“116 分”综合提升卷2
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共计40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是正确的.
1.(2025 江苏宿迁二模)设集合U=R,M={x|x>1},N={x|-1<x<2},则{x|x≤-1}=( )
A.∁U(M∩N)
B.∁U(M∪N)
C.M∪(∁UN)
D.N∪(∁UM)
2.(2025 山东聊城一模)已知角α∈(0,π),向量a=(1,❑√3),b=(cos α,sin α),若a∥b,则α=(
)
A.2π
3
B.π
3
C.π
4
D.π
6
3.(2025 江苏南通模拟)若(x+ 1
x
2)n(n∈N*)的展开式中存在常数项,则n 的最小值为( )
A.1
B.3
C.5
D.6
4.(2025 山东潍坊二模)已知-1+❑√2i 是关于x 的实系数方程x2+mx+n=0 的一个复数根,则
m+n=( )
A.-5
B.-1
C.1
D.5
5.(2025 山东聊城二模)为了研究某市高中生的脚长x(单位:cm)和身高y(单位:cm)的关系,
市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查,经统计,所调查数据的x=19.25,y=161,根
据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为
y
^ =4x+
a
^.已知被调查的某学生的脚长
为25 cm,身高为180 cm,则该样本点的残差为( )
A.1
B.-1
C.4
D.-4
6.(2025 河南开封模拟)已知函数f(x)=ax3-2x2-3x+1 在R 上单调递减,则实数a 的取值范围
为( )
A.[-4
9
,+∞)
B.[-4
3
,+∞)
C.(-∞,-4
3
]
D.(-∞,-4
9
]
7.(2025 河北沧州模拟)已知a>0,且f(x)=ln 1+ax
1-3 x
为奇函数,则( )
A.f( 1
2a
)>f( 1
3a
)>0
B.f( 1
3a
)>f( 1
2a
)>0
C.f( 1
2a
)>0>f( 1
3a
)
D.f( 1
3a
)>0>f( 1
2a
)
8.(2025 山东泰安二模)已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线交椭圆于P,Q
两点,且PQ⊥F1Q,S△Q F1 F2=2S△P F1 F2,则椭圆的离心率为( )
A.1
3
B.
❑√2
3
C.
❑√3
3
D.
❑√5
3
二、选择题:本大题共3 小题,每小题6 分,共计18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025 山东菏泽一模)已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)≠0,若f(xy)=yf(x),则( )
A.f(0)=0
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是增函数
D.f(x)+f(2x)=f(3x)
10.(2025 湖北黄石模拟)已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰三角形ABO,三角
形CBO,三角形FEO,三角形DEO 拼成,其中线段AD,CF,BE 的中点均为O,且AO=❑√3
BO=2❑√3.若将该平面图形绕着直线a 旋转半周所围成的几何体记为Ω1,将该平面图形绕
着直线b 旋转半周所围成的几何体记为Ω2,直线a⊥直线b,则( )
A.Ω1的体积为20 ❑√3
3
π
B.Ω2的表面积为(12-4❑√3)π
C.经过两次旋转后,点A 所有的运动轨迹总长为4π
D.Ω2的体积为4π
11.(2025 广东广州模拟)已知离散型随机变量X 的分布列为P(X=xi)=pi(i=1,2,3,…,n).定
义随机变量Y=etX(t∈R,e 为自然对数的底数,e=2.718 28…)的分布列如下:
Y
e
t x1
e
t x2
…
e
t xn
P
p1
p2
…
pn
随机变量Y 的数学期望E(Y)=E(etX)=∑
i=1
n
e
t xipi称为随机变量X 的生成函数,记为
MX(t).M'X(0)是函数MX(t)在t=0 处的导数,则( )
A.M'X(0)=E(X)
B.若X 服从两点分布,P(X=0)=P(X=1)=1
2
,则MX(t)=e
t
2
C.若X~B(n,p),则MX(t)=(etp+1-p)n
D.若实数a,b 为常数,则MaX+b(t)=ebt·MX(at)
三、填空题:本大题共3 小题,每小题5 分,共计15 分.
12.(2025 山东青岛二模)记等差数列{an}的前n 项和为Sn,且an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=1
2
,则
Sn= .
13.(2025 北京丰台二模)已知直线x=-π
3
为函数f(x)=cos(ωx+π
3
)(ω>0)图象的一条对称轴,
则满足条件的一个ω 的取值为 ;若f(x)在区间(-π
3
,0)上有零点,则ω 的最小值为
.
14.(2025 安徽A10 联盟模拟)已知点P(1,m)不在函数f(x)=x3-3mx 的图象上,且过点P 有三
条直线与f(x)的图象相切,则实数m 的取值范围为 .
四、解答题:本大题共3 小题,共计43 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)(2025 北京东城二模)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD 是正方形,
AB=1,AA1=2,点M 在棱CC1上,AC1∥平面BDM.
