“116 分”综合提升卷1
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共计40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是正确的.
1.(2025 山东临沂二模)若复数z1=i,z2=2-i,则z1+ z2
z1 z2
的虚部为( )
A.-4
5
B.-4
5
i
C.2
5
D.4
5
2.(2025 山东枣庄模拟)已知数列{an}是等差数列,a2=7,a5=16,则S6=( )
A.19
B.51
C.69
D.87
3.(2025 浙江温州二模)已知随机变量ξ~N(3,4),则“a=3”是“P(ξ<a)=1
2
”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2025 福建厦门三模)已知双曲线C 的顶点为A1,A2,虚轴的一个端点为B,若△A1A2B 为
直角三角形,则C 的离心率为( )
A.❑√2
B.❑√3
C.2
D.❑√5
5.(2025 湖北新八校协作体三模)将函数f(x)=cos(ωx+π
6
)(ω>0)的图象向左平移π
3
个单位
长度后与函数g(x)=sin ωx 的图象重合,则ω 的最小值为( )
A.4
B.5
C.6
D.8
6.(2025 山东临沂一模)在△ABC 中,D 是AB 的中点,点P 在CD 上,若⃗AP=λ⃗AB+ 1
3⃗AC,则
λ=( )
A.1
6
B.1
3
C.2
3
D.4
3
7.(2025 黑龙江哈尔滨模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=5,直线l:2mx+y-4m-1=0,直线l 被圆C
所截得的弦长最短时,实数m 的值为( )
A.1
2
B.-1
2
C.0
D.-1
8.(2025 安徽滁州二模)已知函数f(x)=
x
|ln x|
,若a=f(2
3
),b=f(2),c=f(3),则下列选项正确的
是( )
A.c>b>a
B.a>b>c
C.b>a>c
D.b>c>a
二、选择题:本大题共3 小题,每小题6 分,共计18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025 山东烟台、德州二模)一组递增数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为3,方差为4,极差为6,
若yi=2xi+1(i=1,2,3,4,5),则下列选项正确的有( )
A.y1,y2,y3,y4,y5的极差为12
B.y1,y2,y3,y4,y5的方差为16
C.x1,x2,x3,x4,x5的第80 百分位数是x4
D.x1,x2,x3,x4,x5,y1,y2,y3,y4,y5的平均数为5
10.(2025 安徽合肥模拟)设甲袋有3 个红球、2 个白球和5 个黑球,乙袋有3 个红球、3 个
白球和4 个黑球,先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,以A1,A2和A3分别表示由甲袋取出
的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙袋中随机取出一球,以B 表示由乙袋取出的球是
红球的事件,则下列选项正确的有( )
A.P(A2B)= 3
55
B.P(A3|B)=1
2
C.P(B)= 3
10
D.A1与B 相互独立
11.(2025 河北张家口一模)如图,在平面直角坐标系中,曲线C 为伯努利双纽线,其中F1(-
c,0),F2(c,0)为焦点,点P(x,y)为C 上任意一点,且满足|PF1|·|PF2|=c2,曲线C 的方程为
(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=0.则下列说法正确的有( )
A.曲线C 为中心对称图形和轴对称图形
B.若直线y=kx 与曲线C 恰有3 个交点,则-1
2
<k<1
2
C.曲线C 在直线x=±❑√2c 与y=±1
2
c 所围成的矩形区域内
D.当参数c 变化时,曲线C 上的最高点均在曲线y=
❑√3
3
|x|上
三、填空题:本大题共3 小题,每小题5 分,共计15 分.
12.(2025 山东潍坊一模)已知集合A={0,1,a+2},B={1,a2},若A∪B=A,则实数a= .
13.(2025 广东茂名模拟)所有棱长均为2 的正三棱柱ABC-A1B1C1,它的顶点均在球O 的表
面上,则球O 的表面积为 .
14.(2025 湖北咸宁模拟)牛顿(1643—1727)在《流数法》一书中,给出了高次代数方程根
的一种数值解法——牛顿法,用“作切线”的方法求函数零点.如图,在横坐标为x1的点
处作f(x)的切线,切线与x 轴交点的横坐标为x2;用x2代替x1重复上面的过程得到x3;一直
重复下去,得到数列{xn},叫做牛顿数列.若函数f(x)=x2-x-6,an=ln xn+2
xn-3且a1=1,xn>3,数列
{an}的前n 项和为Sn,则S2 025= .
