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14 小题＋1 大题(解几)——节选自揭阳市模拟
一、单选题(每小题5 分，共40 分)
1.已知复数z 在复平面内对应的点为(a，b)，且|z＋i|＝4，则( )
A.a2＋(b＋1)2＝4
B.a2＋(b＋1)2＝16
C.(a＋1)2＋b2＝4
D.(a＋1)2＋b2＝16
答案 B
解析 由题意得z＝a＋bi，所以|a＋(b＋1)i|＝4，则a2＋(b＋1)2＝16.故选B.
2.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1 在(2，6)上不单调，则a 的取值范围为( )
A.(2，6)
B.(－∞，2]∪[6，＋∞)
C.(4，12)
D.(－∞，4]∪[12，＋∞)
答案 C
解析 函数f(x)＝－x2＋ax＋1 的图象对称轴为x＝，依题意，2<<6，得
4<a<12，
所以a 的取值范围为(4，12).故选C.
3.已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设该椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，
由题意得a＝b，则e＝＝＝，故选D.
4.把函数f(x)＝3sin 3x 的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为(
)
A.y＝3sin
B.y＝3sin
C.y＝3cos 3x
D.y＝－3cos 3x
答案 C
解析 由题意得f(x)的最小正周期为T＝，
则所求函数为y＝3sin 3＝3sin＝3cos 3x.故选C.
5.已知l，m 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，且l⊂α；m⊂β，下列
命题为真命题的是( )
A.若l∥m，则α∥β
B.若α∥β，则l∥β
C.若l⊥m，则l⊥β
D.若α⊥β，则l∥m
答案 B
解析 如图，当l∥m 时，α 与β 可相交也可平行，故A 错误；
当α∥β 时，由平行性质可知，必有l∥β，故B 正确；
如图，当l⊥m 时，l∥β 或l⊂β，故C 错误；
当α⊥β 时，l，m 可相交、平行或异面，故D 错误.
6.如果方程F(x，y)＝0 能确定y 是x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函
数.隐函数的求导方法如下：在方程F(x，y)＝0 中，把y 看成x 的函数y＝y(x)，
则方程可看成关于x 的恒等式F(x，y(x))＝0，在等式两边同时对x 求导，然后解
出y′(x)即可.例如，求由方程x2＋y2＝1 所确定的隐函数的导数y′，将方程x2＋y2
＝1 的两边同时对x 求导，则2x＋2y·y′＝0(y＝y(x)是中间变量，需要用复合函数
的求导法则)，得y′＝－(y≠0).那么曲线xy＋ln y＝2 在点(2，1)处的切线方程为(
)
A.x－3y＋1＝0
B.x＋3y－5＝0
C.3x－y－5＝0
D.2x＋3y－7＝0
答案 B
解析 由给定定义得，对xy＋ln y＝2 左右两侧同时求导，可得y＋xy′＋×y′＝
0，
将点(2，1)代入，得1＋2y′＋y′＝0，
解得y′＝－，故切线斜率为－，
得到切线方程为y－1＝－(x－2)，
化简得方程为x＋3y－5＝0，故B 正确.
7.如图，正四棱台容器ABCD－A1B1C1D1 的高为12 cm，AB＝10 cm，A1B1＝2
cm，容器中水的高度为6 cm.现将57 个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器
中(57 个小铁球均被淹没)，水位上升了3 cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁
球的半径为( )
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
答案 A
解析 正四棱台容器ABCD－A1B1C1D1的高为12 cm，AB＝10 cm，A1B1＝2 cm，
正四棱台容器内水的高度为6 cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长
为(2＋10)＝6，
其体积为V1＝(62＋102＋)×6＝392 cm3；
放入铁球后，水位高为9 cm，沿A1B1作个纵截面，从A1，B1分别向底面引垂线，
如图，其中EF 是底面边长10 cm，B1H 是容器的高为12 cm，GH 是水位的高为
9 cm，由截面图中比例线段的性质＝＝，可得GN＝1，此时水面边长为4 cm，
此时水的体积为V2＝(42＋102＋)×9＝468 cm3，
放入的57 个球的体积为468－392＝76 cm3，
设小铁球的半径为r，则57×πr3＝76，
解得r＝ cm.故选A.
