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第56 讲 带电粒子在复合场中的运动
核心考点
考点一 带电粒子在组合场中的运动............................................................................................1
考点二 带电粒子在叠加场中的运动..........................................................................................13
考点三 带电粒子在交变电、磁场中的运动..............................................................................26
考点一 带电粒子在组合场中的运动
1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出
现。
2.分析思路
(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
(3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。
3.常见粒子的运动及解题方法
4.常见情形
(1)先电场后磁场
基础过关
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①带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周
运动，如图甲。
②带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如
图乙。
(2)先磁场后电场
常见情境
进入匀强电场时粒
子速度方向与电场
方向平行
进入匀强电场时粒子速度
方向与电场方向垂直
进入匀强电场时粒子速度方向与
电场方向成一定角度(非直角)
运动示意
图举例
在电场中
的运动性
质
匀加速或匀减速直
线运动
类平抛运动
类斜抛运动
分析方法
动能定理或牛顿运
动定律结合运动学
公式
平抛运动知识，运动的合
成与分解
斜抛运动知识，运动的合成与分
解
【例1】（2025·天津北辰·三模）如图，在平面直角坐标系的第三象限内存在沿
轴正方向的
匀强电场，第一象限某区域内存在垂直于坐标平面向里的圆形区域的匀强磁场（图中没有画
出）。一质量为
，电荷量为
的带正电粒子从电场中的
点以大小为
的速度平行于
轴
正方向射入电场，经原点
射入第一象限时与
轴正方向的夹角为
，运动一段时间
后进入圆形匀强磁场区域，最后射出磁场时与
轴正方向的夹角也为
。已知
点与
轴的距离为，匀强磁场的磁感应强度大小
，不计粒子受到的重力。求：
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(1)匀强电场的电场强度大小
；
(2)粒子在磁场中运动的时间；
(3)圆形匀强磁场区域的最小半径
。
【例2】（2025·湖南怀化·三模）如图，在
坐标系内，第一象限有垂直纸面向外的匀强磁
场，第二象限有沿
轴正方向的匀强电场，电场强度大小为
。一质量为
、电荷
量为
的带电粒子从
轴上的
点以速度
沿与
轴正方向成
角的方向射入磁场，
恰好垂直于
轴射出磁场进入电场，不计粒子重力，求：
(1)磁感应强度
的大小；
(2)粒子再次经过
轴时的
坐标及粒子的速度大小。
【例3】（2025·四川成都·三模）如图所示，在水平虚线下方有正交的匀强磁场和匀强电场，
其中磁场方向垂直纸面向里，电场方向水平向右。在距离水平虚线h 高处以某一初速度水平
向右抛出一个质量为m、带电荷量为
的小球，通过水平虚线上的A 点进入电磁场中，一段
时间后又从水平虚线上的P 点沿与水平方向成
角斜向右上方射出电磁场区域，已知电场
强度
，O 到A 的水平距离及A、P 间距离均为2h，已知当地重力加速度为g，求：
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(1)带电小球经过A 点时的速度；
(2)带电小球经过P 点时的速度大小及磁感应强度B 的大小；
(3)带电小球从O 到P 运动的时间。
【例4】（2025·湖北·三模）如图所示，空间交替分布着宽度均为L 的匀强电磁场区域，磁场
垂直xOy 平面向里，磁感应强度大小为
电场沿x 轴负方向，电场强度大小为
一带正电的粒子从坐标原点O 沿与x 轴负方向成θ 角、初速度大小为
进入匀强磁
场区域，虚线边界有磁场。粒子的质量为m、电荷量为q，不计重力，取
。
(1)若粒子第一次经磁场偏转后恰好不越过该磁场区域左边界，求此时θ 大小；
(2)若粒子只能经历两个完整的电场区，求
满足的条件；
(3)若θ=0，粒子以
的初速度从O 点进入匀强磁场区域，电场强度大小变为
求当粒子竖直位移大小为
时的运动时间。
【例5】（2025·重庆·三模）如图所示，
平面内，在
的区域存在匀强电场，电场强
