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14 小题＋1 大题(导数)——节选自长沙市模拟
一、单选题(每小题5 分，共40 分)
1.已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}，则( )
A.M＝N
B.M⊆N
C.N⊆M
D.M∩N＝∅
答案 C
解析 因为M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1|＝{x|－1<x<1}，所以N⊆M，故选C.
2.复数z＝在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 B
解析 z＝＝＝＝－＋i，所以复数z 对应的点为，位于第二象限，故选B.
3.若抛物线y2＝ax 的焦点坐标为(1，0)，则实数a 的值为( )
A.－2
B.2
C.－4
D.4
答案 D
解析 因为抛物线y2＝ax 的焦点坐标为，所以＝1，所以a＝4，故选D.
4.如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是( )
A.y＝2sin
B.y＝2sin
C.y＝2sin
D.y＝2sin
答案 C
解析 由各选项可知，A>0，ω>0.
由图可知A＝2，T＝－＝，
所以T＝π，则＝π，所以ω＝2，
则f(x)＝2sin(2x＋φ).
因为函数f(x)的图象过点，
所以2sin＝2，sin＝1，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
则f(x)＝2sin ＝2sin，故选C.
5.已知甲盒中有3 个红球和2 个黄球，乙盒中有2 个红球和1 个黄球.现从甲盒中
随机抽取1 个球放入乙盒中，搅拌均匀后，再从乙盒中抽取1 个球，此球恰为红
球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 设A＝“在甲盒中拿到红球”，B＝“在乙盒中拿到红球”.
因为甲盒中有3 个红球，2 个黄球，
所以P(A)＝，P(A)＝1－＝，
又乙盒中有2 个红球，1 个黄球，
所以P(B|A)＝，P(B|A)＝，
所以P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝×＋×＝，故选D.
6.若tan 2α＋4tan＝0，则sin 2α＝( )
A.－
B.－
C.
D.
答案 A
解析 因为tan 2α＋4tan ＝0，
所以＋4·＝0，
化简得2tan2α＋5tan α＋2＝0，
解得tan α＝－2 或tan α＝－.
当tan α＝－2 时，sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝－；
当tan α＝－时，sin 2α＝＝－.
故选A.
7.已知直线y＝a 与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x 的图象分别相交于A，B 两点.设k1为
曲线y＝f(x)在点A 处切线的斜率，k2为曲线y＝g(x)在点B 处切线的斜率，则k1k2
的最大值为( )
A.
B.1
C.e
D.ee
答案 A
解析 若直线y＝a 与函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x 的图象分别相交于A，B 两点，则
a>0.
设A(x1，a)，B(x2，a)，则ex1＝a，ln x2＝a，
所以x1＝ln a，x2＝ea.
因为f′(x)＝ex，g′(x)＝，
所以k1＝ex1＝a，k2＝＝.
令h(a)＝k1k2＝，a>0，则h′(a)＝.
令h′(a)＝0，则a＝1.
当0<a<1 时，h′(a)>0；当a>1 时，h′(a)<0.所以h(a)在(0，1)上单调递增，在(1，
＋∞)上单调递减，
所以当a＝1 时，h(a)取最大值，且最大值为，
即k1k2的最大值为，故选A.
8.在平面四边形ABCD 中，E，F 分别为AD，BC 的中点.若AB＝2，CD＝3，且
EF·AB＝4，则|EF|＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 如图，
DC＝DE＋EF＋FC，①
AB＝AE＋EF＋FB，②
①＋②，得DC＋AB＝DE＋AE＋2EF＋FC＋FB，
因为E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，
所以DE＋AE＝0，FC＋FB＝0，即DC＋AB＝2EF.
因为EF·AB＝4，所以将DC＋AB＝2EF变形为DC＝2EF－AB，
两边平方得DC2＝4EF2＋AB2－4EF·AB，③
又AB＝2，CD＝3，所以③式转化为9＝4EF2＋4－4×4，
则EF2＝，所以|EF|＝，故选B.
二、多选题(每小题6 分，共18 分)
9.下列函数中是奇函数的是( )
A.y＝ex－e－x
B.y＝x3－x2
C.y＝tan 2x
D.y＝log2
答案 ACD
解析 对于A，令f(x)＝ex－e－x，则f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－
f(x)，所以函数y＝ex－e－x是奇函数，所以A 正确；
对于B，令g(x)＝x3－x2，则g(1)＝0，g(－1)＝－2，g(－1)≠－g(1)，所以函数y
＝x3－x2不是奇函数，所以B 错误；
对于C，令h(x)＝tan 2x，则h(x)的定义域为，h(x)的定义域关于原点对称，又
h(－x)＝tan(－2x)＝－tan 2x＝－h(x)，所以函数y＝tan 2x 是奇函数，所以C 正确；
对于D，令m(x)＝log2 ，则m(x)的定义域为(－1，1)，又m(－x)＝log2 ＝log2 ＝－
log2＝－m(x)，所以函数y＝log2 是奇函数，所以D 正确.
10.某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点(距离太阳最
近的点)与太阳中心的距离为d1，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为
d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则( )
A.轨道的焦距为d2＋d1
B.轨道的离心率为
C.轨道的短轴长为2
D.当越大时，轨道越扁
答案 BC
解析 设该椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意可知a－c
＝d1，a＋c＝d2，所以a＝，c＝，b2＝a2－c2＝d1d2，即b＝，椭圆的焦距为d2－
d1，离心率e＝＝，短轴长为2b＝2，所以A 错误，B 正确，C 正确；
因为e＝＝＝＝＝－1＋，所以当越大时，椭圆的离心率e 越小，即椭圆越圆，所
以D 错误.