(1)求证:M 为CC1的中点;
(2)求平面BDM 与平面B1DM 夹角的余弦值.
16.(15 分)(2025 河北石家庄教学质量检测)已知函数f(x)=2aln x+1
2
x2-(a+2)x,其中a>0.
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)若g(x)=f(x)-1
2
x2+(a+1)x+a
x
,x1,x2为g(x)的两个不同的极值点,求g(x1)+g(x2)-4a 的最小
值.
17.(15 分)(2025 山东济南一模)已知双曲线C: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为❑√2,点O 为
坐标原点,过C 的右焦点的直线l 交C 的右支于P,Q 两点,当l⊥x 轴时,|PQ|=2❑√2.
(1)求C 的方程;
(2)过点P 作直线x=1 的垂线,垂足为N.
(ⅰ)证明:直线NQ 过定点;
(ⅱ)求△OQN 面积的最小值.
答案：
1.B 解析 依题意,M∩N={x|1<x<2},M∪N={x|x>-1},所以∁U(M∩N)={x|x≤1 或x≥2},
故A 错误;∁U(M∪N)={x|x≤-1},故B 正确;∁UN={x|x≤-1 或x≥2},M∪(∁UN)={x|x≤-1 或
x>1},故C 错误.∁UM={x|x≤1},N∪(∁UM)={x|x<2},故D 错误.
2.B 解析 因为α∈(0,π),所以sin α>0.向量a=(1,❑√3),b=(cos α,sin α),若a∥b,则sin α=❑√3
cos α>0,可得tan α=❑√3,故α=π
3 .
3.B 解析 (x+ 1
x
2)n的展开式的通项为Tr+1=Cn
rxn-r( 1
x
2)r=Cn
rxn-3r,r∈N,r≤n,
依题意,n-3r=0 有正整数解,则n 是3 的正整数倍,
所以n 的最小值为3.
4.D 解析 因为-1+❑√2i 是关于x 的实系数方程x2+mx+n=0 的一个复数根,所以-1-❑√2i 是
关于x 的实系数方程x2+mx+n=0 的另一个复数根,由根与系数的关系得-m=-1+❑√2i+(-1-
❑√2i),解得m=2,n=(-1+❑√2i)(-1-❑√2i)=1-2i2=3,则m+n=5,故D 正确.
5.D 解析 因为x=19.25,y=161,又经验回归直线
y
^ =4x+
a
^必过点(x , y),所以
161=4×19.25+
a
^,解得
a
^=84,所以
y
^ =4x+84.当x=25 时,
y
^ =4×25+84=184,所以该样本点的
残差为180-184=-4.
6.D 解析 由题知f'(x)=3ax2-4x-3≤0 在R 上恒成立,
所以{
a<0,
Δ=16+12×3a≤0,得a≤-4
9 .
7.A 解析 因为f(x)的定义域为(-1
a , 1
3
),f(x)为奇函数,所以a=3,则f(x)=ln1+3 x
1-3 x
=ln(
2
1-3 x
-1).
由于y=1-3x(-1
3
<x<1
3
)为减函数且值恒为正数,则y=
2
1-3 x
(-1
3
<x<1
3
)为增函数,
因此f(x)为定义在(-1
3 , 1
3
)上的增函数.
因为a=3>0,所以0<2a<3a,所以0< 1
3a < 1
2a
,
故f( 1
2a
)>f( 1
3a
)>f(0)=0.
8.D 解析 由S△Q F1 F2=2S△P F1 F2,可得|QF2|=2|PF2|.
设|PF2|=m,则|QF2|=2m,|PF1|=2a-m,|QF1|=2a-2m.由PQ⊥F1Q,则|PF1|2=|PQ|2+|QF1|2,即
(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2,解得m=a
3
(m=0 舍去).所以|QF1|=2a-2× a
3 = 4 a
3
,|QF2|=2
3
a.因为|
F1F2|2=|QF1|2+|QF2|2,即4c2=16a
2
9
+ 4 a
2
9
,解得c
2
a
2 = 5
9,所以椭圆的离心率e=c
a =
❑√5
3 .
9.ABD 解析 令y=-1,可得f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数,故B 正确;因为f(x)的定义域为R,
且f(x)为奇函数,所以f(0)=0,故A 正确;不妨取f(x)=-x,则满足f(xy)=yf(x),且f(1)≠0,但
f(x)=-x 不是增函数,故C 错误;令y=2,则f(2x)=2f(x),令y=3,则f(3x)=3f(x),故f(x)
+f(2x)=f(x)+2f(x)=3f(x)=f(3x),故D 正确.
10.AD 解析 如图,过点A 作直线a 的垂线,垂足为H,过点A 作直线b 的垂线,垂足为M.
