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14 小题＋1 大题(导数)——节选自东北三省四市模拟
一、单选题(每小题5 分，共40 分)
1.已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝( )
A.{－1}
B.{－1，1}
C.{0，1}
D.{－1，0，1}
答案 D
解析 因为A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x3＝x}＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{－
1，0，1}，故选D.
2.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝
答案 B
解析 对于A，e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)，
因为e1∥e2，所以e1，e2不能作为基底；
对于B，e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)，因为－1×7≠2×5，所以e1，e2不共线，所
以e1，e2可以作为基底；
对于C，e1＝(3，5)，e2＝(6，10)，
因为e1∥e2，所以e1，e2不能作为基底；
对于D，e1＝(2，－3)，e2＝，因为e1∥e2，所以e1，e2不能作为基底.故选B.
3.已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝3，z1＋z2＝2－i，则|z1－z2|＝( )
A.3
B.2
C.3
D.3
答案 D
解析 设复数z1，z2 对应的向量分别为OZ1，OZ2，复数z1＋z2 对应的向量为
OZ，则OZ＝OZ1＋OZ2.
因为z1＋z2＝2－i，
所以|OZ|＝3，即|OZ1＋OZ2|＝3.
又|z1|＝|z2|＝3，所以|OZ1|＝|OZ2|＝3.
因为复数z1－z2对应的向量为OZ1－OZ2，
所以求|z1－z2|，即求|OZ1－OZ2|.
因为|OZ1＋OZ2|＝3，
平方得OZ12＋OZ22＋2OZ1·OZ2＝9，
所以2OZ1·OZ2＝－9，
所以|OZ1－OZ2|2＝OZ12＋OZ22－2OZ1·OZ2＝9＋9＋9＝27，
所以|OZ1－OZ2|＝3，
即|z1－z2|＝3，故选D.
4.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：
100 mL 血液中酒精含量大于或者等于20 mg，小于80 mg 认定为饮酒驾车，80
mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含
量上升到了0.6 mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的
速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(结果取整数，参考数据：lg
3≈0.48，lg 7≈0.85)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 D
解析 设至少经过n(n∈N*)个小时才能驾驶，则有60×(1－30%)n<20，即
0.7n<，
两边同时取对数得lg 0.7n<lg ，
即nlg 0.7<lg ，
因为lg 0.7<0，
所以n>＝＝≈＝3.2，所以n≥4，
即至少经过4 个小时才能驾驶，故选D.
5.已知函数f(x)＝3log2(－x)，正数a，b 满足f(a)＋f(3b－1)＝0，则的最小值为(
)
A.6
B.8
C.12
D.24
答案 C
解析 因为－x>－x＝|x|－x≥0，所以函数f(x)＝3log2(－x)的定义域为R.
又f(－x)＝3log2(＋x)
＝3log2
＝3log2
＝－3log2(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数.
令t＝－x＝，
当x≥0 时，y＝，y＝x 均为单调递增函数，所以t＝－x＝在[0，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)＝3log2(－x)在[0，＋∞)上单调递减，
又函数f(x)是奇函数，
所以函数f(x)＝3log2(－x)在R 上单调递减.
因为f(a)＋f(3b－1)＝0，
所以f(a)＝－f(3b－1)＝f(1－3b)，
所以a＝1－3b，即a＋3b＝1.
又a，b 均为正数，
所以＝＋＝(a＋3b)＝6＋＋≥6＋2＝12，
当且仅当＝时等号成立，
又a＋3b＝1，所以a＝，b＝时等号成立，
所以的最小值为12，故选C.
6.为了迎接2025 年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知
识的竞赛活动.已知该班男生35 人，女生25 人.根据统计分析，男生组成绩和女
生组成绩的方差分别为s，s，该班成绩的方差为s2，则下列结论中一定正确的是
( )
A.s2＝
B.s2≥
C.s2＝
D.s2≥
答案 D
解析 设该班的男生组成绩的平均值为x，女生组成绩的平均值为y，该班成绩的
平均值为z.因为男生组成绩和女生组成绩的方差分别为s，s，该班成绩的方差为
s2，且男生有35 人，女生有25 人，
所以s2＝≥＝，故选D.
7.现有五名社区工作人员被分配到三个小区做社区监管工作，要求每人只能去一
个小区，每个小区至少有一个人，则不同的分配方法有( )
A.150 种
B.90 种
C.60 种
D.80 种
答案 A
解析 先将五名社区工作人员分成三组有两种情形：“3，1，1”和“2，2，
1”，再把三组社区工作人员分配到三个小区，则不同的分配方法有
·A＋·A＝150(种).
8.在同一平面直角坐标系内，函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，
已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为(0，1)，则( )
A.函数y＝f(x)·ex的最大值为1
B.函数y＝f(x)·ex的最小值为1
C.函数y＝的最大值为1
D.函数y＝的最小值为1
答案 C
解析 若虚线是函数f(x)的图象，实线是函数f′(x)的图象，则函数f(x)有增有减，
则f′(x)有正有负，与题图不符，所以实线是函数f(x)的图象，虚线是函数f′(x)的
图象.
