0,1],当sin 2α=1,即2α=π
2 ,α=π
4 时,S(α)取得最小值h1h2,所以B 错误. 对于选项C,当α∈(0, π
4)时,2α∈(0, π
2),sin 2α
单调递增,S(α)=
h1h2
sin 2α
单调递减;当α∈(
π
4 , π
2)时,2α∈(
π
2 ,π),sin 2α 单调递减,S(α)=
h1h2
sin 2α
单调递增.所以若α1,α2∈
(0, π
2)且α1<α2,不一定有S(α1)<S(α2),C 错误. 对于选项D,若α1,α2∈(0, π
2)且α1+α2=π
2 ,则2α1+2α2=π,sin 2α1=sin(π-2α2)=sin 
2α2.因为S(α1)=
h1h2
sin 2α1
,S(α2)=
h1h2
sin 2α2
,所以S(α1)=S(α2),D 正确.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6 分,部分选对
的得部分分,有选错的得0 分.
9.已知a,b 均为正实数,且过点M(a,b)的直线与抛物线y2=-2px(p>0)相切于点N(-2, 4
3),下列说法正确的是
(ACD)
A.a+3b=2
B.a2+b2的最小值为1
2
C.2
a
+ a
3b
的最小值为3
D. 1
a+1
+ 3
b+2
的最小值为16
9
解析　由N(-2, 4
3)在抛物线上,可得:4p=16
9 ,得p=4
9 ,所以抛物线方程为y2=-8
9x,又切线过点M(a,b),且a,b 均为正实数,所以
取y=√- 8
9 x,则y'=1
2×(- 8
9)×(- 8
9 x)
- 1
2=-4
9 ×(- 8
9 x)
- 1
2,可得以点N(-2, 4
3)为切点的切线斜率为-1
3,所以切线方程为y-
4
3
=-1
3
(x+2),即x+3y-2=0.又切线过点(a,b),故a+3b=2,所以选项A 正确;因为a+3b=2,所以a=2-3b,又a,b 均为正实数,所以0<b<
2
3
.a2+b2=(2-3b)2+b2=10b2-12b+4=10(b- 3
5)
2
+2
5
,当b=3
5
时,a2+b2取得最小值,最小值为2
5
,所以选项B 错误;2
a
+ a
3b
=a+3b
a
+
a
3b
=1+3b
a
+ a
3b
≥1+2√
3b
a · a
3b
=3,当且仅当3b
a
= a
3b
,即a=3b=1 时取等号,所以选项C 正确;因为a+3b=2,所以
(a+1)+3(b+2)=9, 1
a+1
+ 3
b+2
= 1
a+1
+
9
3(b+2)
=1
9
[(a+1)+3(b+2)][
1
a+1 +
9
3(b+2)]=1
9[10+ 3(b+2)
a+1
+ 9(a+1)
3(b+2)]≥1
9
(10+
2√9)=16
9
,当且仅当3(b+2)
a+1
=9(a+1)
3(b+2)
,即a+1=b+2=9
4
时取等号,所以选项D 正确.
10.已知fn(x)=sin2nx+cos2nx(n∈N*),则
(BCD)
A.f2(x)的最小正周期为π
B.f3(x)在(
π
4 , π
2)上是单调函数
C.fn(x)的图象关于直线x=π
2
对称
D. 1
2
n-1≤fn(x)≤1
解析　因为fn(x)=sin2nx+cos2nx.对于A,因为f2(x)=sin4x+cos4x=(sin
2 x +co s
2 x)
2-2sin2xcos2x=1-1
2sin22x=1-1
2×1-cos 4 x
2
=
3+cos 4 x
4
,所以f2(x)的最小正周期为T=2π
4
=π
2
,故A 错误;对于B,因为f3(x)=sin6x+cos6x=sin6x+(1- sin
2 x)
3
=3sin4x-3sin2x+1,令t=sin2x∈(
1
2 ,1),可得g(t)=3t2-3t+1,其图象开口向上,对称轴为t=1
2
,可知y=g(t)在(
1
2 ,1)内单调递增,且
t=sin2x 在(
π
4 , π
2)内单调递增,所以f3(x)在(
π
4 , π
2)上是单调函数,故B 正确;对于C,fn(π-x)=[sin(π-x)]2n+[cos(π-x)]2n=(sin x)2n+(-
cos x)2n=sin2nx+cos2nx=fn(x),所以函数fn(x)的图象关于直线x=π
2
对称,故C 正确;对于D,因为fn(
π
2 + x)=[sin(
π
2 + x)]
2n
+
[cos(
π
2 + x)]
2n
=(cos x)2n+(-sin x)2n=sin2nx+cos2nx=fn(x),所以函数fn(x)为周期函数,且π
2
是函数fn(x)的一个周期,只需求出函数
fn(x)在[0, π
2]上的值域,即为函数fn(x)在R 上的值域,由fn(x)=sin2nx+cos2nx,则fn'(x)=2nsin2n-1xcos x-2ncos2n-1xsin x=2nsin xcos 
x(sin2n-2x-cos2n-2x),当x∈(
π
4 , π
2)时,0<cos x<√2
2
<sin x<1,故sin2n-2x>cos2n-2x,此时fn'(x)>0,函数fn(x)在[
π
4 , π
2]上单调递增,当x∈
(0, π
4)时,0<sin x<√2
2
<cos x<1,sin2n-2x<cos2n-2x,此时fn'(x)<0,函数fn(x)在[0, π
4]上单调递减,所以当x∈[0, π
2]时,fn(x)min=fn
(
π
4)=(
1
2)
n
×2=(
1
2)
n-1
,又因为f(0)=f(
π
2)=1,则f(x)max=1,则函数fn(x)的值域为[(
1
2)
n-1
,1],故D 正确.
11.笛卡尔叶形线是一个代数曲线,首先由笛卡尔在1638 年提出.如图,叶形线C:x3+y3=axy 经过点A(
3
2 , 3
2),点P(x0,y0)在C 上,
则下列结论正确的是
(BCD)
A.直线y=-x 与C 有3 个公共点
B.若点P 在第二象限,则x0+y0<0
C.x0+y0>-1
D. x0+y0≤3
解析　因为叶形线C:x3+y3=axy 经过点A(
3
2 , 3
2),所以a=3.联立{
x
3+ y
3=3 xy ,
y =- x ,
解得x=y=0,所以直线y=-x 与C 只有1 个公
共点,A 错误.x3+y3=3xy=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy].因为点P 在第二象限,所以x0y0<0,( x0+ y0)
2-3x0y0>0,所以x0+y0=
3 x0 y0
( x0+ y0)
2-3 x0 y0
<0,B 正确.若点P 在第四象限,则x0y0<0,可推出 x0+y0<0.因为x3+y3=3xy=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-
3xy]=(x+y)3-3xy(x+y),所以3xy(x+y+1)=(x+y)3.当点P 在第二、四象限时,x0+y0+1=( x0+ y0)
3
3 x0 y0
>0,所以x0+y0>-1.当点P 是原点或
在
第一象限时,易得x0+y0>-1,所以x0+y0>-1,C 正确.由3xy(x+y+1)=(x+y)3,可得3xy=( x + y)
3
x + y +1
≤3(
x + y
2 )
2
,解得x+y≤3,所以
x0+y0≤3,D 正确.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.(2025·邢台一模)若向量a,b 满足|a-b|=√23,a·b=1,则|a+b|= 3√3 .
解析　因为|a-b|=√23,a·b=1,所以|a-b|2=a2+b2-2a·b=23,所以a2+b2=25,所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=25+2=27,所以|a+b|=3√3.
13.(2025·宜春模拟)(1- 2 x
y )(x+y)6的展开式中x4y2的系数为 -25 
  .
解析　当(1- 2 x
y )取1,(x+y)6取x4y2,x4y2的系数为C6
2=15;当(1- 2 x
y )取-2 x
y ,(x+y)6取x3y3时,得x4y2的系数为:-2C6
3=-40.所以
x4y2的系数为:15-40=-25.
14.已知双曲线x
2
a
2-
y
2
6-a
2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2且倾斜角为π
3 的直线与双曲线交于第一象限的点A,延长
AF2至B,使得|AB|=|AF1|.若△BF1F2的面积为3√6,则a 的值为 √3 .
解析　如图,由题意得,|F1F2|=2√a
2+6-a
2=2√6,由双曲线的定义知,|AF1|-|AF2|=|AB|-|AF2|=|BF2|=2a,因为S△B F1F2=1
2
|BF2|×|
F1F2|sinπ
3
=3√6,所以1
2
×2a×2√6×√3
2
=3√6,解得a=√3.
小题标准测10　“ 8+3+3”　73 分测
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2025·江西八校模拟)设集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|ln(x-2)<2},则A∩B=(C)
A.[-1,3] B. [-1,e2+2)
C.(2,3]
D.(2,3)
解析　由x2-2x-3≤0,可得(x-3)(x+1)≤0,解得-1≤x≤3,即A=[-1,3],由ln(x-2)<2=ln e2,解得2<x<e2+2,即B=(2,e2+2),所以A∩B=(2,3].
2.已知α,β∈(0, π
2),3cos(α+β)=cos αcos β,则tan(α+β)的最小值是(C)
A.2√3 B.2√5
C.2√6
D.2√7
解析　由3cos(α+β)=3cos αcos β-3sin αsin β=cos αcos β,得2cos αcos β=3sin αsin β,因为α,β∈(0, π
2),所以tan αtan β=2
3
,且
tan α>0,tan β>0,tan(α+β)= tan α + tan β
1- tan αtan β
=3(tan α+tan β)≥3×2√tan αtan β=2√6,当且仅当tan α=tan β=√6
3
时取等号.
