文档文本内容
微专题5 万有引力与宇宙航行
开普勒定律与万有引力定律的应用
[例1] (2025·浙江1 月选考)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗
星从a 运行到b、从c 运行到d 的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和
S2，且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6 倍，
则彗星( )
A．在近日点的速度小于地球的速度
B．从b 运行到c 的过程中动能先增大后减小
C．从a 运行到b 的时间大于从c 运行到d 的时间
D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36 倍
C [假设哈雷彗星以近日点到太阳中心的距离为半径绕太阳做匀速圆周运动，
根据GMm
r
2
＝mv
2
r ，解得v＝√
GM
r ，根据题意可知r 近＝0.6r 地，则哈雷彗星在假
设轨道上的速度大于地球的速度，要使哈雷彗星绕题图所示的轨道运动，在假
设轨道的基础上哈雷彗星需要在近日点加速，可知哈雷彗星在近日点的速度大
于地球的速度；根据GMm
r
2
＝ma，可得a＝GM
r
2 ，则在近日点地球的加速度为哈
雷彗星加速度的0.36 倍，A、D 错误。根据开普勒第二定律可知哈雷彗星与太
阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，可知从b 运行到c 的过程中，哈雷彗
星的运行速度逐渐减小，其动能逐渐减小，B 错误。由题意可知S1>S2，说明哈
雷彗星从a 运行到b 的时间大于从c 运行到d 的时间，C 正确。]
规律方法：
1．行星在椭圆轨道的运行规律
(1)面积定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
(2)周期定律：a
3
T
2＝k，其中k 与中心天体有关。
2．测量地球质量的方法
(1)重力法：m 地＝g R
2
G (地球表面)。
(2)环绕法：m 地＝4 π
2r
3
GT
2 。
[针对训练] (2025·广东卷)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点
到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5 倍和7 倍。关于该小行星，下列说
法正确的是( )
A．公转周期约为6 年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的1
25
D [由题意可知该小行星轨道的半长轴为地球到太阳距离的6 倍，由开普勒第
三定律可知
a小行星
3
T 小行星
2
＝
r地
3
T 地
2 ，其中a 小行星为小行星轨道的半长轴，可得T 小行星＝
√
a小行星
3
r地
3
T 地≈14.7 年，A 错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐
减小，由万有引力定律F 引＝GMm
r
2
可知从远日点到近日点，该小行星所受太阳
引力大小逐渐增大，B 错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐
减小，由开普勒第二定律可知当行星离太阳较近的时候，运行的速度较大，而
离太阳较远的时候速度较小，因此从远日点到近日点，该小行星的线速度大小
逐渐增大，C 错误；由万有引力定律F 引＝GMm
r
2
和牛顿第二定律F 引＝ma 可得
a＝GM
r
2 ，由于该小行星的轨道近日点到太阳的距离约为地球到太阳距离的5 倍，
则该小行星在近日点的加速度大小约为地球公转加速度的1
25，D 正确。]
卫星的发射、运行和变轨
[例2] (信息组合改编题)2025 年4 月18 日，神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发
射中心完成垂直转运，4 月24 日23 时49 分，成功对接于空间站天和核心舱径
向端口。
(1)地球半径为R，引力常量为G，地球质量为M，求地球的第一宇宙速度。
(2)(多选)中国空间站运行在距离地球表面约400 km 高的近地轨道上，而地球同
步卫星离地高度约为36 000 km。如图所示，a 为静止在地球赤道上的物体，b
为中国空间站，c 为地球同步卫星，则下列说法正确的是( )
