2024 年普通高等学校招生考试(新课标Ⅱ卷)
一、单选题
1．已知z＝－1－i，则|z|等于( )
A．0 B．1 C. D．2
答案 C
解析 若z＝－1－i，
则|z|＝＝.
2．已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则( )
A．p 和q 都是真命题
B．綈p 和q 都是真命题
C．p 和綈q 都是真命题
D．綈p 和綈q 都是真命题
答案 B
解析 对于命题p，取x＝－1，
则有|x＋1|＝0<1，
故p 是假命题，綈p 是真命题，
对于命题q，取x＝1，
则有x3＝13＝1＝x，
故q 是真命题，綈q 是假命题，
综上，綈p 和q 都是真命题．
3．已知向量a，b 满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|等于( )
A. B. C. D．1
答案 B
解析 因为(b－2a)⊥b，
所以(b－2a)·b＝0，
即b2＝2a·b，
又因为|a|＝1，|a＋2b|＝2，
所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，
从而|b|＝.
4．某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量
(单位：kg)并整理得下表：
亩产量
[900，950)
[950，1
[1 000，1
[1 050，1
[1 100，1
[1 150，1
000)
050)
100)
150)
200)
频数
6
12
18
30
24
10
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A．100 块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100 块稻田中亩产量低于1 100 kg 的稻田所占比例超过80%
C．100 块稻田亩产量的极差介于200 kg 至300 kg 之间
D．100 块稻田亩产量的平均值介于900 kg 至1 000 kg 之间
答案 C
解析 对于A, 根据频数分布表可知，
6＋12＋18＝36<50，
所以亩产量的中位数不小于1 050 kg, 故A 错误；
对于B，亩产量不低于1 100 kg 的频数为24＋10＝34，
所以低于1 100 kg 的稻田占比为×100%＝66%，故B 错误；
对于C，稻田亩产量的极差最大为1 200－900＝300，
最小为1 150－950＝200，故C 正确；
对于D，由频数分布表可得，
平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D
错误．
5．已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP′，P′为垂足，则
线段PP′的中点M 的轨迹方程为( )
A.＋＝1(y>0)
B.＋＝1(y>0)
C.＋＝1(y>0)
D.＋＝1(y>0)
答案 A
解析 设点M(x，y)，
则P(x，y0)，P′(x，0)，
因为M 为PP′的中点，
所以y0＝2y，即P(x，2y)，
又P 在曲线x2＋y2＝16(y>0)上，
所以x2＋4y2＝16(y>0)，
即＋＝1(y>0)，
即点M 的轨迹方程为＋＝1(y>0)．
6．设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)和y＝g(x)恰有
一个交点，则a 等于( )
A．－1 B. C．1 D．2
答案 D
解析 方法一 令f(x)＝g(x)，
即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，
可得ax2＋a－1＝cos x，
令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x，
原题意等价于当x∈(－1,1)时，
曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，
注意到F(x)，G(x)均为偶函数，
可知该交点只能在y 轴上，
可得F(0)＝G(0)，
即a－1＝1，解得a＝2，
若a＝2，令F(x)＝G(x)，
可得2x2＋1－cos x＝0，
因为x∈(－1,1)，则2x2≥0,1－cos x≥0，
当且仅当x＝0 时，等号成立，
可得2x2＋1－cos x≥0，
当且仅当x＝0 时，等号成立，
则方程2x2＋1－cos x＝0 有且仅有一个实根0，
即曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，
所以a＝2 符合题意．
方法二 令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1,1)，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos(－x)
＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，
即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2，
若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1,1)，
又因为2x2≥0,1－cos x≥0，
当且仅当x＝0 时，等号成立，
可得h(x)≥0，当且仅当x＝0 时，等号成立，
即h(x)有且仅有一个零点0，
所以a＝2 符合题意．
7．已知正三棱台ABC－A1B1C1的体积为，AB＝6，A1B1＝2，则A1A 与平面ABC 所成角的正
切值为( )
A. B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 方法一 分别取BC，B1C1的中点D，D1，
则AD＝3，A1D1＝，
可知S△ABC＝×6×3＝9，
S△A1B1C1＝×2×＝，
设正三棱台ABC－A1B1C1的高为h，
则V 三棱台ABC－A1B1C1＝×h＝，
解得h＝，
如图，分别过A1，D1作底面的垂线，垂足为M，N，
设AM＝x，
则AA1＝＝，
DN＝AD－AM－MN＝2－x，
可得DD1＝＝，
结合等腰梯形BCC1B1可得
BB＝2＋DD，
即x2＋＝(2－x)2＋＋4，
解得x＝，
所以A1A 与平面ABC 所成角的正切值为
tan∠A1AD＝＝1.