3.目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱,其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是人们购车时所要
考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池,且两组电池能否正常使用相互独立.电池的正
常使用年限ξ(单位:年)服从正态分布,P(ξ>10)=0.8,P(ξ<30)=0.8,则这两组电池在20 年内都能正常使用的概率为(D)
A.4
9
B. 3
4
C. 1
2
D. 1
4
解析　因为P(ξ>10)=0.8,P(ξ<30)=0.8,所以P(ξ≤10)=1-0.8=0.2=P(ξ≥30),所以正态曲线的对称轴为ξ=20,则P(ξ≥20)=1
2,即一组
电池在20 年内能正常使用的概率为1
2,所以这两组电池在20 年内都能正常使用的概率为1
2×1
2=1
4 .故选D.
4.(2025·株洲模拟)已知等差数列{an}的公差不为0,前n 项和为Sn,若S5=10(a5-1),|a4|=|a8|,则(D)
A.an=2n-10
B.数列{|an|}最小项是|a5|
C.Sn的最小值是-28
D.当Sn>an时,n>12
解析　等差数列{an}中,S5=5a3=10(a5-1),所以a3=2a5-2,即a1+2d=2(a1+4d)-2,化简得a1+6d=2,由|a4|=|a8|可得|a1+3d|=|a1+7d|,解得
a1=-5d 或d=0(舍去),联立可得d=2,a1=-10,从而an=-10+2(n-1)=2n-12,故A 错误;因为|an|={
12-2n,n≤6,
2n-12,n≥7,所以数列{|an|}的最小
项是|a6|,故B 错误;因为Sn=-10n+n(n-1)
2
×2=n2-11n=(n- 11
2 )
2
-121
4 ,所以Sn的最小值是S5=S6=-30,故C 错误;由Sn>an,即n2-
11n>2n-12,解得n<1(舍去)或n>12,故D 正确.
5.(2025·赣州一模)已知函数f(x)=2cos(ωx + π
6),x∈[-π,0],若f(x)恰有3 个极值点,则正数ω 的取值范围为(C)
A.[
8
3 , 11
3 )
B.(
8
3 , 11
3 ]
C.[
13
6 , 19
6 )
D.(
13
6 , 19
6 ]
解析　因为ω>0,所以当x∈[-π,0]时,ωx+π
6 ∈[-ωπ + π
6 , π
6],因为f(x)恰有3 个极值点,所以-3π<-ωπ+π
6 ≤-2π,解得13
6 ≤ω<19
6
,即ω 的取值范围为[
13
6 , 19
6 ).
6.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当0≤x≤1 时,f(x)=2x-1,则f(log212)=(A)
A.-1
3
B. -1
4
C. 1
3
D. 1
2
解析　在R 上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),所以f(2+x)=f(-x)=-f(x),f(4+x)=f(x),即函数f(x)的周期为4,而8<12<16,则
3<log212<4,-1<log212-4<0,又当0≤x≤1 时,f(x)=2x-1,所以f(log212)=f(log212-4)=f(lo g2
3
4)=-f(lo g2
4
3)=-(2
lo g2
4
3-1)=-1
3
.
7.函数f(x)=ex- x
3
λ
(λ>0)在区间(1,3)上单调递增,则实数λ 的取值范围是(A)
A.[
12
e
2 ,+∞)
B. [4e2,+∞)
C.(-∞, 3
4 e]
D.(-∞, 5
e
3]
解析　因为f(x)=ex- x
3
λ
,所以f'(x)=ex-3 x
2
λ
,由题意可知f'(x)=ex-3 x
2
λ
≥0 在区间(1,3)上恒成立,且λ>0,所以λ≥3x2e-x在区间(1,3)上
恒成立.设g(x)=3x2e-x,则g'(x)=6xe-x-3x2e-x=3x(2-x)e-x,令g'(x)>0,得0<x<2;令g'(x)<0,得x<0 或x>2,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,
在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.又当x→-∞时,g(x)→+∞;当x→+∞时,g(x)→0,作出g(x)的大致图象如图所示,所以g(x)
在区间(1,3)上的最大值为g(2)=12
e
2 ,所以要使函数f(x)在区间(1,3)上单调递增,则需λ≥12
e
2 ,故实数λ 的取值范围是[
12
e
2 ,+∞).
故选A.
8.(2025·南京联考)已知2 024m=2 025,2 023m=x+2 024,2 025m=y+2 026,则(D)
A.0<x<yB.x<y<0
C.y<x<0 D.x<0<y
解析　因为2 024m=2 025,所以得:m=log2 0242 025>1,因为2 024m=2 025,2 023m=x+2 024,2 025m=y+2 026,所以2 024m-2 
025=0(m>1),2 023m-2 024=x,2 025m-2 026=y,记f(x)=xm-(x+1)(x≥2 023,m>1),则f'(x)=mxm-1-1>xm-1-1>0,所以f(x)在[2 023,+∞)上单
调递增,所以f(2 023)<f(2 024)<f(2 025),即x<0<y.
二、选择题:本题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6 分,部分选对
的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025·江西一模)已知复数z1,z2(z1z2≠0)在复平面内对应的向量分别为⃗O Z1,⃗O Z2(其中O 为原点),则下列命题正确的是(AB)
A.若⃗O Z1⊥⃗O Z2,则|z1+z2|=|z1-z2|
B.若|⃗O Z1|=5,则|z1-2|的最小值为3
C.若(⃗O Z1+⃗O Z2)⊥(⃗O Z1-⃗O Z2),则z1=z2
D.若|⃗O Z1|>|⃗O Z2|,则z1>z2
解析　对于A,若⃗O Z1⊥⃗O Z2,则复平面内以有向线段⃗O Z1和⃗O Z2为邻边的平行四边形是矩形,根据矩形的对角线相等和
复数加减法的几何意义可知,选项A 正确;对于B,若|⃗O Z1|=5,则点Z1的轨迹是以O 为圆心,以5 为半径的圆,设z1=5cos 
θ+5isin θ,θ∈[0,2π),则|z1-2|=√(5 cos θ -2)
2+(5 sin θ)
2=√29-20cos θ,因为-1≤cos θ≤1,可得|z1-2|min=√29-20=3,故B
正确;对于C,(⃗O Z1+⃗O Z2)⊥(⃗O Z1-⃗O Z2)⇔(⃗O Z1+⃗O Z2)·(⃗O Z1-⃗O Z2)=0⇔⃗O Z1
2-⃗O Z2
2=0⇔|z1|=|z2|,取z1=1,z2=i,显然|z1|=|z2|,
但z1≠z2,故C 错误;对于D,两个复数当且仅当它们同为实数时才能比较大小,故D 错误.
10.记△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若b>c,cos B=√6
4
,a=√6
2
b,则(BD)
A.A=√6
2
B
B.A=2B
C.b=√3c
D.b=2c
解析　因为cos B=√6
4
,B 是三角形内角,则sin B>0.所以sin B=√1-co s
2B=√
1-(
√6
4 )
2
=√10
4
,已知a=√6
2
b,由正弦定理可
得:sin A=√6sin B
2
=√15
4
,又因为sin 2B=2sin Bcos B=2×√10
4
×√6
4
=√15
4
,所以sin A=sin 2B.因为b>c,所以B>C,且
A+B+C=π,那么A=2B 或A+2B=π.若A+2B=π,又A+B+C=π,则B=C,这与B>C 矛盾,所以A=2B,故选项B 正确,A 错误. 由余弦定
理可得:b2=(
√6
2 b)
2
+c2-2×√6
2
b×c×√6
4
,得b2-3bc+2c2=0,则b=c 或b=2c.因为b>c,所以b=2c,故选项D 正确,C 错误.故选BD.
11.如图,棱长为3 的正方体ABCD A
⁃
1B1C1D1,动点P 在正方体ABCD A
⁃
1B1C1D1内及其边界上运动,点E 在棱AD 上,且AE=√3,
则下列说法正确的是
(ABD)
A.若⃗BP=λ⃗BC+μ⃗B B1,且λ+μ=1,则三棱锥P A
⁃
1C1D 体积为定值
B.若A1P⊥C1D,则动点P 所围成的图形的面积为9√2
C.若sin∠PAB=2sin∠PBA,则PC1的最小值为3
D.若动点P 在正方形ABCD 内(包含边界),异面直线B1P 与A1E 所成角为π
6
,则P 的轨迹所在圆锥曲线的离心率为√3
3
解析　对A,因为动点P 在正方体ABCD A
⁃
1B1C1D1内及其边界上,且⃗BP=λ⃗BC+μ⃗B B1,λ+μ=1,则P 的轨迹为线段B1C.由于
B1C∥A1D,A1D⊂平面A1C1D,B1C⊄平面A1C1D.所以B1C∥平面A1C1D,所以三棱锥P A
⁃
1C1D 的体积为定值,故A 正确;对B,易知
C1D⊥平面A1BCD1,动点P 在正方体ABCD A
⁃
1B1C1D1内及其边界上,且A1P⊥C1D,所以动点P 所围成的图形是矩形A1BCD1,则
面积为3×3√2=9√2,故B 正确;对C,在△PAB 中sin∠PAB=2sin∠PBA,由正弦定理可得
PA
sin ∠PBA =
PB
sin ∠PAB ,所以PA
PB =
sin∠PBA
sin∠PAB =1
2,故PB=2PA,以A 为原点,⃗AB,⃗AD,⃗A A1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,如图①,则
A(0,0,0),B(3,0,0),C1(3,3,3),设P(x,y,z),x,y,z∈[0,3],则|PB|=√( x -3)
2+ y
2+ z
2,|PA|=√x
2+ y
2+ z
2,又因为|PB|=2|PA|,整理得:
(x+1)2+y2+z2=4,所以空间动点P 的轨迹是以O(-1,0,0)为球心,2 为半径且位于正方体内的部分球体,又因为|OC1|=√4
2+3
2+3
2
=√34,所以|P C1|min=|OC1|-R=√34-2,故C 错误;
①
②
对D,在棱BC 上取BF=√3,则B1F∥A1E.因为异面直线B1P 与A1E 所成角为π
6
,则直线B1P 与B1F 所成角为π
6
,故空间动点P 的
轨迹是以B1F 为旋转轴,B1P 为母线的共顶点B1的双圆锥,如图②,直线B1B 是圆锥的一条母线,又动点P 在底面ABCD 内,故
动点P 的轨迹在平面ABCD 与双圆锥的截痕(椭圆)上,椭圆以BG 为长轴,球O 是底面ABCD 与圆锥封闭几何体的内切球,
③
球O 与底面ABCD 的切点F1为椭圆靠近顶点B 的焦点,如图③,2a=|BG|=3√3,即a=3√3
2
,2|BF1|=|BG|+|BB1|-|B1G|,即2(a-c)=3
√3+3-6,则c=3
2,所以椭圆的离心率e=c
a =√3
3
,故D 正确.