8.已知变量x 与y 具有线性相关关系，在研究变量x 与y 之间的关系时，进行实
验后得到了一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x5，y5)，(6，28)，(0，28)，利
用此样本数据求得的线性回归方程为y＝x＋，现发现数据(6，28)和(0，28)误差
较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为y＝4x＋m，且∑yi＝140，则m
＝( )
A.8
B.12
C.16
D.20
答案 C
解析 设没剔除两对数据前的x，y 的平均数分别为x，y，
剔除两对数据后的x，y 的平均数分别为x′，y′，
因为∑yi＝140，所以y′＝∑yi＝28，
则x′＝＝，
因为两对数据为(6，28)和(0，28)，
所以y＝×(140＋56)＝28，
所以x＝(7×y－166)＝3，
所以x′＝＝3＝，解得m＝16.
二、多选题(每小题6 分，共18 分)
9.若集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则M，N 可能是( )
A.M＝{0，2，4，6}，N＝{4}
B.M＝{x|x2<1}，N＝{x|x>－1}
C.M＝{x|y＝lg x}，N＝{y|y＝ex＋5}
D.M＝{(x，y)|x2＝y2}，N＝{(x，y)|y＝x}
答案 ACD
解析 根据Venn 图可知N⊆M，
对于A，显然N⊆M，故A 正确；
对于B，M＝{x|－1<x<1}，N＝{x|x>－1}，则M⊆N，故B 错误；
对于C，M＝{x|x>0}，N＝{y|y>5}，
则NM，故C 正确；
对于D，M＝{(x，y)|y＝x，或y＝－x}，N＝{(x，y)|y＝x}，则NM，故D 正确.
10.已知△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，O 为△ABC 的重心，cos A
＝，AO＝2，则( )
A.AO＝AB＋AC
B.AB·AC≤3
C.△ABC 的面积的最大值为3
D.a 的最小值为2
答案 BC
解析 O 是△ABC 的重心，延长AO 交BC 于点D，则D 是BC 中点，AO＝AD＝
×(AB＋AC)＝AB＋AC，A 错误；
由AO＝AB＋AC得AB＋AC＝3AO，
所以9AO2＝(AB＋AC)2＝AB2＋AC2＋2AB·AC≥2|AB||AC|＋2AB·AC，
又AB·AC＝|AB||AC|cos A＝|AB||AC|，即|AB||AC|＝5AB·AC，
所以2×5AB·AC＋2AB·AC≤9×22，所以AB·AC≤3，当且仅当|AB|＝|AC|时等号
成立，B 正确；
|AB|·|AC|＝≤15，当且仅当|AB|＝|AC|时等号成立，sin A＝＝，
S△ABC＝|AB||AC|sin A≤×15×＝3，C 正确；
由9AO2＝(AB＋AC)2＝AB2＋AC2＋2AB·AC得|AB|2＋|AC|2＝36－2AB·AC＝36－|
AB||AC|，
所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝|AB|2＋|AC|2－2|AB|·|AC|cos A＝36－|AB||AC|≥36－
×15＝24，a≥2，当且仅当|AB|＝|AC|时等号成立，所以a 的最小值是2，D 错误.
11.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2＋x)－f(2－x)＝4x.若f(x－3)的图象关于点
(4，1)对称，且f(0)＝0，则( )
A.f(x)的图象关于点(1，1)对称
B.函数g(x)＝f(x)－2x 的图象关于直线x＝2 对称
C.函数g(x)＝f(x)－2x 的周期为2
D.f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝2 499
答案 ABD
解析 对于A，f(x－3)的图象关于点(4，1)对称，故f(x)的图象关于点(1，1)对称，
故A 正确；
对于B，g(2－x)＝f(2－x)－2(2－x)＝f(2－x)＋2x－4，
g(2＋x)＝f(2＋x)－2(2＋x)＝f(2＋x)－4－2x，
又f(2＋x)－f(2－x)＝4x，
故g(2＋x)－g(2－x)＝f(2＋x)－f(2－x)－4x＝0.