方法二 将正三棱台ABC－A1B1C1补成正三棱锥P－ABC，
则A1A 与平面ABC 所成的角即为PA 与平面ABC 所成的角，
因为＝＝，
则
＝，
可知
＝V 三棱锥P－ABC＝，
则V 三棱锥P－ABC＝18，
设正三棱锥P－ABC 的高为d，
则V 三棱锥P－ABC＝d××6×6×＝18，
解得d＝2，
取△ABC 的中心为O，
则PO⊥底面ABC，
且AO＝2，
所以PA 与平面ABC 所成角的正切值
tan∠PAO＝＝1.
8．设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)．若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为( )
A. B. C. D．1
答案 C
解析 方法一 由题意可知，f(x)的定义域为(－b，＋∞)，
令x＋a＝0，解得x＝－a；
令ln(x＋b)＝0，解得x＝1－b，
若－a≤－b，当x∈(－b，1－b)时，
可知x＋a>0，ln(x＋b)<0，
此时f(x)<0，不符合题意；
若－b<－a<1－b，当x∈(－a，1－b)时，
可知x＋a>0，ln(x＋b)<0，
此时f(x)<0，不符合题意；
若－a＝1－b，当x∈(－b，1－b)时，
可知x＋a<0，ln(x＋b)<0，此时f(x)>0；
当x∈[1－b，＋∞)时，
可知x＋a≥0，ln(x＋b)≥0，
此时f(x)≥0，
可知若－a＝1－b，符合题意；
若－a>1－b，当x∈(1－b，－a)时，
可知x＋a<0，ln(x＋b)>0，
此时f(x)<0，不符合题意，
综上所述，－a＝1－b，即b＝a＋1，
则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2
＝22＋≥，
当且仅当a＝－，b＝时，等号成立，
所以a2＋b2的最小值为.
方法二 由题意可知，f(x)的定义域为(－b，＋∞)，
令x＋a＝0，解得x＝－a；
令ln(x＋b)＝0，解得x＝1－b，
则当x∈(－b，1－b)时，ln(x＋b)<0，
故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；
当x∈(1－b，＋∞)时，ln(x＋b)>0，
故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0；
故1－b＋a＝0,
则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2
＝22＋≥，
当且仅当a＝－，b＝时，等号成立，
所以a2＋b2的最小值为.
二、多选题
9．对于函数f(x)＝sin 2x 和g(x)＝sin，下列说法中正确的有( )
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
答案 BC
解析 A 选项，令f(x)＝sin 2x＝0，
解得x＝，k∈Z，即为f(x)的零点，
令g(x)＝sin＝0，
解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f(x)，g(x)零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D 选项错误．
10．抛物线C：y2＝4x 的准线为l，P 为C 上的动点，过P 作⊙A：x2＋(y－4)2＝1 的一条切
线，Q 为切点．过P 作l 的垂线，垂足为B.则( )
A．l 与⊙A 相切
B．当P，A，B 三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2 时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P 有且仅有2 个
答案 ABD
解析 A 选项，抛物线y2＝4x 的准线为x＝－1，
⊙A 的圆心(0,4)到直线x＝－1 的距离显然是1，
等于圆的半径，
故准线l 和⊙A 相切，A 选项正确；
B 选项，当P，A，B 三点共线时，
即PA⊥l，则P 的纵坐标yP＝4，
由y＝4xP，
得到xP＝4，故P(4,4)，
此时切线长|PQ|＝＝＝，B 选项正确；
C 选项，当|PB|＝2 时，xP＝1，
此时y＝4xP＝4，
故P(1,2)或P(1，－2)，
当P(1,2)时，A(0,4)，B(－1,2)，
kPA＝＝－2，
kAB＝＝2，
不满足kPAkAB＝－1；
当P(1，－2)时，A(0,4)，B(－1，－2)，
kPA＝＝－6，
kAB＝＝6，
不满足kPAkAB＝－1，
于是PA⊥AB 不成立，C 选项错误；
D 选项，方法一 (利用抛物线定义转化)
设抛物线C 的焦点为F，根据抛物线的定义，
|PB|＝|PF|，这里F(1,0)，
于是＝时P 点的存在性问题转化成＝时P 点的存在性问题，
A(0,4)，F(1,0)，AF 的中点为，
AF 中垂线的斜率为－＝，
于是AF 的中垂线方程为y＝，
与抛物线y2＝4x 联立可得y2－16y＋30＝0，
Δ＝(－16)2－4×1×30＝136>0，
