专练6 14 小题＋1 大题(导数)
——节选自大教育山东联盟联考
一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)
1.已知集合A＝{0, 1
2 , √2
2 ,1},B＝{x∈R|x＝q
p,p,q∈Z,p≠0},则A∩B＝( )
A.{
1
2}
B.{0, 1
2}
C.{0, 1
2 ,1}
D.{0, 1
2 , √2
2 ,1}
答案 C
解析 由B＝Q,得A∩B＝{0, 1
2 ,1}.
2.已知z 为复数,z－2 为纯虚数,z＋i 为实数,则|z|＝( )
A.2
B.√5
C.2√2
D.3
答案 B
解析 由z－2 为纯虚数,得z 的实部为2;
由z＋i 为实数,得z 的虚部为－1,
所以z＝2－i,从而|z|＝√5.
3.如果F(x,y)是函数f(x)＝sin x 图象上的一点,那么G(x−π
6 , y)就是函数g(x)图象上的点,则g(
π
6)
＝( )
A.－1
2
B.0
C.1
2
D.√3
2
答案 D
解析 法一 根据题意,将f(x)＝sin x 图象上的所有点向左平移π
6 个单位长度,就得g(x)＝sin
(x＋π
6)的图象,于是g(
π
6)＝sin(
π
6 ＋π
6)＝√3
2 .
法二 由题意,得y＝sin x,且y＝g(x−π
6),所以g(x−π
6)＝sin x,从而g(
π
6)＝g(
π
3 −π
6)＝sin
π
3 ＝√3
2 .
4.函数f(x)＝(|x2－5|－5)ln(4－x2)的图象大致为( )
答案 A
解析 因为f(x)的定义域为(－2,2),
所以f(x)＝(5－x2－5)ln(4－x2)
＝－x2ln(4－x2);
又f(－x)＝－(－x)2ln[4－(－x)2]
＝－x2ln(4－x2)＝f(x),
所以f(x)为偶函数,可排除C 和D;
又f(1)＝－ln 3<0,可排除B.故选A.
5.已知圆柱的侧面展开图的周长为定值P,则该圆柱的侧面积的最大值为( )
A. P
2
2
B. P
2
4
C. P
2
8
D. P
2
16
答案 D
解析 设圆柱的底面半径为r,母线长为l,
因为圆柱的侧面展开图为矩形,所以2l＋2×2πr＝P,即l＋2πr＝P
2 ,
所以圆柱的侧面积S＝2πrl≤(
l＋2π r
2
)
2
＝P
2
16,
当且仅当l＝2πr＝P
4 时取等号.
6.已知cos(α＋β)＝1
2,tan αtan β＝－1
5,则cos(α－β)＝( )
A.－1
3
B.1
3
C.－1
4
D.1
4
答案 B
解析 设cos αcos β＝x,sin αsin β＝y,
由已知得x－y＝1
2, y
x ＝－1
5,
解得x＝5
12,y＝－1
12,
所以cos(α－β)＝x＋y＝5
12 －1
12 ＝1
3.
7.如图,在三棱台ABC－A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,CC1与底面ABC 所成的角为45°,AB＝
√2,A1C1＝AA1＝1,则三棱锥A1－B1BC1的体积为( )
A.√2
2
B.√2
4
C.√2
6
D.√2
12
答案 D
解析 由题意可知AB∥A1B1,故AB∥平面A1B1C1,
又因为AA1⊥ 底面ABC,平面ABC∥ 平面A1B1C1,
所以点B 到平面A1B1C1的距离就是AA1的长;
在平面AA1C1C 内过C1作C1H∥AA1交AC 于点H,
则C1H⊥底面ABC,从而∠C1CA 就是CC1 与底面ABC 所成的角,即∠C1CA＝45°;
因为A1C1＝ AA1＝1,
所以四边形AA1C1H 为正方形,
所以CH＝C1H＝AH＝AA1＝1,即AC＝2,
所以△ABC 的面积为S＝1
2×AC×AB＝1
2×2×√2＝√2;
设△A1B1C1的面积为S1,
则S1
S ＝(
A1C1
AC )
2
＝1
4,所以S1＝√2
4 ;
V 三棱锥A1−B1BC1＝V
B
三棱锥−A1B1C1＝1
3×S1×AA1＝√2
12 .故选D.
