专练5 14 小题＋1 大题(解几)
——节选自A10 联盟质检
一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)
1.已知集合A＝{x|x2－2x－8<0},B＝{－2,－1,1,2},则A∩B＝( )
A.{－2,－1,1}
B.{－1,1,2}
C.{－2,－1}
D.{1,2}
答案 B
解析 由题意得,A＝{x|－2<x<4},
所以A∩B＝{－1,1,2}.
2.已知向量a＝(1,0),b＝(x,2),若(a－2b)⊥a,则实数x＝( )
A.1
B.－1
C.1
2
D.－1
2
答案 C
解析 由题意得,a－2b＝(1,0)－2(x,2)＝(1－2x,－4),因为(a－2b)⊥a,所以1－2x＝0,解得x＝1
2.
3.若复数z 满足z－2z＝2＋3i,则z·i2 025＝( )
A.2－i
B.－2－i
C.1－2i
D.－1－2i
答案 D
解析 设z＝x＋yi(x,y∈R),则z＝x－yi,
∴z－2z＝x＋yi－2x＋2yi
＝－x＋3yi＝2＋3i,
则x＝－2,y＝1,∴z＝－2＋i,
∴z·i2 025＝(－2＋i)·i＝－1－2i.
4.已知α,β 是两个不重合的平面,m,n 是两条不同的直线,则下列命题中错误的是( )
A.若m∥n,n⊂α,则m∥α
B.若m∥α,m∥β,α∩β＝n,则m∥n
C.若m⊥α,m⊥β,则α∥β
D.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n
答案 A
解析 若m∥n,n⊂α,则m∥α 或m⊂α.
5.2025 年春节,国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球,更是于2 月18 日登顶全球动画榜.甲、乙、
丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡,每位同学
只去一个地方,每个地方至少去1 人,则不同的安排方法有( )
A.120 种
B.150 种
C.180 种
D.300 种
答案 B
解析 将五位同学分成三组,各组人数分别为1,1,3 或1,2,2.
当各组人数为1,1,3 时,
共有
C5
1C4
1C3
3
A2
2
× A3
3＝60 种安排方法;
当各组人数为1,2,2,时,
共有
C5
2C3
2C1
1
A2
2
× A3
3＝90 种安排方法,
所以不同的安排方法有60＋90＝150 种.
6.记Sn为数列{an}的前n 项和,若a3＝2S2,{
Sn
n }为等比数列,则
a9
a4
＝( )
A.64
B.32
C.16
D.8
答案 A
解析 ∵{
Sn
n }为等比数列,{
Sn
n }的首项为a1,
第二项为S2
2 ,第三项为S3
3 ＝S2＋a3
3
＝S2＋2S2
3
＝S2,
∴{
Sn
n }的公比为2,
∴Sn＝na1·2n－1,
∴当n≥2 时,an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)a1·2n－2,
显然当n＝1 时也符合,∴an＝(n＋1)a1·2n－2,
∴
a9
a4
＝(9＋1)a1·2
7
(4＋1)a1·2
2＝64.
7.已知M 是双曲线E: x
2
a
2－y2＝1(a≥√3
3 )上的任意一点,过M 作E 的两条渐近线的垂线,垂足分别为
P,Q,则|MP|·|MQ|的取值范围是( )
A.[
1
4 , 1
2]
B.[
1
4 , 1
2)
C.[
1
2 ,1)
D.[
1
4 ,1)
答案 D
解析 由题意,设M(m,n),则m
2
a
2 －n2＝1,
即m2－a2n2＝a2.
又因为渐近线方程为x±ay＝0,
所以|MP|·|MQ|＝|m −an|
√1＋a
2 ·|m ＋an|
√1＋a
2 ＝|m
2−a
2n
2|
1＋a
2
＝
a
2
1＋a
2∈[
1
4 ,1).
8.已知函数f(x)＝ex＋x 和g(x)＝ln(xex),若存在实数α,β,使得f(α)－g(β)＝0,则αβ 的最小值为( )
A.－e
B.－1
C.－1
e
D.－1
e
2
答案 C
解析 因为f(x)＝ex＋x＝ex＋ln ex,g(x)＝ln x＋x,
所以f(α)＝eα＋ln eα,g(eα)＝eα＋ln eα,
而f(α)－g(β)＝0,故f(α)＝g(eα)＝g(β),
又g(x)＝ln x＋x 在定义域上单调递增,
则β＝eα,于是αβ＝αeα.
设h(α)＝αeα,则h'(α)＝(α＋1)eα,
当α∈(－∞,－1)时,h'(α)<0,h(α)单调递减,当α∈(－1,＋∞)时,h'(α)>0,h(α)单调递增,所以h(α)min
＝h(－1)＝－1
e.