四、解答题:本大题共3 小题,共计43 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)(2025 福建龙岩二模)某项科研活动共进行了5 次试验,其数据如下表所示:
特征量
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
第5 次
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
(1)根据表中的数据,计算相关系数r(结果保留两位小数);
(2)求特征量y 关于x 的经验回归方程,并预测当特征量x 为12 时特征量y 的值.
参考公式:相关系数r=
∑
i=1
n
( xi- x )( yi- y )
❑√∑
i=1
n
( xi- x )
2❑√∑
i=1
n
( yi- y )
2
,b
^
=
∑
i=1
n
( xi- x )( yi- y )
∑
i=1
n
( xi- x )
2
=
∑
i=1
n
xi yi-n x y
∑
i=1
n
xi
2-n x
2
,a
^
= y −b
^
x.
参考数据:❑√∑
i=1
5
( xi- x )
2=5❑√2,
❑√∑
i=1
5
( yi- y )
2=4,❑√2≈1.414.
16.(15 分)(2025 山东聊城二模)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知cos(B-C)-
cos A=1
2
,且a2=bc.
(1)证明:△ABC 为等边三角形;
(2)如图,若△ABC 边长为3,点E,F 分别在边BC,BA 上,将△BEF 沿着线段EF 对折,顶点B
恰好落在边AC 上的D 点,当AD=2DC 时,求重叠部分△DEF 的面积.
17.(15 分)(2025 重庆高三第二次联合诊断)已知椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点
分别为F1,F2,上顶点为A,直线AF1的斜率为1 且与C 的另一个交点为B,△ABF2的周长为
8.
(1)求C 的方程及|AB|的值;
(2)如图,将C 沿x 轴折起,使得折叠后平面AF1F2⊥平面BF1F2,求点F2到平面ABF1的距
离.
答案：
1.A 解析 由题意z1+ z2
z1 z2
= i+2-i
i(2-i) =
2
1+2i =
2(1-2i)
(1+2i)(1-2i) = 2- 4i
5
= 2
5 −4
5i.
2.C 解析 S6=6×(a1+a6)
2
=3(a2+a5)=3×(7+16)=69.
3.C 解析 由ξ~N(3,4)知μ=3,σ=2,可知P(ξ<3)=1
2 .由a=3,则P(ξ<a)=1
2
成立;
反之,由P(ξ<a)=1
2
,则a=3,故为充要条件.
4.A 解析 不妨设双曲线方程为x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0),不妨取A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),因为
△A1A2B 为直角三角形,且|BA1|=|BA2|,则△A1A2B 为等腰直角三角形,所以∠A1BA2=π
2
,所
以∠OBA2=π
4 ,则|OB|=|OA2|,所以a=b,双曲线C 的离心率e=c
a = ❑√
1+ b
2
a
2 = ❑√2.
5.A 解析 将函数f(x)=cos(ωx+π
6
)(ω>0)的图象向左平移π
3
个单位长度后,得到
y=cos[ω(x+π
3
)+π
6
]=cos(ωx+ω π
3 + π
6
)=sin[π
2
+(ωx+ω π
3 + π
6
)]=sin(ωx+ω π
3 + 2π
3
),由题意
有ω π
3 + 2π
3
=2kπ,k∈Z,即ω=-2+6k,k∈Z,取k=1,得到ω=4.
6.B 解析 由题意D 是AB 的中点,所以⃗AB=2⃗AD,所以⃗AP=2λ⃗AD + 1
3⃗AC .因为点P 在
CD 上,所以2λ+1
3
=1,解得λ=1
3 .
7.B 解析 直线l:2m(x-2)+y-1=0,所以直线l 恒过点(2,1),点(2,1)在圆C 的内部,所以当点
(2,1)是弦的中点时,此时弦长最短,圆心(1,2)和点(2,1)连线的斜率为2-1
1-2
=-1,所以直线
l:2mx+y-4m-1=0 的斜率为1,即-2m=1,即m=-1
2 .
8.D 解析 令g(x)= x
ln x
,该函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞),g'(x)= ln x -1
(ln x )
2 ,由g'(x)<0 可得
0<x<1 或1<x<e,由g'(x)>0 可得x>e,且当x∈(0,1)时,g(x)<0,当x∈(1,+∞)时,g(x)>0.故函
数g(x)的单调递减区间为(0,1),(1,e),单调递增区间为(e,+∞),作出函数f(x)=|g(x)|的图象如
图所示.
