专练11 14 小题＋1 大题(解几)
——节选自豫西北教研联盟质检
一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)
1.若复数z 满足z
2−i＝2i,则z 的虚部为( )
A.－4
B.－4i
C.4
D.4i
答案 C
解析 因为z
2−i＝2i,所以z＝2i(2－i)＝2＋4i,
所以z 的虚部为4.
2.已知集合A＝{x|x2－x－6<0,x∈N},B＝{0,1,2,3},则A∩B＝( )
A.{1,2}
B.{1,2,3}
C.{0,1,2}
D.{0,1,2,3}
答案 C
解析 A＝{x|x2－x－6<0,x∈N}＝{x|－2<x<3,x∈N}＝{0,1,2},B＝{0,1,2,3},
所以A∩B＝{0,1,2}.
3.已知向量a＝(1,0),b＝(0,1),c＝a＋tb,若|c|＝2,则正实数t 的值为( )
A.1
B.√3
C.2
D.3
答案 B
解析 因为a＝(1,0),b＝(0,1),c＝a＋tb,
所以c＝(1,t),又|c|＝2,
所以√1
2＋t
2＝2,
解得t＝±√3,又t>0,所以t＝√3.
4.已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
4 ＝1(a>0)的焦距为2√5,则C 的离心率为( )
A.√5
2
B.2√5
3
C.√5
D.2√5
答案 C
解析 由题意可知,2c＝2√5,所以c＝√5,
又c2＝a2＋b2,所以5＝a2＋4,
所以a＝1,所以C 的离心率e＝c
a ＝√5.
5.已知圆锥的轴截面为正三角形,圆锥的内切球的表面积为12π,则该圆锥的体积为( )
A.9√3π
B.12√3π
C.18√3π
D.27√3π
答案 A
解析 设圆锥的内切球的半径为r(r>0),
则4πr2＝12π,所以r＝√3,
又圆锥的轴截面为等边三角形,所以圆锥的高为3r＝3√3,
圆锥的底面半径为3√3
√3 ＝3,
则圆锥的体积V＝1
3×π×32×3√3＝9√3π.
6.已知函数f(x)＝{
|ln x|, x>0,
2
x , x≤0. 若a<b<c,且f(a)＝f(b)＝f(c),则cf(c)的取值范围为( )
A.(0,e]
B.(0,e)
C.(0,＋∞)
D.(−1
e ,＋∞)
答案 A
解析 因为f(x)＝{
|ln x|, x>0,
2
x , x≤0, 所以当x>0 时,f(x)＝|ln x|＝{
ln x , x≥1,
−ln x ,0< x<1,
所以f(x)在(1,＋∞)上单调递增,
在(0,1)上单调递减,且f(
1
e)＝f(e)＝1;
当x≤0 时,f(x)＝2x,
所以f(x)在(－∞,0)上单调递增,且f(0)＝1.
所以f(x)的图象如图所示,
又a<b<c,且f(a)＝f(b)＝f(c),
不妨令f(a)＝f(b)＝f(c)＝t,
结合图象可知0<t≤1 且1<c≤e,即0<f(c)≤1,
所以0<cf(c)≤e,
即cf(c)的取值范围为(0,e],故选A.
7.已知曲线Ω:x2＋y2＝|x|＋|y|,点P(m,n)在曲线Ω 上,则下列结论错误的是( )
A.曲线Ω 围成的图形的面积为π＋2
B.
n
m−2的最小值为－1
C.点P(m,n)到直线x＋y＋3＝0 的距离的最大值为5√2
2
D.曲线Ω 有且仅有2 条对称轴
答案 D
解析 曲线Ω:x2＋y2＝|x|＋|y|,①
当x≥0 且y≥0 时,曲线Ω 的方程可化为(x−1
2)
2
＋( y −1
2)
2
＝1
2,
用－x 替换x,①式不变,所以曲线Ω 关于y 轴对称,
同理可得曲线Ω 关于x 轴对称,所以可作出曲线Ω,
如图1 所示.