即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个P 点，使得＝，D 选项正确．
方法二 (设点直接求解)
设P，
由PB⊥l 可得B(－1，t)，
又A(0,4)，＝，
根据两点间的距离公式，
＝＋1，
整理得t2－16t＋30＝0，
Δ＝(－16)2－4×1×30＝136>0，
则关于t 的方程有两个解，
即存在两个这样的P 点，D 选项正确．
11．设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1，则( )
A．当a>1 时，f(x)有三个零点
B．当a<0 时，x＝0 是f(x)的极大值点
C．存在a，b，使得x＝b 为曲线y＝f(x)的对称轴
D．存在a，使得点(1，f(1))为曲线y＝f(x)的对称中心
答案 AD
解析 A 选项，f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)，由于a>1，
故当x∈(－∞，0)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(－∞，0)，(a，＋∞)上单调递增，
当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
则f(x)在x＝0 处取到极大值，在x＝a 处取到极小值，
由f(0)＝1>0，f(a)＝1－a3<0，
则f(0)f(a)<0，
根据零点存在定理f(x)在(0，a)上有一个零点，
又f(－1)＝－1－3a<0，
f(2a)＝4a3＋1>0，
则f(－1)f(0)<0，f(a)f(2a)<0，
则f(x)在(－1,0)，(a，2a)上各有一个零点，
于是当a>1 时，f(x)有三个零点，A 选项正确；
B 选项，f′(x)＝6x(x－a)，
由于a<0，当x∈(a，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
此时f(x)在x＝0 处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的a，b，使得x＝b 为f(x)的对称轴，
即存在这样的a，b 使得f(x)＝f(2b－x)，
即2x3－3ax2＋1＝2(2b－x)3－3a(2b－x)2＋1，
根据二项式定理，等式右边(2b－x)3展开式中含有x3的项为
2C(2b)0(－x)3＝－2x3，
于是等式左右两边x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的a，b，使得x＝b 为f(x)的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一 (利用对称中心的表达式化简)
f(1)＝3－3a，若存在这样的a，使得(1,3－3a)为f(x)的对称中心，
则f(x)＋f(2－x)＝6－6a，事实上，
f(x)＋f(2－x)＝2x3－3ax2＋1＋2(2－x)3－3a(2－x)2＋1＝(12－6a)x2＋(12a－24)x＋18－12a，
于是6－6a＝(12－6a)x2＋(12a－24)x＋18－12a，
即解得a＝2，
即存在a＝2 使得(1，f(1))是f(x)的对称中心，D 选项正确．
方法二 (直接利用拐点结论)
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
f(x)＝2x3－3ax2＋1，
f′(x)＝6x2－6ax，f″(x)＝12x－6a，
由f″(x)＝0 得x＝，
于是该三次函数的对称中心为，
由题意(1，f(1))也是对称中心，
故＝1，即a＝2，
即存在a＝2 使得(1，f(1))是f(x)的对称中心，D 选项正确．
三、填空题
12．记Sn为等差数列{an}的前n 项和，若a3＋a4＝7,3a2＋a5＝5，则S10＝________.
答案 95
解析 方法一 (基本量法)
设数列{an}的公差为d，
则由题意得
解得
则S10＝10a1＋d
＝10×(－4)＋45×3＝95.
方法二 (利用下标和性质)
设数列{an}的公差为d，
由a3＋a4＝a2＋a5＝7，
3a2＋a5＝5，
得a2＝－1，a5＝8，
故d＝＝3，a6＝11，
则S10＝×10＝5(a5＋a6)
＝5×19＝95.
13．已知α 为第一象限角，β 为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋
β)＝________.
答案 －
解析 方法一 由题意得tan(α＋β)
＝＝＝－2，
因为α∈，
β∈，k，m∈Z，
则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
又因为tan(α＋β)＝－2<0，
则α＋β∈((2m＋2k)π＋，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
则sin(α＋β)<0，
则＝－2，
联立 sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，
解得sin(α＋β)＝－.
