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专题七 《万有引力与宇宙航行》信息优化卷（基础A）
（解析版）
（考试时间90 分钟 试卷满分100 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．测试范围：人教版（2019）必修第二册 第七章《万有引力与宇宙航行》
第 Ⅰ 卷（选择题）
一、选择题：本题共12 小题，每小题4 分，共48 分。在每小题给出的四个选项中，第1~8 题只有一项符
合题目要求，第9~12 题有多项符合题目要求。全部选对的得4 分，选对但不全的得2 分，有选错或不
答的得0 分。
1．如图所示为某卫星在椭圆形转移轨道上运行的情景，卫星沿顺时针方向运行，从A 运动到
所用时间与
从
运动到
所用时间相同，从A 运动到
过程卫星与地心连线扫过的面积为
从
运动到
过程卫星与
地心连线扫过的面积为
，卫星在
两点机械能分别为
，在
两点的线速度大小分别为
，在A 点的加速度和在
点的加速度大小分别为
，下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由万有引力提供向心力
，解得
，离地心越远，加速度越小，则
，故A
正确；从
运动到
过程卫星的重力势能转化为动能，卫星的速度增大，故
，故B 错误；卫星在同
一轨道上运动时机械能守恒
，故C 错误；根据开普勒第二定律可知
，故D 错误。故选A。
2．2023 年4 月12 日，水星抵达今年第一次东大距的位置。由于水星是地内行星，平时都在太阳附近难以
观察，从地球看出去，水星和太阳的最大夹角θ（也称距角，即“大距”）时，观测时机最佳，如图所
示。若将水星与地球的公转均视为圆周运动，地球公转周期约为水星公转周期的4 倍，则水星东大距时的
距角θ 的正弦值sinθ 为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据开普勒第三定律
，根据几何关系
，联立解得
，故选B。
3．太阳周围除了八大行星，还有许多的小行星，在火星轨道与木星轨道之间有一个小行星带（地球轨道
在火星轨道内侧），假设此小行星带中的行星只受太阳引力作用，并绕太阳做匀速圆周运动，则（ ）
A．木星的周期小于1 年
B．小行星带中各行星的线速度大于火星的线速度
C．小行星带中各行星绕太阳做圆周运动的角速度小于木星公转的角速度
D．小行星带中各行星绕太阳做圆周运动的加速度大于木星做圆周运动的加速度
【答案】D
【详解】根据
，解得
，由于木星的轨道半径大于地球的轨道半径，则木星的周
期大于1 年，故A 错误；根据
，解得
，由于小行星带中各行星的的轨道半径大于火
星的轨道半径，则小行星带中各行星的线速度小于火星的线速度，故B 错误；根据
，解得
，由于由于小行星带中各行星的的轨道半径小于木星的轨道半径，则小行星带中各行星绕太阳
做圆周运动的角速度大于木星公转的角速度，故C 错误；根据
，解得
，由于由于小行
星带中各行星的的轨道半径小于木星的轨道半径，则小小行星带中各行星绕太阳做圆周运动的加速度大于
2
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木星做圆周运动的加速度，故D 正确。故选D。
4．科学家对银河系中心附近的恒星S2 进行了多年的持续观测，给出1994 年到2002 年间S2 的位置如图所
示。科学家认为S2 的运动轨迹是半长轴约为
（太阳到地球的距离为
）的椭圆，银河系中心可
能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020 年诺贝尔物理学奖。若认为S2 所受的作用力主要为该大
质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】 B
【详解】可以近似把S2 看成匀速圆周运动，由图可知，S2 绕黑洞的周期T=16 年，地球的公转周期T0=1
年，S2 绕黑洞做圆周运动的半径r 与地球绕太阳做圆周运动的半径R 关系是
，地球绕太阳的向心
力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知
，解得太阳的质量为
，同理S2 绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
，解
得黑洞的质量为
，综上可得
，故选B。
