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14 小题＋1 大题(概统)——节选自石家庄市模拟
一、单选题(每小题5 分，共40 分)
1.已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|2x>4}，则A∩B＝( )
A.{x|2<x≤4}
B.{x|－1≤x<6}
C.{x|－4≤x≤1}
D.{x|0<x≤4}
答案 A
解析 A＝{x|x2－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|2x>4}＝{x|x>2}，
所以A∩B＝{x|2<x≤4}，故选A.
2.某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50 000 名
学生参加这次考试，数学成绩X 近似服从正态分布，其正态密度函数为f(x)＝e
－，x∈R 且P(70≤X≤110)＝0.8，则该市这次考试数学成绩超过110 分的学生人
数约为( )
A.2 000
B.3 000
C.4 000
D.5 000
答案 D
解析 因为正态密度函数为f(x)＝·e－，所以E(X)＝90，所以正态曲线关于直线x＝
90 对称，
所以P(X<70)＝P(X>110)，又P(70≤X≤110)＝0.8，
所以P(X>110)＝＝0.1，
又共有50 000 名学生参加这次考试，
所以该市这次考试数学成绩超过110 分的学生人数约为50 000×0.1＝5 000，故
选D.
3.已知曲线C：＋＝1(m≠0)，则“m∈(0，6)”是“曲线C 的焦点在x 轴上”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为曲线C：＋＝1(m≠0)，
所以当m∈(0，6)时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆；
若曲线C 的焦点在x 轴上，则当曲线C 表示椭圆时，m∈(0，6)，当曲线C 表示
双曲线时，则m∈(－∞，0).
综上，“m∈(0，6)”是“曲线C 的焦点在x 轴上”的充分不必要条件，故选A.
4.已知圆O1：x2＋y2＝5 与圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0 交于A，B 两点，则|AB|＝(
)
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 因为圆O1：x2＋y2＝5，所以O1(0，0)，半径r1＝，
又圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0，圆O1与圆O2交于A，B 两点，
所以直线AB 的方程为2x＋4y－5＝0，
所以点O1(0，0)到直线AB 的距离d＝＝，
所以|AB|＝2＝2＝，
故选C.
5.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x<0 时，f(x)＝
log2(－6x＋2)，则f 的值为( )
A.－1
B.－2
C.2
D.1
答案 B
解析 因为f(1＋x)＝f(1－x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝1 对称.
因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，
所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，
所以函数f(x)是以4 为周期的周期函数，
又当－1≤x<0 时，f(x)＝log2(－6x＋2)，
所以f＝f＝f＝－f＝－log2＝－log24＝－2，故选B.
6.在平行四边形ABCD 中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图，
在平行四边形ABCD 中，令AE＝，AF＝，
因为＋＝，
所以AE＋AF＝，
以AE，AF 为邻边作平行四边形AEGF，
则AE＋AF＝AG＝，
所以点G 一定在AC 上.
在△AEG 中，AE＝1，EG＝AF＝3，AG＝λ，∠AEG＝π－∠BAD，
所以cos∠BAD＝－cos∠AEG
＝－＝－＝，
又λ∈[，3]，所以cos∠BAD∈，故选A.
7.已知α∈，且cos ＝2cos 2α，则tan＝( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 因为cos＝2cos 2α，
所以(cos α＋sin α)＝2(cos2α－sin2α)
＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)，
因为α∈，所以cos α＋sin α>0，
所以cos α－sin α＝，
即＝，
所以cos＝，
因为α∈，所以α＋∈
所以sin＝
＝＝，
所以tan＝＝，故选D.
8.已知正方体的棱长为2，连接正方体各个面的中心得到一个八面体，以正方体
的中心O 为球心作一个半径为的球，则球O 的球面与八面体各个面的交线的总
长为( )
A.2π
B.π
C.π
D.4π
答案 B
解析 记棱长为2 的正方体为ABCD－A1B1C1D1，如图1 所示，设O1，O2分别为
正方体ABCD－A1B1C1D1 的上底面A1B1C1D1 与左侧面ADD1A1 的中心，连接
O1O2，取A1D1的中点G，连接O1G，O2G，易得O1G⊥O2G.因为正方体ABCD－
A1B1C1D1的棱长为2，所以O1G＝O2G＝，所以O1O2＝＝2，所以由正方体各个面
的中心构成的八面体的各条棱的长均为2.
图1
图2
设由正方体各个面的中心构成的八面体为SMNPQR，如图2 所示，其中点O 为
正方体ABCD－A1B1C1D1 的中心，则点O 为正方形MNPQ 的中心，连接SR，
MP，则O 为SR，MP 的中点，连接ON，易得ON＝OP＝OS＝，所以三棱锥O
－SNP 为正三棱锥，所以点O 在平面SNP 上的射影O3为正三角形SNP 的中心，
连接OO3，取NP 的中点H，连接OH，SH，则点O3在SH 上，OH＝1，O3H＝
2××＝，所以OO3＝＝，即正方体的中心O 到八面体的每个面的距离均为.