三、填空题:本题共3 小题,每小题5 分,共15 分.
12.若二项式(a x
2+ 2
√x)
5
展开式中的常数项为160,则a= 2 .
解析　由题二项式展开式的通项为:Tr+1=C5
r·(a x
2)
5-r·(
2
√x)
r
=2r·a5-r·C5
r·x
10- 5
2 r,所以当r=4 时的项为常数项24·a·C5
4=160,
解得a=2.
13.(2025·三明模拟)在平面直角坐标系中,O(0,0),A(sin α,cos α),B(cos(α + π
6),sin(α + π
6)),当∠AOB=2π
3 时,写出α 的一
个值为 - π
6(满足α =- π
6 + kπ 或α = π
2 + kπ(k ∈Z )的其中一值) .
解析　由题意可得⃗OA=(sin α,cos α),⃗OB=(cos(α + π
6),sin(α + π
6)),所以|⃗OA|=√sin
2α +co s
2α=1,同理可得|⃗OB|=1,则
cos∠AOB=cos<⃗OA,⃗OB>=⃗
OA ·⃗OB
|⃗OA ||⃗OB|
=sin αcos(α + π
6)+cos αsin(α + π
6)=sin(2α + π
6)=cos2π
3
=-1
2
,所以2α+π
6
=-π
6
+2kπ(k∈Z)或2α+π
6 =7 π
6
+2kπ(k∈Z),解得α=-π
6 +kπ(k∈Z)或α=π
2 +kπ(k∈Z).
14.(2025·吉林模拟)双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲
线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线,平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1,F2分别为双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过右支上一点A 作双曲线C 的切线与x 轴交于点P,设I 为△AF1F2的内心,且3|PF1|=5|
PF2|,∠F1AF2=2π
3
,则|A F1|
|A F2|
= 5
3
 ,| AI |
| IP|
= 8
7
 .
解析　由双曲线的光学性质有:AP 是∠F1AF2的平分线,由角平分线定理可知,|P F1|
|P F2|
=|A F1|
|A F2|
=5
3,因为|F1F2|=2c,所以|PF1|=
5
4 c,由双曲线定义可知|AF1|-|AF2|=2a,所以|AF1|=5a,|AF2|=3a,在△AF1F2中,由余弦定理可得,4c2=(5a)2+(3a)2-2×5a×3a×cos2π
3 ,
所以4c2=49a2,所以e2=c
2
a
2=49
4 ,因为e>1,所以e=7
2,连接F1I,因为I 为△AF1F2内心,所以F1I 是∠AF1F2的平分线,在△AF1P 中,
由角平分线定理可知| AI |
| IP| =|A F1|
|P F1|
=
5a
5
4 c =4 a
c =4
e =8
7 .
第二部分　解答标准测
解答标准测1　“15—17 题”　43 分测
15.已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,asin A-bsin B=(√3a-c)sin C.
(1)求B;
(2)若a+c=2√3+2,求b 的最小值.
解　(1)因为asin A-bsin B=(√3a-c)sin C,所以由正弦定理得a2-b2=(√3a-c)c,所以a2+c2-b2=√3ac.由余弦定理得cos B=
a
2+c
2-b
2
2ac
=√3ac
2ac
=√3
2
,又B∈(0,π),所以B=π
6
.
(2)由(1)得,a2+c2-√3ac=b2,所以(a+c)2-2ac-√3ac=b2,所以(a+c)2-b2=(2+√3)ac≤(2+√3)(
a+c
2 )
2
,当且仅当a=c 时取等号,所以b2≥
2-√3
4
(a+c)2=2-√3
4
×(2 √3+2)
2=2,所以b 的最小值为√2.
16.(2025·济宁一模)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+1,b1+b2+…+bn=2n-1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设数列{
an
bn}的前n 项和为Sn,求证:Sn<6.
解　(1)因为a1=1,nan+1=(n+1)an+1,可得an+1
n+1
=an
n
+
1
n(n+1)=an
n
+1
n- 1
n+1,即an+1
n+1
+ 1
n+1=an
n
+1
n,可知数列{
an
n + 1
n}为常数
列,则an
n
+1
n=a1+1=2,所以an=2n-1;又因为b1+b2+…+bn=2n-1,则有:若n=1,可得b1=1;若n≥2,则b1+b2+…+bn-1=2n-1-1,两式相减得
bn=2n-2n-1=2n-1;且b1=1 符合上式,所以bn=2n-1.
(2)证明:由(1)可知:an
bn
=2n-1
2
n-1 =2n+1
2
n-2 -2n+3
2
n-1 ,可得Sn=(6-5)+(5- 7
2)+…+(
2n+1
2
n-2 - 2n+3
2
n-1 )=6-2n+3
2
n-1 ,显然2n+3
2
n-1 >0,所
以Sn<6.
17.(2025·日照一模)近期根据中国消费者信息研究报告显示,超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物,某网购专营店统
计了2025 年1 月5 日到9 日这5 天到该专营店购物的人数y 和时间第x 天间的数据,列表如下:
x
1
2
3
4
5
y
75
84
93
98
100
(1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y 和时间第x 天之间的关系?若可用,估计1 月10 日到该专营
店购物的人数;若不可用,请说明理由(人数用四舍五入法取整数,若样本相关系数|r|>0.75,则线性相关程度很高,可以用线性回
归模型拟合,r 精确到0.01);
(2)该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案.方案一:购物金额每满100 元可减5 元;方案二:一次性购物金额超过800 元可
抽奖三次,每次中奖的概率均为1
4
,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9 折,中奖两次打8 折,中奖三次打6 折.某顾客计划在此
专营店购买1 000 元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.
参考数据:√4 340≈65.88.
附:样本相关系数r=
∑
i=1
n
( xi- x)( yi- y)
√∑
i=1
n
❑( xi- x)
2√∑
i=1
n
❑( yi- y)
2
,经验回归方程是^y=^bx+^a,其中^b=
∑
i=1
n
( xi- x)( yi- y)
∑
i=1
n
❑( xi- x)
2
,^a=y-^b x.
解　(1)由表中数据可得x=3,y=90,∑
i=1
5
❑( xi- x)
2=10,∑
i=1
5
❑( yi- y)
2=434,∑
i=1
5
❑(xi-x)(yi-y)=64,所以r=
∑
i=1
n
( xi- x)( yi- y)
√∑
i=1
n
❑( xi- x)
2√∑
i=1
n
❑( yi- y)
2
=
64
√4 340
≈0.97>0.75,所以可用线性回归模型拟合人数y 与时间第x 天之间的关系.而^b
=
∑
i=1
n
( xi- x)( yi- y)
∑
i=1
n
❑( xi- x)
2
=64
10
=6.4,则^a=y-^b x=90-6.4×3=70.8,所以^y=6.4x+70.8,令x=6,可得^y=109.2,所以1 月10 日到该专营
店购物的人数约为109.
(2)若选方案一:需付款1 000-50=950(元).若选方案二:设需付款X 元,则X 的取值可能为600,800,900,1 000,则P(X=600)=C3
3×
(
1
4)
3
= 1
64
,P(X=800)=C3
2×(
1
4)
2
×3
4
= 9
64
,P(X=900)=C3
1×1
4
×(
3
4)
2
=27
64
,P(X=1 000)=C3
0×(
3
4)
3
=27
64
,所以E(X)=600× 1
64
+800×
9
64
+900×27
64
+1 000×27
64
=59 100
64
<950,因此选择方案二更优惠.
解答标准测2　“15—17 题”　43 分测
15.已知数列{an}为等差数列,且a2=3,a4+a5+a6=27.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn}的前n 项和为Sn,且Sn=2bn-2,求数列{bn}的通项公式;
(3)已知数列{cn}满足:cn=an·bn,求数列{cn}的前n 项和Mn.
解　(1)因为数列{an}为等差数列,则a4+a5+a6=3a5=27,可得a5=9,所以数列{an}的公差d=a5-a2
5-2
=9-3
3
=2,故an=a2+
(n-2)d=3+2(n-2)=2n-1.
(2)当n=1 时,b1=S1=2b1-2,解得b1=2,当n≥2 且n∈N*时,由Sn=2bn-2 得Sn-1=2bn-1-2,上述两个等式作差可得bn=2bn-2bn-1,可得
bn=2bn-1,所以数列{bn}是首项和公比均为2 的等比数列,故bn=2×2n-1=2n.
(3)由(1)(2)可得cn=anbn=(2n-1)·2n,所以Mn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,则2Mn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,上述两个等
式作差得-Mn=2+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=2+2
3(1-2
n-1)
1-2
-(2n-1)·2n+1=-6+(3-2n)·2n+1,整理得Mn=(2n-3)·2n+1+6.
16.如图,在四棱锥E ABCD
⁃
中,四边形ABCD 是平行四边形,ED=AD=√2AB=√2,AE=2√3
3
,EB=AB,EB⊥ED.
(1)证明:平面EBD⊥平面ABCD;
(2)求平面ABE 与平面CDE 所成二面角的正弦值.