由题意得AO=2❑√3,AB=BO=2,所以cos∠ABO=4 + 4 -12
2×2×2
=-1
2
,故∠ABO=2π
3 .所以
∠ABM=π
3
,所以BM=1,AM=❑√3,AH=3.该平面图形绕着直线a 旋转半周所围成的几何体
为2 个圆台挖去2 个圆锥,其中圆台的2 个底面半径分别为BO=2,AH=3,高为AM=❑√3,圆
锥的底面半径为AH=3,高为AM=❑√3,所以Ω1的体积为V=2×[1
3
(4π+❑√4 π ·9 π+9π)
×❑√3−1
3 ×9π×❑√3]=20 ❑√3
3
π,故A 正确;该平面图形绕着直线b 旋转半周所围成的几何体
为2 个大圆锥挖去2 个小圆锥,其中大圆锥的底面半径为AM=❑√3,母线长为AO=2❑√3,高
为OM=3,小圆锥的底面半径为AM=❑√3,母线长为AB=2,高为BM=1,则Ω2的表面积为2
个大圆锥和2 个小圆锥的侧面积之和,所以Ω2的表面积为S=2×(2❑√3×❑√3 π+2❑√3 π
)=2×(6+2❑√3 π)=12+4❑√3 π,故B 错误;该平面图形绕着直线a 旋转半周,点A 的运动轨迹
为半径为3 的半圆,该平面图形绕着直线b 旋转半周,点A 的运动轨迹为半径为❑√3的半圆,
所以经过两次旋转后,点A 所有的运动轨迹总长为3π+❑√3 π=(3+❑√3)π,故C 错误;由选项
B 知Ω2的体积为V=2×(1
3 ×3π×3-1
3 ×3π×1)=4π,故D 正确.
11.AD 解析 对于A,随机变量X 的生成函数MX(t)=E(etX),则M'X(t)=E(XetX),当t=0 时,
MX'(0)=E(Xe0)=E(X),故A 正确;对于B,X 服从两点分布,P(X=0)=P(X=1)=1
2
,则生成函数为
MX(t)=et·0· 1
2
+et·1· 1
2 = 1+e
t
2
,故B 错误;对于C,X~B(n,p),则P(X=k)=Cn
kpk(1-p)n-k, k=0,1,2,…,n,
则生成函数为MX(t)=E(etX)=∑
k =0
n etkCn
kpk(1-p)n-k=∑
k =0
n
Cn
k(etp)k(1-p)n-k=(1-p+pet)n,故C 错误;对于
D,对于线性变换aX+b 的生成函数MaX+b(t)=E(et(aX+b))=E(eatX+bt)=ebt·MX(at),故D 正确.
12. 1
2n
解析 由an=Sn-Sn-1代入已知,得Sn-Sn-1+2SnSn-1=0.若SnSn-1=0,则Sn=Sn-1=0,又
S1=a1≠0,不符合题意,故SnSn-1≠0,所以1
Sn-1
−1
Sn
+2=0,即1
Sn
−1
Sn-1
=2,n≥2,又1
S1
= 1
a1
=2,可得
{ 1
Sn
}是首项为2,公差为2 的等差数列,所以1
Sn
=2+(n-1)·2=2n,所以Sn= 1
2n .
13.1(答案不唯一) 4 解析 因为直线x=-π
3
为函数f(x)=cos(ωx+π
3
)(ω>0)图象的一条对
称轴,
所以-π
3 ω+π
3
=kπ,k∈Z,解得ω=1-3k,k∈Z,
又ω>0,所以可取ω=1(答案不唯一).
令ωx+π
3 = π
2
+mπ,m∈Z,解得x= π
6ω + m π
ω
,m∈Z,
若f(x)在区间(-π
3
,0)上有零点,由-π
3 < π
6ω + m π
ω
<0,故m≤-1 且ω>-1
2
-3m,又ω>0 且要求ω
的最小值,所以ω 的最小值为4.
14.(0,1
4
) 解析 点P(1,m)不在函数f(x)=x3-3mx 的图象上,则f(1)=1-3m≠m,即m≠1
4 .设过
点P 的直线与f(x)=x3-3mx 的图象相切于点Q(t,t3-3mt),f'(x)=3x2-3m,则切线的斜率
k=f'(t)=3t2-3m=t
3-3mt -m
t -1
,整理可得2t3-3t2+4m=0,则问题可转化为g(t)=2t3-3t2+4m 有三
个零点.g'(t)=6t2-6t,令g'(t)=0,可得t=0 或t=1,当t∈(-∞,0)时,g'(t)>0,则g(t)在(-∞,0)上单调
递增,当t∈(0,1)时,g'(t)<0,则g(t)在(0,1)上单调递减,当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,则g(t)在
(1,+∞)上单调递增,即当t=0 时,g(t)有极大值,当t=1 时,g(t)有极小值,要使g(t)=2t3-3t2+4m
有三个零点,则{
g(0)>0,
g(1)<0, 即{
4 m>0,
2-3+ 4 m<0,解得0<m<1
4
,所以实数m 的取值范围为(0,1
4
).