11.设等比数列{an}的公比为q，前n 项积为Tn，下列说法正确的是( )
A.若T8＝T12，则a10a11＝1
B.若T8＝T12，则T20＝1
C.若a1＝1 024，且T10为数列{Tn}的唯一最大项，则<q<
D.若a1>0，且T10>T11>T9，则使得Tn>1 成立的n 的最大值为20
答案 BCD
解析 对于A，B，因为T8＝T12，所以a9a10a11a12＝1，又a9a12＝a10a11，所以
a9a10a11a12＝(a10a11)2＝1，所以a10a11＝±1，所以A 错误；T20＝a1a2a3·…·a18a19a20＝
(a1a20)10＝(a10a11)10＝1，所以B 正确；
对于C，a1＝1 024，若公比q<0，则数列{an}的奇数项为正，偶数项为负，所以
T9>0，T10<0，与T10为数列{Tn}的唯一最大项矛盾，
所以q>0，则即
解得<q<，所以C 正确；
对于D，a1>0，且T10>T11>T9，若公比q<0，则数列{an}的奇数项为正，偶数项为
负，所以T10<0，T11<0，T9>0，与T10>T11>T9 矛盾，所以q>0.由T10>T11>T9 得，
a10>a10a11>1，a11<1，则0<q<1.
由a10a11>1，得T20＝(a1a20)10＝(a10a11)10>1，
由a11<1，得T21＝(a1a21)＝(a)＝a<1，
由0<q<1 得，数列{an}是递减数列，所以当n≤20 时，Tn>1；当n≥21 时，
Tn<1，所以D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.已知随机变量X 的分布列如下：
X
1
2
3
P
0.1
0.7
0.2
则数学期望E(X)＝________.
答案 2.1
解析 E(X)＝1×0.1＋2×0.7＋3×0.2＝0.1＋1.4＋0.6＝2.1.
13.已知A(4，1)，B(2，2)，C(0，3)，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P 满足|PA|2
＋|PB|2＋|PC|2＝13，则实数r 的取值范围是________.
答案 [2－1，2＋1]
解析 设P(x，y)，由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，得(x－4)2＋(y－1)2＋(x－2)2＋(y－
2)2＋x2＋(y－3)2＝13，得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝1，
所以点P 的轨迹是以(2，2)为圆心，1 为半径的圆，
记该圆为圆E，E(2，2).
记圆x2＋y2＝r2(r>0)为圆O，O(0，0)，
若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P 满足|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，
则圆E 和圆O 有公共点.
连接OE，则|OE|－1≤r≤|OE|＋1，解得2－1≤r≤2＋1.
14.已知正四棱锥P－ABCD 的顶点均在球O 的表面上.若正四棱锥的体积为1，则
球O 体积的最小值为________.
答案 π
解析 设正四棱锥P－ABCD 底面的边长为a，高为h，所以正四棱锥的体积V＝
a2h＝1，则a2h＝3.
如图，连接AC，记AC 的中点为O1，连接PO1，则PO1⊥底面ABCD，正四棱锥
P－ABCD 外接球的球心O 在直线PO1上.连接OA，设外接球的半径为R，则OA
＝OP＝R，又O1A＝，OO1＝|h－R|，所以OA2＝O1A2＋O1O2，即R2＝＋|h－R|2，
得2hR＝h2＋a2，因为a2h＝3，所以R＝＋.
令f(h)＝＋，h>0，则f′(h)＝，由f′(h)＝0，得h＝，当0<h<时，f′(h)<0，当h>时，
f′(h)>0，所以函数f(h)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，所以当h＝时，
半径R 取得最小值，且最小值为，所以外接球体积的最小值为×π＝π.
四、解答题(本题共13 分；考查方向：导数)
15.已知函数f(x)＝ax2－(ln x)2(a∈R).
(1)当a＝1 时，讨论函数f(x)的单调性.
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2.
①求实数a 的取值范围；
②求证：x1x2>e.
(1)解 由a＝1，得f(x)＝x2－(ln x)2，
所以f′(x)＝2x－.
设g(x)＝2x－，
则g′(x)＝，
令h(x)＝x2＋ln x－1，易得h(x)为(0，＋∞)上的增函数，且h(1)＝0，
所以g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2，
即f′(x)min＝2>0，所以f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
(2)①解 f′(x)＝2ax－，
由f′(x)＝0 得a＝.
设p(x)＝，由题意知直线y＝a 与函数p(x)＝的图象有两个不同的交点，
p′(x)＝，所以p(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，
所以p(x)max＝p()＝.
又当x>1 时，p(x)>0，故可作出p(x)的大致图象如图所示，
数形结合得0<a<，即实数a 的取值范围为.
②证明 由题意知f′(x)有两个零点x1，x2，
所以2ax＝ln x，2ax＝ln x，
令t1＝x，t2＝x，则等价于关于t 的方程2at＝ln t 有两个不相等的实数根t1，t2，
只需证明t1t2>e2.
不妨令t1>t2，由2at1＝ln t1，2at2＝ln t2得2a＝，
要证t1t2>e2，只需证明ln t1＋ln t2>2，
即证ln t1＋ln t2＝2a(t1＋t2)＝(t1＋t2)·>2，
即证ln t1－ln t2>，
即证ln >.
令m＝，则m>1，
只需证明ln m>(m>1).
令s(m)＝ln m－(m>1)，
则s′(m)＝>0，
所以s(m)在(1，＋∞)上单调递增，
所以s(m)>ln 1－＝0.
综上所述，原不等式成立.