A．线速度的大小关系为va>vb>vc
B．周期关系为Ta＝Tc>Tb
C．向心加速度的关系ac>ab>aa
D．同步卫星c 的发射速度要大于第一宇宙速度
(3)飞船和空间站的变轨对接可简化为如图所示的过程。其中轨道1 和轨道3 为
圆轨道，飞船变轨前稳定运行在轨道1，空间站运行在轨道3，椭圆轨道2 为飞
船的转移轨道。轨道1 和2、2 和3 分别相切于P、Q 两点。关于变轨过程，下
列说法正确的是( )
A．飞船在轨道1 上经过P 点的速度小于在轨道2 上经过P 点的速度
B．飞船在轨道3 上经过Q 点的加速度大于在轨道2 上经过Q 点的加速度
C．飞船在轨道2 上从P 点到Q 点运动过程中机械能减小
D．飞船在轨道2 上经过P 点引力势能大于Q 点引力势能
(4)如图，月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道近似在同一平面内，转动方
向相同。已知月球绕地球公转周期为T1，地球绕太阳公转周期为T2。某时刻太
阳、地球和月球依次在同一直线上。从图示位置开始，太阳、地球和月球再次
依次在同一直线上所经过的最短时间为________。
[解析] (1)根据G Mm
R
2 ＝mv
2
R
解得第一宇宙速度为v＝√
GM
R 。
(2)对于绕地球做圆周运动的卫星，根据万有引力提供向心力有G Mm
r
2 ＝mv
2
r
得v＝√
GM
r
故r 越大，v 越小，即vb>vc
a 与c 角速度相等，但c 半径较大，根据v＝ωr 可知，vc>va
故vb>vc>va，故A 错误；
对于绕地球做圆周运动的卫星，根据万有引力提供向心力有G Mm
r
2 ＝m4 π
2
T
2 r
得T＝2π√
r
3
GM
故r 越大，T 越大，即Tc>Tb
又Ta＝Tc
故Ta＝Tc>Tb，故B 正确；
对于绕地球做圆周运动的卫星，根据万有引力提供向心力有G Mm
r
2 ＝ma
得a＝GM
r
2
故r 越大，a 越小，即ab>ac
a 与c 角速度相等，但c 半径较大，根据a＝ω2r 可知，ac>aa
故ab>ac>aa，故C 错误；
近地卫星的发射速度等于第一宇宙速度，卫星的轨道越高发射速度越大，故同
步卫星c 的发射速度要大于第一宇宙速度，故D 正确。故选BD。
(3)卫星从低轨道变轨到高轨道，需要在变轨处点火加速，则飞船在轨道1 上经
过P 点的速度小于在轨道2 上经过P 点的速度，故A 正确；
根据牛顿第二定律可得GMm
r
2
＝ma
可得a＝GM
r
2
可知飞船在轨道3 上经过Q 点的加速度等于在轨道2 上经过Q 点的加速度，故
B 错误；
飞船在轨道2 上从P 点到Q 点运动过程中，只有万有引力做功，机械能不变，
故C 错误；
飞船在轨道2 上从P 点到Q 点运动过程中，万有引力做负功，引力势能增加，
则飞船经过P 点引力势能小于Q 点引力势能，故D 错误。故选A。
(4)设两次的时间间隔为t，则有(
2π
T 1
- 2π
T 2)t＝2π
解得t＝
T 1T 2
T 2-T 1
。
[答案] (1)√
GM
R (2)BD (3)A (4)
T 1T 2
T 2-T 1
规律方法：
1．人造卫星运动问题的分析要点
2．搞清三种运动情境
[针对训练1] (2025·湖北卷)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动，甲的轨道半
径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是( )
A．甲运动的周期比乙的小
B．甲运动的线速度比乙的小
C．甲运动的角速度比乙的小
D．甲运动的向心加速度比乙的小
A [由T＝√
4 π
2r
3
GM 可知，行星的轨道半径越大，周期越长，A 正确；由v＝
√
GM
r 可知，轨道半径越大，线速度越小，B 错误；根据ω＝√
GM
r
3 可知，行星
的轨道半径越大，角速度越小，C 错误；根据a＝GM
r
2 可知，行星的向心加速度
与轨道半径r 的二次方成反比，轨道半径越大，向心加速度越小，D 错误。]
[针对训练2] (2025·甘肃卷)如图，一小星球与某恒星中心距离为R 时，小星
球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为
G。下列说法正确的是( )
A．若v＝√
GM
R ，小星球做匀速圆周运动
B．若√
GM
R <v<√
2GM
R
，小星球做抛物线运动
C．若v＝√
2GM
R
，小星球做椭圆运动