A 项,由图1 可知,曲线Ω 围成的图形的面积为四个半径为√2
2 的半圆的面积与边长为√2的正方形
的面积之和,所以曲线Ω 围成的图形的面积为4×1
2π×(
√2
2 )
2
＋(√2)2＝2＋π,A 正确;
B 项,
n
m−2表示点P(m,n)与点(2,0)的连线l 的斜率,如图2,由图2 可知,当(x−1
2)
2
＋( y −1
2)
2
＝1
2
(x≥0 且y≥0)与直线l 相切时,
n
m−2取得最小值,设切线为y＝k(x－2)(k<0),
则|
1
2 k −1
2 −2k|
√k
2＋(−1)
2 ＝√2
2
,
解得k＝－1 或k＝1
7(舍去),
所以
n
m−2的最小值为－1,B 正确;
C 项,点(
1
2 , 1
2)到直线x＋y＋3＝0 的距离d＝|
1
2 ＋1
2 ＋3|
√1
2＋1
2
＝2√2,如图3,结合图象可知,点P(m,n)到
直线x＋y＋3＝0 的距离的最大值为2√2＋√2
2 ＝5√2
2 ,C 正确;
D 项,曲线Ω 有4 条对称轴,分别是x 轴、y 轴、直线y＝x、直线y＝－x.故选D.
8.已知函数f(x)＝x＋e－x,若存在实数x,使得f(x)＝ax 成立,则实数a 的取值范围为( )
A.(－∞,1－e]
B.(1,＋∞)
C.(1－e,1]
D.(－∞,1－e]∪(1,＋∞)
答案 D
解析 法一 若存在实数x,使得f(x)＝ax 成立,则
①当x>0 时,x＋e－x＝ax,所以a＝1＋1
x e
x>1;
②当x＝0 时,0＋e－0＝a×0,不成立;
③当x<0 时,x＋e－x＝ax,即a＝1＋1
x e
x,
令g(x)＝1＋1
x e
x,x<0,
则g'(x)＝−( x＋1)e
x
( x e
x)
2
,
当x∈(－∞,－1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
当x∈(－1,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
所以x＝－1 时,g(x)在(－∞,0)上取得最大值g(－1)＝1－e,
因为x→0 时,g(x)→－∞,所以a≤1－e.
综上,a≤1－e 或a>1,故选D.
法二 存在实数x,使得f(x)＝x＋e－x＝ax 成立,
即存在实数x,使得e－x＝(a－1)x 成立,
即过原点的直线g(x)＝(a－1)x 与曲线h(x)＝e－x有交点.
设曲线h(x)过原点的切线为y＝kx,
切点为(x0,y0),如图,
则{
h'( x0)＝−e
−x0＝k ,
y0＝k x0,
y0＝e
−x0,
解得{
x0＝−1,
k ＝−e ,
所以若要直线g(x)与曲线h(x)有交点,
则a－1≤－e 或a－1>0,
所以a≤1－e 或a>1.故选D.
法三 存在实数x,使得f(x)＝x＋e－x＝ax 成立,即过原点的直线g(x)＝(a－1)x 与曲线h(x)＝e－x有交
点.
结合h(x)＝e－x的图象可知,当g(x)的斜率a－1>0,即a>1 时,满足题意,排除A,C;
当a－1→－∞,即a→－∞时满足题意,排除B,故选D.
二、选择题(本大题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0 分)
9.已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋π
3)(ω>0)的最小 正周期为π,则下列结论正确的是( )
A.直线x＝7 π
12 是函数f(x)图象的一条对称轴
B.函数f(x)在区间[0, π
3]上的最大值为2
C.函数f(x)在区间[0, π
6]上单调递增
D.将函数f(x)图象上所有的点向左平移5 π
6 个单位长度,得到y＝2sin 2x 的图象
答案 ABD
解析 因为函数f(x)的最小正周期为π,
所以T＝2π
ω ＝π,解得ω＝2,
所以f(x)＝2sin(2 x＋π
3).