5．如图所示，双星系统由质量不相等的两颗恒星组成，质量分别是M、m
，它们围绕共同的圆心
O 做匀速圆周运动。从地球A 看过去，双星运动的平面与AO 垂直，A、O 间距离恒为L。观测发现质量较
大的恒星M 做圆周运动的周期为T，运动范围的最大张角为
（单位是弧度）。已知引力常量为G，
很小，可认为
，忽略其他星体对双星系统的作用力。则（ ）
3
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A．恒星m 的角速度大小为
B．恒星m 的轨道半径大小为
C．恒星m 的线速度大小为
D．两颗恒星的质量m 和M 满足关系式
【答案】D
【详解】恒星m 与M 具有相同的角速度，则角速度为
选项A 错误；恒星M 的轨道半径为
对恒星系统mω2r=Mω2R 解得恒星m 的轨道半径大小为
选项B 错误；
C．恒星m 的线速度大小为
选项C 错误；对恒星系统
=mω2r=Mω2R
解得GM=ω2r(r+R)2；Gm=ω2R(r+R)2相加得
，联立可得
选项D 正
确；故选D。
6．西汉时期，《史记·天官书》作者司马迁在实际观测中发现岁星呈青色，与“五行”学说联系在一起，
正式把它命名为木星。如图甲所示，两卫星Ⅰ、Ⅱ环绕木星在同一平面内做圆周运动，绕行方向相反，卫
星Ⅲ绕木星做椭圆运动，某时刻开始计时，卫星Ⅰ、Ⅱ间距离随时间变化的关系图象如图乙所示，其中
R、T 为已知量，下列说法正确的是（ ）
A．卫星Ⅲ在M 点的速度小于卫星Ⅰ的速度
B．卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径之比为
C．卫星Ⅰ的运动周期为T
D．绕行方向相同时，卫星Ⅰ、Ⅱ连续两次相距最近的时间间隔为
【答案】C
【详解】过M 点构建一绕木星的圆轨道，该轨道上的卫星在M 点时需加速才能进入椭圆轨道，根据万有
引力定律有
可得
则在构建的圆轨道上运行的卫星的线速度大于卫星Ⅰ的线速度，根
据以上分析可知，卫星Ⅲ在M 点的速度一定大于卫星Ⅰ的速度，A 错误；根据题图乙可知，卫星Ⅰ、Ⅱ间
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的距离呈周期性变化，最近为3R，最远为5R，则有
，
，可得
，
又
根据两卫星从相距最远到相距最近有
其中
，根据开普勒第三定律有
联立解
得
，
，B 错误，C 正确； 运动方向相同时卫星Ⅰ、Ⅱ连续两次相距最近，有
解得
，D 错误。故选C。
7．中国航天事业取得了举世瞩目的伟大成就。如图所示，a 为地球赤道上的物体，b 为近地空间站，c 为
中轨道极地卫星，d 为地球同步轨道卫星，则下列说法中正确的是（ ）
A．a 的向心加速度比b 的向心加速度大
B．b、c、d 与地心的连线在相同的时间内扫过的面积都相同
C．a、b、c、d 线速度大小关系为
D．a、b、c、d 周期的关系为
【答案】C
【详解】对卫星，根据牛顿第二定律，有
，可得
，b 为近地空间站，d 为地球同步轨道
卫星，所以
，由于a、d 具有相同角速度，相同周期，根据向心加速度与角速度的关系
，可
得
，所以a 的向心加速度比b 的向心加速度小，故A 错误；卫星与地心的连线扫过的面积为
根据万有引力提供向心力，有
，联立可得
，由此可知，b、c、d 卫星的轨道半径
不相等，所以其与地心的连线在相同的时间内扫过的面积不相同，故B 错误；根据万有引力提供向心力，
有
，所以
，所以
，根据线速度与角速度的关系
，可得
，所
以a、b、c、d 线速度大小关系为
，故C 正确；根据万有引力提供向心力，有
，
所以
，所以
，故D 错误。故选C。
8．宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为M 的星位
于等边三角形的三个顶点上，任意两颗星的距离均为R。并绕其中心O 做匀速圆周运动。如果忽略其它星
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体对它们的引力作用，引力常数为G。以下对该三星系统的说法中正确的是（ ）
A．每颗星做圆周运动的角速度为
B．每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量无关
C．若距离R 和每颗星的质量M 都变为原来的2 倍，则角速度变为原来的2 倍
D．若距离R 和每颗星的质量M 都变为原来的2 倍，则线速度大小不变
【答案】D
【详解】任意星之间所受万有引力为
，则任意一星所受合力为
