“116 分”综合提升卷3
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共计40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是正确的.
1.(2025 山东青岛一模)若(1+2i)z=5,则z·z=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
2.(2025 北京海淀二模)圆心为(-1,2)且与x 轴相切的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y+2)2=2
B.(x+1)2+(y-2)2=2
C.(x-1)2+(y+2)2=4
D.(x+1)2+(y-2)2=4
3.(2025 广东汕头模拟)已知a=log0.50.2,b=0.50.5,c=20.5,则( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.b<c<a
4.(2025 江苏南通模拟)如图,三棱锥P-ABC 的体积为V,E,F 分别是棱PB,PC 上靠近点P
的三等分点,G 是棱AB 上靠近点B 的三等分点,H 是棱AC 上靠近点C 的三等分点,则多
面体BCFEGH 的体积为( )
A.1
2
V
B.4
9
V
C.5
9
V
D.3
5
V
5.(2025 江西新余模拟)已知sin(α - π
4 )
sin α
= ❑√2
,则cos 2α+cos2α=( )
A.3
4
B.1
2
C.-1
4
D.-1
2
6.(2025 山东济南二模)已知集合A={(x,y)|y=ex,x∈R},B={(x,y)|y=x+a,x∈R},A∩B 有且只
有2 个子集,则实数a=( )
A.-e
B.-1
C.1
D.e
7.(2025 安徽滁州二模)已知A,B,C 三点在半径为1 的圆O 上运动,且|AB|=❑√3,则⃗AC ·⃗BC
的取值范围为( )
A.[-1
2 , 3
2
]
B.[-3
2 , 1
2
]
C.[1
2 , 3
2
]
D.[-3
2
,-1
2
]
8.(2025 山东日照二模)已知数列{an}的通项公式an=3n-1,在每相邻两项ak,ak+1之间插入
2k个2(k∈N*),使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记数列{bn}的前n 项和为Sn,
则使Sn≥150 成立的n 的最小值为( )
A.20
B.21
C.22
D.23
二、选择题:本大题共3 小题,每小题6 分,共计18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025 河北廊坊模拟)某商场统计了180 天的日收入(单位:万元),并分组如下:[0,2),[2,4),
[4,6),…,[10,12],得到如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是( )
A.这180 天中日收入不低于8 万元的有54 天
B.用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8 万元的天数中抽取14 天,则这14 天中
有6 天的日收入低于4 万元
C.这组数据的平均数是6 万元(每组数据以区间中点值为代表)
D.这组数据的第75 百分位数为8.5 万元
10.(2025 江西师范大学附中二模)“∞”可以看作数学上的无穷符号,也可以用来表示数学
上特殊的曲线.如图所示的曲线C 过坐标原点O,C 上的点到两定点F1(-a,0),F2(a,0)(a>0)
的距离之积为定值.则下列说法正确的是( )(参考数据:❑√5≈2.236)
A.若|F1F2|=12,则C 的方程为(x2+y2)2=72(x2-y2)
B.若C 上的点到两定点F1,F2的距离之积为16,则点(-4,0)在C 上
C.若a=3,点(3,y0)在C 上,则2<y0
2<3
D.当a=3 时,C 上第一象限内的点P 满足△PF1F2的面积为9
2
,则|PF1|2-|PF2|2=18❑√3
11.(2025 山东青岛模拟)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l 过点F 且与C 交于A,B
两点,O 为坐标原点,点P(2,x0)为C 上一点,且|PF|=3,则下列选项正确的是( )
A.过点M(2,3)且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有2 条
B.当△AOB 的面积为2❑√2时,|AF|·|BF|=8
C.△AOB 为直角三角形
D.2|AF|+|BF|的最小值为3+2❑√2
三、填空题:本大题共3 小题,每小题5 分,共计15 分.
12.(2025 江苏镇江模拟)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn,且Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则
a2 025
a2 024
= .