由图可知,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),(e,+∞),单调递减区间为(1,e).因为4>3>e,则
f(4)>f(3)>f(e)=e,因为f(2)= 2
ln 2 =
4
2ln 2 = 4
ln 4
=f(4),即b>c>e.因为f(2
3
)-2=
2
3
ln 3
2
-2=
2
3 -2ln 3
2
ln 3
2
=
2
3 (1-3ln 3
2 )
ln 3
2
=
2
3 (ln e - ln 27
8 )
ln 3
2
<0,所以a=f(2
3
)<2<e,因此b>c>a.
9.ABD 解析 因为数据x1,x2,x3,x4,x5的极差为6,所以xmax-xmin=6.根据yi=2xi+1 可知
ymax=2xmax+1,ymin=2xmin+1.所以ymax-ymin=2(xmax-xmin)=12,故A 正确;
因为数据x1,x2,x3,x4,x5的方差为4,yi=2xi+1,所以根据方差的性质可知,数据y1,y2,y3,y4,y5的
方差为4×22=16,故B 正确;
因为5×80%=4,为整数,则第80 百分位数是第4 项与第5 项数据的平均值,即x4+ x5
2
,故C
错误;
因为数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为3,yi=2xi+1,所以数据y1,y2,y3,y4,y5的平均数为2×3+1=7.
所以数据x1,x2,x3,x4,x5,y1,y2,y3,y4,y5的平均数为3+7
2
=5,故D 正确.故选ABD.
10.AC 解析 因为P(A2)=1
5
,P(B|A2)= 3
11
,P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=1
5 × 3
11 = 3
55
,故A 正确;因
为P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),所以P(B)=
3
10 × 4
11 + 1
5 × 3
11 + 1
2 × 3
11 = 3
10
,故C 正确;因为P(A3|B)=P( A3) P(B| A3)
P(B)
=
1
2 × 3
11
3
10
= 5
11
,故
B 错误;P(B|A1)= 4
11
,P(B)= 3
10
,P(B|A1)≠P(B),故D 错误.故选AC.
11.ACD 解析 对于A,因为F1(-c,0),F2(c,0)关于原点对称,设动点P(x,y),由题可得C 的轨
迹方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=0,把(x,y)关于原点对称的点(-x,-y)代入轨迹方程,把(x,y)关于y
轴对称的点(-x,y)代入轨迹方程,原方程不变,故A 正确;对于B,由题意得直线y=kx 与曲线
(x2+y2)2=2c2(x2-y2)一定有公共点(0,0),
联立方程组{
( x
2+ y
2)
2=2c
2( x
2- y
2),
y =kx ,
得x4(1+k2)2=2c2x2(1-k2),若直线y=kx 与曲线C 有3
个交点,当x≠0 时,x4(1+k2)2>0,2c2x2>0,则1-k2>0 即可,解得k∈(-1,1),故B 错误;因为P(x,y),
故S△P F1 P2= 1
2
|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=1
2
|F1F2|·|y|.又|PF1|·|PF2|=c2,所以c2sin∠F1PF2=2c·|y|,
即|y|=c
2
sin∠F1PF2≤c
2
,故-c
2 ≤y≤c
2
;在(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=0 中,令y=0,可得x4-2c2x2=0,解得
x=0 或x=±❑√2c,所以x∈[-❑√2c,❑√2c],所以曲线C 在直线x=±❑√2c 与y=±1
2
c 所围成的矩形
区域内,故C 正确;在(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=0 中,令y=c
2
时,可得x4-3
2
c2x2+9c
4
16
=0,化简得(x2-3
4
c2)2=0,解得x=±
❑√3
2
c,所以当参数c 变化时,曲线C 上的最高点(±
❑√3
2
c,1
2
c)均在曲线y=
❑√3
3
|
x|上,故D 正确.故选ACD.
12.0 或2 解析 因为A∪B=A,所以B⊆A.
根据集合中元素的互异性,可知a2≠1,解得a≠1 且a≠-1.
若a2=0⇒a=0,此时A={0,1,2},B={0,1},满足B⊆A.
若a2=a+2⇒a2-a-2=0⇒(a-2)(a+1)=0,解得a=2 或a=-1(舍去).
此时A={0,1,4},B={0,4},满足B⊆A.
综上,a=0 或a=2.
13. 28 π
3
解析 设正三棱柱ABC-A1B1C1上、下底面的外接圆的圆心分别为O2,O1.
如图,连接O1O2,则O 为O1O2的中点,连接OB,则OB 为球O 的半径R,设圆O1的半径为r,
在△ABC 中,由正弦定理得
2
sin 60°
=2r,解得r=2❑√3
3
,又OO1=1,所以R2=OB2=O1O2+r2=7
3
,所以球O 的表面积为4πR2=28 π
3
.