二、选择题(本大题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0 分)
9.一组样本数据如下:47,48,49,50,50,51,52,53,则( )
A.该组数据的平均数为50
B.该组数据的中位数为50
C.该组数据的方差为3
D.该组数据的第80 百分位数为51.5
答案 AB
解析 平均数为x＝47＋48＋49＋50＋50＋51＋52＋53
8
＝50,故A 正确;
中位数为50＋50
2
＝50,故B 正确;
方差为s2＝1
8[(47－50)2＋(48－50)2＋(49－50)2＋(50－50)2×2＋(51－50)2＋(52－50)2＋(53－50)2]＝
7
2,故C 错误;
因为8×80%＝6.4,第80 百分位数为52,故D 错误.
10.已知O 为坐标原点,P(5,3),直线l 过抛物线C:y2＝4x 的焦点F,且与C 交于A,B 两点,则( )
A.|AF|＋4|BF|≥9
B.当S△AOF＝2S△BOF时,|AB|＝9
2
C.∠AOB 可以为π
2
D.△PAF 周长的最小值是11
答案 ABD
解析 设直线AB 的解析式为x＝my＋1,
联立{
y
2＝4 x ,
x＝my ＋1,消x 得y2－4my－4＝0,
Δ＝16m2＋16>0,∴yA＋yB＝4m,yAyB＝－4.
由抛物线定义知,|AF|＝xA＋1,
|BF|＝xB＋1,
∴|AF|＋4|BF|＝xA＋4xB＋5
＝y A
2
4 ＋yB
2＋5＝
y A
2
4 ＋16
y A
2 ＋5≥9,
当且仅当y A
2 ＝8 时等号成立,故A 正确;
设点O 到直线AB 的距离为d,
则S△AOF＝1
2d·|AF|,
S△BOF＝1
2d·|BF|,
∴
S△AOF
S△BOF
＝
1
2 d·| AF |
1
2 d·|BF |
＝| AF |
|BF | ＝2,
∴|AF|＝2|BF|,∴xA＋1＝2(xB＋1),
即xA－2xB＝1.
∵xAxB＝( y A yB)
2
16
＝1,
∴xB＝1
x A,∴xA－2xB＝xA－2
x A＝1,
解得xA＝2 或xA＝－1(负值舍去),
则xB＝1
x A
＝1
2,
∴|AB|＝xA＋1＋xB＋1＝9
2.故B 正确;
∵⃗OA ·⃗OB＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3<0,
∴∠AOB>π
2 ,故C 错误;
由抛物线的定义知,|PA|＋|AF|的最小值是点P 到抛物线准线x＝－1 的距离,
∴|AP|＋|AF|的最小值为6,又|PF|＝5,∴△PAF 周长的最小值是11,故D 正确.
11.由函数g(x),h(x)相加后得到的函数,具有优美的图象和性质,称为“优生成函数”.已知g(x)＝
2sin x,h(x)＝|sin 2x|,其优生成函数记为f(x),则( )
A.f(x)的图象关于直线x＝－π
2 对称
B.f(x)在区间(
3 π
2 ,2π)上先增后减
C.f(x)的值域为[−2, 3√3
2 ]
D.f(x)在区间[0,10π]上有11 个零点
答案 ACD
解析 易知“优生成函数”为f(x)＝2sin x＋|sin 2x|,
因为f(－π－x)＝2sin(－π－x)＋|sin(－2π－2x)|＝2sin x＋|sin 2x|＝f(x),
所以f(x)关于直线x＝－π
2 对称,故A 正确;
显然f(x＋2π)＝2sin(x＋2π)＋|sin(2x＋4π)|＝2sin x＋|sin 2x|＝f(x),
所以2π 是函数f(x)的周期,所以f(x)在区间(
3 π
2 ,2π)上单调性与在区间(−π
2 ,0)上的单调性相同,
设x∈(−π
2 ,0),则f(x)＝2sin x－sin 2x,
f'(x)＝2cos x－2cos 2x＝－4cos2x＋2cos x＋2＝－2(cos x－1)(2cos x＋1)>0,
故f(x)在区间(−π
2 ,0)上单调递增,故B 错误;
由f(x)关于x＝－π
2 对称及2π 是函数f(x)的周期知,只需考查x∈[−π
2 , π
2]时f(x)的值域,
因为f(−π
2)＝－2＋0＝－2,f(0)＝0＋0＝0,
f(x)在区间(−π
2 ,0)上单调递增,
故当x∈[−π
2 ,0]时,－2≤f(x)≤0.
当x∈[0, π
2]时,f(x)＝2sin x＋sin 2x,
f'(x)＝2cos x＋2cos 2x
＝2(2cos x－1)(cos x＋1),
所以f(x)在区间[0, π
3]上单调递增,在区间(
π
3 , π
2]上单调递减,故当x∈[0, π
2]时,0≤f(x)≤f
(
π
3)＝3√3
2 ,故C 正确;
易知f(x)在区间[0,10π]上,零点分别为0,π,2π,…,9π,10π,故D 正确.
三、填空题(本大题共3 小题,每小题5 分,共15 分)
12.已知圆C:x2＋y2－mx－4＝0 上存在两点关于直线x－y－3＝0 对称,则圆C 的半径为 .