13.(2025 山东烟台模拟)现有8 名同学分别去A,B 两个小区做志愿服务工作,每人选择其
中的一个小区,且每个小区至少去3 名同学,则不同的安排方法种数为 .(用数
字作答)
14.(2025 浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=sin ωπx(ω>0),将f(x)的图象向右平移1
3ω
个单位长
度后得到函数g(x)的图象,点A,B,C 是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点,若△ABC 是
锐角三角形,则ω 的取值范围是 .
四、解答题:本大题共3 小题,共计43 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)(2025 山东聊城二模)周末双休,四名同学约好一起参加体验活动,有甲、乙两个
体验项目可供选择,每人必须参加且只能参加一个项目.四人约定每人通过掷一次质地均
匀的骰子来决定自己参加哪个体验项目,若掷出的点数小于3,就体验甲项目,否则体验乙
项目.
(1)求这4 个人中恰有2 人参加甲项目的概率;
(2)用X,Y 分别表示这4 个人中参加甲、乙项目的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ 的分布列
及期望.
16.(15 分)(2025 浙江稽阳联谊学校二模)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,
BC=1 且bcos C+❑√3csin B=1+2c.
(1)求B 的大小;
(2)如图所示,D 为△ABC 外一点,∠DCB=B,CD=❑√3,AC=AD,求sin∠BCA 的值.
17.(15 分)(2025 湖北七市(州)二模)已知函数f(x)=2ax+(2-a)ln x+1
x
.
(1)当a<0 时,讨论f(x)的单调性;
(2)若a=0,g(x)=emx-x2+mx+1
x
,讨论关于x 的方程f(x)-g(x)=0 的根的个数.
答案：
1.C 解析 z=
5
1+2i =
5(1-2i)
(1+2i)(1-2i)
=1-2i,所以z=1+2i,所以z· z=(1-2i)(1+2i)=5.故选C.
2.D 解析 因为圆心为(-1,2)且与x 轴相切,所以半径r=2,则圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=4.
故选D.
3.D 解析 a=log0.50.2>log0.50.25=2>20.5=c,又y=x0.5在(0,+∞)上为增函数,所以
b=0.50.5<20.5=c.综上,b<c<a.故选D.
4.B 解析 连接EC,EH.
∵S△FHC=1
3 × 2
3
S△PAC,∴VE-FHC=1
3 × 2
3
VE-APC=1
3 × 2
3 × 1
3
VB-APC= 2
27
VB-APC= 2
27
V.
∵S 四边形HGBC=S△ABC-2
3 × 2
3
S△ABC=5
9
S△ABC,∴VE-HGBC=2
3
VP-HGBC=2
3 × 5
9
VP-ABC=10
27
VP-ABC=10
27
V,
∴多面体BCFEGH 的体积为VE-FHC+VE-HGBC=4
9
V.故选B.
5.B 解析
∵
sin(α - π
4 )
sin α
= ❑√2
,∴❑√2sin α=sin(α-π
4
),即❑√2sin α=
❑√2
2
sin α-
❑√2
2
cos α,化简得
tan α=-1,∴cos 2α+cos2α=2co s
2α - sin
2α
co s
2α + sin
2α
= 2-tan
2α
1+tan
2α
= 2-1
1+1 = 1
2 .故选B.
6.C 解析 令ex=x+a,则a=ex-x,记g(x)=ex-x,则g'(x)=ex-1,当x>0 时,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)
内单调递增,当x<0 时,g'(x)<0,g(x)在(-∞,0)内单调递减,且当x→+∞时,g(x)→+∞,当x→-∞
时,g(x)→+∞,g(0)=1,因此a=ex-x 只有一个实数根,则a=g(0)=1,由于A∩B 有且只有2 个子
集,则A∩B 只有一个元素,故a=g(0)=1.故选C.
7.A 解析 如图,设AB 的中点为E,因为|OA|=|OB|=1,|AB|=❑√3,
所以|OE|=1
2
,∠AOB=120°,⃗AC ·⃗BC =⃗CA ·⃗CB=(⃗OA −⃗OC)·(⃗OB−⃗OC)=⃗OA ·⃗OB−⃗OC ·(⃗
OA +⃗OB)+|⃗OC|2=1×1×(-1
2
)-⃗OC ·2⃗OE+1=-1
2
+1-2×1× 1
2
cos∠COE=1
2
-cos∠COE,
因为-1≤cos∠COE≤1,所以-1
2 ≤⃗AC ·⃗BC ≤3
2 .故选A.