由题图可知，f(0)＝1，f′(0)＝1，f′(x)≥0 恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递增，
且f(x)≥0 恒成立.
因为y＝f(x)·ex，所以y′＝ex(f(x)＋f′(x))≥0 恒成立，所以函数y＝f(x)·ex在R 上单
调递增，所以函数y＝f(x)·ex无最值.
因为y＝，所以y′＝.
当x>0 时，由题图可知f(x)>f′(x)，
所以y′<0；
当x<0 时，由题图可知，f′(x)>f(x)，
所以y′>0.
所以函数y＝在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，
所以当x＝0 时，函数y＝取最大值，且最大值为＝1.故选C.
二、多选题(每小题6 分，共18 分)
9.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则( )
A.f(0)＝1
B.f(x)在区间上单调递减
C.f(x)在区间上的值域为[－1，]
D.f(x)在区间上有3 个极值点
答案 AD
解析 设T 为函数f(x)的最小正周期，由题图可知T＝－＝，所以T＝π，即＝
π，所以ω＝2.又由题图可知A＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，因为函数f(x)的图象
过点，所以sin＝1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝＋2kπ(k∈Z)，因为0<φ<，所以
φ＝，即f(x)＝2sin.
对于A，f(0)＝2sin ＝1，A 正确；
对于B，当x∈时，t＝2x＋∈，因为函数y＝sin t 在区间上不单调，所以函数
f(x)＝2sin 在区间上不单调，B 错误；
对于C，当x∈时，t＝2x＋∈，所以sin t∈，则函数f(x)＝2sin 在区间上的值域
为[－2，1]，C 错误；
对于D，当x∈时，t＝2x＋∈，由函数y＝sin t 的图象可知，y＝sin t 在区间上
有3 个极值点，所以函数f(x)＝2sin 在区间上有3 个极值点，D 正确.
10.设等比数列{an}的公比为q，前n 项和为Sn，前n 项积为Tn，并且满足a1>1，
a7a8>1，<0.则下列结论正确的是( )
A.0<q<1
B.a7a9<1
C.Tn的最大值为T7
D.Sn的最大值为S7
答案 ABC
解析 因为a1>1，a7a8>1，所以等比数列{an}的公比q>0 且an>0，则Sn没有最大
值，故D 错误.
因为a1>1，<0，所以0<q<1，且a7>1，a8<1，所以A，C 正确；
因为a8<1，所以a7a9＝a<1，所以B 正确.
11.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为3π 的扇形，则下列论断正确的是(
)
A.圆锥的母线与底面所成角的正弦值为
B.圆锥内部有一个圆柱，并使圆柱的一个底面落在圆锥的底面内，当圆柱的体积
最大时，圆柱的高为
C.圆锥内部有一个球，当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为
D.圆锥内部有一个正方体ABCD－A1B1C1D1，并使底面ABCD 落在圆锥的底面内，
当正方体的棱长最大时，正方体的表面上与点A 距离为的点的集合形成一条曲
线，则这条曲线长度为π
答案 ACD
解析 设圆锥底面半径为r，母线长为l，则有＝，又πrl＝3π，解得r＝1，l＝3.
图1
对于A，作出圆锥的轴截面，如图1 所示，则OF＝1，SF＝3，则SO＝＝2，
∠SFO 即圆锥的母线与底面所成的角，sin ∠SFO＝，所以A 正确；
对于B，当圆柱与圆锥内接时，圆柱的体积最大，作出圆锥及其内接圆柱的轴截
面，如图2 所示，设圆柱的底面半径为r1，高为h1，即OH＝r1，OO1＝h1，因为
＝，即＝，所以r1＝1－h1，所以圆柱的体积V(h1)＝πrh1＝πh1＝π，其中0<h1<2，
所以V′(h1)＝π＝(3h1－2)·(h1－2)，令V′(h1)＝0，则h1＝，当0<h1<时，V′(h1)>0；
当<h1<2 时，V′(h1)<0，所以函数V(h1)在上单调递增，在上单调递减，所以当h1
＝时，V(h1)取最大值，所以B 错误；
图2
对于C，若圆锥内部有一个球，当球与圆锥内切时，球的半径最大，作出圆锥及
其内切球的轴截面，如图3 所示，设内切球的半径为r2，由×(2＋3＋3)r2＝
×2×2，解得r2＝，设球的内接正四面体的棱长为a，则a＝，所以a＝，所以C
正确；
图3
对于D，若圆锥内部有一个正方体ABCD－A1B1C1D1，并且底面ABCD 落在圆锥
的底面内，当正方体棱长最大时，正方体上底面A1B1C1D1的顶点在圆锥的侧面
上，此时作出圆锥的轴截面，如图4 所示，设正方体棱长为m，则O2O＝m，
A1C1＝m，因为＝，所以＝，解得m＝.
图4
与点A 距离为的动点P 的轨迹是以A 为球心，为半径的球面.