解　(1)证明:由题知EB⊥ED,ED=AD=√2,EB=AB=1,所以BD=√3,AD⊥AB.如图,过点E 作EO⊥BD,垂足为O,连接AO,则
EO=AO=√2×1
√3
=√6
3
,又AE=2√3
3
,所以AE2=AO2+EO2,所以EO⊥AO.因为AO∩BD=O,AO,BD⊂平面ABCD,所以EO⊥平面
ABCD,又EO⊂平面EBD,所以平面EBD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知OD,OA,OE 两两垂直,故以O 为原点,OD,OA,OE 所在直线分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E
(0,0, √6
3 ),A(0, √6
3 ,0),B(- √3
3 ,0,0),D(
2√3
3
,0,0).所以⃗AE=(0,- √6
3 , √6
3 ),⃗DE=(- 2√3
3
,0, √6
3 ),⃗DC=⃗AB=
(- √3
3 ,- √6
3 ,0).设平面ABE 的法向量为m=(a,b,c),则{
m·⃗AE =0,
m·⃗AB =0,
即{
- √6
3 b+ √6
3 c =0,
- √3
3 a- √6
3 b=0,
令b=1,则m=(-√2,1,1).设平面
CDE 的法向量为n=(x,y,z),则{
n·⃗DE =0,
n·⃗DC =0,
即{
- 2√3
3
x + √6
3 z =0,
- √3
3 x - √6
3 y =0,
令x=√2,则n=(√2,-1,2).设平面ABE 与平面CDE 所成二
面角的大小为θ,则|cos θ|=|m·n|
|m||n| = 1
2√7
=√7
14
,所以sin θ=√1-co s
2θ=√
1-(
√7
14)
2
=3√21
14
,故平面ABE 与平面CDE 所
成二面角的正弦值为3√21
14
.
17.(2025·四川一模)某保险公司随机选取了200 名不同驾龄的投保司机,调查他们投保后一年内的索赔情况,结果如下:
单位:人
一年内
是否索赔
驾龄
合计
不满10 年
10 年以上
是
10
5
15
否
90
95
185
合计
100
100
200
(1)依据小概率值α=0.1 的独立性检验,分析表中的数据,能否据此推断司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄有关?
(2)保险公司的大数据显示,每年投保的新司机索赔的概率为p,投保的老司机索赔的概率均为q(p≠q).假设投保司机中新司机
的占比为β(0<β<1).随机选取一名投保司机,记事件“这名司机在第i 年索赔”为Ai,事件“这名司机是新司机”为B.已知
P(Ai|B)=P(Ai|AjB),P(Ai|B)=P(Ai|AjB)(i≠j).
(ⅰ)证明:P(A1A2B)=P(A2|A1B)P(A1|B)P(B);
(ⅱ)证明:P(A2|A1)>P(A1),并给出该不等式的直观解释.
附:χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c)(b+d )
,
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
解　(1)零假设为H0:司机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关.根据表中数据,计算得χ2=200×(10×95-5×90)
2
100×100×15×185
=
200
111
≈1.802<2.706=x0.1.根据小概率值α=0.1 的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为司
机投保后一年内是否索赔与司机的驾龄无关.
(2)证明:(ⅰ)根据条件概率的定义,P(A2|A1B)·P(A1|B)P(B)=P( A1 A2B)
P( A1B)
· P( A1B)
P(B)
·P(B)=P(A1A2B).
(ⅱ)由题意P(B)=β,P(B)=1-β,P(Ai|B)=p,P(Ai|B)=q.由(ⅰ)中的结论及已知得P(A1A2B)=P(A2|A1B)P(A1|B)P(B)=P(A2|B)P(A1|
B)P(B)=βp2,P(A1A2B)=P(A2|B)P(A1|B)P(B)=(1-β)q2,由概率的性质知P(A1A2)=P(A1A2B)+P(A1A2B)=βp2+(1-β)q2.由全概率公式,
P(A1)=P(A1|B)P(B)+P(A1|B)P(B)=βp+(1-β)q.根据条件概率的定义,P(A2|A1)= P( A1 A2)
P( A1)
= β p
2+(1- β)q
2
βp+(1- β)q
.因为P(A1)>0,所以
要证P(A2|A1)>P(A1),即证βp2+(1-β)q2>[βp+(1-β)q]2,即证(p-q)2β(β-1)<0.因为p≠q,0<β<1,所以(p-q)2β(β-1)<0 成立.所以P(A2|
A1)>P(A1).式子P(A2|A1)>P(A1)说明投保司机第一年索赔的概率小于他第一年索赔后第二年又索赔的概率.
解答标准测3　“15—17 题”　43 分测
15.某农科所正在试验培育甲、乙两个品种的杂交水稻,水稻成熟后对每一株的米粒称重,重量达到规定的标准后,则该株水
稻达标.在水稻收获后,通过科研人员的统计,甲品种的杂交水稻有1
3
不达标,乙品种的杂交水稻有1
4
不达标.
(1)若假设甲、乙两个品种的杂交水稻株数相等,一科研人员随机选取了一株水稻,称重后发现不达标,求该株水稻来自甲品
种和乙品种的概率分别是多少;
(2)科研人员选取了8 株水稻,其中甲品种5 株,乙品种3 株,再从中随机选取3 株进行分析研究,这3 株中来自乙品种水稻的有
X 株,求X 的数学期望E(X).
解　(1)从甲、乙两个品种的杂交水稻中任取一株,设事件A 为“该株水稻来自甲品种”,事件B 为“该株水稻不达标”,则
P(A)=1
2
,P(A)=1
2
,P(B|A)=1
3
,P(B|A)=1
4
,所以P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=1
2
×1
3
+1
2
×1
4
= 7
24
,P(A|B)=P( AB)
P(B)
=P( A)P(B| A)
P(B)
=
1
2 × 1
3
7
24
=4
7
,P(A|B)=P( A B)
P(B)
=P( A)P(B| A)
P(B)
=
1
2 × 1
4
7
24
=3
7
,该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分
别是4
7 ,3
7 .
(2)依题意X 的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C5
3C3
0
C8
3
= 5
28,P(X=1)=C5
2C3
1
C8
3
=15
28,P(X=2)=C5
1C3
2
C8
3
=15
56 ,P(X=3)=C5
0C3
3
C8
3
= 1
56 ,
所以X 的数学期望E(X)=0× 5
28+1×15
28+2×15
56 +3× 1
56 =63
56 =9
8 .
16.(2025·安徽一模)如图,在四棱锥E ABCD
⁃
中,底面ABCD 为直角梯形,AB∥CD 且AB=1
2
CD=1,AB⊥BC,∠ADC=60°,cos∠CDE=1
4
,△ADE 为等边三角形.
(1)若M,N 分别是棱AD,EC 的中点,证明:MN∥平面ABE;
(2)求平面BCE 与平面ADE 夹角的余弦值.
解　(1)证明:如图①,取DE 的中点F,连接MF,NF.因为M,N 分别是棱AD,EC 的中点,所以MF∥AE,NF∥CD.因为AB∥CD,所以
NF∥AB.因为MF∥AE,MF⊄平面BAE,AE⊂平面BAE,所以MF∥平面BAE,同理可得NF∥平面BAE,因为MF∩NF=F,MF,NF⊂平
面MNF,所以平面MNF∥平面BAE,因为MN⊂平面MNF,所以MN∥平面ABE.
①
(2)如图②,连接CM,ME,AC,取DC 的中点G,连接AG,因为AB∥CD 且AB=1
2CD=1,所以AB∥CG 且AB=CG,所以四边形ABCG
为平行四边形,故BC∥AG,因为AB⊥BC,所以AG⊥CD,且GD=1,因为∠ADC=60°,所以AD=2,故△ADC 为等边三角形,所以
CM⊥AD,CM=√3.因为△ADE 为等边三角形,所以DE=2,EM=√3,ME⊥AD.在△CDE 中,由余弦定理得,CE2=DC2+DE2-
2DC·DE·cos∠CDE=4+4-2×2×2×1
4
=6,所以CM2+ME2=CE2,即CM⊥ME,故MD,ME,MC 两两互相垂直.以M 为原点建立如图所
示空间直角坐标系,则C(0,0,√3),E(0,√3,0),D(1,0,0),A(-1,0,0),由⃗AB=1
2⃗DC=(- 1
2 ,0, √3
2 )得B(- 3
2 ,0, √3
2 ),所以⃗EC=(0,-
√3,√3),⃗EB=(- 3
2 ,-√3, √3
2 ),设平面BCE 的法向量为n=(x,y,z),则{
n·⃗EC =-√3 y +√3 z =0,
n·⃗EB =- 3
2 x -√3 y + √3
2 z =0,
令z=3,则y=3,x=-√3,
故n=(-√3,3,3).取平面ADE 的一个法向量为m=(0,0,1),则cos<m,n>=
m·n
|m||n|
=
3
√21×1
=√21
7
,所以平面BCE 与平面ADE
夹角的余弦值为√21
7
.
②
17.(2025·山东济宁一模)已知椭圆E: x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2,A1,A2分别为E 的左,右顶点,B 为E 的上顶点,且⃗B A1·⃗
B A2=-2.
(1)求E 的方程;
(2)过E 的右焦点F 作斜率不为0 的直线交E 于M,N 两点,设直线MA1与NA2交于点P.
①证明:点P 在定直线上;
②求∠A1PA2的最大值.
解　(1)由题意知,⃗B A1=(-a,-b),⃗B A2=(a,-b),所以⃗B A1·⃗B A2=b2-a2=-c2=-2,即c=√2.又e=c
a=1
2,所以a=2√2,所以b2=a2-c2=6.
所以E 的方程为x
2
8
+ y
2
6
=1.