8.B 解析 由题设,数列{bn}各项依次为2,2,2
⏟
2
,8,2,…,2
⏟
4
,26,2,…,2
⏟
8
,80,2,…,2
⏟
16
,242,
2,…,2
⏟
32
,…,当n=20 时,S20=2+2×2+8+2×4+26+2×8+80+2×2=148,当n=21 时,
S21=S20+2=150,所以使Sn≥150 成立的n 的最小值为21.故选B.
9.AD 解析 由频率分布直方图得这180 天中日收入不低于8 万元的有
(0.100+0.050)×2×180=54(天),故A 正确;日收入低于8 万元的各组[0,2),[2,4),[4,6),[6,8)的
频率比为0.050∶0.075∶0.100∶0.125=2∶3∶4∶5,所以从日收入低于8 万元的天数中
抽取14 天,各组抽取的天数依次为2,3,4,5,则这14 天中有2+3=5(天)的日收入低于4 万
元,故B 错误;这组数据的平均数是
(0.050×1+0.075×3+0.100×5+0.125×7+0.100×9+0.050×11)×2=6.2(万元),故C 错误;因为
前4 组的频率为(0.050+0.075+0.100+0.125)×2=0.7<0.75,前5 组的频率为1-
0.05×2=0.9>0.75,所以这组数据的第75 百分位数在第5 组为8+0.75-0.7
0.1
=8.5(万元),
故D 正确.故选AD.
10.ACD 解析 已知原点O 在C 上,则|OF1|·|OF2|=a2,设点(x,y)为C 上任意一点,则有a2=
❑√( x -a)
2+ y
2·
❑√( x +a)
2+ y
2,整理得(x2+y2)2=2a2(x2-y2).若|F1F2|=12,则C 的方程为
(x2+y2)2=72(x2-y2),故A 正确;若|OF1|·|OF2|=16,则a=4,代入方程得(x2+y2)2=32(x2-y2),显然
点(-4,0)不在此曲线上,故B 错误;若a=3,点(3,y0)在C 上,有❑√(3-3)
2+ y0
2·
❑√(3+3)
2+ y0
2
=9,整理得(y0
2+18)2=405,所以y0
2=9❑√5-18≈2.124,故C 正确;因为S△P F1 F2= 1
2
|PF1||PF2|
sin∠F1PF2=9
2
,|PF1||PF2|=9,可得∠F1PF2=90°,所以点P 是曲线C:(x2+y2)2=18(x2-y2)和以
F1F2为直径的圆x2+y2=9 在第一象限内的交点,联立方程,解得x=3 ❑√3
2
,y=3
2
,即P(3 ❑√3
2
, 3
2
),所以|PF1|2-|PF2|2=18❑√3,故D 正确.故选ACD.
11.BD 解析 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F( p
2
,0),准线为x=- p
2 .因为点P(2,x0)为C
上一点,且|PF|=3,由抛物线定义可得2+ p
2
=3,解得p=2,则抛物线方程为y2=4x.对于A,注
意到32>4×2,则点M 在抛物线外,如图所示,则过点M 可作抛物线的两条切线,此外直线
y=3 过点M,且与抛物线只有一个公共点,故过点M(2,3)且与抛物线C 仅有一个公共点的
直线有3 条,故A 错误;
对于B,设直线AB 方程为x=my+1,将直线AB 的方程与抛物线的方程联立,消去x,整理得
y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4,由题图可得S△AOB=1
2
|
OF||y1-y2|=| y1- y2|
2
=2❑√2,则(y1-y2)2=32,则(y1+y2)2-4y1y2=16(m2+1)=32,则m2=1.又由抛物
线定义可得|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=(my1+2)
(my2+2)=m2y1y2+2m(y1+y2)+4=-4m2+8m2+4=8,故B 正确;
对于C,因为⃗OA=(x1,y1),⃗OB=(x2,y2),所以⃗OA ·⃗OB=x1x2+y1y2=(my1+1)
(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=-4(m2+1)+4m2+1=-3<0,故∠AOB 为钝角,所以
△AOB 为钝角三角形,故C 错误;
对于D,因为x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=-4m2+4m2+1=1,则由抛物线定义
得2|AF|+|BF|=2(x1+1)+x2+1=2x1+ 1
x1
+3≥2❑√2+3,当且仅当2x1= 1
x1
,即x1=
❑√2
2
时,等号成
立.故D 正确.