，星运动的轨道半径
，万有引
力提供向心力
，解得
，故A 错误；万有引力提供向心力
，解得
，则每颗星做圆周运动的向心加速度与三星的质量有关，B 错误；根
据题意可知
，故C 错误；根据线速度与角速度的关系可知变化前线速度为
，变化后为
，故D 正确。故选D。
9．2021 年2 月，天问一号火星探测器被火星捕获，经过系列变轨后从“调相轨道”进入“停泊轨道”，
为着陆火星做准备。如图所示，阴影部分为探测器在不同轨道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面
积，下列说法正确的是（ ）
A．图中两阴影部分的面积不相等
B．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器周期变大
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C．从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器机械能变大
D．探测器在P 点的加速度大于在N 点的加速度
【答案】AD
【详解】根据开普勒第二定律可知探测器在同一轨道上相等时间内与火星的连线扫过的面积相等，但是图
中两阴影部分不在同一轨道，不相等，故A 正确；根据开普勒第三定律可知从“调相轨道”进入“停泊轨
道”探测器的轨道半长轴变小，周期变小，故B 错误；从“调相轨道”进入“停泊轨道”探测器做向心运
动，需要减速，探测器机械能变小，故C 错误；根据公式
，可得探测器在P 点的加速度大于在
N 点的加速度，故D 正确。故选AD。
10．电影“流浪地球”曾出现太空电梯的场景．如图甲所示，设想在赤道上建造一个始终与地表垂直的太
空梯，航天员可通过梯仓
缓慢地到达太空中某一位置，设该位置距地心的距离为，地球半径为
，图
乙中曲线
为地球引力对航天员产生的加速度大小随变化的图线；直线
为航天员的向心加速度大小随
变化的图线．下列说法正确的是（ ）
A．航天员在
处的速度大于地球的第一宇宙速度
B．地球同步卫星的轨道半径为
，宇航员只在
位置时处于完全失重状态
C．在大于
的范围内，航天员与座椅间没有弹力且需系上安全带
D．在小于
的范围内，航天员越接近地面感受到的“压力”越小
【答案】BC
【详解】太空电梯随地球一起旋转，根据
可知太空电梯上各点线速度与该点离地球球心的距离成正
比，根据万有引力提供向心力有
，解得
，可知地球同步卫星的线速度小于第一宇宙
速度，则航天员在r=R 处的线速度小于第一宇宙速度，故A 错误；图像中的图线A 表示地球引力对航天员
产生的加速度大小与r 的关系，该加速度aA等于地球卫星做匀速圆周运动的加速度，图线B 表示航天员由
于地球自转而产生的向心加速度大小与r 的关系，该加速度aB等于地球同步卫星的加速度，因为aA=aB,所
以图中
为地球同步卫星的轨道半径，电梯舱在
处的站点时，航天员的加速度等于地球同步卫星的加
速度，处于完全失重状态，故B 正确；大于
的范围内，宇航员受到的万有引力小于所需的向心力，航天
员与座椅间没有弹力且需系上安全带，故C 正确；小于
的范围内，宇航员受到的万有引力大于所需的向
心力，弹力表现为支持力，根据牛顿第二定律有
，角速度不变，结合牛顿第三定律可知航
天员越接近地面感受到的“压力”越大，故D 错误；故选BC。
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11．2021 年5 至6 月，天问一号探测器择机着陆火星。如图所示，假设天问一号探测器环绕火星做匀速圆
周运动的周期为T，对火星的张角为
。已知引力常量为G，火星半径为R，由以上数据可以求得（ ）
A．火星的质量为
B．火星的密度
C．火星的第一宇宙速度为
D．天问一号探测器的线速度为
【答案】AD
【详解】探测器所受向心力由万有引力提供，有
，由几何关系，有
，解得
，所以A 正确；火星密度
，代入，解得
，所以B 错误；火星的
第一宇宙速度vI满足
，代入解得
，所以C 错误；探测器的线速度为
，
代入，得
，所以D 正确。故选AD。
12．宇宙中有一孤立星系，中心天体周围有三颗行星，如图所示。中心天体质量远大于行星质量，不考虑
行星之间的万有引力，三颗行星的运动轨道中，Ⅰ、Ⅲ两个为圆轨道，半径分别为r1、r3，一个为椭圆轨
道，半长轴为a，a = r3。在∆t 时间内，行星Ⅱ、行星Ⅲ与中心天体连线扫过的面积分别为S2、S3；行星Ⅰ
