专练4 14 小题＋1 大题(概统)
——节选自齐鲁名校教研共同体联考
一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)
1.已知集合A＝{－π,－e,0,1,e,π},B＝{x|x2－x－6<0},则A∩B＝( )
A.{0,1,e}
B.{－e,0,1}
C.{－e,0,1,e}
D.{0,1,e,π}
答案 A
解析 由题意可得B＝{x|－2<x<3},集合A 中的元素属于B 的有0,1,e,∴A∩B＝{0,1,e}.
2.已知向量m＝(2,－1),n＝(－1,3),则m·(m－n)＝( )
A.8
B.10
C.12
D.16
答案 B
解析 由题意可得m－n＝(3,－4),
故m·(m－n)＝2×3＋(－1)×(－4)＝10.
3.已知z 是方程3x2＋2x＋1＝0 的一个复数根,则|z|＝( )
A.1
3
B.√3
3
C.2
3
D.√6
3
答案 B
解析 z 和z是题中方程的两个根,
所以zz＝1
3,即|z|2＝1
3,所以|z|＝√3
3 .
4.已知3x×9y＝3xy>1,则x＋2y 的最小值是( )
A.2√2
B.4
C.4√2
D.8
答案 D
解析 由3x×9y＝3x＋2y＝3xy>1,
得x＋2y＝xy,且x,y 均为正数,
故x＋2y＝xy＝1
2·x·2y≤1
2(
x＋2 y
2 )
2
,
即x＋2y≥8,当且仅当x＝4,y＝2 时取等号.
5.现有5 种颜色的筷子各一双,从中任取两根筷子,若已知取到的筷子中有红色的,则两根筷子都是
红色的概率为( )
A.1
5
B.1
9
C. 1
13
D. 1
17
答案 D
解析 设事件M 为“两根筷子都是红色的”,
则P(M)＝
1
C10
2 ＝1
45.
设事件N 为“取到的筷子中有红色的”,
则P(N)＝1－
C8
2
C10
2 ＝17
45.
所求概率为P(M|N)＝P( MN )
P( N ) ＝P( M )
P( N ) ＝1
17.
6.在一个建筑工程中,工程师需要根据斜坡的倾斜角来计算一些结构的受力情况.设斜坡的倾斜角为
θ(0<θ< π
2),经测算分析,发现tan θtan 2θ＝2
3,若该斜坡的摩擦系数为
1＋sin
2θ
sin 2θ＋cos 2θ,则其值为
( )
A.6
7
B.5
6
C.4
5
D.3
4
答案 A
解析 tan θtan 2θ＝2
3,得tan θ· 2tan θ
1−tan
2θ
＝2
3,得6tan2θ＝2－2tan2θ,得tan2θ＝1
4,
由于0<θ<π
2 ,所以tan θ＝1
2,
故
1＋sin
2θ
sin 2θ＋cos 2θ ＝
2sin
2θ＋co s
2θ
2sin θcos θ＋co s
2θ−sin
2θ
＝
2tan
2θ＋1
2tan θ＋1−tan
2θ
＝
3
2
7
4
＝6
7.
7.小王到某公司面试,一共要回答3 道题,每道题答对得2 分,答错倒扣1 分,设他每道题答对的概率
均为p(0<p<1),且每道题答对与否相互独立.记小王答完3 道题的总得分为X,则当E(X)＋D(X)取得
最大值时,p＝( )
A.1
4
B.1
3
C.2
3
D.3
4
答案 C
解析 设答对题个数为Y,则Y~B(3,p),
所以E(Y)＝3p,D(Y)＝3p(1－p).
由题意知X＝2Y－(3－Y)＝3Y－3.
所以E(X)＝3E(Y)－3＝9p－3,
D(X)＝9D(Y)＝27p(1－p).
所以E(X)＋D(X)＝－27p2＋36p－3
＝－27(p−2
3)
2
＋9,
所以当E(X)＋D(X)取得最大值时,p＝2
3.
8.在锐角三角形PMN 中,|MN|＝2,PQ⊥MN,垂足为Q,2|QM|·|QN|＝|MN|2－|PQ|2,则点P 的轨迹为(
)
A.长轴长2,离心率为1
2的椭圆的一部分
B.长轴长2√2,离心率为√2
2 的椭圆的一部分
C.实轴长2,离心率为√3的双曲线的一部分
D.实轴长2√2,离心率为√6
2 的双曲线的一部分
答案 D
解析 以MN 所在直线为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,MN 的中点为坐标原点,建立平面直角坐标
系,不妨令M(－1,0),N(1,0),设P(x,y),则Q(x,0),
因为△PMN 是锐角三角形,所以x∈(－1,1),
则|QM|＝1＋x,|QN|＝1－x,|PQ|＝|y|,
由2|QM|·|QN|＝|MN|2－|PQ|2,
得2(1＋x)(1－x)＝4－y2,
得2－2x2＝4－y2,
整理得y
2
2 －x2＝1(－1<x<1),
其为双曲线的一部分,且双曲线的实轴长为2√2,
离心率为√1＋2
√2
＝√6
2 ,
故点P 的轨迹为实轴长为2√2,离心率为√6
2 的双曲线的一部分.