8.已知椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过F1作AF2的垂线与C 在
第一象限内交于点B,且cos∠F1BF2＝3
5.设C 的离心率为e,则e2＝( )
A.√5−1
2
B.3−√5
2
C.5−√5
10
D.6−√5
12
答案 C
解析 设C 的焦距为2c.
法一 如图,由题意可知|OF2|＝c,|OA|＝b,|AF2|＝a,
所以sin∠AF2O＝b
a,
cos∠AF2O＝c
a,
所以cos∠BF1O＝b
a,sin∠BF1O＝c
a,
又由cos∠F1BF2＝3
5,
得sin∠F1BF2＝4
5,
从而sin∠BF2F1＝sin(∠BF1O＋∠F1BF2)＝c
a × 3
5 ＋b
a × 4
5 ＝4 b＋3c
5a
;
由正弦定理得
2c
4
5
＝|B F2|
c
a
＝|B F1|
4 b＋3c
5a
,
所以
5c
2 ＝
2a
c
a ＋4 b＋3c
5a
,可得2c2－a2＋bc＝0,即c2－b2＋bc＝0,所以(
c
b)
2
＋c
b－1＝0,
解得c
b ＝√5−1
2
(负值舍去),所以c
2
b
2 ＝3−√5
2
,
从而e2＝c
2
a
2 ＝
c
2
b
2＋c
2 ＝
c
2
b
2
1＋c
2
b
2
＝
3−√5
2
1＋3−√5
2
＝5−√5
10
.
法二 如图,连接AF1,设AF2与BF1交于点M.
由cos∠F1BF2＝3
5,
可设|BM|＝3x,
则|BF2|＝5x,|MF2|＝4x,其中x>0,
由椭圆的定义,得|BF1|＝2a－5x,
从而|MF1|＝2a－8x.
又因为|AF2|＝a,所以|AM|＝a－4x.
在△AF1F2中,设∠F1AF2＝θ,
则tan θ＝|M F1|
| AM | ＝2a−8 x
a−4 x ＝2,θ 为锐角,
所以cos2θ＝
co s
2θ
sin
2θ＋co s
2θ
＝
1
tan
2θ＋1
＝1
5,
即cos θ＝√5
5 .
由余弦定理,得a
2＋a
2−4 c
2
2a
2
＝√5
5 ,
即1－2e2＝√5
5 ,解得e2＝5−√5
10
.
二、选择题(本大题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0 分)
9.已知变量x 与y 的6 对观测数据如下表:
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
y
1.1
1.3
1.6
1.5
2.0
2.1
经计算得y 关于x 的经验回归方程为^y ＝^a＋2x,设e 为观测值减去预测值,则( )
A.^a＝0.9
B.当x＝0.7 时,^y＝2.2
C.E(e)＝0
D.D(e)＝0.06
答案 AC
解析 由题中表格,计算得x＝0.35,y＝1.6,
则^a＝y－2x＝1.6－2×0.35＝0.9,
从而^y＝0.9＋2x,则A 正确;
当x＝0.7 时,^y＝0.9＋2×0.7＝2.3,则B 错误;
根据^y＝0.9＋2x,可得下表:
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
y
1.1
1.3
1.6
1.5
2.0
2.1
^y
1.1
1.3
1.5
1.7
1.9
2.1
e
0
0
0.1
－0.2
0.1
0
可见E(e)＝0,则C 正确;
D(e)＝1
6×[02＋02＋0.12＋(－0.2)2＋0.12＋02]＝0.01,则D 错误.
10.在艺术、建筑设计中,把短对角线与长对角线长度之比为√2－1 的菱形称为“白银菱形”.如图,
在白银菱形ABCD 内,有三个全等的小白银菱形AEMH,BNDM,NFCG.若AB＝√2＋1,则( )
A.⃗EM与⃗GN共线
B.∠BAD＝π
4
C.⃗AH·⃗BE＝－√2
D.⃗AM·⃗DH ＋⃗BF·⃗NC＝0
答案 ABD
解析 因为EM∥AD∥BC∥GN,
所以⃗EM 与⃗GN共线,则A 正确;
设AC 与BD 交于点O,
由题意,得tan∠BAO＝OB
OA ＝BD
AC ＝√2－1,
所以tan∠BAD＝2tan ∠BAO
1−tan
2∠BAO
＝
2(√2−1)
1−(√2−1)
2＝1,
从而∠BAD＝π
4 ,则B 正确;
因为EM∥AD,所以∠MEB＝π
4 .