如图5，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，所以动点P 在平面A1B1C1D1内形成的轨迹是
以A1为圆心的弧，设弧半径为r3，则r3＝＝，因为<，所以形成的弧如图6 所示，
则长为×＝π，同理动点P 在平面DCC1D1和平面BCC1B1内的轨迹长度均为π.动
点P 在平面ABCD 内的轨迹是以A 为圆心，为半径的圆弧，因为>，所以形成的
弧如图7 所示，cos∠DAI＝＝，所以∠DAI＝，同理∠BAJ＝，则∠IAJ＝，则IJ的
弧长为×＝π，同理动点P 在平面ABB1A1和平面ADD1A1内的轨迹的长度均为π.
综上，正方体表面上与点A 距离为的点的轨迹的长度为π×3＋π×3＝π，所以D
正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.在(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为________.
答案 5
解析 因为(x＋y)5＝(Cx5＋Cx4y＋Cx3y2＋Cx2y3＋Cxy4＋Cy5)，所以展开式中x3y3的
项为x·Cx2y3＋Cx4y＝5x3y3，所以x3y3的系数为5.
13.直线l 与抛物线x2＝4y 交于A，B 两点，若|AB|＝6，则线段AB 的中点M 到x
轴距离的最小值是________.
答案 2
解析 因为抛物线方程为x2＝4y，所以抛物线的焦点为F(0，1)，准线l1的方程
为y＝－1.如图，过点A，B 分别向准线l1 作垂线，垂足分别为A1，B1，连接
AF，BF，过线段AB 的中点M 向准线l1作垂线，垂足为M1，
则|MM1|＝＝≥＝＝3，
当且仅当直线l 过点F 时，等号成立.
因为过抛物线焦点的最短弦为通径，即最短弦长为4，6>4，
所以直线l 能过焦点，即等号成立，即线段AB 的中点M 到准线y＝－1 的距离的
最小值为3，
所以线段AB 的中点M 到x 轴距离的最小值为3－1＝2.
14.有序实数组(x1，x2，…，xn)(n∈N*)称为n 维向量，|x1|＋|x2|＋…＋|xn|为该向量
的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用.已知n 维向量a＝
(x1，x2，…，xn)，其中xi∈{0，1，2}，i＝1，2，…，n.记范数为奇数的a 的个
数为An，则A4＝________；A2n＋1＝________.(用含n 的式子表示)
答案 40
解析 令a＝(x1，x2，x3，x4)，
因为xi∈{0，1，2}(i＝1，2，3，4)，
所以其范数为|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＝x1＋x2＋x3＋x4.
若范数为奇数，则x1，x2，x3，x4中1 的个数为奇数个.当1 的个数有1 个时，第
一步：从x1，x2，x3，x4四个数中任取1 个，令其为1，有C 种方法；第二步：另
外三个数都可为0 或2，共有23种方法，所以共有C×23＝32(种)方法.当1 的个数
有3 个时，有C×2＝8(种)方法，所以A4＝32＋8＝40.
令a＝(x1，x2，x3，…，x2n＋1)，因为xi∈{0，1，2}(i＝1，2，3，…，2n＋1)，所
以其范数为|x1|＋|x2|＋|x3|＋…＋|x2n＋1|＝x1＋x2＋x3＋…＋x2n＋1，所以A2n＋1＝C22n＋
C22n－2＋C22n－4＋…＋C20.
令B2n＋1＝C22n＋1＋C22n－1＋C22n－3＋…＋C21，
则A2n＋1＋B2n＋1＝(2＋1)2n＋1＝32n＋1，①
B2n＋1－A2n＋1＝(2－1)2n＋1＝1，②
①－②得2A2n＋1＝32n＋1－1，
所以A2n＋1＝.
四、解答题(本题共13 分；考查方向：导数)
15.已知函数f(x)＝－aex，a∈R.
(1)当a＝0 时，求曲线y＝f(x)在x＝1 处的切线方程；
(2)当a＝1 时，求f(x)的单调区间和极值；
(3)若对任意x∈R，f(x)≤ex－1恒成立，求a 的取值范围.
解 (1)当a＝0 时，f(x)＝，
则f′(x)＝，f′(1)＝0，
又f(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在x＝1 处的切线方程为y＝.
(2)当a＝1 时，f(x)＝xe－x－ex，
则f′(x)＝(1－x)e－x－ex＝.
令g(x)＝1－x－e2x，则g′(x)＝－1－2e2x<0，
故g(x)在R 上单调递减，又g(0)＝0，
因此0 是g(x)在R 上的唯一零点，
即0 是f′(x)在R 上的唯一零点.
当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
－1
单调递减
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)，
f(x)的极大值为f(0)＝－1，无极小值.
(3)由题意知xe－x－aex≤ex－1，
即a≥，
即a≥－.
设m(x)＝－，
则m′(x)＝＝，
令m′(x)＝0，解得x＝，
当x∈时，m′(x)>0，m(x)单调递增，
当x∈时，m′(x)<0，m(x)单调递减，
所以m(x)max＝m＝－＝－.
所以a≥－，即a 的取值范围为.
