文档文本内容
14 小题＋1 大题(三角)——节选自湖北十一校联考
一、单选题(每小题5 分，共40 分)
1.已知集合M＝{x|x2＋3x－10<0}，N＝{y|y＝}，则M∩N＝( )
A.[0，2)
B.[1，2)
C.[－5，2)
D.(－5，2)
答案 A
解析 由题知M＝{x|－5<x<2}，N＝{y|y≥0}，所以M∩N＝[0，2)，故选A.
2.已知i 为虚数单位，复数z 满足|z＋2i|＝|z|，则z的虚部为( )
A.－1
B.1
C.i
D.－i
答案 B
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|a＋bi＋2i|＝|a＋bi|，
所以＝，
即4b＋4＝0，解得b＝－1，所以z 的虚部为－1，
所以z的虚部为1，故选B.
3.若tan＝2，则sin 2α＝( )
A.
B.－
C.
D.－
答案 B
解析 法一 tan＝＝＝2，解得tan α＝－3，所以sin 2α＝＝＝＝－，故选B.
法二 tan＝＝＝2，解得tan α＝－3，
由
得或
所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，故选B.
4.已知向量a，b 满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a·(a＋b)＝( )
A.a2
B.b2
C.(a＋b)2
D.(a－b)2
答案 C
解析 由题知|a|2＝|b|2＝|a－b|2，
所以|b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b，即a·b＝|a|2，
所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2，
而(a＋b)2＝a2＋b2＋a·b＝a2＝|a|2，故选C.
5.如图，A 是平面α 内一定点，B 是平面α 外一定点，且AB＝4，直线AB 与平面
α 所成的角为45°，设平面α 内动点M 到点A，B 的距离相等，则线段AM 的长度
的最小值为( )
A.4
B.2
C.2
D.
答案 A
解析 过点B 作BB′⊥平面α，垂足为B′，连接AB′，则直线AB 与平面α 所成的
角为∠BAB′＝45°，
所以△BAB′为等腰直角三角形，B′A＝B′B＝4.
在平面α 内过点B′作AB′的垂线l，
则点M 在直线l 上，且AM＝≥AB′＝4，当且仅当点M 与点B′重合时，等号成立，
故选A.
6.(x2＋ax－1)·(1－x)6的展开式中x2的系数是－2，则实数a 的值为( )
A.0
B.3
C.－1
D.－2
答案 D
解析 展开式中含x2的项为x2·1＋ax·C(－x)1＋(－1)·C(－x)2＝x2－6ax2－15x2＝－
(6a＋14)x2，
所以－(6a＋14)＝－2，解得a＝－2，故选D.
7.平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－a，0)，B(a，0)，其中a>0，若圆(x－a＋
1)2＋(y－a－2)2＝a2上存在点P 满足PA·PB＝3a2，则实数a 的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.[1，＋∞)
答案 D
解析 设P(x，y)，则PA·PB＝(－a－x，－y)·(a－x，－y)＝x2－a2＋y2＝3a2，
所以x2＋y2＝4a2，即点P 在以原点为圆心，2a 为半径的圆上，
又因为点P 在以点(a－1，a＋2)为圆心，a 为半径的圆上，
所以点P 为两圆的公共点，
因此2a－a≤≤2a＋a，
解得a≥1，故选D.
8.若对于任意正数x，y，不等式x(1＋ln x)≥xln y－ay 恒成立，则实数a 的取值
范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 由题知ay≥xln y－x－xln x，
即a≥ln y－－ln x＝ln －，
令t＝，t∈(0，＋∞)，
则a≥－＝，
设g(x)＝，
则g′(x)＝＝，
令g′(x)<0，则x>e2，
令g′(x)>0，则0<x<e2，
所以g(x)在(e2，＋∞)上单调递减，在(0，e2)上单调递增，
当x＝e2时，g(x)有最大值，所以a≥，故选C.
二、多选题(每小题6 分，共18 分)
9.若X～N(100，1.52)，则下列说法正确的有( )
A.P(X<100)＝
B.E(X)＝1.5
C.P(X<101.5)＝P(X>98.5)
D.P(97<X<101.5)＝P(98.5<X<103)
答案 ACD
解析 由题知μ＝100，σ＝1.5.
对于A，P(X<100)＝P(X<μ)＝，故A 正确；
对于B，E(X)＝μ＝100，故B 错误；
对于C，P(X<101.5)＝P(X<μ＋σ)，
P(X>98.5)＝P(X>μ－σ)，
因为P(X<μ＋σ)＝P(X>μ－σ)，
所以P(X<101.5)＝P(X>98.5)，故C 正确；
对于D，P(97<X<101.5)＝P(μ－2σ<X<μ＋σ)，P(98.5<X<103)＝P(μ－σ<X<μ＋
2σ)，
因为P(μ －2σ<X<μ ＋σ) ＝P(μ －σ<X<μ ＋2σ) ，所以P(97<X<101.5) ＝
P(98.5<X<103)，故D 正确，故选ACD.
10.如图所示的数阵的特点是：每行每列都成等差数列，该数列一共有n 行n 列
(n≥100)，aij表示第i 行第j 列的数，比如a23＝7，a54＝21，则( )
2
3
4
5
6
7
…
3
5
7
9
11
13
…
4
7
10
13
16
19
…
5
9
13
17
21
25
…
6
11
16
21
26
31
…
7
13
19
25
31
37
…
…
…
…
…
…
…
…
A.a77＝50
B.65 在这个数阵中出现了8 次
C.aij＝i×j＋1
D.这个数阵中n2个数的和S＝
答案 AC
解析 由题知，第i 行第一个数为i＋1，
每行的数都成等差数列，第i 行公差为i.