因为OO3⊥平面SNP，所以点O3为平面SNP 截球O 所得截面圆的圆心，设截面
圆O3的半径为r，球O 的半径为R，则R＝，
r＝＝＝.
所以球O 的球面与八面体的表面SNP 的交线是以O3为圆心，为半径的圆在正三
角形SNP 内(包含边界)的三段圆弧，如图3 所示.
图3
因为O3H＝，O3E＝，所以sin∠O3EH＝＝，所以∠O3EH＝，所以∠O3EN＝，同
理得∠O3FN＝，又∠SNP＝，所以∠EO3F＝，所以弧EF的长为×＝π，则球O 的球
面与八面体一个面的交线的长为π×3＝π，则球O 的球面与八面体各个面的交线
的总长为π×8＝π，故选B.
二、多选题(每小题6 分，共18 分)
9.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，前n 项和为Sn，则下列说法正确的是(
)
A.数列{an}有最小项，且有最大项
B.使an∈Z 的项共有5 项
C.满足anan＋1an＋2≤0 的n 的值共有5 个
D.使Sn取得最小值的n 为4
答案 ABD
解析 因为f(x)＝在和上单调递减，其图象如图所示，数列{an}的通项公式为an
＝(n∈N*)，
所以数列{an}的图象是函数f(x)＝图象上的一些离散点.
由图可知，a4是最小项，a5是最大项，所以A 正确；
因为a1＝－，a2＝－，a3＝－3，a4＝－9，a5＝9，a6＝3，a7＝，a8＝，a9＝1，a10
＝，
当n≥10 时，2n－9≥11，0<an＝≤，
所以使an∈Z 的项共有5 项，所以B 正确；
由图可知，当1≤n≤4 时，an<0，
当n≥5 时，an>0，
所以当n＝1 时，a1a2a3<0；
当n＝2 时，a2a3a4<0；
当n＝3 时，a3a4a5>0；
当n＝4 时，a4a5a6<0；
当n≥5 时，anan＋1an＋2>0.
所以满足anan＋1an＋2≤0 的n 值共有3 个，所以C 错误；
因为当1≤n≤4 时，an<0，当n≥5 时，an>0，所以当n＝4 时，Sn取得最小值，
所以D 正确.
10.设z 为复数(i 为虚数单位)，下列说法正确的有( )
A.若(1＋i)z＝－i，则|z|＝1
B.对任意复数z1，z2，有|z1z2|＝|z1|·|z2|
C.对任意复数z1，z2，有z1·z2＝z1·z2
D.在复平面内，若M＝{z||z－2|≤2}，则集合M 所构成区域的面积为6π
答案 BC
解析 对于A，因为(1＋i)z＝－i，所以z＝＝＝＝－－i，所以|z|＝＝，所以A 错
误；
对于B，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－
bd)＋(ad＋bc)i，所以|z1z2|＝
＝
＝
＝
＝|z1|·|z2|，所以B 正确；
对于C，由B 选项可知，z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，所以z1·z2＝(ac－bd)－
(ad＋bc)i，
又z1·z2＝(a－bi)(c－di)＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，所以C 正确；
对于D，若复数z 满足|z－2|≤2，则复数z 对应的点所构成区域是以(2，0)为圆心，
2 为半径的圆及其内部，所以集合M 所构成区域的面积为π×22＝4π，所以D 错
误.
11.已知f(x)＝esin 2x＋2cos x，则下列说法正确的是(参考数据：ln 13.2≈2.580)( )
A.f(x)是周期为π 的周期函数
B.f(x)在(－π，0)上单调递增
C.f(x)在(－2π，2π)上共有4 个极值点
D.设g(x)＝f(x)－x，则g(x)在
上共有5 个零点
答案 BCD
解析 因为f(x＋π)＝esin[2(x＋π)]＋2cos(x＋π)＝esin 2x－2cos x≠f(x)，所以函数f(x)＝esin 2x＋2cos x
不是周期为π 的周期函数，所以A 错误；
f′(x)＝esin 2x＋2cos x(2cos 2x－2sin x)＝－2esin 2x＋2cos x(2sin2x＋sin x－1)
＝－2esin 2x＋2cos x(2sin x－1)(sin x＋1)，
因为x∈(－π，0)，所以－1≤sin x<0，
则2sin x－1<0，sin x＋1≥0，又esin 2x＋2cos x>0，所以f′(x)≥0 在x∈(－π，0)时恒
成立，所以函数f(x)＝esin 2x＋2cos x在(－π，0)上单调递增，所以B 正确；
因为f′(x)＝－2esin 2x＋2cos x(2sin x－1)(sin x＋1)，esin 2x＋2cos x>0，sin x＋1≥0，所以
当x∈(－2π，2π)时，令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－，x3＝－，x4＝，x5＝，x6
＝，所以当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0 时；
当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在，，上单调递增，在，上单调递减，所以x1＝－，x2＝－，x4＝，x5＝
是函数f(x)＝esin 2x＋2cos x在(－2π，2π)上的极值点，所以函数f(x)＝esin 2x＋2cos x在(－
2π，2π)上的极值点个数为4，
所以C 正确；
令g(x)＝f(x)－x＝0，即esin 2x＋2cos x＝x，
因为esin 2x＋2cos x>0，所以当x∈(－∞，0]时，
方程esin 2x＋2cos x＝x 无实根.当x∈时，esin 2x＋2cos x＝x，
即sin 2x＋2cos x＝ln x.