方法二 因为α 为第一象限角，β 为第三象限角，
则cos α>0，cos β<0，
cos α＝＝，
cos β＝＝，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝cos αcos β(tan α＋tan β)
＝4cos αcos β＝
＝
＝＝－.
14.在如图的4×4 方格表中选4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有
________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4 个数之和的最大值是
________．
答案 24 112
解析 由题意知，选4 个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4 个方格可
选，第二列有3 个方格可选，第三列有2 个方格可选，第四列有1 个方格可选，所以共有
4×3×2×1＝24(种)选法；
先按列分析，每列必选出一个数，故所选4 个数的十位上的数字分别为1,2,3,4.再按行分析，
第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1,3,3,5，故从第一行选21，从第二行选
33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大．故选中方格中的4 个数
之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112.
四、解答题
15．记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A；
(2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC 的周长．
解 (1)方法一 常规方法(辅助角公式)
由sin A＋cos A＝2，
可得sin A＋cos A＝1，
即sin＝1，
由于A∈(0，π)⇒A＋∈，
故A＋＝，
解得A＝.
方法二 常规方法(同角三角函数的基本关系)
由sin A＋cos A＝2，
又sin 2A＋cos 2A＝1，
消去sin A 得到
4cos2A－4cos A＋3＝0⇔(2cos A－)2＝0，
解得cos A＝，
又A∈(0，π)，故A＝.
(2)由题设条件和正弦定理得，
bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C＝2sin Csin Bcos B，
又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，
进而cos B＝，得到B＝，
于是C＝π－A－B＝，
sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝，
由正弦定理可得，
＝＝，
即＝＝，
解得b＝2，c＝＋，
故△ABC 的周长为2＋＋3.
16．已知函数f(x)＝ex－ax－a3.
(1)当a＝1 时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
解 (1)当a＝1 时，则f(x)＝ex－x－1，
f′(x)＝ex－1，
可得f(1)＝e－2，f′(1)＝e－1，
即切点坐标为(1，e－2)，
切线斜率k＝e－1，
所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y－1＝0.
(2)方法一 因为f(x)的定义域为R，
且f′(x)＝ex－a，
若a≤0，则f′(x)>0 对任意x∈R 恒成立，
可知f(x)在R 上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f′(x)>0，解得x>ln a，
令f′(x)<0，解得x<ln a，
可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值，
由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
则g′(a)＝2a＋>0，
可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，
且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0 等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a 的取值范围为(1，＋∞)．
方法二 因为f(x)的定义域为R，
且f′(x)＝ex－a，
若f(x)有极小值，
则f′(x)＝ex－a 有零点，
令f′(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，
可知y＝ex与y＝a 有交点，则a>0，
令f′(x)>0，解得x>ln a；
令f′(x)<0，解得x<ln a，
可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，
则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，
无极大值，符合题意，
由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，
即a2＋ln a－1>0，
令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，
因为y＝a2，y＝ln a－1 在(0，＋∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，
且g(1)＝0，
不等式a2＋ln a－1>0 等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a 的取值范围为(1，＋∞)．
17.如图，平面四边形ABCD 中，AB＝8，CD＝3，AD＝5，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，点
E，F 分别满足AE＝AD，AF＝AB，将△AEF 沿EF 翻折至△PEF，使得PC＝4.
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
(1)证明 由AB＝8，AD＝5，
AE＝AD，AF＝AB，
得AE＝2，AF＝4，
又∠BAD＝30°，在△AEF 中，
由余弦定理得
EF＝
＝＝2，
所以AE2＋EF2＝AF2，
则AE⊥EF，即EF⊥AD，
所以EF⊥PE，EF⊥DE，
又PE∩DE＝E，PE，DE⊂平面PDE，
所以EF⊥平面PDE，
又PD⊂平面PDE，
故EF⊥PD.
(2)解 连接CE，由∠ADC＝90°，
ED＝3，CD＝3，
则EC2＝ED2＋CD2＝36，
在△PEC 中，PC＝4，
PE＝2，EC＝6，
得EC2＋PE2＝PC2，
所以PE⊥EC，由(1)知PE⊥EF，
又EC∩EF＝E，
EC，EF⊂平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD，
又ED⊂平面ABCD，
所以PE⊥ED，
则PE，EF，ED 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则E(0,0,0)，P(0,0,2)，
D(0,3，0)，C(3,3，0)，
F(2,0,0)，A(0，－2，0)，
由F 是AB 的中点，得B(4,2，0)，
所以PC＝(3,3，－2)，
PD＝(0,3，－2)，
PB＝(4,2，－2)，
PF＝(2,0，－2)，
设平面PCD 和平面PBF 的法向量分别为
n＝(x1，y1，z1)，m＝(x2，y2，z2)，
则
令y1＝2，x2＝，
得x1＝0，z1＝3，y2＝－1，z2＝1，
所以n＝(0,2,3)，m＝(，－1,1)，
设平面PCD 和平面PBF 所成的二面角为θ，
所以|cos θ|＝|cos〈m，n〉|＝＝＝，
则sin θ＝＝，
即平面PCD 和平面PBF 所成的二面角的正弦值为.