(2)①由于直线MN 过点F(√2,0)且斜率不为0,所以可设直线MN 的方程为x=my+√2.由{
x =my +√2,
x
2
8 + y
2
6 =1,
得(3m2+4)y2+6√2
my-18=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=- 6√2m
3m
2+ 4
,y1y2=-
18
3m
2+ 4
,所以my1y2=3√2
2
(y1+y2).因为椭圆E 的左,右顶点分别为A1(-2
√2,0),A2(2√2,0),所以直线MA1的方程为y=
y1
x1+2√2
(x+2√2),直线NA2的方程为y=
y2
x2-2√2
(x-2√2),联立直线MA1与NA2
的方程得x +2√2
x -2√2
= x1+2√2
y1
·
y2
x2-2√2
= y2(m y1+3√2)
y1(m y2-√2)
=m y1 y2+3√2 y2
m y1 y2-√2 y1
=
3√2
2 ( y1+ y2)+3√2 y2
3√2
2 ( y1+ y2)-√2 y1
=
3√2( y1+3 y2)
√2( y1+3 y2)
=3,解得x=4√2,所以点P 在定直线x=4√2上.
②设直线MA1,NA2的倾斜角分别为α,β,则∠A1PA2=|β-α|,由①知tan β
tan α =
y2
x2-2√2
y1
x1+2√2
=
y2
x2-2√2
· x1+2√2
y1
=3,所以tan β=3tan 
α,所以tan ∠A1PA2=|tan(β-α)|=|tan β - tan α|
1+ tan βtan α
= 2|tan α|
1+3 tan 
2α
=
2
1
|tan α| +3|tan α|≤2
2√3
=√3
3
,当且仅当|tan α|=
√3
3
时取等号,所以∠A1PA2的最大值为π
6
.
解答标准测4　“15—17 题”　43 分测
15.(2025·广东湛江一模)如图,四棱锥S ABCD
⁃
的底面是边长为2 的正方形,每条侧棱的长都是底面边长的√2倍,P 为侧棱SD
上的点,且SB∥平面PAC.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)求直线SB 到平面PAC 的距离;
(3)请判断在平面PAC 上是否存在一点E,使得△ESB 是以SB 为底边,2π
3
为顶角的等腰三角形.若存在,请求出点E 的轨迹;若
不存在,请说明理由.
解　(1)证明:如图,连接BD,设AC 交BD 于点O,连接SO,由SA=SC 得SO⊥AC.在正方形ABCD 中,AC⊥BD.又
SO∩BD=O,SO,BD⊂平面SBD,所以AC⊥平面SBD.又因为SD⊂平面SBD,所以AC⊥SD.
(2)连接PO,因为SB∥平面PAC,SB⊂平面SBD,平面SBD∩平面PAC=PO,所以SB∥PO.在△SBD 中,O 为BD 的中点,所以点P
为SD 的中点.易知直线SO,AC,BD 两两垂直,如图,以O 为原点建立空间直角坐标系.因为正方形ABCD 的边长为2,所以A(0,-
√2,0),C(0,√2,0),B(√2,0,0),P(- √2
2 ,0, √6
2 ),S(0,0,√6).设平面PAC 的法向量为m=(x,y,z),则{
m·⃗AC =0,
m·⃗AP =0,
所以
{
2√2 y =0,
- √2
2 x +√2 y + √6
2 z =0,令x=3√2,可得m=(3√2,0,√6).因为SB∥平面PAC,所以直线SB 到平面PAC 的距离等于点B 到
平面PAC 的距离,为|⃗BC ·m|
|m|
=√6
2
,所以直线SB 到平面PAC 的距离为√6
2
.
(3)不存在.理由如下:根据第(2)问可得直线SB 到平面PAC 的距离为√6
2
.又因为SB∥平面PAC,设点Q 为SB 的中点,所以点Q
到平面PAC 的距离为√6
2
.假设在平面PAC 上存在点E,使得△ESB 是以SB 为底边,2π
3 为顶角的等腰三角形,则有EQ=1
2
SB·tanπ
6
=√6
3
.因为EQ=√6
3
<√6
2
,所以不存在满足条件的点E.
16.已知椭圆C: x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点与双曲线x2-y2=1 的右焦点重合,且椭圆C 过M(√2,1).
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)当过P(4,1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A,B 时,在线段AB 上取一点Q,满足|PA|·|BQ|=|AQ|·|PB|,证明:点Q 在定
直线上.
解　(1)由题知双曲线x2-y2=1 的右焦点为(√2,0),也是椭圆的右焦点,所以a2-b2=2.又因为椭圆过点(√2,1),所以2
a
2+ 1
b
2=1,解得
a2=4,b2=2,故椭圆C 的标准方程为x
2
4
+ y
2
2
=1.
(2)证明:设Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),由题得|PA|,|BQ|,|AQ|,|PB|均不为零.由|PA|·|BQ|=|AQ|·|PB|,可设| PA |
| AQ| =| PB|
|BQ| =λ(λ>0,λ≠1),
不妨设⃗PA=λ⃗AQ,⃗PB=-λ⃗BQ,则有{
x1= 4 + λx
1+ λ ,
y1= 1+ λy
1+ λ ,
①　{
x2= 4 - λx
1- λ ,
y2= 1- λy
1- λ ,
②又A,B 在椭圆上,所以x1
2
4
+ y1
2
2
=1　③, x2
2
4
+ y2
2
2
=1　④,
将①②分别代入③④,化简得(x2+2y2-4)λ2+4(2x+y-2)λ+14=0　⑤,且(x2+2y2-4)λ2-4(2x+y-2)λ+14=0　⑥,即点Q 同时满足⑤⑥,因
此点Q 在定直线2x+y-2=0 上.
17.已知f(x)=x2-(m+2)x+mln x,m∈R.
(1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1 的解集;
(2)若函数y=f(x)满足在(0,+∞)上存在极大值,求m 的取值范围.
解　(1)由题设条件可得,f(1)=1-(m+2)=0,解得m=-1,所以f(x)=x2-x-ln x.由f(x)≤x2-1,可得ln x+x-1≥0,令g(x)=ln x+x-1,则g'(x)=1
x
+1>0 在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,易知g(1)=0,所以g(x)≥0 即g(x)≥g(1),可得x≥1.综上,不等式f(x)≤x2-1 的
解集为[1,+∞).
(2)f'(x)=2x-(m+2)+m
x
=2 x
2-(m+2)x +m
x
=(2 x -m)( x -1)
x
.
①当m
2 >1,即m>2 时,由f'(x)>0 得x∈(0,1)∪(
m
2 ,+∞);由f'(x)<0 得x∈(1, m
2).故f(x)在(0,1),(
m
2 ,+∞)上单调递增,在
(1, m
2)上单调递减,此时f(x)在x=1 处取得极大值.
②当0<m
2 <1,即0<m<2 时,由f'(x)>0 得x∈(0, m
2)∪(1,+∞);由f'(x)<0 得x∈(
m
2 ,1).故f(x)在(0, m
2),(1,+∞)上单调递增,在
(
m
2 ,1)上单调递减,此时f(x)在x=m
2 处取得极大值.
③当m
2 =1,即m=2 时,f'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数f(x)在(0,+∞)上无极大值.
④当m
2 ≤0,即m≤0 时,由f'(x)<0 得x∈(0,1);由f'(x)>0 得x∈(1,+∞).故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,此时f(x)在x=1
处取得极小值,无极大值.
综上可知,m 的取值范围为(0,2)∪(2,+∞).
解答标准测5　“15—17 题”　43 分测
15.(2025·合肥一模)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,已知a+b=2ccos B.
(1)证明:C=2B;
(2)若△ABC 为锐角三角形,求
c
bsin B
的取值范围.
解　(1)证明:由正弦定理及a+b=2ccos B,知sin A+sin B=2sin Ccos B,即sin(B+C)+sin B=2sin Ccos B,所以sin B=sin Ccos B-sin 
Bcos C=sin(C-B),所以B=C-B 或B+C-B=π,因为B,C∈(0,π),所以B=C-B,即C=2B.
(2)由(1)知C=2B,A=π-3B,又△ABC 为锐角三角形,所以0<2B<π
2 ,0<π-3B<π
2 ,故B∈(
π
6 , π
4),所以√3
3
<tan B<1,得1<
1
tan B <
√3,故
c
bsin B =sin C
sin
2B
=sin 2B
sin
2B
=2sin Bcos B
sin
2B
=
2
tan B ∈(2,2√3).
16.(2025·山西一模)已知椭圆C: x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为4√2,点A(√3,√3)在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若直线l 交椭圆C 于M,N 两点,且线段MN 的中点P 的横坐标为-2√2,过P 作直线l'⊥l.证明:直线l'恒过定点,并求出该定
点的坐标.
解　(1)由点A(√3,√3)在椭圆C 上,得3
a
2+ 3
b
2=1,由椭圆C 的焦距为4√2,得a2-b2=8,解得a2=12,b2=4,所以椭圆C 的方程为x
2
12
+ y
2
4
=1.
(2)设P(-2√2,y0),代入椭圆方程得y0=±2√3
3
,由题知-2√3
3
<y0<2√3
3
,当y0≠0 时,设M(x1,y1)、N(x2,y2),如图,显然x1≠x2,由
{
x1
2
12 + y1
2
4 =1,
x2
2
12 + y2
2
4 =1,
得x1
2- x2
2
12
+ y1
2- y2
2
4
=0,即y1- y2
x1- x2
· y1+ y2
x1+ x2
=-1
3 ,由P 为线段MN 的中点,得y1- y2
x1- x2
·(- 2 y0
4√2)=-1
3,直线l 的斜
率k= y1- y2
x1- x2
=2√2
3 y0
,由l'⊥l,得直线l'的方程为y-y0=- 3 y0
2√2
(x+2√2),即y=- 3 y0
2√2(x + 4√2
3 ),因此直线l'过定点(- 4√2
3
,0).
当y0=0 时,直线l:x=-2√2,此时l'为x 轴也过点(- 4√2
3
,0),所以直线l'恒过定点(- 4√2
3
,0).
17.(2025·江西上饶一模)已知函数f(x)=e
x+e
- x
2
-a(1+ x
2
2 )(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为e
2
,求a 的值;
(2)若x=0 是f(x)的极小值点,求a 的取值范围.
解　(1)已知f(x)=e
x+e
- x
2
-a(1+ x
2
2 )(a∈R),可得f'(x)=e
x -e
- x
2
-ax,因为曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为e
2,所以f'(1)=
e -e
-1
2
-a=e
2
,解得a=- 1
2e
.