故选BD.
12.-2 解析 因为等比数列{an}的前n 项和为Sn,且Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,
所以2Sn=Sn+1+Sn+2.
设等比数列的公比为q,由题意知q≠1,
所以2× a1(1-q
n)
1-q
= a1(1-q
n+1)
1-q
+ a1(1-q
n+2)
1-q
,化简得q2+q-2=0,解得q=-2 或q=1(舍去),
所以a2 025
a2 024
=q=-2.
13.182 解析 根据题意可知将8 名同学分成两组,其中一组有3 人,另一组有5 人,然后
分配到A,B 两个小区,则有C8
3C5
5 A2
2=112 种不同的安排方法,或每组4 人,然后分配到A,B
两个小区,则有C8
4C4
4=70 种不同的安排方法,由分类加法计数原理可知共有112+70=182
种不同的安排方法.
14.(
❑√3
3
,+∞) 解析 由题意可得g(x)=f(x- 1
3ω
)=sin[πω(x- 1
3ω
)]=sin(ωπx-π
3
),
作出函数f(x),g(x)的图象如图所示.
点A,B,C 是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点(不妨设点B 在x 轴下方),D 为AC 的中
点.
由对称性可得△ABC 是以B 为顶角的等腰三角形,设f(x)与g(x)的最小正周期是T,又
ω>0,所以|AC|=T= 2π
ω π = 2
ω
=2|AD|.
由sin ωπx=sin(ωπx-π
3
)=1
2
sin ωπx-
❑√3
2
cos ωπx,
整理得1
2
sin ωπx=-
❑√3
2
cos ωπx,
所以tan ωπx=-❑√3,
则sin2πωx=
sin
2π ωx
co s
2 π ωx + sin
2π ωx
=
tan
2 π ωx
1+tan
2π ωx
= 3
4,
所以sin ωπx=±
❑√3
2
,则yA=yC=-yB=
❑√3
2
,所以|BD|=2|yA|=❑√3,
要使△ABC 为锐角三角形,则0<∠ABD<π
4
,
所以0<tan∠ABD=| AD|
|BD| =
1
❑√3ω
<1,
解得ω>
❑√3
3 .
所以ω 的取值范围是(
❑√3
3
,+∞).
15.解 (1)依题意知,这4 个人中,每个人参加甲项目的概率为2
6 = 1
3
,参加乙项目的概率为
4
6 = 2
3
,设“这4 个人中恰有k 人去参加甲项目”为事件Ak(k=0,1,2,3,4),
则P(Ak)=C4
k ·(1
3
)k·(2
3
)4-k.
故这4 个人中恰有2 人去参加甲项目的概率为P(A2)=C4
2·(1
3
)2·(2
3
)2= 8
27 .
(2)X=0,Y=4 或X=4,Y=0 时,ξ=|X-Y|=4,X=1,Y=3 或X=3,Y=1 时,ξ=|X-Y|=2,X=2,Y=2 时,
ξ=|X-Y|=0,
故ξ 的所有可能取值为0,2,4.
P(ξ=0)=P(A2)= 8
27
,由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,
所以P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=C4
1( 1
3 )
1
( 2
3
)3+C4
3( 1
3
)3× 2
3 = 40
81
,
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=C4
0( 2
3
)4+C4
4( 1
3
)4=17
81 .
所以ξ 的分布列是
ξ
0
2
4
P
8
27
40
81
17
81
所以E(ξ)=0× 8
27
+2× 40
81
+4× 17
81 = 148
81 .
