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专题七 《万有引力与宇宙航行》信息优化卷（能力B）
(解析版)
（考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．测试范围：人教版（2019）必修第二册 第七章《万有引力与宇宙航行》
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共12 小题，每小题4 分，共48 分。在每小题给出的四个选项中，第1~8 题只有一项符
合题目要求，第9~12 题有多项符合题目要求。全部选对的得4 分，选对但不全的得2 分，有选错或不
答的得0 分。
1．如图为中国科学家们为“天问一号”设计的椭圆形“科学轨道”，“天问一号”将在该轨道上正常运
行的同时对火星展开观测。它在近火点265km 附近的探测段运行2 小时，在远火点11945.6km 附近的探测
段运行1 小时，在采样段共运行288 分钟。据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．可以准确知道“科学轨道”的半长轴
B．可以求得“天问一号”在“科学轨道”上的运行周期
C．从地球上发射“天问一号”的速度不得小于16.7km/s
D．“天问一号”在火星引力作用下从轨道近火点加速运行到远火点
【答案】B
【详解】根据题中已知条件可得，“天问一号”在“科学轨道”上的运行周期为
,设
“科学轨道”的半长轴为
，根据万有引力充当向心力有
,该式是将椭圆轨道近似看成圆轨
道来进行计算的，在已知周期的情况下，可算得“科学轨道”的半长轴的大概值，并不能准确知道，故A
错误，B 正确；
“天问一号”环绕火星运行，因此可知“天问一号”脱离了地球引力的束缚，成为了火星得卫星，可知其
发射速度必定大于第二宇宙速度，即
，而16.7km/s 为第三宇宙速度，即脱离太阳引力束缚所需要
的最小发射速度，而火星是太阳的卫星，因此可知，从地球上发射“天问一号”的速度不得小于
11..2km/s，故C 错误；根据开普勒第二定律可知，近火点的线速度大于远火点的线速度，即“天问一号”
在火星引力作用下从轨道近火点减速运行到远火点，故D 错误。故选B。
1
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2．为了估测太阳的密度，某物理兴趣小组的同学在山顶通过一圆环水平观察早上初升的太阳，如图甲，
调整圆环的位置，当太阳刚好和圆环的内圈重叠时，测出观测点到圆环的距离为L，如图乙，已知圆环内
圈的半径为
），地球绕太阳公转的周期为T，引力常量为G，球的体积公式
，则太阳的密
度可近似的表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设太阳的半径为R，地球到太阳的距离为d，则
，地球绕太阳做圆周运动
，太阳的密度
，解得
，故选C。
3．2020 年7 月23 日12 时41 分，在中国文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空。2021 年5 月
22 日10 时40 分，“祝融号”火星车已安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测。“天问一号”
进入环绕轨道如图所示，离火星表面高度为h，火星半径为R，火星质量约地球的九分之一、已知地球半
径为
，地球表面重力加速度为
求天问一号的线速度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由万有引力提供向心力得
，解得
，由题可得
，由黄
金代换得
，解得
，联立解得
，故选A。
2
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4．天链一号04 星是我国发射的第4 颗地球同步卫星，它与天链一号02 星、03 星实现组网运行，为我国神
舟飞船、空间实验室天宫二号提供数据中继与测控服务。如图所示，1 是天宫二号绕地球稳定运行的轨
道，2 是天链一号绕地球稳定运行的轨道。下列说法正确的是（ ）
A．天链一号04 星的最小发射速度是11.2 km/s
B．天链一号04 星的运行速度小于天宫二号的运行速度
C．为了节能环保，发射速度要尽量小
D．由于技术进步，天链一号04 星的运行速度可能大于天链一号02 星的运行速度
【答案】B