(2)由(1)可得f'(x)=e
x -e
- x
2
-ax,令g(x)=f'(x)=e
x -e
- x
2
-ax,则g'(x)=e
x+e
- x
2
-a,若x=0 是f(x)的极小值点,则f'(0)=e
0-e
-0
2
-a×0=0,
则f'(x)在x=0 左侧附近小于0,在x=0 右侧附近大于0,这意味着f'(x)在x=0 处的导数g'(x)>0,把x=0 代入g'(x)得g'(0)=e
0+e
-0
2
-a=1-a>0,解得a<1;当a<1 时,因为ex+e-x≥2√e
x·e
- x=2,当且仅当ex=e-x,即x=0 时,等号成立,所以g'(x)=e
x+e
- x
2
-a>0 恒成立,则
f'(x)在R 上单调递增,当x<0 时,f'(x)<f'(0)=0,f(x)单调递减;当x>0 时,f'(x)>f'(0)=0,f(x)单调递增,所以x=0 是f(x)的极小值点;当a=1
时,此时g'(0)=0,令h(x)=g'(x)=e
x+e
- x
2
-1,则h'(x)=e
x -e
- x
2
,此时h'(0)=0,因为h(x)=e
x+e
- x
2
-1≥2√e
x·e
- x
2
-1=0,当且仅当ex=e-x,
即x=0 时,等号成立,所以g'(x)≥0 恒成立,则f'(x)在R 上单调递增,当x<0 时,f'(x)<f'(0)=0,f(x)单调递减;当x>0 时,f'(x)>f'(0)=0,f(x)
单调递增,所以x=0 是f(x)的极小值点;当a>1 时,令g'(x)=0,即e
x+e
- x
2
-a=0,设ex=t(t>0),则t + 1
t
2
-a=0,整理得t2-2at+1=0,由一元
二次方程求根公式t=2a±√4 a
2- 4
2
=a±√a
2-1,因为a>1,所以a+√a
2-1>1,0<a-√a
2-1<1,存在x0≠0(x0=ln t),使得在x0附近,
当x 在x0到0 之间或0 到x0之间时,g'(x)<0,f'(x)单调递减,此时f'(x)在x=0 两侧不满足左负右正,则x=0 不是f(x)的极小值点.综
上a 的取值范围是(-∞,1].
解答标准测6　“15—17 题”　43 分测
15.(2025·北京高考)在△ABC 中,cos A=-1
3 ,asin C=4√2.
(1)求c;
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC 存在,求BC 的高.
①a=6;②bsin C=10√2
3
;③△ABC 面积为10√2.
解　(1)因为cos A=-1
3 ,A∈(0,π),所以sin A=√1-co s
2 A=2√2
3
,由正弦定理有asin C=csin A=2√2
3
c=4√2,解得c=6.
(2)如图所示,若△ABC 存在,则设其BC 边上的高为AD,若选①,a=6,因为c=6,所以C=A,因为cos A=-1
3 <0,这表明此时△ABC
有两个钝角,而这是不可能的,所以△ABC 不存在,故BC 边上的高也不存在;若选②,bsin C=10√2
3
,由正弦定理有bsin C=csin 
B=6sin B=10√2
3
,解得sin B=5√2
9
,此时cos B=√1- 50
81
=√31
9
,AD=csin B=6×5√2
9
=10√2
3
,而cos∠DAB=sin B,sin∠DAB=cos 
B,cos A=-1
3
,sin A=2√2
3
,所以cos∠CAD=cos(∠CAB-∠BAD),sin∠CAD=√1-co s
2∠CAD可以唯一确定,所以此时CA,CD 也
可以唯一确定,这表明此时△ABC 是存在的,且BC 边上的高AD=10√2
3
;若选③,△ABC 的面积是10√2,则S△ABC=1
2
bcsin A=
1
2b×6×2√2
3
=10√2,解得b=5,由余弦定理可得a=√b
2+c
2-2bccos A=√
25+36-2×5×6×(- 1
3)=9 可以唯一确定,进
一步由余弦定理可得cos B,cos C 也可以唯一确定,即B,C 可以唯一确定,这表明此时△ABC 是存在的,且BC 边上的高满足:
S△ABC=1
2
a·AD=9
2
AD=10√2,即AD=20√2
9
.
16.(2025·浙江一模)已知函数f(x)=3x2-8sin(x+φ),其中|φ|≤π.
(1)若函数f(x)是偶函数,求φ;
(2)当φ=0 时,讨论函数f(x)在[0,+∞)上的零点个数;
(3)若∀x≥0,f(x)≥0,求φ 的取值范围.
解　(1)因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x).即3x2-8sin(-x+φ)=3x2-8sin(x+φ),解得φ=±π
2 .
(2)当φ=0 时,f(x)=3x2-8sin x.f(0)=0,f'(x)=6x-8cos x,令h(x)=f'(x)=6x-8cos x,则h'(x)=6+8sin x.当x≥π 时,f(x)>3π2-8>0,当0<x<π 时,
h'(x)=6+8sin x>0,f'(x)单调递增,又f'(0)=-8<0,f'(π)=6π+8>0,所以存在x1∈(0,π),使得f'(x1)=0.x∈(0,x1),f'(x)<0,f(x)单调递减,
x∈(x1,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增,而f(0)=0,f(x1)<0,f(π)=3π2>0,所以在(x1,π)上存在一个零点.综上,函数f(x)在[0,+∞)有两个零点.
(3)当x≥2
3π 时,f(x)>4 π
2
3
-8>0;当0≤x<2
3 π 时,f(0)=-8sin φ≥0,则φ∈[-π,0].
(ⅰ)当φ∈[- π ,- 2π
3 ]时,x+φ∈[-π,0),sin(x+φ)<0,f(x)>0 成立;
(ⅱ)当φ∈(- 2π
3 ,- π
2]时,若x∈[
π
2 , 2π
3 ],则f'(x)=6x-8cos(x+φ)>3π-8>0,f(x)单调递增,所以f(x)>f(
π
2)=3 π
2
4
-8cos φ>0;若x∈
[0, π
2),则x+φ∈(- 2π
3 ,0),sin(x+φ)<0,f(x)>0 成立;
(ⅲ)当φ∈(- π
2 ,0]时,若sin(x+φ)≤0,则f(x)≥0 成立;只要考虑sin(x+φ)>0,此时令h(x)=f'(x)=6x-8cos(x+φ),则
h'(x)=6+8sin(x+φ)>0,f'(x)单调递增,f'(0)=-8cos φ<0,f'(
π
2)=3π+8sin φ>0,所以存在x0∈(0, π
2),使得f'(x0)=6x0-8cos(x0+φ)=0,若
x∈(0,x0),则f'(x)<0,f(x)单调递减;若x∈(x0, π
2),则f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)≥f(x0)=3x0
2-8sin(x0+φ)=3x0
2-8√1- 9
16 x0
2≥0,解得
x0≥2√3
3
.此时cos(x0+φ)=3
4
x0≥√3
2
,所以x0+φ≤π
6
,从而φ≤π
6
-x0≤π
6
-2√3
3
.综上,φ∈[- π , π
6 - 2√3
3 ].
17.(2025·兰州一模)已知公差不为零的等差数列{an}满足a1=1,且a2,a4,a8成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:ln an≤an-1;
(3)若数列{bn}满足bn=anan+1
2
,证明:(1+ 1
b1)(1+ 1
b2)(1+ 1
b3)·…·(1+ 1
bn)<e2(e 为自然对数的底数).
解　(1)设等差数列{an}公差为d(d≠0),a1=1,a2,a4,a8成等比数列,则a4
2=a2·a8,所以(1+3d)2=(1+d)(1+7d),解得d=1 或d=0(舍去),所
以an=n(n∈N*).
(2)设f(x)=ln x-x+1,则f'(x)=1
x -1,当x≥1 时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,f(x)max =f(1)=0,所以ln x-x+1≤0,由(1)可知an≥1,则有ln an-an+1≤0,
所以不等式ln an≤an-1 成立.
(3)因为(1+ 1
b1)(1+ 1
b2)·…·(1+ 1
bn)>0,所以要证(1+ 1
b1)(1+ 1
b2)·…·(1+ 1
bn)<e2,只需证:ln
[(1+ 1
b1)(1+ 1
b2)·…·(1+ 1
bn)]<2,根据(2)可知ln an≤an-1,那么ln(1+an)≤an,ln[(1+ 1
b1)(1+ 1
b2)·…·(1+ 1
bn)]=ln
(1+ 1
b1)+ln(1+ 1
b2)+…+ln(1+ 1
bn)≤1
b1
+ 1
b2
+…+ 1
bn
=
2
a1·a2
+
2
a2·a3
+…+
2
an·an+1
=2(
1
1×2 +
1
2×3 +…+
1
n×(n+1))
=2[(1- 1
2)+(
1
2 - 1
3)+…+(
1
n -
1
n+1)]=2(1-
1
n+1)<2,所以(1+ 1
b1)(1+ 1
b2)·…·(1+ 1
bn)<e2.
解答标准测7　“18 题、19 题”　34 分测
18.(2025·全国二卷)甲、乙两人进行乒乓球练习,每个球胜者得1 分,负者得0 分.设每个球甲胜的概率为p(
1
2 < p<1),乙胜
的概率为q,p+q=1,且各球的胜负相互独立,对正整数k≥2,记pk为打完k 个球后甲比乙至少多得2 分的概率,qk为打完k 个球
后乙比甲至少多得2 分的概率.
(1)求p3,p4(用p 表示);
(2)若p4- p3
q4-q3
=4,求p;
(3)证明:对任意正整数m,p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2.
解　(1)打完3 个球后甲比乙至少多得2 分,只有一种情况:甲全胜得3 分.所以p3=p3.打完4 个球后甲比乙至少多得2 分,有两
种情况:甲全胜得4 分;甲胜3 个球得3 分,乙胜1 个球得1 分.所以p4=p4+C4
1·p3(1-p)=p3(4-3p).