的速率为v1、行星Ⅱ在B 点的速率为v2B、行星Ⅱ在E 点的速率为v2E、行星Ⅲ的速率为v3，下列说法不正确
的是（ ）
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A．v2E < v3 < v1 < v2B
B．行星Ⅱ与行星Ⅲ在P 点时的加速度大小不等
C．S2 = S3
D．行星Ⅱ的运行周期大于行星Ⅲ的运行周期
【答案】BCD
【详解】根据
，得
，由于
，可得
，I 轨道到II 轨道过程中需要在B 点加
速，则有
，B 到E 过程中动能转化为势能，则有
，又
小于在E 点能够绕重心天体匀速圆
周运动的速度
，根据轨道半径关系有
，所以有
，综上所述可得
，故A 正
确；由牛顿第二定律得
，可知，行星II 与行星III 在P 点加速度大小相等，故B 错误；行星II 与
行星III 满足
，在t 时间内扫过的面积有椭圆面积小于圆面积，故C 错误；由开普勒第三定律
，
可知，行星II 与行星III 运动周期相等，故D 错误。故选A。
第Ⅱ卷（非选择题）
二、解答题
13．（8 分）嫦娥五号完成了我国首次地外天体采样返回之旅。嫦娥五号在月球着陆前，先沿停泊轨道围
绕月球做匀速圆周运动，如图所示。在停泊轨道上观察月球的张角为
；嫦娥五号着陆月球后进行了一系
列实验，其中一个实验是：将一小球以速度
竖直上抛，测出小球经时间t 回到抛出点。已知引力常量为
G，月球半径为R，忽略其它天体对嫦娥五号的引力，不考虑月球自转。求：
（1）月球的质量M；
（2）嫦娥五号在停泊轨道上运行的速率v。
【答案】（1）
；（2）
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【详解】（1）月球表面的重力加速度为
根据物体在月球表面受到的万有引力等于重力可得
联立月球的质量为
（2）停泊轨道的半径为
根据万有引力提供向心力可得
联立解得嫦娥五号在停泊轨道上运行的速率为
14．（10 分）2023 年5 月30 日长征二号F 运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，在太空飞行数小
时后，与空间站组合体径向交会对接，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3 名航天员依次进驻空间站天和核心舱。
神舟十六号载人飞船与空间站组合体对接示意图如图所示，组合体处于半径为r3的圆轨道Ⅲ，飞船处于半
径为r1的圆轨道Ⅰ，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B 处与空间站组合体对接。已知地球的半径为
R，地球表面重力加速度为g。求：
（1）飞船在轨道Ⅰ时的线速度大小。
（2）空间站组合体在轨道Ⅲ运行的周期。
（3）飞船由轨道Ⅱ的A 点飞至B 点所需的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）飞船在轨道Ⅰ时，据万有引力作为向心力可得
物体在地球表面满足
联立解得
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（2）空间站组合体在轨道Ⅲ时满足
联立解得
（3）根据开普勒第三定律可得
其中
解得
飞船由轨道Ⅱ的A 点飞至B 点所需的时间为
代入T2可得
15．（10 分）北京时间2023 年5 月30 日，塔载神舟十六号载人飞船的长征二号F 运载火箭在酒泉卫星发
射中心点火发射，约10 分钟后，神舟十六号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道。航天员乘组状态良
好，发射取得圆满成功。神舟十六号载人飞船入轨后，与空间站成功对接，之后神舟十六号上的3 名航天
员景海鹏、朱杨柱、桂海潮顺利进驻中国空间站，与神舟十五号乘组进行在岗轮换，再现6 名航天员“太
空会师”名场面。这是我国第三批航天员首次执行飞行任务，也是我国航天员队伍“新成员”——航天飞
行工程师和载荷专家的“首秀”。空间站的轨道可近似看成距地面高度为h 的圆轨道，其周期为T，已知
地球半径为R，引力常量G。
（1）求空间站的线速度大小；
（2）求地球的平均密度；
（3）在火箭发射过程中，若忽略地球自转，初始阶段火箭近似认为沿竖直方向上升，某时刻飞船内仪器
显示航天员对座椅的压力是地面重力的1.9 倍，数据显示此时火箭加速度大小为g，方向竖直向上，已知地