二、选择题(本大题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0 分)
9.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(n2＋tn),若{a2n－1}为递减数列,{a2n}为递增数列,则t 的可能
取值为( )
A.－6
B.－4
C.－2
D.3
答案 CD
解析 当n 为偶数时,an＋2－an＝4n＋4＋2t≥12＋2t>0,解得t>－6,当n 为奇数时,an＋2－an＝－4n－
4－2t≤－8－2t<0,解得t>－4,
所以t 的取值范围是(－4,＋∞).
故t 的可能取值为－2,3.
10.已知点A(
1
2 ,1),B(x0,y0)均在抛物线C:y2＝2px(p>0)上,F 是C 的焦点,则下列说法正确的是(
)
A.p＝2
B.直线AF∥y 轴
C.若y0<－1,则|AF|<|BF|
D.若|y0|<2x0,则|AF|<|BF|
答案 BCD
解析 对于A,将A(
1
2 ,1)的坐标代入C:y2＝2px(p>0),得p＝1,故A 错误;
对于B,可得F(
1
2 ,0),点A,F 的横坐标相同,
所以直线AF∥y 轴,故B 正确;
对于C,因为点A,B 均在C 上,所以|AF|＝1
2 ＋p
2 ＝1,|BF|＝x0＋p
2 ,
要使|AF|<|BF|,只需x0>1
2.
若y0<－1,由于y0
2＝2x0,所以2x0>1,x0>1
2,故C 正确;
对于D,若|y0|<2x0,因为x0≥0,
所以y0
2<4x0
2,故2x0<4x0
2,解得x0>1
2,故D 正确.
11.已知函数f(x)＝sin xcos(x＋φ)(φ∈R),则下列说法正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.若φ＝π
6 ,则f(x)的值域为[−3
8 , 1
8]
C.f(x)在[−π
4 −φ
2 ＋k π , π
4 −φ
2 ＋k π](k∈Z)上单调递增
D.若对于任意的φ,直线y＝a 与曲线y＝|f(x)|总有公共点,则a 的取值范围为[0, 1
2]
答案 ACD
解析 对于A,f(x)＝sin x(cos xcos φ－sin xsin φ)＝sin xcos xcos φ－sin2xsin φ＝1
2sin 2xcos φ－
1−cos2 x
2
sin φ＝1
2sin(2x＋φ)－1
2sin φ,所以f(x)的最小正周期为π,故A 正确;
对于B,若φ＝π
6 ,
则f(x)＝1
2sin(2 x＋π
6)－1
4,
其值域为[−3
4 , 1
4],故B 错误;
对于C,设k∈Z,由－π
2 ＋2kπ≤2x＋φ≤π
2 ＋2kπ,可得－π
4 －φ
2 ＋kπ≤x≤π
4 －φ
2 ＋kπ,
故f(x)的单调递增区间为[－π
4 －φ
2 ＋kπ,π
4 －φ
2 ＋kπ](k∈Z),故C 正确;
对于D,若直线y＝a 与曲线y＝|f(x)|有公共点,则a≥0,
曲线y＝f(x)与直线y＝a 或y＝－a 有公共点,
因为f(x)的值域为[－1
2 －1
2sin φ,1
2 －1
2sin φ],
所以a≤1
2 －1
2sin φ,或－a≥－1
2 －1
2sin φ,
即a≤1
2 ＋1
2sin φ,
故0≤a≤max{
1
2 −1
2 sin φ , 1
2 ＋1
2 sin φ},①
当sin φ＝0 时,
max{
1
2 −1
2 sin φ , 1
2 ＋1
2 sin φ}＝1
2,
当sin φ≠0 时,
max{
1
2 −1
2 sin φ, 1
2 ＋1
2 sin φ}>1
2,
要使对任意的φ,①式恒成立,
则需a∈[0, 1
2],故D 正确.
三、填空题(本大题共3 小题,每小题5 分,共15 分)
12.现有一个圆锥与一个球,它们的表面积相等,圆锥的母线长与球的直径相等,则圆锥的底面直径
与母线长的比值为 .