答案 √13
解析 因为圆上存在两点关于直线x－y－3＝0 对称,
所以直线x－y－3＝0 过圆心(
m
2 ,0),
从而m
2 －3＝0,解得m＝6,
则圆C 的方程为(x－3)2＋y2＝13,
故圆C 的半径为√13.
13.在棱长为2 的正方体ABCD－A1B1C1D1中,P 是B1D1的中点,则三棱锥P－A1BD 的外接球的表面
积为 .
答案 11π
解析 如图,∵P 为B1D1的中点,∴A1P⊥B1P.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1P⊂平面A1B1C1D1,
∴A1P⊥BB1.
∵B1P∩BB1＝B1,B1P,BB1⊂平面PB1B,
∴A1P⊥平面PB1B.
∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,
∴A1P＝√2,BD＝2√2,
BP＝DP＝√2
2＋(√2)
2＝√6,
∴cos∠BPD＝B P
2＋D P
2−B D
2
2BP·DP
＝6＋6−8
2×6
＝1
3,
∴sin∠BPD＝2√2
3 ,∴△BPD 的外接圆半径为r＝
BD
2sin ∠BPD ＝2√2
4√2
3
＝3
2,
∴所求问题等价于求以r＝3
2为半径的底面圆,高为h＝A1P＝√2的圆柱的外接球表面积.
设圆柱的外接球半径为R,
则R＝√r
2＋(
h
2)
2
＝√
9
4 ＋(
√2
2 )
2
＝√11
2 ,
∴三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝11π.
14.已知函数f(x)＝x3－2√2x＋1,若过点(0,1)的两条互相垂直的直线分别与f(x)的图象交于另外的点
A,C 和B,D,且四边形ABCD 为正方形,则这两条直线的斜率之和为 .
答案 －√2
解析 ∵f(－x)＋f(x)＝2,
∴函数f(x)的图象关于点(0,1)中心对称,
不妨设直线AC 的方程为y＝kx＋1(k>0),
由x3－2√2x＋1＝kx＋1,
得x3－(2√2＋k)x＝0,解得x＝0 或x＝√2√2＋k或x＝－√2√2＋k,
则|AC|＝2√1＋k
2·√2√2＋k,
同理可得|BD|＝2√
1＋1
k
2·√2√2−1
k ,
由|AC|2＝|BD|2,
得k3＋1
k
3＋k＋1
k ＋2√2(k
2−1
k
2)＝0,
即(k ＋1
k)(k
2−1＋1
k
2)＋k＋1
k ＋
2√2(k ＋1
k)(k −1
k)＝0,
即k2－1＋1
k
2＋1＋2√2(k −1
k)＝0,
即(k −1
k)
2
＋2√2(k −1
k)＋2＝0,
令t＝k－1
k ,则t2＋2√2t＋2＝0,
∴t＝k－1
k ＝－√2,
∴这两条直线的斜率之和为－√2.
四、解答题(本题共13 分.考查方向:解几)
15.已知椭圆C: x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的短轴长为2√5,且离心率为2
3.
(1)求C 的方程;
(2)若A,B 分别是C 的左、右顶点,设直线x＝5 与x 轴交于点P,点Q 是直线x＝5 上不同于点P 的
一点,直线BQ 与C 交于另一点M,直线AM 与x＝5 交于点N,是否存在点Q,使得∠QAN＝∠PMN?
若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
解 (1)由题意得{
2b＝2√5,
e＝c
a ＝2
3 ,
a
2＝b
2＋c
2,
解得{
a＝3,
b＝√5,
c＝2,
∴椭圆C 的方程为x
2
9 ＋y
2
5 ＝1.
(2)假设存在点Q,使得∠QAN＝∠PMN,则AQ∥PM,∴kAQ＝kPM.
设Q(5,y0),M(x1,y1),
则kAQ＝y0
8 ,kPM＝
y1
x1−5,kBQ＝y0
2 ,
∴
y0
8 ＝
y1
x1−5,直线BQ 的方程为
y＝y0
2 (x－3).
∵点M(x1,y1)在直线BQ 上,
∴y1＝y0
2 (x1－3),∴y0
8 ＝
y0
2 ( x1−3)
x1−5
,
∵点Q 是直线x＝5 上异于点P 的一点,∴y0≠0,
∴1
8 ＝
x1−3
2( x1−5),解得x1＝7
3,
∵点M(x1,y1)在椭圆C 上,∴49
81 ＋y1
2
5 ＝1,
解得y1＝4√10
9
或y1＝－4√10
9
,
当y1＝4√10
9
时, y0
8 ＝
4√10
9
7
3 −5
,
解得y0＝－4√10
3
;
当y1＝－4√10
9
时, y0
8 ＝
−4√10
9
7
3 −5
,
解得y0＝4√10
3
,
∴存在点Q,使得∠QAN＝∠PMN,点Q 的坐标为(5, 4√10
3 )或(5,−4√10
3 )