面重力加速度为g，试求此时火箭离地面的高度（结果可保留根式）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由线速度的定义有
（2）空间站绕地球做匀速圆周运动，有
地球密度
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由①②式得：
（3）火箭上升过程中，对航天员由牛顿第三定律有
由牛顿第二定律有
此时，地球对航天员
在地球表面上
由③④⑤式得
16．（12 分）螺旋星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为R 的球体内，球体外仅有极少的恒
星。球体内物质总质量为M，可认为均匀分布，球体内外的所有恒星都绕星系中心做匀速圆周运动，恒星
到星系中心的距离为r，引力常量为G。
（1）求
区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 与r 的关系；
（2）根据电荷均匀分布的球壳内试探电荷所受库仑力的合力为零，利用库仑力与万有引力的表达式的相
似性和相关力学知识，求
区域的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 与r 的关系；
（3）科学家根据实测数据，得到此螺旋星系中不同位置的恒星做匀速圆周运动的速度大小v 随r 的变化关
系图像，如图所示，根据在
范围内的恒星速度大小几乎不变，科学家预言螺旋星系周围（
）存
在一种特殊物质，称之为暗物质。暗物质与通常的物质有引力相互作用，并遵循万有引力定律，求
内暗物质的质量
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由万有引力定律和向心力公式有
解得
（2）在
内部，星体质量
12
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由万有引力定律和向心力公式有
解得
（3）对处于R 球体边缘的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
对处于r=nR 处的恒星，由万有引力定律和向心力公式有
解得
17．（12 分）在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂
可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1 所示，机械臂一端固定在空间站上的O 点，
另一端抓住质量为m 的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O 点做半径为
、角速度为
的匀速圆周运
动，运动到A 点停下，然后在机械臂操控下，货物从A 点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t 到达B
点，A、B 间的距离为L。
（1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小
；
（2）求货物运动到B 点时机械臂对其做功的瞬时功率P。
（3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2 所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步
做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求
货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）质量为
的货物绕
点做匀速圆周运动，半径为
，根据牛顿第二定律可知
（2）货物从静止开始以加速度
做匀加速直线运动，根据运动学公式可知
解得
货物到达
点时的速度大小为
货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作
用力即为货物所受合力
，所以经过时间，货物运动到
点时机械臂对其做功的瞬时功率
13
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（3）空间站和货物同轴转动，角速度
相同，对质量为
空间站，质量为
的地球提供向心力
解得
货物在机械臂的作用力
和万有引力
的作用下做匀速圆周运动，则
货物受到的万有引力
解得机械臂对货物的作用力大小为
则
14