令h(x)＝sin 2x＋2cos x，h(x)是以2π 为周期的周期函数，所以先考虑x∈(0，2π]
时的情况.
因为h′(x)＝2cos 2x－2sin x＝2－4sin2x－2sin x＝－2(2sin x－1)(sin x＋1)，
当x∈时，h′(x)>0；
当x∈时，h′(x)<0；
当x∈时，h′(x)>0.
所以函数h(x)在，上单调递增，在上单调递减，且h(0)＝2，h＝，h＝0，h＝
－，结合周期性，作出函数h(x)在上的大致图象，如图所示，
作出函数y ＝ln x 的大致图象，因为当x ＝时，h(x)max ＝h ＝≈2.598 ，ln
13.2≈2.580，
<13.2<，2.580<2.598，所以结合图象可知，函数y＝ln x 的图象与函数h(x)的图
象在上共有5 个交点，所以函数g(x)＝f(x)－x 在上共有5 个零点，所以D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.各位数字之和为4 的三位数的个数为________.
答案 10
解析 当有一个非零数字时，三位数的三个数字只能为4，0，0，所以构成的三
位数只能为400，即可构成1 个三位数.当有两个非零数字时，三位数的三个数字
为2，2，0 或3，1，0，所以构成的三位数为220，202，130，310，103，301，
即可构成6 个三位数.
当有三个非零数字时，三位数的三个数字只能为1，1，2，所以构成的三位数为
112，121，211，即可构成3 个三位数.
综上，各位数字之和为4 的三位数的个数为1＋6＋3＝10.
13.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.斜率为的直线经过焦点F，交
C 于点A，交准线l 于点B(A，B 在x 轴的两侧)，若|AB|＝16，则抛物线C 的方程
为________________________.
答案 y2＝8x
解析 如图所示，
焦点为F，准线l 的方程为x＝－，设准线l 与x 轴的交点为K.
因为直线AB 过焦点F 且斜率为，
所以直线AB 的倾斜角为60°，即∠AFx＝60°，
所以∠FBK＝30°，过点A 作准线l 的垂线，垂足为A1，
又|AB|＝16，所以|AA1|＝|AB|＝8，
由抛物线的定义可得，|AF|＝8，
所以|BF|＝|AB|－|AF|＝8，
所以p＝|FK|＝＝4，则抛物线C 的方程为y2＝8x.
14.若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z 的取值
范围是________.
答案 [15，19]
解析 因为x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，
所以x＋y＝4－z，2x－y＝5－z，
所以x＝，y＝.
因为x，y，z≥0，所以
解得0≤z≤3.
因为M＝4x＋3y＋5z＝4×＋3×＋5z＝z＋15，所以M∈[15，19].
四、解答题(本题共13 分；考查方向：概统)
15.某校举办乒乓球与羽毛球比赛，要求每个学生只能报名参加其中一项.从报名
参加比赛的学生中随机选取男生、女生各75 人进行调查，得到如下2×2 列联表：
单位：人
性别
比赛项目
合计
乒乓球组
羽毛球组
男生
50
25
75
女生
35
40
75
合计
85
65
150
(1)根据表中数据，依据小概率值α＝0.05 的独立性检验，分析该校学生选择乒乓
球还是羽毛球是否与性别有关联.
(2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取15 人.若从
这15 人中随机抽取2 人，记X 为抽到乒乓球组的学生人数，求X 的分布列及数
学期望.
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
解 (1)零假设为H0：该校学生选择乒乓球还是羽毛球与性别无关联.
根据题中列联表中的数据计算，得
χ2＝≈6.109>3.841＝x0.05.
依据小概率值α＝0.05 的独立性检验，推断H0不成立，即认为该校学生选择乒乓
球还是羽毛球与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.
(2)从调查的女生中，按组别采用比例分配的分层随机抽样，女生乒乓球组中抽
取×15＝7(人)，女生羽毛球组中抽取×15＝8(人).
依题意得，X 的所有可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
所以X 的分布列为
X
0
1
2
P
所以X 的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