14.22 025-1 解析 由f(x)=x2-x-6 得f'(x)=2x-1,
所以f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程y-f(xn)=f'(xn)(x-xn),
令y=0,得xn+1=xn- f ( xn)
f '( xn)=xn-xn
2- xn-6
2 xn-1 = xn
2+6
2 xn-1 .
所以xn+1+2
xn+1-3 =
xn
2+6
2 xn-1 +2
xn
2+6
2 xn-1 -3
=( xn+2
xn-3)2,故ln xn+1+2
xn+1-3=2ln xn+2
xn-3,即an+1=2an,所以数列{an}是以1
为首项,2 为公比的等比数列,且为递增数列,所以S2 025=a1(1-q
2 025)
1-q
=22 025-1.
15.解 (1)由题意得x = 1
5 ∑
i=1
5 xi=35
5
=7,y = 1
5 ∑
i=1
5 yi=45
5
=9,
∑
i=1
5 (xi-x)(yi-y)=∑
i=1
5 xiyi-5x y=2×12+5×10+8×8+9×8+11×7-5×7×9=-28,
∑
i=1
5 (xi-x)2=50,∑
i=1
5 (yi-y)2=16,
∴相关系数r=
∑
i=1
5
( xi- x )( yi- y )
❑√∑
i=1
5
( xi- x )
2❑√∑
i=1
5
( yi- y )
2
=-28
❑√50×16 =-7
5 ❑√2 ≈-0.99.
(2)由(1)知,b
^
=
∑
i=1
5
( xi- x )( yi- y )
∑
i=1
5
( xi- x )
2
=-28
50
=-0.56,
∴a
^
= y −b
^
x
=9-(-0.56)×7=12.92,
∴所求的经验回归方程是
y
^ =-0.56x+12.92.
当特征量x 为12 时,可预测特征量y=-0.56×12+12.92=6.2.
16.(1)证明 由cos(B-C)-cos A=1
2
,得cos(B-C)+cos(B+C)=1
2
,
展开得cos Bcos C=1
4 .
①
由a2=bc 可得sin Bsin C=sin2A.
②
①-②得1
4
-sin2A=cos Bcos C-sin Bsin C=cos(B+C)=-cos A,
因为sin2A+cos2A=1,所以4cos2A+4cos A-3=0,
解得cos A=1
2
或cos A=-3
2
(舍去).
又0<A<π,所以A=π
3 .
把A=π
3
代入cos(B-C)-cos A=1
2
,得cos(B-C)=1,则B=C.
所以A=B=C=π
3
,故△ABC 是等边三角形.
(2)解 由AD=2DC 及AC=3,得DC=1,设BE=ED=x,则CE=3-x.
在△CED 中,由余弦定理可得DE2=CD2+CE2-2CD·CE·cosπ
3
,
即x2=12+(3-x)2-2×1×(3-x)× 1
2
,解得x=7
5 .
同理,在△AFD 中,由余弦定理可得FD=7
4 .
又∠EDF=∠B=π
3
,所以S△DEF=1
2
DE·DF·sin∠EDF=1
2 × 7
5 × 7
4 ×
❑√3
2 = 49 ❑√3
80
.
17.解 (1)设F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),其中c2=a2-b2.
因为△ABF2的周长为8,所以4a=8,故a=2,又b
c
=1,所以b=c=❑√2,
故椭圆方程为x
2
4 + y
2
2
=1,
所以直线AF1的方程为y=x+❑√2,
联立{
y = x + ❑√2,
x
2
4 + y
2
2 =1,可得3x2+4❑√2x=0,
所以xB=-4 ❑√2
3
,yB=-
❑√2
3
,
故|AB|=❑√2×|0-(-4 ❑√2
3
)|=8
3 .
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,❑√2),B(-4 ❑√2
3
,-
❑√2
3
,0),F1(-❑√2,0,0),F2(❑√2,0,0),
所以⃗F1 A=(❑√2,0,❑√2),⃗F1B=(-
❑√2
3
,-
❑√2
3
,0),⃗F1 F2=(2❑√2,0,0),
设平面ABF1的法向量为n=(x,y,z),
则{⃗
F1 A ·n=0,⃗
F1B·n=0,
即{
❑√2 x + ❑√2 z =0,
-
❑√2
3 x -
❑√2
3 y =0,取x=-1,则n=(-1,1,1),
所以点F2到平面ABF1的距离d=|⃗F1 F2·n|
|n|
= 2❑√2
❑√3 =
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