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第63 课时 专题强化：带电粒子在叠加场中的运动 带电粒子在交变电、
磁场中的运动
目标要求 1.了解叠加场的特点，会处理带电粒子在叠加场中的运动问题。2.掌握带电粒子在交变电、磁
场中运动的解题思路和处理方法。
考点一 带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直线运动
粒子所受合力为0
平衡条件
匀速圆周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：
qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动
的规律
较复杂的曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，
也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
例1 (2024·山东青岛市期中)如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交
的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为
＋q、质量为m 的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x 轴正方向的夹角为45°的方向进入叠加场中，
正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继
续运动一段时间后，正好垂直于y 轴穿出叠加场。不计一切阻力，重力加速度为g，求：
(1)电场强度E 的大小；
(2)磁感应强度B 的大小；
(3)微粒在叠加场中的运动时间。
考点二 带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的物理量
1
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选规律
联立不同阶段的方程求解
例2 如图甲所示，水平放置的平行金属板a、b 间加直流电压U，a 板上方有足够长的“V”字形绝缘
弹性挡板，两板夹角为60°，在挡板间加垂直纸面的交变磁场，磁感应强度随时间变化如图乙，垂直纸
面向里为磁场正方向，其中B1＝B0，B2未知。现有一比荷为q
m、不计重力的带正电粒子从c 点由静止
释放，t＝0 时刻，粒子刚好从小孔O 进入上方磁场中，在t1时刻粒子第一次撞到左挡板，紧接着在t1＋
t2时刻粒子撞到右挡板，然后粒子从O 点竖直向下返回平行金属板间，使其在整个装置中做周期性的
往返运动。粒子与挡板碰撞前后电荷量不变，沿板方向的分速度不变，垂直板方向的分速度大小不变、
方向相反，不计碰撞的时间及磁场变化产生的影响。求：
(1)粒子第一次到达O 点时的速率；
(2)图中B2的大小；
(3)金属板a 和b 间的距离d。
例3 (2024·山东潍坊市检测)如图甲所示的空间中存在随时间变化的磁场和电场，规定磁感应强度B
垂直xOy 平面向里为正方向，电场强度E 沿x 轴正方向为正方向，B 随时间t 的变化规律和E 随时间t
的变化规律如图乙。t＝0 时，一带正电的粒子从坐标原点O 以初速度v0沿y 轴负方向开始运动。已知
B0、t0、v0，带电粒子的比荷为π
B0t0
，粒子重力不计。
2
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(1)求粒子在磁场中做圆周运动的周期T；
(2)求t＝t0时，粒子的位置坐标(x1，y1)；
(3)在0~2t0内，若粒子的最大速度是2v0，求E0与B0的比值。
3
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答案精析
例1 (1)mg
q (2)m
q √
g
l
(3)(3 π
4 ＋1)√
l
g
解析 (1)微粒到达A(l，l)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲，可知Eq＝mg，
得E＝mg
q 。
(2)由平衡条件得：
qvB＝√2mg
电场方向变化后，微粒所受重力与静电力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，运动轨迹如图乙，
有qvB＝mv
2
r
由几何知识可得：
r＝√2l
联立解得：v＝√2gl，
B＝m
q √
g
l 。
(3)微粒做匀速直线运动的时间：
t1＝√2l
v ＝√
l
g
微粒做匀速圆周运动的时间：
t2＝
3
4 π ·√2l
v
＝3 π
4 √
l
g
微粒在叠加场中的运动时间：
t＝t1＋t2＝(3 π
4 ＋1)√
l
g。
4
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例2 (1)√
2qU
m (2)2B0
(3)π(3＋5n)
24 B0 √
2Um
q
(n＝0，1，2，…)
解析 (1)粒子从b 板到a 板的过程中，静电力做正功，根据动能定理有
qU＝1
2mv2－0
解得粒子第一次到达O 点时的速率v＝√
2qU
m
(2)粒子进入a 板上方后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由qvB＝mv
2
r 得
r＝mv
qB ，
则粒子做匀速圆周运动的半径
r1＝mv
q B1
，r2＝mv
q B2
使其在整个装置中做周期性的往返运动，运动轨迹如图所示，由图易知r1＝2r2，
已知B1＝B0，则得B2＝2B0
(3)在0~t1时间内，粒子做匀速圆周运动的周期T1＝
2π r1
v
＝2π m
q B0
在t1~(t1＋t2)时间内，粒子做匀速圆周运动的周期T2＝
2π r2
v
＝π m
q B0
由轨迹图可知t1＝1
6T1＝π m
3q B0
t2＝1
2T2＝π m
2q B0
设粒子在金属板a 和b 间往返时间为t，
有d＝0＋v
2
× t
2
且满足t＝t2＋n(t1＋t2)(n＝0，1，2，…)
联立可得金属板a 和b 间的距离
d＝π(3＋5n)
24 B0 √
2Um
q
(n＝0，1，2，…)。
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例3 (1)2t0 (2)(2v0t0
π
，0)
(3)2√3 v0
π
解析 (1)粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝2π r
v0
＝2π m
q B0
＝2t0
(2)0~t0内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有qv0B0＝mv0
2
r
解得r＝
m v0
q B0
＝v0t0
π
由(1)问可知粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝2t0
则粒子在0~t0内运动了半个周期恰好又回到x 轴，速度方向沿y 轴正方向x1＝2r＝2v0t0
π
y1＝0，即此时粒子位置的坐标为(2v0t0
π
，0)
(3)0~2t0内粒子的运动轨迹如图所示，在t0~1.5t0内，粒子受到沿x 轴正方向的静电力作用，粒子做类平抛
运动，粒子沿x 轴正方向做匀加速运动，
a＝q E0
m ＝π E0
t0 B0
当t＝1.5t0时，粒子具有最大速度，粒子沿x 轴方向的分速度为vx＝a
t0
2 ＝π E0
2B0
沿y 轴方向的分速度为vy＝v0
则v＝√v x
2＋v y
2＝2v0
解得E0
B0
＝2√3 v0
π
。
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