(2)由(1)可知p4-p3=p3(4-3p)-p3=3p3(1-p),同理q4-q3=3q3(1-q)=3p(1-p)3.由p4- p3
q4-q3
=4,可得3 p
3(1- p)
3 p(1- p)
3=4,即3p2-8p+4=0,解得p=
2
3或p=2(舍).所以p=2
3 .
(3)由1
2<p<1,p+q=1,可知0<q<1
2<p<1.设随机变量X 为“打完k 个球后甲的得分”,则X~B(k,p),p2m=p2m+C2m
1 ·p2m-1q1+C2m
2
·p2m-2q2+…+C2m
m-1·pm+1qm-1.对于p2m+1,考虑前2m 个球的情况.若打完2m 个球后,甲、乙得分一样,或者甲比乙得分少,则第
2m+1 个球无论甲胜负,甲都不可能比乙至少多得2 分.若打完2m 个球后,甲比乙至少多得4 分,则第2m+1 个球甲无论胜负都
能满足甲比乙至少多得2 分.若打完2m 个球后,甲比乙恰好多得2 分,则第2m+1 个球甲必须胜才能满足甲比乙至少多得2
分.所以p2m+1=(p2m-C2m
m-1·pm+1qm-1)+p·C2m
m-1·pm+1qm-1=p2m-q·C2m
m-1·pm+1qm-1.故p2m-p2m+1=q·C2m
m-1·pm+1qm-1>0,同理q2m-q2m+1=p·C2m
m-1
·qm+1pm-1>0.所以p2m- p2m+1
q2m-q2m+1
= q·C2m
m-1· p
m+1q
m-1
p·C2m
m-1·q
m+1 p
m-1= p
q >1,即p2m-p2m+1>q2m-q2m+1,所以p2m+1-q2m+1<p2m-q2m.对于p2m+2,考虑前2m
个球的情况.若打完2m 个球后,甲比乙得分少,则剩下两个球(第2m+1 和2m+2 个球)无论甲胜负,甲都不可能比乙至少多得2
分.若打完2m 个球后,甲、乙得分一样,则剩下两个球甲必须全胜才能满足甲比乙至少多得2 分.若打完2m 个球后,甲比乙恰
好多得2 分,则剩下两个球甲全胜,或者一胜一负都能满足甲比乙至少多得2 分.若打完2m 个球后,甲比乙至少多得4 分,则剩
下两个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2 分.所以p2m+2=p2·C2m
m ·pmqm+(1-q2)·C2m
m-1·pm+1qm-1+(p2m-C2m
m-1·pm+1qm-1)=p2m+p2·
C2m
m ·pmqm-q2·C2m
m-1·pm+1qm-1=p2m+pmqm·(C2m
m ·p2-C2m
m-1·pq),故p2m+2-p2m=pmqm·(C2m
m ·p2-C2m
m-1·pq),同理q2m+2-q2m=qmpm·(C2m
m ·q2-
C2m
m-1·qp),所以(p2m+2-p2m)-(q2m+2-q2m)=pmqm·C2m
m ·(p2-q2)>0,即p2m+2-p2m>q2m+2-q2m,所以p2m-q2m<p2m+2-q2m+2.综上,p2m+1-q2m+1<p2m-
q2m<p2m+2-q2m+2.
19.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的乘积,形成一个新数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“J 延拓”.
如数列1,2 第一次“J 延拓”后得到数列1,2,2,第二次“J 延拓”后得到数列1,2,2,4,2.将数列a,b,c 经过n 次“J 延拓”后所
得数列的项数记为Pn,所有项的乘积记为Qn.
(1)给定数列-1,2,1,回答下列问题:
①求P2,Q2;
②若|Pn+Qn|>22 025,求正整数n 的最小值;
(2)已知数列a,b,c,其中a,b,c∈{-3,-2,-1,1,2,3},求该数列经过3 次“J 延拓”后,Q3能被48 整除的概率.
解　(1)①数列-1,2,1 第一次“J 延拓”后得到数列-1,-2,2,2,1,第二次“J 延拓”后得到数列-1,2,-2,-4,2,4,2,2,1,所以
P2=9,Q2=-512.
②数列-1,2,1 第n 次“J 延拓”后得到数列,记为A1,A2,A3,…,A Pn,第n+1 次“J 延拓”后,每两项之间添加1 项,共添加了(Pn-1)
项,所以总项数Pn+1=Pn+(Pn-1)=2Pn-1,故Pn+1-1=2(Pn-1),因为P1=5,所以{Pn-1}是首项为4,公比为2 的等比数列,Pn-1=4×2n-1=2n+1,
即Pn=2n+1+1.第n+1 次“J 延拓”后,每相邻两项之间插入这两项的乘积,所以在计算所有项的乘积时,因子Ai(i=2,3,…,Pn-1)共
出现了3 次,A1,A Pn共出现了2 次,A1=-1,A Pn=1.所以所有项的乘积Qn+1=( A1 A Pn)
2·(A2A3…A Pn-1)3=( A1 A2 A3… A Pn-1 A Pn)
3
A1 A Pn
=-Qn
3,所以|Qn+1|=|Qn|
3,两边同时取以e 为底的对数,则ln |Qn+1|=3ln |Qn|,因为ln |Q1|=ln 8,所以{ln |Qn|}是首项为ln 8,公比为3
的等比数列,ln |Qn|=3n-1ln 8=3nln 2,所以|Qn|=2
3
n.由于Q1>0,故Qn=(-1)n+12
3
n.Pn+Qn=2n+1+1+(-1)n+1·2
3
n,当n≤6 时,|Pn+Qn|≤|Pn|+|Qn|
=2n+1+1+2
3
n≤27+1+2729<22 025;当n=7 时,|P7+Q7|=28+1+2
3
7=257+22 187>22 025,所以n 的最小值为7.
(2)设事件A:该数列经过3 次“J 延拓”后,Q3能被48 整除.由于a,b,c 都有6 种可能性,故基本事件总数为63=216.由题设可知,
Q1=a2b3c2,Q2=Q1
3
ac
,Q3=Q2
3
ac
,所以Q3=a14b27c14,而48=24×3,故要使Q3能被48 整除,则a,b,c 中既要有能被2 整除的数,又要有能被
3 整除的数.
解法一:记事件B=“a,b,c∈{-2,-1,1,2}”,事件C=“a,b,c∈{-3,-1,1,3}”.则P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(BC)=4
3
6
3 +4
3
6
3 -2
3
6
3=5
9.所以
P(A)=1-P(A)=4
9
,所以该数列经过3 次“J 延拓”后,Q3能被48 整除的概率为4
9
.
解法二:令集合M={-3,3},N={-2,2},T={-1,1}.①在集合M,N,T 中各取一个数构成数列,共有C2
1C2
1C2
1 A3
3=48 种;②在集合M 中取
两次数,集合N 中取一个数构成数列,共有C2
1C2
1C2
1 A3
3
A2
2
=24 种;③在集合N 中取两次数,集合M 中取一个数构成数列,共有
C2
1C2
1C2
1 A3
3
A2
2
=24 种.所以该数列经过3 次“J 延拓”后,Q3能被48 整除的概率为48+24+24
216
=4
9 .
解答标准测8　“18 题、19 题”　34 分测
18.(2025·天津高考)已知函数f(x)=ax-(ln x)2.
(1)a=1 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)f(x)有3 个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3.
(ⅰ)求a 的取值范围;
(ⅱ)证明:(ln x2-ln x1)·ln x3< 4 e
e -1
.
解　(1)当a=1 时,f(x)=x-(ln x)2,f(1)=1,故切点为(1,1).f'(x)=1-2ln x
x
,f'(1)=1,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=x-1,即
x-y=0.
(2)(ⅰ)因为x>0,所以原问题可转化为:方程a=(ln x)
2
x
有3 个不相等的实根x1,x2,x3,且x1<x2<x3.令g(x)=(ln x)
2
x
,则问题转
化为:直线y=a 与函数g(x)的图象有3 个不同的交点.g'(x)=
2ln x
x
· x -(ln x)
2
x
2
=(2- ln x)ln x
x
2
,令g'(x)=0,得(2-ln x)ln 
x=0.则ln x=0 或ln x=2,解得x=1 或x=e2.当0<x<1 时,ln x<0,2-ln x>0,所以g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减;当1<x<e2时,ln x>0,2-
ln x>0,所以g'(x)>0,g(x)在(1,e2)上单调递增;当x>e2时,ln x>0,2-ln x<0,所以g'(x)<0,g(x)在(e2,+∞)上单调递减.由g(x)的单调性可
知,g(x)的极小值为g(1)=0,g(x)的极大值为g(e2)= 4
e
2.当x→0+时,ln x→-∞,(ln x)2→+∞,1
x →+∞,所以g(x)→+∞.当x→+∞时,
g(x)→0.因为直线y=a 与函数g(x)的图象有3 个不同的交点,结合g(x)的图象可知,0<x1<1<x2<e2<x3且0<a< 4
e
2.故a 的取值范
围为(0, 4
e
2).