答案 √5－1
解析 设该圆锥的底面半径为r,母线长为l,
则其表面积为πrl＋πr2,
球的表面积为4π(
l
2)
2
＝πl2,
所以πrl＋πr2＝πl2,
即(
r
l)
2
＋r
l －1＝0,
解得r
l ＝√5−1
2
(负值舍去),
故圆锥的底面直径与母线长的比值为
2r
l ＝√5－1.
13.已知函数f(x),g(x)的定义域为R,其中f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)＋g(x)＝ax2－x－2,若对
于任意1<x1<x2<6,都有
g( x1)−g( x2)
x1−x2
>－2,则实数a 的取值范围是 .
答案 [−1
6 ,＋∞)
解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
在f(x)＋g(x)＝ax2－x－2 中,用－x 去代换x,得f(－x)＋g(－x)＝ax2＋x－2＝－f(x)＋g(x),
∴f(x)＝－x,g(x)＝ax2－2,
∵1<x1<x2<6,
∴由
g( x2)−g( x1)
x2−x1
>－2,
可得g(x2)＋2x2>g(x1)＋2x1,
令h(x)＝g(x)＋2x＝ax2＋2x－2,
则h(x)在(1,6)上单调递增.
若a>0,则h(x)的图象的对称轴为直线x＝－1
a<0,图象开口向上,符合题意;
若a<0,则h(x)的图象的对称轴为直线x＝－1
a>0,图象开口向下,
则需－1
a≥6,即－1
6≤a<0;
若a＝0,则h(x)＝2x－2 在(1,6)上单调递增,符合题意.
综上,a≥－1
6.
14.已知三个正数r1,r2,r3构成公比为q(q>1)的等比数列,圆Ci:(x－ri)2＋y2＝ri
2(i＝1,2,3),过圆C3上
一点P 分别作圆C1,C2的切线,切点分别为Q,R,若| PR|
| PQ| ＝√3
2 ,则q＝ .
答案 3
解析 不妨设r1＝1,r2＝q,r3＝q2,
三个圆心分别为C1(1,0),C2(q,0),C3(q2,0),
根据勾股定理得
|PQ|2＝|PC1|2－1,|PR|2＝|PC2|2－q2,
所以| PR|
2
| PQ|
2 ＝|P C2|
2−q
2
|P C1|
2−1
＝3
4,
因为点P 在圆(x－q2)2＋y2＝q4上,
故可设点P(q2cos θ＋q2,q2sin θ),其中θ≠π,
则(q
2cos θ＋q
2−q)
2＋(q
2sin θ)
2−q
2
(q
2cos θ＋q
2−1)
2＋(q
2sin θ)
2−1
＝3
4,
整理得2q
3(q−1)(1＋cos θ)
2q
2(q
2−1)(1＋cos θ)
＝3
4,
即
q
q＋1 ＝3
4 ,解得q＝3.
四、解答题(本题共13 分.考查方向:概统)
15.下表是2020—2024 年中国出生人口数y(单位:十万人)的数据:
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码x
1
2
3
4
5
出生人口数y/十万人
120
106
96
90
95
(1)求2020—2024 年中国每年出生人口数的平均数;
(2)某研究人员建立了y 关于x 的回归模型^y＝120－6x,用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人
口数将低于700 万;
(3)求(2)中回归模型的决定系数R2,并评价其拟合效果.(如果0.85≤R2≤1,就认为拟合效果好,如果
0.7≤R2<0.85,就认为拟合效果一般,如果R2<0.7,就认为拟合效果差)
附R2＝1－
n
∑
i=1
( yi−^yi)
2
n
∑
i=1
( yi−y)
2
,
5
∑
i=1
(yi－y)2≈567.
解 (1)y ＝1
5(120＋106＋96＋90＋95)＝507
5 ＝101.4.
(2)中国出生人口数低于700 万,即^y<70.
当x＝8 时,^y＝120－6×8＝72>70,
当x＝9 时,^y＝120－6×9＝66<70,
x＝9 对应2028 年,即预测从2028 年开始中国出生人口数将低于700 万.
(3)分别为令x＝1,2,3,4,5,得^y＝114,108,102,96,90,
所以R2＝1－
5
∑
i=1
( yi−^yi)
2
5
∑
i=1
( yi−y)
2
≈1－6
2＋2
2＋6
2＋6
2＋5
2
567
＝1－137
567 ＝430
567≈0.76,
因为0.7≤R2<0.85,
所以这个模型的拟合效果一般