又EM＝BM,所以∠BME＝π
2 ,
从而BE＝√2ME＝√2AE,
结合AB＝√2＋1,
可得AE＝1,BE＝√2,
因此⃗AH·⃗BE＝|⃗AH|·|⃗BE|cos3 π
4
＝1×√2×(−√2
2 )＝－1,则C 错误;
因为⃗AM ＝⃗NC,⃗DH＝－⃗BF,
所以⃗AM·⃗DH ＋⃗BF·⃗NC＝0,则D 正确.
11.定义在区间(0,＋∞)上的函数f(x)满足:①∀a∈R,f(xa)＝af(x);②f(e－2)＝－2e.则( )
A.f(e－1)＝1
B.f(
x
y)＋f(y)＝f(x)
C.f(x)是增函数
D.若∀x∈[1,2],f(x2＋bx＋3)≤2eln 2,则负整数b＝－2
答案 BC
解析 由①,得f(e－2)＝－2f(e),
结合②,得－2f(e)＝－2e,解得f(e)＝e,
所以f(e－1)＝－f(e)＝－e,则A 错误;
设x＝eα,y＝eβ,其中α,β∈R,则f(
x
y)＝f(
e
α
e
β)＝f(eα－β)＝(α－β)f(e)＝(α－β)e;
f(x)－f(y)＝f(eα)－f(eβ)＝αf(e)－βf(e)＝(α－β)e,
所以f(
x
y)＝f(x)－f(y),则B 正确;
对∀x1,x2∈(0,＋∞),且x1<x2,设x1＝ea,x2＝eb,(其中a,b∈R),
则a<b,f(x1)＝f(ea)＝af(e)＝ae,
f(x2)＝f(eb)＝bf(e)＝be,
所以f(x1)<f(x2),所以f(x)为增函数,则C 正确;
2eln 2＝eln 4＝f(e)ln 4＝f(eln 4)＝f(4),
所以f(x2＋bx＋3)≤2eln 2 可化为f(x2＋bx＋3)≤f(4).
又因为f(x)为增函数,所以0<x2＋bx＋3≤4 对∀x∈[1,2]恒成立,
即－x－3
x <b≤1
x －x 恒成立.
因为x＋3
x ≥2√x· 3
x ＝2√3,
当且仅当x＝√3∈[1,2]时取等号,
所以(−x−3
x)max＝－2√3.
又y＝1
x －x 在区间[1,2]上单调递减,
所以(
1
x −x)min＝－3
2.
于是－2√3<b≤－3
2,
所以负整数b＝－3,或b＝－2,故D 错误.
三、填空题(本大题共3 小题,每小题5 分,共15 分)
12.双曲线C1:x2－y2＝2 的两条渐近线分别与圆C2:(x－2)2＋y2＝4 交于点A,B(异于原点 O),则|AB|＝
.
答案 4
解析 因为双曲线C1的两条渐近线互相垂直,
所以OA⊥OB,所以AB 为圆C2的直径,
故|AB|＝4.
13.现有第19 届亚运会、第9 届亚冬会吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”“滨滨”“妮妮”卡片
各一张.将这5 张卡片贴在墙上,贴成上下两行,第一行2 张,第二行3 张,则“滨滨”和“妮妮”卡
片在不同行的不同贴法的种数为 .(用数字作答)
答案 72
解析 法一 若“滨滨”在第一行,有A2
1种贴法,“妮妮”有A3
1种贴法,
其余有A3
3种贴法,根据分步乘法计数原理,此时有A2
1 A3
1 A3
3＝36 种贴法;
若“妮妮”在第一行,同样有36 种贴法.
综上,一共有72 种贴法.
法二 “滨滨”妮妮”都在第一行有A2
2 A3
3种贴法,都在第二行有A3
2 A3
3种贴法,
所以符合条件的不同贴法的种数为A5
5－A2
2 A3
3－A3
2 A3
3＝120－12－36＝72.