16.解 (1)∵bcos C+❑√3csin B=1+2c=a+2c,
∴在△ABC 中,由正弦定理得sin Bcos C+❑√3sin Csin B=sin A+2sin C,
又sin A=sin(B+C),
∴sin Bcos C+❑√3sin Csin B=sin(B+C)+2sin C=sin Bcos C+cos Bsin C+2sin C,
即❑√3sin Csin B-cos Bsin C=2sin C,
∵0°<C<180°,∴sin C≠0,
∴❑√3sin B-cos B=2,即
❑√3
2
sin B-1
2
cos B=1,
即sin(B-30°)=1,
又0°<B<180°,∴B-30°=90°,即B=120°.
(2)由AC=AD,令∠DCA=∠CDA=α,∠CAD=180°-2α.
在△ACD 中,由正弦定理,得
AC
sin ∠CDA =
CD
sin ∠CAD
,
又CD=❑√3,∴AC=
❑√3sin α
sin 2α =
❑√3
2cosα .
在△ABC 中,由正弦定理得AC
sin B =
BC
sin ∠BAC
,
∵∠DCB=B=120°,∴∠ACB=120°-α,
∴∠BAC=60°-(120°-α)=α-60°,
又BC=1,∴AC=
sin120°
sin(α -60°) .
∴sin(α-60°)=cos α,即sin(α-60°)=sin(90°-α),解得α=75°,
∴sin∠BCA=sin(120°-75°)=
❑√2
2 .
17.解 (1)f(x)=2ax+(2-a)ln x+1
x
的定义域为(0,+∞),则f'(x)=(2 x -1)(ax +1)
x
2
,
由f'(x)=(2 x -1)(ax +1)
x
2
=0,解得x1=1
2
,x2=-1
a
,
因为a<0,所以x2=-1
a
>0.
①当a=-2 时,f'(x)=(2 x -1)(ax +1)
x
2
≤0 恒成立,
所以f(x)无单调递增区间,单调递减区间为(0,+∞).
②当a<-2 时,1
2
>-1
a
,
令f'(x)>0,得x∈(-1
a , 1
2
);
令f'(x)<0,得x∈(0,-1
a
)∪(1
2
,+∞),所以f(x)的单调递增区间为(-1
a , 1
2
),单调递减区间为(0,-1
a
),(1
2
,+∞).
③当-2<a<0 时,1
2
<-1
a
,
令f'(x)>0,得x∈(1
2
,-1
a
);
令f'(x)<0,得x∈(0,1
2
)∪(-1
a
,+∞),
所以f(x)的单调递增区间为(1
2
,-1
a
),单调递减区间为(0,1
2
),(-1
a
,+∞).
综上,当a=-2 时,f(x)无单调递增区间,单调递减区间为(0,+∞);
当a<-2 时,f(x)的单调递增区间为(-1
a , 1
2
),单调递减区间为(0,-1
a
),(1
2
,+∞);
当-2<a<0 时,f(x)的单调递增区间为(1
2
,-1
a
),单调递减区间为(0,1
2
),(-1
a
,+∞).
(2)由题设f(x)=2ln x+1
x
,g(x)=emx-x2+mx+1
x
,
所以f(x)-g(x)=0⇔emx+mx=2ln x+x2=e
ln x
2+ln x2.(*)
令h(x)=x+ex,x∈R,则h'(x)=1+ex>0,
即h(x)在R 上单调递增,
故上式(*)中满足h(mx)=h(ln x2),则有mx=ln x2,可得m=ln x
2
x
= 2ln x
x
,x>0.
令F(x)=2ln x
x
,则F'(x)=2(1- ln x )
x
2
,
由F'(x)=0,解得x=e.
当0<x<e 时,F'(x)>0,当x>e 时,F'(x)<0,
F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
当x→+∞时,F(x)→0 且F(x)>0,当x→0 时,F(x)→-∞,
故F(x)max=F(e)=2
e .
结合图象,可知:
当m>2
e
时,方程f(x)-g(x)=0 有0 个实根;
当m=2
e
或m≤0 时,方程f(x)-g(x)=0 有1 个实根;
当0<m<2
e
时,方程f(x)-g(x)=0 有2 个
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