即g(2＋x)＝g(2－x)，故g(x)＝f(x)－2x 的图象关于直线x＝2 对称，故B 正确；
对于C，由A，f(2＋x)＝2－f(－x)，
且f(2－x)＝2－f(x)，
又因为f(2＋x)－f(2－x)＝4x，
故[2－f(－x)]－[2－f(x)]＝4x，
即f(x)－f(－x)＝4x，
故f(x)－2x＝f(－x)－2(－x)，
即g(x)＝g(－x).
由B，g(－x)＝g(x＋4)，
故g(x)＝g(－x)＝g(x＋4)，
故g(x)＝f(x)－2x 的周期为4，故C 错误；
对于D，由f(0)＝0，f(x)的图象关于点(1，1)对称，且定义域为R，则f(1)＝1，
f(2)＝2，
又f(2＋x)－f(2－x)＝4x，
代入x＝1 可得f(3)－f(1)＝4，则f(3)＝5，
又g(x)＝f(x)－2x，故g(0)＝f(0)＝0，g(1)＝f(1)－2＝－1，g(2)＝f(2)－4＝－2，
g(3)＝f(3)－6＝－1，
又g(x)的周期为4，g(4)＝f(0)＝0.
则g(1)＋g(2)＋…＋g(50)＝12×[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＋g(2)＝12×(－4)
－1－2＝－51.
即f(1)－2＋f(2)－4＋…＋f(50)－100＝－51，
则f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝2＋4＋…＋100－51＝－51＝2 499，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.智慧农机是指配备先进的信息技术，如传感器、自动化和机器学习等技术，
对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧
机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2 台自动育秧机和3 台自动插秧机，
现有6 台不同的自动育秧机和5 台不同的自动插秧机可供选择，则共有________
种不同的选择方案.
答案 150
解析 第一步从6 台不同的自动育秧机选2 台，第二步从5 台不同的自动插秧机
选3 台，由乘法原理可得选择方案数为CC＝150.
13.已知sin2α＝sin 2α，则tan α＝________，tan＝________.
答案 0 或2 1 或－3
解析 依题意，sin2α＝2sin αcos α，即sin α＝0 或sin α－2cos α＝0，所以tan
α＝0 或2，
所以tan＝tan ＝1 或tan＝＝－3.
14.已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1 的左、右焦点，M 是E 的左支上一点，过
F2作∠F1MF2角平分线的垂线，垂足为N，O 为坐标原点，则|ON|＝________.
答案 2
解析 双曲线－＝1 的实半轴长为a＝2，延长F2N 交直线MF1于点H，
由题意有|MH|＝|MF2|，|NH|＝|NF2|，
又O 是F1F2中点，所以|ON|＝|F1H|＝(|MH|－|MF1|)＝(|MF2|－|MF1|)＝a＝2.
四、解答题(本题共13 分；考查方向：解几)
15.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点F 到圆E：(x＋3)2＋y2＝1 上一
点的距离的最大值为6.
(1)求抛物线C 的方程.
(2)设O 是坐标原点，点P(2，4)，A，B 是抛物线C 上异于点P 的两点，直线
PA，PB 与y 轴分别相交于M，N 两点(异于点O)，且O 是线段MN 的中点，试判
断直线AB 是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
解 (1)点F 到圆E 上一点的最大距离为|EF|＋1, 即＋1＝6，得p＝4，
故抛物线C 的方程为y2＝8x.
(2)设M(0，m)，N(0，－m)，则PA 方程为y＝x＋m，PB 方程为y＝x－m，联立
PA 与抛物线C 的方程可得y2－y＋＝0，
即(y－4)＝0，
因此A 点纵坐标为yA＝，
代入抛物线方程可得A 点横坐标为xA＝＝，
则A 点坐标为，
同理可得B 点坐标为.
因此直线AB 的斜率为k＝＝，
代入B 点坐标可以得到AB 方程为y＋＝，
整理可以得到y＝x－2，
因此AB 经过定点(0，－2).