A 项,f(
7 π
12)＝2sin(2× 7 π
12 ＋π
3)＝2sin3 π
2 ＝－2,
所以直线x＝7 π
12 是f(x)图象的一条对称轴,A 正确;
B 项,当x∈[0, π
3]时,2x＋π
3 ∈[
π
3 ,π],
所以当2x＋π
3 ＝π
2 ,即x＝π
12时,f(x)取得最大值2,B 正确;
C 项,当x∈[0, π
6]时,2x＋π
3 ∈[
π
3 , 2π
3 ],因为y＝sin x 在区间[
π
3 , 2π
3 ]上不单调,
所以f(x)在区间[0, π
6]上不单调,C 错误;
D 项,y＝2sin[2(x＋5 π
6 )＋π
3]＝2sin(2x＋2π)＝2sin 2x,D 正确.
10.已知函数f(x)的定义域为R,f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋f(x)f(y),且f(1)＝1,当x>0 时,f(x)>0,则下列说法
正确的是( )
A.f(0)＝－1
B.f(x)在(0,＋∞)上单调递增
C.数列{f(n)＋1}(n∈N*)是等比数列
D.当x<0 时,－1<f(x)<0
答案 BCD
解析 A 项,令x＝1,y＝0,则f(1)＝f(1)＋f(0)＋f(1)f(0),因为f(1)＝1,所以1＝1＋f(0)＋f(0),所以f(0)
＝0,A 错误;
B 项,令x>0,y>0,则f(x＋y)－f(x)＝f(y)＋f(x)f(y)＝f(y)[1＋f(x)],因为x>0,y>0,所以x＋y－
x>0,f(x)>0,f(y)>0,
所以f(y)[1＋f(x)]>0,
即当x＋y>y>0 时,f(x＋y)－f(x)>0 恒成立,故f(x)在(0,＋∞)上单调递增,B 正确;
C 项,令x＝n(n∈N*),y＝1,则f(n＋1)＝f(n)＋f(1)＋f(n)f(1),
即f(n＋1)＝2f(n)＋1,即f(n＋1)＋1＝2[f(n)＋1],
又f(1)＋1＝2,故数列{f(n)＋1}是以2 为首项,2 为公比的等比数列,C 正确;
D 项,因为数列{f(n)＋1}是以2 为首项,2 为公比的等比数列,所以f(n)＋1＝2n,
即f(n)＝2n－1,所以当n→＋∞时f(n)→＋∞,
又f(x)在(0,＋∞)上单调递增,所以x→＋∞时,f(x)→＋∞.
令y＝－x 可得
f(0)＝f(x)＋f(－x)＋f(x)f(－x)＝0,
所以f(－x)＝－
f ( x)
1＋f ( x)＝－1＋
1
1＋f ( x),
当x>0 时,f(x)>0,所以0<
1
1＋f ( x)<1,
所以x>0 时,－x<0,－1<f(－x)<0,
所以当x<0 时,－1<f(x)<0,D 正确.
11.在半径为2 的球O 的球面上存在A,B,C 三点,且⃗OA·⃗OB＝⃗OA·⃗OC＝λ,λ∈[0,4),E 为线段OC 的
中点,则下列说法正确的是( )
A.⃗OA·⃗BE＝1
2λ
B.当三棱锥O－ABC 的体积最大时,平面ABC 截球O 的截面的面积为8 π
3
C.当λ＝2,且AB⊥OC 时,AB 与平面OBC 所成的角为π
3
D.当λ＝2√2时,异面直线BE 与OA 所成角的正切值的取值范围为(1,3)
答案 BD
解析 A 项,因为在半径为2 的球面上存在A,B,C 三点,且⃗OA·⃗OB＝⃗OA·⃗OC ＝λ,λ∈[0,4),E 为线
段OC 的中点,所以|⃗OA|＝|⃗OB|＝|⃗OC|＝2,⃗OE＝1
2⃗OC,⃗BE＝⃗OE－⃗OB＝1
2⃗OC －⃗OB,
所以⃗OA·⃗BE＝⃗OA·(
1
2⃗OC −⃗OB)＝1
2⃗OA·⃗OC －⃗OA·⃗OB＝1
2λ－λ＝－1
2λ,A 错误;
B 项,当三棱锥O－ABC 的体积最大时,OA,OB,OC 两两垂直(此时λ＝0 符合题意),因为√2
2＋2
2＝
2√2,
所以△ABC 是边长为2√2的等边三角形.