18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段
由参赛队中一名队员投篮3 次，若3 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0 分；若至少
投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3 次，每次投篮投中得
5 分，未投中得0 分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员
组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分的概率；
(2)假设0<p<q，
①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
解 (1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5 分，
则甲第一阶段至少投中1 次，乙第二阶段也至少投中1 次，
∴比赛成绩不少于5 分的概率
P＝(1－0.63)×(1－0.53)＝0.686.
(2)①若甲先参加第一阶段比赛，
则甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率
P 甲＝[1－(1－p)3]q3，
若乙先参加第一阶段比赛，
则甲、乙所在队的比赛成绩为15 分的概率
P 乙＝[1－(1－q)3]p3，
∵0<p<q≤1，
∴P 甲－P 乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3
＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)·
[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]
＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)
＝3pq(p－q)(pq－p－q)
＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，
∴P 甲>P 乙，应该由甲参加第一阶段比赛．
②若甲先参加第一阶段比赛，
比赛成绩X 的所有可能取值为0,5,10,15，
P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3](1－q)3，
P(X＝5)＝[1－(1－p)3]Cq(1－q)2，
P(X＝10)＝[1－(1－p)3]Cq2(1－q)，
P(X＝15)＝[1－(1－p)3]q3，
∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q
＝15(p3－3p2＋3p)q.
若乙先参加第一阶段比赛，
比赛成绩Y 的所有可能取值为0,5,10,15，
同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)p，
∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15(p－q)pq(p＋q－3)，
∵0<p<q≤1，
则p－q<0，p＋q－3<0，
则(p－q)pq(p＋q－3)>0，
∴E(X)>E(Y)，
∴应该由甲参加第一阶段比赛．
19．已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，点P1(5,4)在C 上，k 为常数，0<k<1.按照如下方式依
次构造点Pn(n＝2,3，…)：过Pn－1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关
于y 轴的对称点．记Pn的坐标为(xn，yn)．
(1)若k＝，求x2，y2；
(2)证明：数列{xn－yn}是公比为的等比数列；
(3)设Sn为△PnPn＋1Pn＋2的面积，证明：对任意的正整数n，Sn＝Sn＋1.
(1)解 由已知有m＝52－42＝9，
故C 的方程为x2－y2＝9.
当k＝时，
过P1(5,4)且斜率为的直线为y＝，
与x2－y2＝9 联立得到x2－2＝9.
解得x＝－3 或x＝5，
所以该直线与C 的不同于P1的交点为Q1(－3,0)，该点显然在C 的左支上．
故P2(3,0)，
从而x2＝3，y2＝0.
(2)证明 方法一 由于过Pn(xn，yn)且斜率为k 的直线为y＝k(x－xn)＋yn，
与x2－y2＝9 联立，
得到方程x2－[k(x－xn)＋yn]2＝9.
展开得(1－k2)x2－2k(yn－kxn)x－(yn－kxn)2－9＝0，
由于Pn(xn，yn)已经是直线y＝k(x－xn)＋yn和x2－y2＝9 的公共点，
故方程必有一根x＝xn.
从而根据根与系数的关系，
另一根x＝－xn＝，
相应的y＝k(x－xn)＋yn＝.
所以该直线与C 的不同于Pn的交点为
Qn，
而注意到Qn的横坐标亦可通过根与系数的关系表示为，
故Qn一定在C 的左支上．
所以Pn＋1.
这就得到xn＋1＝，
yn＋1＝.