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度大小为
，方向与
方向夹角为
；在
轴下方存在匀强磁场，方向垂直于纸面向外。
一质量为
、电荷量为
的带正电的粒子以大小为
的初速度从原点
沿
轴正方向射出，
一段时间后粒子第一次从
点进入磁场，在磁场中运动一段时间后回到原点
再进入电场。
不计粒子的重力，取
,
。
(1)求粒子从
到
点的时间；
(2)求磁感应强度
的大小；
(3)若在
正半轴上另放置
个质量也为
的不带电微粒(按碰撞顺序标号依次为1、2、
)，使带电粒子最初从
点出发后每次从电场进入磁场时都恰好与一个不带电微粒发生正碰，
碰后结合为一个整体，该整体仍可视为质点，且总质量与电荷量不变，不计重力。求第
个
微粒的位置坐标
。
解答电场与磁场组合问题解题思路
(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。
(3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律
处理。
考点二 带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质
受力特点
方法规律
匀速直线运动
粒子所受合力为0
平衡条件
精讲考点
基础过关
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匀速圆周运动
除洛伦兹力外，另外两力的合力为
零：
qE＝mg
牛顿第二定律、圆周运动的规
律
较复杂的曲线运动
除洛伦兹力外，其他力的合力既不为
零，也不与洛伦兹力等大反向
动能定理、能量守恒定律
【例6】（2025·湖北·模拟预测）如图所示，在xOy 平面内，
的区域内磁场方向垂
直纸面向里，
的区域内磁场方向垂直纸面向外，且两区域磁感应强度大小相
等，
区域无磁场。一质量为m，电荷量为
的粒子（重力不计）在O 处以速度
沿x
轴正方向射入磁场。
(1)若粒子第一次经过两磁场边界时速度方向与边界夹角为
，求磁感应强度大小
；
(2)粒子的初速度仍为
，改变磁感应强度大小，使粒子能进入
的磁场区域内
且能回到y 轴正半轴上，求磁感应强度大小
的取值范围及k 的最小值；
(3)磁感应强度大小为
时，在
内加上方向水平向右、场强大小为
的匀强电场，求粒子运动的最大速度。
【例7】（2025·湖南邵阳·三模）如图所示，金属板
和
互相平行竖直放置，形
成两条狭缝，金属板上的小孔
和O 点共线，狭缝
的电势差与狭缝
的电
势差均为U，一质量为m，电荷量为
的粒子从小孔
飘入狭缝
（初速度为
零），通过小孔
进入金属板
和P 之间的区域I，区域I 中存在匀强磁场和匀强电场（未
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画出），其中匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。粒子沿直线
运动，经过
进入狭缝
，经O 点进入金属板
右侧区域II，区域II 具有和区域I 完全相同的电场和
磁场。以O 点为坐标原点，垂直于金属板向右的方向为
轴正方向，平行于金属板向上的方
向为
轴正方向建立直角坐标系，不计粒子重力，不计粒子经过狭缝的时间。求：
(1)粒子刚进入区域I 时的速度大小
；
(2)区域I、区域II 电场强度E；
(3)粒子到达O 点开始计时，第二次到达距
轴最远处的速度
和需要的时间。
【例8】（2025·山西大同·三模）如图所示，在平面直角坐标系
中，虚线垂直于x 轴，在
y 轴和虚线之间的区域空间有沿x 轴正方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小
未知，
磁感应强度大小
；在虚线的右侧区域空间有沿y 轴正方向的匀强电场和垂直于坐标平
面向外的匀强磁场，电场强度
，磁感应强度
。将质量为m、电荷量为
q 的带正电的粒子从坐标原点以与x 轴正方向成
角斜向上的速度
射入第一象限，粒
子刚好在第一次过x 轴时进入虚线右侧区域，且速度方向与x 轴正方向的夹角为37°，不计粒
子的重力，
，
．求：
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(1)粒子在y 轴和虚线之间运动的时间；
(2)电场强度
的大小；
(3)粒子在虚线右侧运动过程中，离x 轴的最大距离。
【例9】（2025·山东德州·三模）如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底
部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量
，电荷量
，绝缘管长为
。在管口所在水平面
的下方存在着垂直纸面向里、
磁感应强度
的匀强磁场，
面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度
的匀
强磁场，
上下的整个区域还存在着竖直向上、场强
的匀强电场。现让小车始
终保持
的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖
直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小
关系为
，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面
的距离为
。取
，不计其它阻力。求：
(1)小圆柱体刚进入磁场
时的加速度大小；
(2)小圆柱体的加速度为
时的速度大小；
(3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量；
(4)小圆柱体第二次经过水平面
时的速度大小。
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【例10】（2025·浙江·三模）某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy 平面内
第一象限的虚线与y 轴所围区域内有一个场强大小为
、方向平行于y 轴的匀强电
场；第三象限内存在垂直xOy 平面向外，磁感应强度大小为
的匀强磁场；在电场
边界右侧放置长为
、高为3L 的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集
板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy 平面向里，磁感应强度大小为
，匀强电场方向竖直向下，场强大小为
。点P（0，-d）（d>0）处有
一粒子源，某一瞬间向第三象限与y 轴正方向成θ 角
，在该角度范围内发射
了N 个电荷量为q、质量为m 的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy 平面内，且粒子
数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到
右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求：
(1)粒子由P 点射出时水平分速度vx的大小；
(2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x 轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方
程；
(3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比；
(4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。
1．叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
2．带电粒子在无约束叠加场中的运动
精讲考点
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(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故
机械能守恒，由此可求解问题。
(2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若静电力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动。
②若静电力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，
可用动能定理求解问题。
(3)静电力、洛伦兹力、重力并存
①若带电体做直线运动，则一定是匀速直线运动。
②若重力与静电力平衡，一定做匀速圆周运动。
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用
能量守恒定律或动能定理求解问题。
考点三 带电粒子在交变电、磁场中的运动
解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路
先读图
看清并且明白场的变化情况
受力分析
分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析
分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点
找出衔接相邻两过程的物理量
选规律
联立不同阶段的方程求解
【例11】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图1 所示，圆心为O、半径为R 的圆形有界磁场。
磁感应强度B 在一个周期T 内的变化规律如图2 所示（周期T 满足T=2t0+ Δt，T、t0、Δt 均未
知，B0大小可调），0~t0时间磁场方向垂直纸面向里。边界a 点处有一电子枪，电子经电压
加速后，于t=0 时刻沿直径ab 进入磁场。电子的初速度、重力不计，比荷为k。
基础过关
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(1)若已知加速电压为U0，电子进入磁场后运动t0时间速度偏转90°打到边界上。求对应磁感