△ABC 的外接圆即平面ABC 截球O 的截面,外接圆的半径r＝
2√2
2sin π
3
＝2√2
√3 ,
截面圆的面积为πr2＝8 π
3 ,B 正确;
C 项,当λ＝2 时,cos<⃗OA,⃗OB>＝2
2×2 ＝1
2,<⃗OA,⃗OB>＝π
3 ,
同理,<⃗OA,⃗OC>＝π
3 ,
又AB⊥OC,所以⃗AB·⃗OC＝(⃗OB－⃗OA)·⃗OC ＝⃗OB·⃗OC －⃗OA·⃗OC ＝⃗OB·⃗OC－2＝0,
所以⃗OB·⃗OC＝2,
所以<⃗OB,⃗OC>＝π
3 ,
所以此时四面体OABC 为正四面体,各面都是正三角形,相邻的棱所成的角都是π
3 ,
因为AB 与平面OBC 所成的角小于∠ABO,
所以AB 与平面OBC 所成的角小于π
3 ,C 错误;
D 项,当λ＝2√2时,cos<⃗OA,⃗OB>＝⃗
OA ·⃗OB
|⃗OA ||⃗OB|
＝2√2
2×2 ＝√2
2 ,
<⃗OA,⃗OB>＝π
4 ,同理,<⃗OA,⃗OC>＝π
4 ,
所以0<<⃗OB,⃗OC>≤<⃗OA,⃗OB>＋<⃗OA,⃗OC>＝π
2 ,
当<⃗OB,⃗OC>＝π
2 时,⃗OA,⃗OB,⃗OC共面,
所以BE,OA 共面,与已知条件BE 与OA 是异面直线矛盾,
所以0<<⃗OB,⃗OC><π
2 .
设t＝⃗OB·⃗OC＝4cos<⃗OB,⃗OC>∈(0,4),
所以|⃗BE|＝√(
1
2⃗OC −⃗OB)
2
＝√
1
4⃗OC
2＋⃗OB
2−⃗OC ·⃗OB＝√5−t∈(1,√5),
设异面直线BE 与OA 所成角为θ,
则cos θ＝|cos<⃗BE,⃗OA>|＝|⃗
BE·⃗OA
|⃗BE||⃗OA ||
＝
√2
|⃗BE|×2 ∈(
1
√10 , 1
√2),
所以tan θ＝sin θ
cos θ ＝√
1
co s
2θ
−1∈(1,3),
D 正确.
三、填空题(本大题共3 小题,每小题5 分,共15 分)
12.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若b＝acos C＋√3csin A,则A＝ .
答案 π
6
解析 因为b＝acos C＋√3csin A,
所以由正弦定理得sin B＝sin Acos C＋√3sin Csin A.
因为A＋B＋C＝π,
所以sin B＝sin(A＋C),
所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋√3sin Csin A,
所以cos Asin C＝√3sin Csin A.
因为0<C<π,所以sin C≠0,
所以cos A＝√3sin A,
即sin A
cos A ＝1
√3,所以tan A＝√3
3 .
又0<A<π,所以A＝π
6 .
13.(x−2
√x)
n
(n∈N*)的展开式中第4 项与第5 项的二项式系数相等,则展开式中x4的系数为
.