【详解】由于第一宇宙速度是人造地球卫星或飞船环绕地球做匀速圆周运动时的最大速度，同时又是最小
的发射速度，可知飞船的发射速度大于第一宇宙速度7.9 km/s。飞船的发射速度大于第二宇宙速度11.2
km/s 时，会脱离地球束缚，所以飞船的发射速度要小于第二宇宙速度，同时要大于第一宇宙速度，介于第
一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故AC 错误；由万有引力提供向心力得
，解得v=
，可
知轨道半径比较大的天链一号04 星的运行速度小于天宫二号的运行速度，故B 正确；根据题意，天链一号
04 星与天链一号02 星都是地球同步轨道数据中继卫星，轨道半径相同，所以天链一号04 星与天链一号02
星具有相同的速度，故D 错误。故选B。
5．图甲为电影《流浪地球2》中的太空电梯，又称为“斯科拉门德快速电梯”是电影中一种可以在地球表
面和太空空间站来回运输人员和物资的巨型结构。图乙为其模型简易图，固定在空间站和地球间的刚性
“绳索”与空间站一起和地球保持相对静止，电梯可沿“绳索”升降，若“太空电梯”停在距地面高度为
h 的绳索上的某处，h 大于零小于同步卫星轨道距地面的高度，已知，地球的自转不能忽略且地球视为均质
球体，地球的第一宇宙速度为
。对“太空电梯”里的航天员，则下列说法正确的是（ ）
3
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A．航天员处于平衡状态
B．航天员绕地心做圆周运动的线速度大于
C．航天员绕地心做圆周运动的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
D．若此时“绳索”断了，“太空电梯”会留在距地面h 高处，绕地球做圆周运动，成为地球的一颗
“卫星”
【答案】C
【详解】 “太空电梯”里的航天员绕地球做匀速圆周运动，不是处于平衡状态，选项A 错误； 因第一宇
宙速度是绕地球做圆周运动的最大环绕速度，可知航天员绕地心做圆周运动的线速度小于
，选项B
错误； 根据a=ω2r，因航天员与地球同步卫星具有相同的角速度，可知航天员绕地心做圆周运动的向心加
速度小于地球同步卫星的向心加速度，选项C 正确； 若此时“绳索”断了，“太空电梯”所受的引力将大
于做圆周运动的需要的向心力，则会做近心运动，不会留在距地面h 高处绕地球做圆周运动，选项D 错
误。故选C。
6．如图（a）所示，太阳系外的一颗行星P 绕恒星Q 做匀速圆周运动。由于P 的遮挡，探测器探测到Q 的
亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，该周期与P 的公转周期相同。已知Q 的质量为
，引力常量
为G。关于P 的公转，下列说法正确的是（ ）
A．周期为
B．半径为
C．角速度的大小为
D．加速度的大小为
【答案】B
【详解】由图（b）可知探测器探测到Q 的亮度随时间变化的周期为
，则P 的公转周期为
，A
错误；P 绕恒星Q 做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
，解得半径为
，故B 正确；P 的角速度为
，故C 错误；P 的加速度大小为
，故D 错误。故选B。
4
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7．中国空间站在轨运行周期为1.54h，地球半径为6400km，重力加速度取9.8m/s2。在2022 年，曾经两次
遭遇星链卫星的恶意靠近，为避免不必要的损失，中国空间站不得不通过变轨积极规避。首先变轨到更高
的轨道（A 到B 过程），待星链卫星通过之后，再回到原运行轨道（C 到D 过程）。已知卫星运行方向与
地球自转方向相同，下列说法正确的是（ ）
A．空间站距地面的高度大约400km
B．第一次加速后的速度比第二次加速后的速度小
C．变轨避险的过程，空间站先经过两次减速进入更高轨道，再经过两次加速回到原轨道
D．空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多16 次
【答案】A
【详解】对于近地卫星有
对中国空间站在轨运行过程有
解得
，A 正确；A 到B 过程是由低轨道变轨到高轨道，需要在切点A 处加速，则有
在切
点B 处加速后由椭圆低轨道变轨到圆高轨道，在两个圆轨道上，根据
解得
由于B 处
圆轨道的轨道半径大于A 处圆轨道轨道半径，则有
则有
即第一次加速后的速度比
第二次加速后的速度大，B 错误；根据变轨规律，进入高轨道需要加速，进入低轨道，需要减速，即变轨