(ⅱ)要证(ln x2-ln x1)·ln x3< 4 e
e -1
,即证(
1
2 ln x2- 1
2 ln x1)·(
1
2 ln x3)< e
e -1
,即证(ln √x2-ln √x1)·ln √x3< e
e -1
,即证(ln 
√x2-ln √x1)·ln √x3<e -1+1
e -1
=1+ 1
e -1.由(ⅰ)可知0<x1<1<x2<e2<x3,且0<a< 4
e
2,则√x1<1,1<√x2<e,√x3>e,又a=(ln x1)
2
x1
=
(ln x2)
2
x2
=(ln x3)
2
x3
,则- ln x1
√x1
=ln x2
√x2
=ln x3
√x3
=√a,即- ln√x1
√x1
=ln√x2
√x2
=ln√x3
√x3
=√a
2
<1
e ,则-ln √x1·ln √x3=(
√a
2 )
2
·
√x1·√x3<(
√a
2 )
2
·√x3=(ln √x3)
2
√x3
.由(ⅰ)可知,√x3>e,g(√x3)=(ln √x3)
2
√x3
≤4
e
2,则-ln √x1·ln √x3< 4
e
2.由(e-2)2>0,得
e2>4e-4=4(e-1),即4
e
2< 1
e -1,则-ln √x1·ln √x3< 4
e
2< 1
e -1.令√x3
√x2
=t,则√x3
√x2
=t>1,ln √x2
√x2
=ln √x3
√x3
=ln t + ln √x2
t ·√x2
,整理得
ln √x2=ln t
t -1
,ln √x3=tln t
t -1
,故ln √x2·ln √x3=t(ln t )
2
(t -1)
2 (t>1).(ln √x2-ln √x1)·ln √x3=ln √x2·ln √x3-ln √x1·ln √x3<
t(ln t )
2
(t -1)
2 + 1
e -1.要证(ln x2-ln x1)·ln x3< 4 e
e -1,证t(ln t )
2
(t -1)
2 <1 即可,即证ln t<t -1
√t
(t>1),令h(t)=ln t-t -1
√t
,则h'(t)=-(√t -1)
2
2t √t
,
又t>1,则h'(t)<0,h(t)在(1,+∞)上单调递减,则h(t)<0,即ln t<t -1
√t
,命题得证.
19.(2025·八省联考)在平面四边形ABCD 中,AB=AC=CD=1,∠ADC=30°,∠DAB=120°,将△ACD 沿AC 翻折至△ACP,其中P 为
动点.
(1)设PC⊥AB,三棱锥P ABC
⁃
的各个顶点都在球O 的球面上.
(ⅰ)证明:平面PAC⊥平面ABC;
(ⅱ)求球O 的半径;
(2)求二面角A CP B
⁃
⁃
的余弦值的最小值.
解　如图①,在△ACD 中,因为AC=CD=1,所以∠CAD=∠ADC=30°,∠ACD=120°,所以AD=2×AC×cos∠CAD=2×1×cos 30°=√3.
因为∠DAB=120°,所以∠CAB=∠DAB-∠CAD=120°-30°=90°,即AB⊥AC.又AB=AC=1,所以BC=√2.
①
(1)(ⅰ)因为AB⊥AC,PC⊥AB,AC∩PC=C,AC⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥
平面PAC.
②
(ⅱ)以A 为原点,AB,AC 所在直线分别为x 轴、y 轴,过点A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴,建立如图②所示的空间直角坐
标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0, 3
2 , √3
2 ).等腰直角△ABC 的外心为斜边BC 的中点Q,Q(
1
2 , 1
2 ,0),所以设球心O
(
1
2 , 1
2 , z).由OA=OP,得(
1
2)
2
+(
1
2)
2
+z2=(
1
2 -0)
2
+(
1
2 - 3
2)
2
+(z - √3
2 )
2
,解得z=√3
2
,所以O(
1
2 , 1
2 , √3
2 ).球O 的半径R=
√(
1
2)
2
+(
1
2)
2
+(
√3
2 )
2
=√5
2
.
(2)点P 到直线AC(即y 轴)的距离为1×sin 60°=√3
2
,点P 的纵坐标为1+1×cos 60°=3
2
.所以设P(m, 3
2 ,n),其中m2+n2=
(
√3
2 )
2
=3
4 ,即n2=3
4 -m2.因为n2≥0,所以3
4 -m2≥0,得-√3
2
≤m≤√3
2
.⃗AC=(0,1,0),⃗CP=(m, 1
2 ,n),⃗BC=(-1,1,0).设平面ACP 的法向
量为n1=(x1,y1,z1),则{
n1·⃗AC = y1=0,
n1·⃗CP =m x1+ 1
2 y1+n z1=0,
所以可取n1=(n,0,-m).设平面BCP 的法向量为n2=(x2,y2,z2),则
{
n2·⃗CP =m x2+ 1
2 y2+n z2=0,
n2·⃗BC =- x2+ y2=0,
所以可取n2=(2n,2n,-2m-1).记二面角A CP B
⁃
⁃
的平面角的大小为θ,结合图②可知二面角
A CP B
⁃
⁃
为锐二面角,所以cos θ=|cos<n1,n2>|=|n1·n2|
|n1||n2| =|2n
2+2m
2+ m|
√n
2+m
2·√4 n
2+ 4 n
2+(2 m+1)
2.将n2=3
4 -m2代入得cos θ=
|3+2 m|
√-12m
2+12m+21
,又-√3
2
≤m≤√3
2
,所以3+2m>0,所以cos θ=
3+2m
√-12m
2+12m+21
.令t=3+2m,则t∈[3-√3,3+√3],2m=t-3,
所以cos θ=
t
√-3t
2+24 t -24
=
1
√-24×(
1
t)
2
+24× 1
t -3
.当1
t =1
2,即t=2 时(2∈[3-√3,3+√3]),cos θ 取得最小值√3
3
,所以
二面角A CP B
⁃
⁃
的余弦值的最小值为√3
3
.
解答标准测9　“18 题、19 题”　34 分测
18.(2025·唐山模拟)若一个数列各项的倒数成等差数列,则这个数列称为调和数列,如数列1,1
2,1
3,就是一个调和数列.
(1)在集合{1,2,3,4,5,6}中从小到大取三个数,使其构成调和数列(只需写出一个数列即可);
(2)若A,C,B,D 四点共线,顺次排列,且AC
CB
= AD
DB
,则称此四点构成了一个调和点列.
①求证:三个线段长度AC,AB,AD 构成一个调和数列;
②直线l 过点P(-4,0)与椭圆Γ: x
2
4
+ y
2
3
=1 相交于M,N 两点,已知四点P,M,Q,N 构成一个调和点列,求点Q 的轨迹长度.
解　(1)由题意,这三个数的倒数成等差数列,就能构成调和数列,则这三个数为2,3,6 或3,4,6.
(2)①证明:由AC
CB = AD
DB ,得CB
AC = DB
AD ,即AB - AC
AC
= AD - AB
AD
,则AB
AC + AB
AD =2,即1
AC + 1
AD = 2
AB ,则AC,AB,AD 构成一个调
和数列.
②设l:y=k(x+4),代入3x2+4y2-12=0,得(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0.Δ=(32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)=144(1-4k2),由Δ>0 得-1
2<k<1
2.设
M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=- 32k
2
3+ 4 k
2,x1x2=64 k
2-12
3+ 4 k
2 .则
1
x1+ 4 +
1
x2+ 4 =
x1+ x2+8
( x1+ 4)( x2+ 4)
=
x1+ x2+8
x1 x2+ 4( x1+ x2)+16
=
-32k
2+8(3+ 4 k
2)
64 k
2-12-128k
2+16(3+ 4 k
2)
=24
36 =2
3 .设Q(x,y),如图,则|PQ|=√( x + 4)
2+ y
2=√1+k
2(x+4),同理,|PM|=√1+k
2(x1+4),|
PN|=√1+ k
2(x2+4).依题设,得
1
| PM |
+
1
| PN |
=
2
| PQ|
,则
1
x1+ 4 +
1
x2+ 4 = 2
x + 4
.则x+4=3,得x=-1,且-3
2
<y<3
2
.因此,点Q 的
轨迹为一条线段(不含端点),长度为3.
19.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80 周年,某校组织相关知识的答题竞赛,每名参赛选手都赋予5 分的
初始积分,每答对一题加1 分,每答错一题减1 分.已知小明每道题答对的概率为2
3
,答错的概率为1
3
,且每道题答对与否互不
影响.
(1)求小明答4 道题后积分小于5 的概率.
(2)设小明答5 道题后积分为X,求E(X).
(3)若小明一直答题,直到积分为0 或10 时停止,记小明的积分为i(i=0,1,2,…,10)时最终积分为10 的概率为Pi,则P0=0,P10=1.
(ⅰ)证明:{Pi+1-Pi}(i=0,1,2,…,9)为等比数列;
(ⅱ)求P5的值.
解　(1)小明答4 道题后积分小于5,说明小明答错的题目数多于答对的题目数.设小明答4 道题,答对k 道题(k=0,1,2,3,4),则答
错4-k 道题,积分5+k-(4-k)=1+2k,积分小于5,即1+2k<5,解得k<2,所以k=0 或k=1,当k=0 时,P(0)=C4
0·(
2
3)
0
·(
1
3)
4
= 1
81
,当k=1
时,P(1)=C4
1·(
2
3)
1
·(
1
3)
3
= 8
81
,所以小明答4 道题后积分小于5 的概率为P(0)+P(1)=1
9
.
(2)设小明答对的题数为Y,则答错的题数为5-Y,所以X=5+Y-(5-Y)=2Y.由题意知Y~B(5, 2
3),所以E(Y)=5×2
3
=10
3
,所以
E(X)=2E(Y)=20
3
.
(3)(ⅰ)设小明的积分为i(i=1,2,…,9)时,若小明接下来一题答对,则积分变为i+1,若小明接下来一题答错,则积分变为i-1.由全
概率公式有Pi=2
3 Pi+1+1
3 Pi-1.整理可得Pi+1-Pi=1
2(Pi-Pi-1).又P1-P0=P1≠0,所以{Pi+1-Pi}(i=0,1,2,…,9)为等比数列.
(ⅱ)由(ⅰ)可得Pi+1-Pi= 1
2
iP1,所以P10=(P10-P9)+(P9-P8)+…+(P2-P1)+P1=
P1(1- 1
2
10)
1- 1
2
=1 023
512
P1,又P10=1,所以P1= 512
1 023.所
以P5=(P5-P4)+(P4-P3)+(P3-P2)+(P2-P1)+P1=
P1(1- 1
2
5)
1- 1
2
= 512
1 023 ×31
16 =32
33 .