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微专题12 带电粒子在复合场中的运动2
带电粒子的“螺旋线”运动
[例1] (2024·湖南卷)如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左、右端面圆
心O′、O 处各开有一小孔。以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立
Oxyz 坐标系。在筒内x≤0 区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x
轴正方向；筒外x≥0 区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y 轴正方向。
一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，
且在x 轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电荷量为e，设电
子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子所受的重力。
(1)若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向
最大夹角为θ，求tan θ 的绝对值；
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时在y 轴正方向的最大
位移。
[听课记录]
规律方法：粒子的螺旋线运动
情境
受力情况
无恒定力
与磁场平行的恒定力
运动情况
等间距螺旋线
不等间距螺旋线
[针对训练] (2025·内蒙古乌兰察布·二模)(多选)如图，磁感应强度大小为B
的匀强磁场和电场强度大小为E 的匀强电场，方向均沿z 轴向上，电场和磁场
区域足够大。带电粒子(不计所受重力)由O 点沿x 轴正方向入射到电磁场中，
在z 轴上(0，0，h)P 点处有一接收器，则接收器接收的粒子比荷可能为( )
A．π
2 E
h B
2 B．2π
2 E
h B
2 C．4 π
2 E
h B
2 D．8 π
2 E
h B
2
用“配速法”解决带电粒子的一般曲线运动
情境一 从静止开始运动
[例2] (2022·全国甲卷)空间存在着匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直于
纸面(xOy 平面)向里，电场的方向沿y 轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场
的作用下，从坐标原点O 由静止开始运动。下列四幅图中，可能正确描述该粒
子运动轨迹的是( )
A B
C D
[听课记录]
情境二 洛伦兹力和电场力(或恒力)在一条直线上
[例3] (2023·江苏卷节选)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。
xOy 平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应
强度为B。质量为m、电荷量为e 的电子从O 点沿x 轴正方向水平入射。入射
速度为v0时，电子沿x 轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如
图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计电子所受
重力及电子间相互作用。
(1)求电场强度的大小E；
(2)若电子入射速度为v0
4 ，求运动到速度为v0
2 时位置的纵坐标y1。
[听课记录]
【拓展训练】
电子入射速度为v0
4 时，求：
(1)电子在最高点的速度大小；
(2)电子在最高点的纵坐标；
(3)电子周期性运动的周期。
情境三 洛伦兹力和电场力(或恒力)不在一条直线上
[例4] (2025·湖南卷)如图，直流电源的电动势为E0，内阻为r0，滑动变阻器
R 的最大阻值为2r0，平行板电容器两极板水平放置，板间距离为d，板长为√3
d，平行板电容器的右侧存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。闭合开关S，当滑
片处于滑动变阻器中点时，质量为m 的带正电粒子以初速度v0水平向右从电容
器左侧中点a 进入电容器，恰好从电容器下极板右侧边缘b 点进入磁场，随后
又从电容器上极板右侧边缘c 点进入电容器，忽略粒子所受重力和空气阻力。
(1)求粒子所带电荷量q；
(2)求磁感应强度B 的大小；
(3)若粒子离开b 点时，在平行板电容器的右侧再加一个方向水平向右的匀强电
场，电场强度大小为4√3 E0
3d
，求粒子相对于电容器右侧的最远水平距离xm。
[听课记录]
规律方法：配速法解决带电粒子的一般曲线运动
常见情境
处理方法
初速度为0，有恒力场
把初速度0 分解为一个
向左的速度v1和一个向
右的速度v2，v1和v2大
小相等，且满足qv2B＝
F 恒，则粒子的运动可看
作以v2做匀速直线运动
和以v1做匀速圆周运动
的合运动
匀速圆周运动
匀速直线运动
初速度为v0，有恒力场
把初速度v0分解为v1和
v2，且满足qv1B＝F 恒，
则粒子的运动可看作以
v1做匀速直线运动和以
v2做匀速圆周运动的合
运动
匀速圆周运动
匀速直线运动
带电粒子的“三维空间运动”
[例5] (2025·河南洛阳·三模)如图所示，长方体区域被分成了三个边长均为
L 的正方体区域，最左边的正方体区域内分布着垂直平面CDHG 向里、电场强
度大小为E1的匀强电场，中间的正方体区域内分布着垂直平面EHLI 向上的匀
强磁场，最右边的正方体区域内分布着垂直平面JKON 向上、电场强度大小为
E2的匀强电场。现有电荷量为q、质量为m 的带正电粒子以大小为v0的初速度
从A 点沿AE 方向进入电场区域，经EH 的中点进入磁场区域，最后从NJ 上的
某处离开电场。已知匀强磁场的磁感应强度大小B＝2m v0
qL ，不计粒子所受重力。
求：
(1)电场强度E1的大小；
(2)带电粒子在磁场中运动的时间t；
(3)电场强度E2的大小。
[听课记录]
规律方法：
1．根据题意合理划分过程。
2．根据在每个过程的初速度和受力，确定粒子的运动情况，复杂运动要注意分
解。
3．在空间图形中准确找出粒子的运动位置。
[针对训练] (2022·山东卷)中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，
该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在
三维坐标系Oxyz 中，0＜z≤d 空间内充满匀强磁场Ⅰ，磁感应强度大小为B，
方向沿x 轴正方向；－3d≤z＜0，y≥0 的空间内充满匀强磁场Ⅱ，磁感应强度
大小为√2
2 B，方向平行于xOy 平面，与x 轴正方向夹角为45°；z＜0，y≤0 的空
间内充满沿y 轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为＋q 的离子甲，从yOz
平面第三象限内距y 轴为L 的点A 以一定速度出射，速度方向与z 轴正方向夹
角为β，在yOz 平面内运动一段时间后，经坐标原点O 沿z 轴正方向进入磁场Ⅰ。
不计离子所受重力。
(1)当离子甲从A 点出射速度为v0时，求电场强度的大小E；
(2)若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度vm；
(3)离子甲以qBd
2m 的速度从O 点沿z 轴正方向第一次穿过xOy 面进入磁场Ⅰ，求
第四次穿过xOy 平面的位置坐标(用d 表示)；
(4)当离子甲以qBd
2m 的速度从O 点进入磁场Ⅰ时，质量为4m、带电量为＋q 的离
子乙，也从O 点沿z 轴正方向以相同的动能同时进入磁场Ⅰ，求两离子进入磁
场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差Δt(忽略离子间相互作用)。