避险的过程，空间站先经过两次加速进入更高轨道，再经过两次减速回到原轨道，C 错误；空间站轨道如
果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多n 次，则有
解得
可知空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多15 次，D 错误。故选A。
8．如图所示，月球的半径为R，甲、乙两颗卫星分别绕月球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲轨道的近月点距
月球表面高度较低，可视为R，远月点与月面的距离为3R，乙轨道的半径为2R，图中A、B、C 点为轨道
上的三个点，当卫星经过这些点时受到的万有引力分别为
、
、
，加速度分别为
、
、
，速
度为
、
、
，则下列说法正确的是（ ）
5
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A．
B．
C．
>
>
D．
>
>
【答案】B
【详解】由万有引力定律可得
，由题意可知，卫星在甲轨道的近月点距月球球心R，在远月点
距月球球心4R，卫星在乙轨道距月球球心2R，即
，但由于两颗卫星的质量关系未知，故万有引
力关系无法确定，A 错误；据牛顿第二定律可得
，可得
，可得
，B 错误；
设过A 点与椭圆相切的圆轨道的速率为v2，由高轨低速可知，v2<vB，且卫星从椭圆轨道到过A 点与椭圆相
切的圆轨道要加速，则v2>vA，所以
，设近月圆轨道（与C 点相切）上的运行速度为v1，从该圆轨道
变轨到甲轨道需在C 点加速，可知
，由万有引力作为向心力可得
，有
，联立可得
，
故CD 错误。故选B。
9．2020 年7 月31 日，北斗闪耀，泽沐八方。北斗三号全球卫星导航系统（如图甲所示）建成暨开通仪式
在北京举行。如图乙所示为55 颗卫星绕地球在不同轨道上运动的
图像，其中
为卫星的周期，
为卫星的轨道半径，1 和2 为其中的两颗卫星。已知引力常量为
，下列说法正确的是（ ）
A．卫星1 和2 运动的线速度满足为
B．地球质量为
C．地球的半径为
D．卫星1 和2 向心加速度大小之比为
【答案】BD
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【详解】根据题意，由万有引力提供向心力有
，解得
，则有
，则卫星1 和2 运动的线速度满足为
，故A 错误；根据题
意，设地球质量为
，由万有引力提供向心力有
，整理可得
，由
图可知，当
时
，则有
，可知，
不是地球半径，又有
，解得
故C 错误，B 正确；根据题意，由万有引力提供向心力有
，解得
，可知，卫星1 和2 向
心加速度大小之比为
，故D 正确。故选BD。
10．如图所示，某航天器围绕一颗半径为R 的行星做匀速圆周运动，其环绕周期为T，经过轨道上A 点时
发出了一束激光，与行星表面相切于B 点，若测得激光束AB 与轨道半径AO 夹角为θ，引力常量为G，不
考虑行星的自转，下列说法正确的是（ ）
A．行星的质量为
B．行星的平均密度为
C．行星表面的重力加速度为
D．行星的第一宇宙速度为
【答案】BC
【详解】匀速圆周运动的周期为T，那么可以得到匀速圆周运动的线速度为
，再根据万有引力提
供向心力
，解得
，故A 错误；球体积为
，所以平均密度为
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，故B 正确；行星表面，根据重力等于万有引力可知
，
解得
，故C 正确；行星的第一宇宙速度为
，故D 错误。故选BC。
11．1772 年，法籍意大利数学家拉格朗日在论文《三体问题》中指出：两个质量相差悬殊的天体（如太阳
和地球）所在同一平面上有5 个特殊点，如图中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人们称为拉格朗日点。若飞行
器位于这些点上，会在太阳与地球共同引力作用下，可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步绕太阳做圆周
运动。若发射一颗卫星定位于拉格朗日L2点，下列说法正确的是（ ）
A．该卫星在L2点处于平衡状态
B．该卫星绕太阳运动周期和地球公转周期相等
C．该卫星在L2处所受太阳和地球引力的合力比在L1处小
D．该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕太阳运动的向心加速度
【答案】BD