14.如图,小正方形(点O 为其中心,A 为其一个顶点)的边长是大正方形边长的1
2,小正方形沿着大正
方形的四条边,依次按逆时针方向无滑动地滚动一周后,返回出发时的初始位置(例如正方形O 按逆
时针方向滚动到正方形O1的位置,向量⃗OA随之到达向量⃗O1 A1的位置,此时⃗OA绕小正方形的中心
旋转了π
2 ).在这整个过程中向量⃗OA绕小正方形的中心共旋转了θ1角,则θ1＝ ;已知小正n
边形(n≥4,n∈N*,点O 为其中心,A 为其一个顶点)的边长是大正n 边形的边长的1
k (k≥2,k∈N*),小
正n 边形沿着大正n 边形的边,按逆时针方向无滑动地滚动一周后,返回出发时的初始位置,在这整
个过程中向量⃗OA绕小正n 边形中心共旋转了θ2角,则θ2＝ .(两空均用弧度表示)
答案 6π 2(k＋1)π
解析 小正方形在大正方形的一边上滚动两次,每一次滚动角为π
2 ,根据运动的相对性,这样每一条
边上的滚动角为π
2 ＋π
2 ＝π,4 条边累计为4π;4 个转弯正好是四个滚动角(每个滚动角均为π
2),累计
为2π.
两者累计为θ1＝4π＋2π＝6π.
小正n 边形在大正n 边形的每一条边上滚动k 次,每一次滚动角为2π
n ,
这样每一条边上的滚动角为2π
n ×k＝2k π
n ,n 条边累计为2kπ;
n 个转弯正好是n 个滚动角(每个滚动角均为2π
n ),累计为2π.
两者累计为θ2＝2kπ＋2π＝2(k＋1)π.
四、解答题(本题共13 分.考查方向:导数)
15.已知函数f(x)＝x3－3x＋1.
(1)求曲线y＝f(x)的对称中心;
(2)证明:f(x)有三个零点;
(3)设曲线y＝f(x)与x 轴的交点从左到右依次为A,B,C,过A 作直线l 与曲线y＝f(x)相切,切点为
D(异于A),证明:|BD|＝|CD|.
(1)解 法一 设g(x)＝x3－3x,
则f(x)＝g(x)＋1.
因为g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－(x3－3x)＝－g(x),
所以g(x)为奇函数,
从而曲线y＝g(x)的对称中心为(0,0);
将曲线y＝g(x)向上平移1 个单位长度,可得曲线y＝f(x),
所以曲线y＝f(x)的对称中心为(0,1).
法二 因为f(－x)＋f(x)＝(－x)3－3(－x)＋1＋x3－3x＋1＝2,
所以曲线y＝f(x)的对称中心为(0,1).
(2)证明 f'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1),
当x<－1 时,f'(x)>0;
当－1<x<1 时,f'(x)<0;
当x>1 时,f'(x)>0,
所以f(x)在区间(－∞,－1)和(1,＋∞)上单调递增,在区间(－1,1)上单调递减,
所以x＝－1 是f(x)的极大值点,x＝1 是f(x)的极小值点,
又f(－2)＝－1<0,f(－1)＝3>0,f(1)＝－1<0,f(2)＝3>0,
由零点存在定理及f(x)的单调性,得f(x)在区间(－2,－1),(－1,1),(1,2)内各有一个零点.
综上,f(x)有三个零点.
(3)证明 设A(m,0),B(n,0),C(p,0)(m<n<p),
则f(x)＝(x－m)(x－n)(x－p).
显然直线l 的斜率存在且不为0,设l 的方程为y＝k(x－m),
切点D 的坐标就是方程组{
y ＝k( x−m),
y ＝( x−m)( x−n)( x−p)的解,
消去y,得k(x－m)＝(x－m)(x－n)(x－p),
由x－m≠0,得k＝(x－n)(x－p),
整理得x2－(n＋p)x＋np－k＝0,(*)
根据题意,(*)有两个相等的实根,则Δ＝0,且2xD＝n＋p,即xD＝n＋p
2
,
所以D 在x 轴上的射影必为BC 的中点,
即D 在BC 垂直平分线上,故|BD|＝|CD|.