答案 84
解析 (x−2
√x)
n
(n∈N*)展开式的通项公式为Tr＋1＝Cn
rxn－r(−2
√x)
r
(0≤r≤n 且r∈N),
依题意Cn
3＝Cn
4,所以n＝3＋4＝7,
所以(x−2
√x)
7
展开式的通项公式为Tr＋1＝C7
rx7－r(−2
√x)
r
＝(－2)rC7
r x
7−3
2 r(0≤r≤7 且r∈N),
令7－3
2r＝4,解得r＝2,
所以T3＝(－2)2C7
2x4＝84x4,
所以展开式中x4的系数为84.
14.已知点M 在抛物线C:y2＝8x 上,过点M 作圆E:(x－2)2＋y2＝1 的两条切线,切点分别为P,Q,则⃗
PM·⃗PQ的最小值为 .
答案 3
2
解析 如图,圆E:(x－2)2＋y2＝1 的圆心为E(2,0),
半径为1,设M(
y0
2
8 , y0)
易知E 为抛物线C 的焦点,连接ME,
则|ME|＝y0
2
8 ＋2≥2,
当且仅当y0＝0 时取等号.
连接PE,PQ,设∠PME＝θ,
则∠PMQ＝2θ,|MP|＝| EP|
tan θ ＝
1
tan θ,
则⃗PM·⃗PQ＝⃗PM·(⃗PM ＋⃗MQ)
＝⃗PM
2－⃗MP·⃗MQ
＝|⃗MP|2－⃗MP·⃗MQ
＝|⃗MP|2－|⃗MP|·|⃗MQ|cos<⃗MP,⃗MQ>
＝|⃗MP|2－|⃗MP|2cos 2θ
＝(
1
tan θ)
2
(1－cos 2θ)
＝1−sin
2θ
sin
2θ
·2sin2θ＝2(1－sin2θ),
又0<sin θ＝| EP|
| EM | ＝
1
| EM | ≤1
2,
则0<sin2θ≤1
4,
所以3
4 ≤1－sin2θ<1,
则3
2≤⃗PM·⃗PQ<2,
所以⃗PM·⃗PQ 的最小值为3
2.
四、解答题(本题共13 分.考查方向:解几)
15.已知椭圆C: y
2
a
2 ＋x
2
b
2＝1(a>b>0)的焦距为2√6,且过点P(－1,2).
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A,B 两点,若直线x＝－1 平分∠APB,求证:直线AB 的斜率为
定值,并求出这个定值.
(1)解 点P(－1,2)在椭圆C 上,
∴4
a
2 ＋1
b
2＝1,①
∵焦距为2√6,∴a2＝b2＋6,②
由①②解得{
a
2＝8,
b
2＝2,
∴椭圆C 的标准方程为y
2
8 ＋x
2
2 ＝1.
(2)证明 由题意知,直线PA,PB 的斜率均存在且均不为0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA 的方程为y－2＝k(x＋1)(k≠0),
由{
y
2
8 ＋x
2
2 ＝1,
y −2＝k( x＋1),
消去y,并整理得(k2＋4)x2＋2k(k＋2)x＋k2＋4k－4＝0,
∴－x1＝k
2＋4 k −4
k
2＋4
,
即x1＝−k
2−4 k ＋4
k
2＋4
.
∵直线x＝－1 平分∠APB,
∴直线PA,PB 的斜率互为相反数.
则直线PB 的方程为y－2＝－k(x＋1),
同理可得x2＝−k
2＋4 k ＋4
k
2＋4
.
∵y1－2＝k(x1＋1),
y2－2＝－k(x2＋1),
两式相减得y1－y2＝k(x1＋x2)＋2k,
∴y1－y2＝k(x1＋x2)＋2k
＝k(
−k
2−4 k ＋4
k
2＋4
＋−k
2＋4 k ＋4
k
2＋4
)＋2k
＝16 k
k
2＋4 ,
x1－x2＝−k
2−4 k ＋4
k
2＋4
－−k
2＋4 k ＋4
k
2＋4
＝−8k
k
2＋4,
∴kAB＝
y1−y2
x1−x2
＝16k
k
2＋4·k
2＋4
−8k ＝－2,
即直线AB 的斜率为定值－2.