【详解】据题意知，该卫星围绕太阳做圆周运动，速度方向时刻改变，处于非平衡状态，故A 错误；该卫
星与地球同步绕太阳做圆周运动，则该卫星绕太阳运动周期和地球公转周期相等，故B 正确；由题可知，
卫星在L1点与在L2点的周期与角速度是相等的，根据向心力的公式F＝mω2r，可知在L1点处的轨道半径
小，所以在L1点处所受的合力小，故C 错误；由于该卫星与地球绕太阳做圆周运动的周期相同，该卫星的
轨道半径比地球的公转轨道半径大，根据公式
，可知该卫星绕太阳运动的向心加速度大于地球绕
太阳运动的向心加速度，故D 正确。故选BD。
12．宇宙中有A、B 两恒星组成的双星系统，他们以O 点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。由于两恒星
离地球非常远，而且地球位于他们的轨道平面上，所以从地球上看过去A、B 两星好像在一条直线上做往
复运动。A 星最远能到达M、N 两点，B 星最远能到达P、Q 两点。当A 星靠近地球时，由于多普勒效应，
在地球上接收到A 星发出的光频率比实际频率高，而远离地球时比实际频率低。根据多普勒频移公式可算
出A 星做匀速圆周运动的线速度为v；并在地球上O′点测得∠MO′N=2α，∠PO′Q=2β，A 星从M 点运动到N
点的时间为
。则下列说法正确的是（ ）
8
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A．该双星系统轨道圆心距地球的距离为
B．B 星的线速度大小为
C．A、B 两星的总质量为
D．A、B 两星距离为
【答案】BCD
【详解】由题意知
，由几何关系有
，所以
，故A 错误；根据几何
关系
，所以
，故B 正确；由双星动力学方程可得
，可解得
，故C 正确；两星距离为
，故D 正确。故选BCD。
第Ⅱ卷（非选择题）
三、实验题
13．（12 分）在一个未知星球上研究平抛运动的规律。拍下了小球作平抛运动过程中的多张照片，经合成
照片如（乙）图。a、b、c、d 为连续四次拍下的小球位置，已知连续拍照的时间间隔是0.10s，照片大小
如图中坐标所示，又知该照片的长度与实际的长度之比为1：4，则：
9
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（1）该星球表面的重力加速度为 m/s2，小球在b 点时的速度是 m/s。
（2）若已知该星球的半径与地球半径之比为R 星：R 地 = 1：4，则该星球的质量与地球质量之比M 星：M
地 = ，第一宇宙速度之比v 星：v 地 = ，（g 地取10m/s2）
【答案】 8
1：20
【详解】（1）由照片的长度与实际背景屏的长度之比为1：4 可得，乙图中每个正方形的实际边长L =
4cm
竖直方向上有
y = 2L = g 星T2
解得g 星 = 8m/s2
水平方向上小球做匀速直线运动，则
在竖直方向上，根据匀变速直线运动的规律可知
根据矢量合成的特点可得
（2）星球半径为R，根据万有引力与重力近似相等，有
解得GM = gR2
代入数据可得该星球与地球质量之比为
根据万有引力提供向心力，有
联立解得
代入数据解得
四、解答题
14．（8 分）从莱特兄弟成功飞行到人类空间站的组建，历代科学家不断探索取得了优异成绩。在探测某
10
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星球的任务中，已知该星球的半径为R，如图甲所示，在星球表面上有一小物体以初速度
沿内壁滑上半
径为
的光滑竖直圆轨道，恰好能不脱离轨道且沿原路径返回。假设某探测器A 在距星球表面高度
为R 的轨道做圆周运动，如图乙所示，探测器A 和空间站B 均以相同的绕行方向沿不同轨道绕星球的中心
O 做匀速圆周运动，空间站B 的周期为
，从探测器和空间站某次相距最近时开始计时，忽略
星球自转。求：（1）星球表面的重力加速度g；
（2）探测器A 和空间站B 第一次相距最远时的时间t。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设小物体质量为m，恰好能不脱离轨道且沿原路径返回，有
星球表面的重力加速度
设星球的质量为M，探测器A 质量为m′，在距星球表面高度为R 的轨道做圆周运动，有
解得
探测器A 和空间站B 第一次相距最远时的时间为t，有
解得
15.（10 分）探索地外文明一直是人们的梦想，假设多年以后，一宇航员在某星球表面做实验，让一小球
离该星球表面一定距离自由下落，经过时间
到达该星球表面。若他在地球表面上离地面相同距离让该小