15.(1)证明 连接AC,交BD 于点O,连接OM.
因为四边形ABCD 是正方形,所以O 是AC 的中点.
因为AC1∥平面BDM,AC1⊂平面C1AC,且平面BDM∩平面C1AC=OM,所以AC1∥OM,所
以M 为CC1的中点.
(2)解 如图,以D 为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角
坐标系,
则D(0,0,0),B(1,1,0),M(0,1,1),B1(1,1,2),则⃗D B1=(1,1,2),⃗DB=(1,1,0),⃗DM=(0,1,1),
设平面B1DM 的法向量为m=(x,y,z),则{
m·⃗D B1= x + y +2 z =0,
m·⃗DM = y + z =0,
取x=1,得平面B1DM 的
一个法向量为m=(1,1,-1),
设平面BDM 的法向量为n=(u,v,w),
则{
n·⃗DB =u+ v =0,
n·⃗DM = v + w =0,取u=1,得平面BDM 的一个法向量为n=(1,-1,1),设平面BDM 与平
面B1DM 夹角为θ,则cos θ=-cos<m,n>=- m·n
|m||n| =
1
❑√3×❑√3 = 1
3
,所以平面BDM 与平面
B1DM 夹角的余弦值为1
3 .
16.解 (1)因为a=1,所以f(x)=2ln x+1
2
x2-3x(x>0),f'(x)=2
x
+x-3=( x -2)( x -1)
x
(x>0),
令f'(x)>0,解得0<x<1 或x>2,令f'(x)<0,解得1<x<2,
所以f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,+∞),单调递减区间为(1,2).
(2)由题意知g(x)=a
x -x+2aln x(x>0),g'(x)=- a
x
2-1+2a
x =- x
2+2ax -a
x
2
(x>0),
由题可得-x2+2ax-a=0 有两个不相等的正根x1,x2,
所以{
Δ= 4 a
2- 4 a>0,
x1+ x2=2a>0,
x1 x2=a>0,
解得a>1,
所以g(x1)+g(x2)-4a=( a
x1
-x1+2aln x1+ a
x2
-x2+2aln x2)-4a
=a( x1+ x2)
x1 x2
-(x1+x2)+2aln(x1x2)-4a=2aln a-4a.
令h(a)=2aln a-4a(a>1),则h'(a)=2ln a-2,
当a∈(1,e)时,h'(a)<0;当a∈(e,+∞)时,h'(a)>0,
所以h(a)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
所以h(a)min=h(e)=2e-4e=-2e,
即g(x1)+g(x2)-4a 的最小值为-2e.
17.(1)解 由题设c
a = ❑√2且a2+b2=c2,得a=b,c=❑√2a,由l⊥x 轴时,|PQ|=2❑√2,不妨令P(❑√2a,
❑√2),代入双曲线得2a
2
a
2 −2
b
2=1,所以a2=b2=2,c=2,则所求方程为x
2
2 −y
2
2
=1.
(2)(ⅰ)证明 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则N(1,y1),由题可知l 斜率不为0,设l:x=my+2,联立双曲线
并整理得(m2-1)y2+4my+2=0,则m2-1≠0,Δ=8m2+8>0,
所以y1+y2=- 4 m
m
2-1
,y1y2=
2
m
2-1
,
由x2≠1,直线NQ:y= y2- y1
x2-1 (x-1)+y1,
根据双曲线的对称性,直线NQ 所过定点必在x 轴上,
令y=0,则y2- y1
x2-1 (x-1)+y1=0,得x= y2- y1 x2
y2- y1
,
因为x2=my2+2,所以x= y2-m y1 y2-2 y1
y2- y1
,而y1+ y2
y1 y2
=-2m,
所以y1+ y2
-2
=my1y2,则x= y2+ y1+ y2
2
-2 y1
y2- y1
= 3
2
,
所以NQ 过定点M(3
2
,0).
(ⅱ)解 由S△OQN=1
2|OM||y1-y2|=3
4
❑√( y1+ y2)
2- 4 y1 y2= 3 ❑√2
2
·❑√
m
2+1
(m
2-1)
2 ,
由l 与C 的右支交于两点,可得0≤m2<1,令t=m2-1∈[-1,0),则1
t ∈(-∞,-1],
则S△OQN=3 ❑√2
2
·❑√
t +2
t
2 = 3 ❑√2
2
·❑√
1
t + 2
t
2 = 3 ❑√2
2
·❑√2( 1
t + 1
4 )
2- 1
8,
故S△OQN≥3 ❑√2
2
,当且仅当t=-1 时,等号成立.
综上,S△OQN的最小值为
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