D．若v>√
2GM
R
，小星球可能与恒星相撞
A [根据题意，由万有引力提供向心力有GMm
R
2 ＝mv
2
R ，解得v＝√
GM
R ，可知，
若v＝√
GM
R ，小星球做匀速圆周运动，故A 正确；结合A 分析可知，若√
GM
R
<v<√
2GM
R
，万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要的向心力，小
星球做离心运动，但又不能脱离恒星的引力范围，所以小星球做椭圆运动，而
不是抛物线运动，故B 错误；√
2GM
R
是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，
若v≥√
2GM
R
，小星球将脱离恒星引力束缚，必然不会做椭圆运动，更不可能
与恒星相撞，故C、D 错误。故选A。]
双星模型及多星模型
[例3] (2025·湖北襄阳·三模)天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，
我国研究人员通过对双星系统G3425 中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒
星质量级别的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b 绕O 点做圆周
运动，在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A 观测双星的运动，得到
a、b 的中心到O、A 连线的距离x 与观测时间的关系图像如图所示，引力常量
为G，求：
(1)a、b 的线速度之比；
(2)a、b 的质量分别为多大。
[解析] (1)由图像可知， 图示中a、b 的中心和O 点间距离从零到最远所用时
间为四分之一个周期， 可知该双星系统的周期为2t0, a 与轨迹中心间的距离为
4x0, b 与轨迹中心间的距离为3x0，可得ra∶rb＝4∶3
由线速度v＝ωr
可知a、b 的线速度之比为va∶vb＝4∶3。
(2)由题意可知maω2ra＝mbω2rb
联立解得ma∶mb＝3∶4
对b 由万有引力提供向心力可知
mb4 π
2
T
2 rb＝G mamb
L
2
，其中L＝ra＋rb
解得ma＝
147 π
2 x0
3
Gt0
2
，mb＝
196 π
2 x0
3
Gt0
2
。
[答案] (1)4∶3 (2) 147 π
2 x0
3
Gt0
2
，196 π
2 x0
3
Gt0
2
【变式训练】 恒星a、b 的动量大小之比为多少？两恒星的动能之比为多少？
[解析] 根据v＝ωr
则有两恒星运动的线速度大小之比为
va
vb＝
ra
rb＝
mb
ma
解得mava＝mbvb
即两恒星的动量大小相等，动量之比为1∶1
根据Ek＝1
2mv2，p＝mv
解得Ek＝p
2
2m
可知两恒星的动能与质量成反比，Eka∶Ekb＝4∶3。
[答案] 1∶1 4∶3
规律方法：
1．双星(多星)模型运动特点及受力特点
(1)向心力：由其他星体对它的万有引力的合力提供，进而列向心力公式。
(2)对称性：位置的对称、受力的对称。
(3)同步性：周期、角速度相等。
2．易错点：圆周的轨道半径与星体之间的距离的区别。
[针对训练] (2024·重庆卷)在万有引力作用下，太空中的某三个天体可以做相
对位置不变的圆周运动，假设a、b 两个天体的质量均为M，相距为2r，其连
线的中点为O，另一天体c(图中未画出)的质量为m(m≪M)，若c 处于a、b 连
线的垂直平分线上某特殊位置，a、b、c 可视为绕O 点做角速度相同的匀速圆
周运动，且相对位置不变，忽略其他天体的影响。引力常量为G。则( )
A．c 的线速度大小为a 的√3倍
B．c 的向心加速度大小为b 的一半
C．c 在一个周期内的路程为2πr
D．c 的角速度大小为√
GM
8r
3
A [a、b、c 三个天体角速度相同，由于m≪M，则对a 天体有G MM
(2r)
2＝
Mω2r，解得ω＝√
GM
4 r
3 ，故D 错误；设c 与a、b 的连线与a、b 连线中垂线的夹
角为α，对c 天体有2G
Mm
(
r
sin α)
2cos α＝mω2
r
tan α ，解得α ＝ 30°，则c 的轨道半
径为rc＝
r
tan30°＝√3r，由v＝ωr，可知c 的线速度大小为a 的√3倍，故A 正确；
由a＝ω2r，可知c 的向心加速度大小是b 的√3倍，故B 错误；c 在一个周期内
运动的路程为s＝2√3πr，故C 错误。故选A。]
