专练12 14 小题＋1 大题(导数)
——节选自湛江二模
一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)
1.已知集合A＝{x|x＋2>0},B＝{x|x2<16},则A∪B＝( )
A.(－4,＋∞)
B.(－2,4)
C.(－4,2)
D.(－∞,－2)
答案 A
解析 因为A＝(－2,＋∞),B＝(－4,4),
所以A∪B＝(－4,＋∞).
2.已知函数f(x)＝ex＋2x,则曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )
A.y＝2x＋1
B.y＝3x＋1
C.y＝2x
D.y＝3x
答案 B
解析 由f(x)＝ex＋2x,
得f'(x)＝ex＋2,
则f(0)＝1,f'(0)＝3,
则曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.
3.已知向量a,b 满足a＝(1,2),a·b＝5,且a⊥(a＋λb),则λ＝( )
A.－1
B.－2
C.－1
2
D.－1
5
答案 A
解析 因为a⊥(a＋λb),
所以a·(a＋λb)＝a2＋λa·b＝0.
又a＝(1,2),a·b＝5,
所以a2＋λa·b＝5＋5λ＝0,解得λ＝－1.
4.某林业科学院培育新品种草莓,新培育的草莓单果质量ξ(单位:g)近似服从正态分布N(50,4),现有
该新品种草莓10 000 个,估计其中单果质量超过52 g 的草莓有( )
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6,P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.
A.228 个
B.456 个
C.1 587 个
D.3 174 个
答案 C
解析 由N(50,4)可知μ＝50,σ＝2,P(X>52)＝1
2[1－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝0.158 7,
故其中单果质量超过52 g 的草莓约有10 000×0.158 7＝1 587 个.
5.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0 时,f(x)＝x2＋2x－3,则不等式f(2x－1)>0 的解集为
( )
A.(－∞,0)∪(1,＋∞)
B.(0, 1
2)∪(1,＋∞)
C.(0, 1
2)∪(
1
2 ,1)
D.(－∞,0)∪(
1
2 ,1)
答案 B
解析 由题可知f(x)在(0,＋∞)上单调递增,且f(1)＝0.
因为f(x)是定义在R 上的奇函数,
所以f(x)在(－∞,0)上单调递增,
且f(－1)＝0.
由f(2x－1)>0,可得2x－1>1 或－1<2x－1<0,解得x>1 或0<x<1
2.
6.已知抛物线C:y2＝2px(p>0)与直线l:x－y－3＝0 交于A,B 两点,且线段AB 中点的横坐标为7,则p
＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 D
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则{
y1
2＝2 p x1,
y2
2＝2 p x2,
整理得
y1−y2
x1−x2
＝
2 p
y1＋y2＝1.
因为线段AB 中点的横坐标为7,
所以线段AB 中点的纵坐标为4,则y1＋y2＝8,从而可得p＝4.
7.若函数f(x)＝3sin x＋2cos x 在[0,α]上单调递增,则当α 取得最大值时,cos α＝( )
A.－3√13
13
B.－2√13
13
C.3√13
13
D.2√13
13
答案 D
解析 f(x)＝3sin x＋2cos x＝√13sin(x＋φ),
其中sin φ＝2√13
13 ,cos φ＝3√13
13 .
因为f(x)在[0,α]上单调递增,
所以α＋φ≤π
2 ,
则α 的最大值为π
2 －φ,
此时cos α＝cos(
π
2 −φ)＝sin φ＝2√13
13 .
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为√3,以顶点A 为球心,√7为半径的球的球面与正方体的表
面的交线总长为( )
A.3π
B.π
C.π
2
D.π
3
答案 B
解析 因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为√3,所以表面ABCD,ADD1A1,ABB1A1上的点到点A 的
最大距离为√6<√7,所以以顶点A 为球心,√7为半径的球的球面与这三个表面没有公共点.
如图,若球面与表面CDD1C1的公共点为P,则由AP＝√7,得DP＝2,
故P 的运动轨迹是以D 为圆心,2 为半径的圆与表面CDD1C1的交线.
由CD＝√3,可得∠PDC＝30°,
同理可得∠D1DQ＝30°,则∠QDP＝30°,
同理可得球面与表面A1B1C1D1,BCC1B1的交线也都是圆心角为30°,半径为2 的圆弧,则交线总长为
3×30
180 π×2＝π.
二、选择题(本大题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0 分)
9.已知复数z1＝1＋i,z2＝1－i,则下列复数为纯虚数的是( )
A.z1z2
B.z1－z2
C.z1
2
D. z1
z2
答案 BCD
解析 因为z1＝1＋i,z2＝1－i,
所以z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2,
z1－z2＝2i,z1
2＝(1＋i)2＝2i,
z1
z2
＝1＋i
1−i ＝
(1＋i)
2
(1−i)(1＋i)＝i.故选BCD.
10.已知锐角三角形ABC 的内角分别为A,B,C,则( )
A.sin[cos(A－B)]>sin(cos C)
B.tan(sin A)<tan(cos B)
C.sin(sin A)>sin(tan A)
D.cos(cos A)>cos(sin B)
答案 AD
解析 因为△ABC 为锐角三角形,
所以0≤|A－B|<C<π
2 ,
则1≥cos(A－B)>cos C>0,
从而sin[cos(A－B)]>sin(cos C),A 正确;
由A＋B>π
2 ,得π
2 >A>π
2 －B>0,
则1>sin A>sin(
π
2 −B)＝cos B>0,
则tan(sin A)>tan(cos B),B 不正确;
由A∈(0, π
2),可得tan A∈(0,＋∞),
则当A＝π
4 时,sin(sin A)＝sin√2
2 <sin 1＝sin(tan A),C 不正确;
由 A＋B>π
2 ,得π
2 >B>π
2 －A>0,
则1>sin B>sin(
π
2 −A)＝cos A>0,
从而cos(cos A)>cos(sin B),D 正确.