对于A，a71＝8，所以a77＝8＋7×6＝50，
故A 正确；
对于C，第i 行第一个数为i＋1，公差为i，
所以aij＝i＋1＋i(j－1)＝1＋ij，故C 正确；
对于B，令1＋ij＝65，则ij＝64，而64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×8＝16×4
＝32×2＝64×1，所以65 出现了7 次，故B 错误；
对于D，第1 行所有项的和为2n＋×1，第2 行所有项的和为3n＋×2，
第3 行所有项的和为4n＋×3，……，
第n 行所有项的和为n(n＋1)＋×n，
所以n2个数的和为n[2＋3＋…＋(n＋1)]＋×(1＋2＋…＋n)＝＋×＝，故D 错误，
故选AC.
11.用平面α 截圆柱面，圆柱的轴与平面α 所成的角记为θ，当θ 为锐角时，圆柱
面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图
所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α 的上方和下方，并且
与圆柱面和α 均相切.其中G1G2为椭圆长轴，F1，F2为两切点，P 为椭圆上一点.
下列结论中正确的有( )
A.椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B.椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距O1O2相等
C.椭圆的离心率e＝cos θ
D.若R 为球O1的半径，则R＝AG1·tan
答案 ABC
解析 对于B，G1A＝G1F1，G2B＝G2F1.
所以G1G2＝G1F1＋G2F1＝G1A＋G2B.
又O1，O 分别为AB，G1G2的中点，
所以G1A＋G2B＝2OO1＝O1O2，
因此G1G2＝O1O2，故B 正确；
对于A，由选项B 的结论知OO1＝O1O2＝G1G2＝a，
连接O1F1，易知O1F1⊥平面α，OF1⊂平面α，所以O1F1⊥OF1，
过点P 作O1O2的平行线(图略)，交球O1于点M，交球O2于点N，易知M，N 为
切点，则PF1＝PM，PF2＝PN，则PF1＋PF2＝PM＋PN＝MN＝O1O2＝2a，所以
F1，F2为椭圆的两个焦点.
则OF1＝c，所以O1F1＝＝＝b，
即球的半径等于椭圆的短半轴长，所以球的直径等于椭圆的短轴长，故A 正确；
对于C，因为O1F1⊥平面α，所以轴O1O2与平面α 所成的角θ＝∠O1OF1，
cos θ＝cos∠O1OF1＝＝＝e，故C 正确；
对于D，连接O1G1，易证△O1AG1≌△O1F1G1，
所以∠O1G1A＝∠O1G1F1＝＝，
又∠AO1G1＋∠O1G1A＝，
所以∠AO1G1＝，
因为tan∠AO1G1＝，所以tan ＝，
即R＝，故D 错误，故选ABC.
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.已知函数f(x)＝则关于x 的不等式f(x)≤1 的解集为________.
答案 (－∞，e－1]
解析 f(x)≤1⇔或
解得x≤0 或0<x≤e－1，即x≤e－1.
13.如图1，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝6，E，F 分别是BC，AD 的中点，将
四边形ABEF 沿EF 折起，使得二面角A1－EF－D 的大小为90°，如图2，则三棱
锥A1－CDE 的外接球的表面积为________.
答案 34π
解析 如图，易知A1F⊥EF，DF⊥EF，所以二面角A1－EF－D 的平面角为
∠A1FD＝90°，所以A1F，EF，DF 三条直线两两垂直，三棱锥A1－CDE 可补形
为长方体，三棱锥A1－CDE 的外接球即长方体的外接球，其直径2R＝A1C＝＝
＝，则外接球的表面积为S 球＝4πR2＝34π.
14.已知在数列{an}中，a1，a11∈N*，数列{an}的前n 项和为Sn，为等差数列，S14
＝77，则S100＝________.
答案 －3 750
解析 因为为等差数列，令其公差为m，
则＝＋(n－1)m＝a1＋(n－1)m，
即Sn＝na1＋n(n－1)m，
Sn－1＝(n－1)a1＋(n－1)(n－2)m，n≥2，
两式相减得an＝a1＋(n－1)·2m，
当n＝1 时，a1＝a1，满足通项公式，
所以{an}为等差数列，公差为2m，
设公差为d＝2m，则a1∈N*，a11＝a1＋10d∈N*，S14＝14a1＋d＝77，
所以d＝，
则a11＝a1＋10d＝，
a1＝≥1，所以a11≤7，
依次将a11＝1，2，…，7 代入可知，
当且仅当a11＝2 时a1为整数，
此时a1＝12，d＝－1，
所以S100＝100a1＋d＝100×12－＝－3 750.
四、解答题(本题共13 分；考查方向：三角)
15.在平面四边形ABCD 中，AB＝，AC＝3，BC＝2.
(1)求cos∠BCA 的值；
(2)若cos∠BCD＝－，cos∠ADC＝－，求AD 的长.
解 (1)在△ABC 中，由余弦定理可得，
cos∠BCA＝，
∴cos∠BCA＝＝.
(2)∵cos∠BCD＝－，∴sin∠BCD＝，
∴sin∠ACD＝sin(∠BCD－∠BCA)＝sin∠BCDcos∠BCA－cos∠BCDsin∠BCA＝
×＋×＝，
sin∠ADC＝＝，
在△ACD 中，由正弦定理可得，
＝，
∴＝，∴AD＝.