球自由下落，经过时间小球到达地面。已知地球半径与该星球的半径之比为
，忽略地球和星球的自转，
空气阻力不计。试求：
（1）地球重力加速度与该星球重力加速度的比值；
（2）地球质量与该星球质量的比值；
（3）地球的第一宇宙速度与该星球的第一宇宙速度的比值。
11
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设在地球表面处的重力加速度的大小为
，星球表面处的重力加速度的大小为
，则有
，
可得地球重力加速度与该星球重力加速度的比值为
（2）根据物体在星球表面受到的万有引力等于重力可得
，
又
联立可得地球质量与该星球质量的比值为
（3）星球第一宇宙速度等于该星球表面轨道卫星运动的线速度，则有
，
可得地球的第一宇宙速度与该星球的第一宇宙速度的比值为
16．（12 分）2022 年我国科学家牵头发现了“雾绕双星”系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙有了更
为深刻的认识。一般双星系统由两个星体构成，其中每个星体的直径都远小于两者间的距离，同时距离其
他星体足够远，可视为孤立系统。如图所示，已知某双星系统由星体A 和B 组成，每个星体的质量都是
m0，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点O 做匀速圆周运动，引力常量为G。
（1）求该双星系统中星体的加速度大小a；
（2）求该双星系统中星体的运动周期T；
（3）分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。我们熟悉的“地—月系统”，常常认为地球是
不动的，月球绕地心做圆周运动。但实际上它们也可视为一双星系统，地球和月球围绕两者连线上的某点
做匀速圆周运动。请利用下列数据，选择合适的角度，说明“认为地球是不动的”这种近似处理的合理
性。已知地球和月球的质量分别为M=6×1024kg 和m=7×1022kg。
【答案】（1）
；（2）
；（3）见解析
12
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【详解】（1）根据万有引力定律和牛顿第二定律有
得
（2）由运动学公式可知
得
（3）模型Ⅰ中，设月球绕地球的球心做圆周运动的半径为r，周期为T1，根据万有引力定律和牛顿第二定
律有
得
模型Ⅱ中，月球球心与地球球心相距为r，两者的轨道半径分别为r1和r2，周期相同为T2，对月球有
得
对地球有
得
因
将以上两式代入，可解得
①若选择的是轨道半径的角度，两种模型中月球轨道的半径之比为
。
②若选择的是旋转周期的角度，两种模型中月球公转的周期之比为
。
综上分析可知，两种模型比较可知，地球和月球的质量分别为
和
，即
，
所以从轨道半径角度分析可得半径之比为
从周期角度分析可得月球公转的周期之比为
说明该近似处理是合理的。
17．（12 分）宇宙空间有两颗相距较远、中心距离为
的星球A 和星球B。在星球A 上将一轻弹簧竖直固
13
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定在水平桌面上，把物体P 轻放在弹簧上端，如图（a）所示，P 由静止向下运动，其加速度
与弹簧的压
缩量
间的关系如图（b）中实线所示。在星球B 上用完全相同的弹簧和物体P 完成同样的过程，其
关系如图（b）中虚线所示（图中
未知）。已知两星球密度相等。星球A 的质量为
，引力常量为G。
假设两星球均为质量均匀分布的球体。
（1）求星球A 和星球B 的表面重力加速度的比值；
（2）求星球B 的质量M；
（3）若将星球A 和星球B 看成是远离其他星球的双星模型，求两星球做匀速圆周运动的周期T。
【答案】 (1)
；(2)
；(3)
【详解】(1)对物体P 受力分析，根据牛顿第二定律
可得
结合a−x 图像可知，纵截距表示星球表面重力加速度，
则有
(2)设星球B 的质量为M，根据黄金替换公式
根据质量与体积关系式
联立得
由于星球A 和星球B 密度相等，可见
可得
14
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则星球B 与星球A 的质量比为
联系以上各式可得
(3)将星球A 和星球B 看成双星模型时，它们在彼此的万有引力作用下做匀速圆周运动，周期相同。研究星
球A，有
研究星球B，有
又
联立可得
15
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16