11.设抛物线E:x2＝2py(p>0)的焦点为F,过点P(0,3)的直线与抛物线E 相交于点A,B,与x 轴相交于
点C,|AF|＝2,|BF|＝10,则( )
A.E 的准线方程为y＝－2
B.p 的值为2
C.|AB|＝4√2
D.△BFC 的面积与△AFC 的面积之比为9
答案 BD
解析 设直线AB 的方程为y＝kx＋3,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立{
y ＝kx ＋3,
x
2＝2 py , 可得x2－2pkx－6p＝0,
所以x1＋x2＝2pk,x1x2＝－6p,
因为x2＝2py,所以y＝x
2
2 p,
故y1y2＝x1
2 x2
2
4 p
2 ＝36 p
2
4 p
2 ＝9,
因为|AF|＝2,|BF|＝10,
由抛物线定义可得y1＝2－p
2 ,y2＝10－p
2 ,
则(2−p
2)(10−p
2)＝9,解得p＝2 或p＝22,
因为y1＝2－p
2 >0,所以p＝2,则E 的准线方程为y＝－1,故B 正确,A 错误;
又E 的方程为x2＝4y,y1＝2－p
2 ＝1,y2＝10－p
2 ＝9,
把y1＝1 代入x2＝4y 可得x1
2＝4y1＝4,x2
2＝4y2＝36,
不妨设A(－2,1),B(6,9),则|AB|＝8√2,故C 错误;
设F 到直线AB 的距离为d,△BFC 的面积S△BFC＝1
2|BC|d,
△AFC 的面积S△AFC＝1
2|AC|d,
则△BFC 的面积与△AFC 的面积之比
S△BFC
S△AFC
＝|BC |
| AC | ＝y2
y1
＝9,故D 正确.
三、填空题(本大题共3 小题,每小题5 分,共15 分)
12.已知双曲线C: x
2
m
2 －
y
2
2m−3＝1 的离心率为2√3
3 ,则m＝ .
答案 3
解析 因为C 的离心率为2√3
3 ,
所以m
2＋2m−3
m
2
＝4
3 ,解得m＝3.
13.4 名医生和2 名护士站成一排,要求2 名护士不相邻,且医生甲不站在队伍的最左端,则不同的站
法共有 种.
答案 408
解析 先排4 名医生,有A4
4＝24 种方法,从4 名医生产生的5 个空隙安排2 名护士,有A5
2＝20 种,
故护士不相邻的总排列数为24×20＝480 种;
固定甲医生在最左端,剩下的3 名医生排列有3!＝6 种,此时医生产生的4 个空隙,选2 个空隙插入
护士,有A4
2＝12 种,
故甲在最左端的排列数为6×12＝72 种,
故符合要求的站法为480－72＝408 种.
14.将数列{3n＋2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后,剩余的项从小到大排序得到数列{an},则
a5＝ ,{an}的前202 项和为 .
答案 14 49 609
解析 {3n＋2}与{4n}的公共项为12n－4,
去掉它们的公共项后,剩余的项从小到大排序为4,5,11,12,14,16,17,23,24,26,28,29,…,所以a5
＝14,且每两个相邻的公共项之间有5 项,所以这5 项的和为首项为70,公差为60 的等差数列.
因为 (202－2)÷5＝40,
所以{an}的前202 项和为4＋5＋40×70＋40×39×60
2
＝49 609.
四、解答题(本题共13 分.考查方向:导数)
15.已知函数f(x)＝－x2＋(a2＋a)ln x＋(1－a)x.
(1)若a＝1,求f(x)的极值;
(2)若a≥－1
3,讨论f(x)的单调性.
解 (1)由a＝1,得f(x)＝－x2＋2ln x,x>0,
则f'(x)＝－2x＋2
x ＝−2( x
2−1)
x
.
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(1,＋∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
故当x＝1 时,f(x)取得极大值－1,无极小值.
(2)由f(x)＝－x2＋(a2＋a)ln x＋(1－a)x,x>0,
得f'(x)＝－2x＋a
2＋a
x
＋1－a
＝−2 x
2＋(1−a)x＋a
2＋a
x
＝−( x＋a)(2 x−a−1)
x
.
令(x＋a)(2x－a－1)＝0,
得x＝－a 或x＝a＋1
2
.
当a≥0,则－a≤0,a＋1
2
>0,
当x∈(0, a＋1
2 )时,f'(x)>0,
当x∈(
a＋1
2
,＋∞)时,f'(x)<0;
若－1
3<a<0,则a＋1
2
>－a>0,
当x∈(0,－a)∪(
a＋1
2
,＋∞)时,f'(x)<0,
当x∈(−a, a＋1
2 )时,f'(x)>0;
若a＝－1
3,则a＋1
2
＝－a,f'(x)≤0 在(0,＋∞)上恒成立,f(x)单调递减.
综上所述,当a≥0 时,f(x)的单调递增区间为(0, a＋1
2 ),单调递减区间为(
a＋1
2
,＋∞);
当－1
3<a<0 时,f(x)的单调递增区间为(−a, a＋1
2 ),单调递减区间为(0,－a)和(
a＋1
2
,＋∞);
当a＝－1
3时,f(x)的单调递减区间为(0,＋∞),无单调递增区间.