应强度B0的大小；
(2)保持（1）中B0、t0不变，当Δt=2t0时，调节加速电压，电子进入磁场后恰能击中磁场边界
上的b 点，求加速电压U 与U0的关系；
(3)若T 已知，调节加速电压为U1，电子进入磁场后经过一个周期T 恰能回到发射点，且运动
过程中恰好不打到磁场边界，求加速电压U1。
【例12】（2025·广东惠州·模拟预测）如图（a）所示，在
空间有一圆形区域磁场，磁
感应强度为
，方向垂直纸面向外，圆与
轴相切于原点
，平行于
轴且与圆相切于
点
的电场边界MN 下方有沿
轴正方向的匀强电场，在
空间有垂直纸面的随时间周期性变
化的磁场
随时间变化如图（b）所示，其中
已知，垂直纸面向外为正方向。足够长的
挡板PQ 垂直于
轴放置，挡板可沿
轴左右平移。质量为
，电荷量为
）的粒子从
电场中的
点以速度
沿
轴正方向进入匀强电场，并从
点进入圆形区域磁场，接着从原
点
进入第一象限（此时
）。已知
两点沿
轴方向的距离为
，沿
轴方向的距
离为
，不计粒子重力，不考虑磁场变化产生的感应电场。求：
(1)匀强电场的电场强度
；
(2)粒子在圆形区域磁场内的运动时间
；
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(3)若粒子恰好能垂直击中挡板，则挡板距离
轴的距离
应满足的关系。
【例13】（24-25 高三上·广东潮州·期末）如图a 所示，平面直角坐标系
中，第三象限中
存在方向沿y 轴负方向的匀强电场，第四象限直角三角形
区域中存在着大小、方向均可
调整的磁场。已知C 点坐标
边与x 轴正方向的夹角大小为
，一质量为m，
电荷量为q 的带正电粒子，从P 点以大小为y，方向与
边平行的初速度进入电场。经偏转
后从A 点垂直
边进入磁场。若磁场为方向垂直纸面向外的匀强磁场，则发现粒子恰好不
从
边射出。若磁场为随时间呈周期性变化的交变磁场（如图b，规定磁场方向垂直纸面向
外为正），则发现在
时从A 点进入磁场的粒子，经两个完整周期后恰好从C 点射出，已
知匀强电场场强
，不计粒子重力。求：
(1)A 点的坐标；
(2)粒子恰好不从
边射出时，匀强磁场磁感应强度
的大小；
(3)交变磁场的磁感应强度
和周期
的大小。
【例14】（2025·重庆·模拟预测）如图所示，空间有一圆心为O，半径为d，垂直纸面向外的
圆形匀强磁场区域，磁感应强度
，磁场正下方有一板间距为2d 的平行板电容器。y
轴是电容器的中心轴线，A、B 分别为极板左右边缘两点，AB 连线与圆形磁场相切。连线上
的P 点距B 点0.5d。从距圆形磁场圆周上C 点L 处开始存在多个间距为L1、L2⋯ Ln的垂直纸
面向外的窄条形磁场B1、B2⋯ Bn。磁场间距Ln满足Ln=nL（n 为正整数），相邻条形磁场间
的无磁场区域，其间距始终为L。每个磁场的边界均与y 轴平行，且位于x 轴下方。现电容器
左右极板间加上如图乙所示的周期为T 的交变电压，大量比荷为k 的正粒子从y 轴上的M 点
以相同速度v0沿y 轴正向射入电容器，其中t=0 时刻射入的粒子恰好在T 时刻到达P 点。不计
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粒子重力及电场边缘效应和粒子间相互作用。
(1)求平行板电容器板长L0及电压U0的值；
(2)若t 时刻打入平行板电容器的粒子能经C 点沿x 轴正向射出圆形磁场，求t 的可能值；
(3)若窄条形磁场的磁感应强度Bn满足
（n 为正整数），且
。将能打入条形
磁场的粒子能到达的最远磁场记为Bn，到达的最近磁场记为Bm，求n-m 的值。
【例15】（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）如图甲所示，在xOy 平面内y 轴的左侧有宽为
L 的电场区域，在电场区域的左侧有一加速电场，电压为U0，一质量为m，带电量为+q 的带
电粒子从A 点飘入加速电场（忽略初速度），从x 轴的P 点（-L，0）进入电场区域，粒子进
入电场区域时在电场区域加上图乙所示的与y 轴平行的交变电场，（T 未知），y 轴正方向为
电场的正方向，粒子经过交变电场后从y 轴上的Q 点（0，L）沿着x 轴的正方向进入第一象
限。在第一象限有一垂直纸面的圆形磁场区域，磁场变化规律如图丙所示，磁场变化周期为
T0（忽略磁场突变的影响），粒子在t=0 时刻进入磁场，且始终在磁场区域内运动。求：
(1)经过P 点时的速度v0；
(2)交变电场的场强大小E0；
(3)圆形磁场区域的最小面积S。
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1．交变场的常见的类型
(1)电场周期性变化，磁场不变。
(2)磁场周期性变化，电场不变。
(3)电场、磁场均周期性变化。
2．分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路
精讲考点
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