所以xn＋1－yn＋1＝
－
＝－
＝(xn－yn)＝(xn－yn)．
再由x－y＝9，
就知道x1－y1≠0，
所以数列{xn－yn}是公比为的等比数列．
方法二 因为点Pn(xn，yn)关于y 轴的对称点是Qn－1(－xn，yn)，
点Pn－1(xn－1，yn－1)，Qn－1在同一条斜率为k 的直线上，
所以xn－1≠－xn，并且＝k.①
因为点Pn－1，Qn－1都在双曲线C 上，
所以
两式相减得(xn－xn－1)(xn＋xn－1)
＝(yn－yn－1)(yn＋yn－1)．②
由①，②得
④－③得(xn－yn)－(xn－1－yn－1)
＝k(xn－yn)＋k(xn－1－yn－1)，
整理得＝.
又x1－y1＝1，
所以{xn－yn}是公比为的等比数列．
(3)证明 方法一 先证明一个结论：对平面上三个点U，V，W，
若UV＝(a，b)，UW＝(c，d)，
则S△UVW＝(若U，V，W 在同一条直线上，约定S△UVW＝0)．
证明：S△UVW＝·sin〈UV，UW〉
＝·
＝·
＝
＝
＝
＝
＝
＝.
证毕，回到原题．
由(2)可知
xn＋1＝，
yn＋1＝，
故xn＋1＋yn＋1＝＋
＝(xn＋yn)＝(xn＋yn)．
再由x－y＝9，
可知x1＋y1≠0，
所以数列是公比为的等比数列．
所以对任意的正整数m，都有
xnyn＋m－ynxn＋m
＝[(xnxn＋m－ynyn＋m)＋(xnyn＋m－ynxn＋m)]
－[(xnxn＋m－ynyn＋m)－(xnyn＋m－ynxn＋m)]
＝(xn－yn)(xn＋m＋yn＋m)－(xn＋yn)(xn＋m－yn＋m)
＝m(xn－yn)(xn＋yn)－m(xn＋yn)(xn－yn)
＝(x－y)
＝.
而又有Pn＋1Pn＝(－(xn＋1－xn)，－(yn＋1－yn))，
Pn＋1Pn＋2＝(xn＋2－xn＋1，yn＋2－yn＋1)，
故利用前面已经证明的结论即得
Sn＝
＝|－(xn＋1－xn)(yn＋2－yn＋1)＋(yn＋1－yn)(xn＋2－xn＋1)|
＝|(xn＋1－xn)(yn＋2－yn＋1)
－(yn＋1－yn)(xn＋2－xn＋1)|
＝|(xn＋1yn＋2－yn＋1xn＋2)＋(xnyn＋1－ynxn＋1)－(xnyn＋2－ynxn＋2)|
＝
－.
这就表明Sn的取值是与n 无关的定值，
所以Sn＝Sn＋1.
方法二 由(2)可知
xn＋1＝，
yn＋1＝，
故xn＋1＋yn＋1＝＋
＝(xn＋yn)＝(xn＋yn)．
再由x－y＝9，
可知x1＋y1≠0，
所以数列是公比为的等比数列．
所以对任意的正整数m，都有
xnyn＋m－ynxn＋m
＝[(xnxn＋m－ynyn＋m)＋(xnyn＋m－ynxn＋m)]
－[(xnxn＋m－ynyn＋m)－(xnyn＋m－ynxn＋m)]
＝(xn－yn)(xn＋m＋yn＋m)－(xn＋yn)(xn＋m－yn＋m)
＝m(xn－yn)(xn＋yn)
－m(xn＋yn)(xn－yn)
＝(x－y)
＝.
这就得到
xn＋2yn＋3－yn＋2xn＋3
＝
＝xnyn＋1－ynxn＋1，
以及xn＋1yn＋3－yn＋1xn＋3
＝
＝xnyn＋2－ynxn＋2.
两式相减，
得(xn＋2yn＋3－yn＋2xn＋3)
－(xn＋1yn＋3－yn＋1xn＋3)
＝(xnyn＋1－ynxn＋1)－(xnyn＋2－ynxn＋2)．
移项得到
xn＋2yn＋3－ynxn＋2－xn＋1yn＋3＋ynxn＋1
＝yn＋2xn＋3－xnyn＋2－yn＋1xn＋3＋xnyn＋1.
故(yn＋3－yn)(xn＋2－xn＋1)
＝(yn＋2－yn＋1)(xn＋3－xn)．
而PnPn＋3＝(xn＋3－xn，yn＋3－yn)，
Pn＋1Pn＋2＝(xn＋2－xn＋1，yn＋2－yn＋1)．
所以PnPn＋3和Pn＋1Pn＋2平行，
这就得到
，
即Sn＝Sn＋1.
