专练2 14 小题＋1 大题(数列)
——节选自南京、盐城模拟
一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)
1.设集合A＝{x|x2－4≤0},B＝{x|x＋a≤0}.若A⊆B,则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞,2)
B.(－∞,2]
C.(－∞,－2)
D.(－∞,－2]
答案 D
解析 由x2－4≤0 可得A＝[－2,2],由x＋a≤0 可得B＝(－∞,－a],
又A⊆B,所以2≤－a,即a≤－2,故D 正确.
2.已知复数z 满足
1
z＋i＝i(i 为虚数单位),则|z|＝( )
A.4
B.2
C.1
D.1
2
答案 B
解析 因为
1
z＋i＝i,所以z＋i＝1
i ＝i
i
2＝－i,
所以z＝－2i,所以|z|＝2.
3.已知a,b,c 均为单位向量.若a＝b＋c,则b 与c 夹角的大小是( )
A.π
6
B.π
3
C.2π
3
D.5 π
6
答案 C
解析 已知a＝b＋c,
两边平方可得a2＝(b＋c)2.
所以a2＝b2＋2b·c＋c2.
因为a,b,c 均为单位向量,
所以|a|＝|b|＝|c|＝1.
可得1＝1＋2b·c＋1.
则b·c＝－1
2.
设b 与c 的夹角为θ,0≤θ≤π,且|b|＝|c|＝1,b·c＝－1
2,可得－1
2＝1×1×cos θ,
即cos θ＝－1
2.
因为0≤θ≤π,所以θ＝2π
3 ,
则b 与c 夹角的大小是2π
3 .
4.某项比赛共有10 个评委评分,若去掉一个最高分与一个最低分,则与原始数据相比,一定不变的
是( )
A.极差
B.45 百分位数
C.平均数
D.众数
答案 B
解析 对于A,若每个数据都不相同,则极差一定变化,故A 错误;
对于B,由10×0.45＝4.5<5,
所以将10 个数据从小到大排列,45 百分位数为第5 个数据,
从10 个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分,得到8 个有效评分,8×0.45＝3.6<4,
所以45 百分位数为8 个数据从小到大排列后第4 个数据,即为原来的第5 个数据.
对于C,去掉一个最高分一个最低分,平均数可能变化,故C 错误;
对于D,去掉一个最高分一个最低分,众数可能变化,故D 错误.
5.已知数列{an}为等比数列,公比为2,且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24,则正整数
k 的值是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案 B
解析 因为数列{an}为等比数列,公比为2,且a1＋a2＝3,
所以a1＋2a1＝3,解得a1＝1,
故an＝2n－1,因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29)
＝2k－1·1−2
10
1−2 ＝2k＋9－2k－1＝214－24,
解得k＝5.
6.在锐角△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若b－2c＝acos C－2acos B,则c
b＝( )
A.1
3
B.1
2
C.1
D.2
答案 D
解析 如图所示,过点A 作AD⊥BC 于点D,
则BD＝ccos B,CD＝bcos C,∴a＝BD＋CD＝ccos B＋bcos C,
同理可证b＝acos C＋ccos A,c＝acos B＋bcos A,
因为b－2c＝acos C－2acos B,
所以acos C＋ccos A－2(acos B＋bcos A)＝acos C－2acos B,
整理得ccos A＝2bcos A,因为△ABC 为锐角三角形,所以cos A≠0,所以c＝2b,
即c
b＝2.
7.已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)的左焦点、右顶点分别为F,A,过点F 倾斜角为π
6 的直线交C
的两条渐近线分别于点M,N.若△AMN 为等边三角形,则双曲线C 的渐近线方程是( )
A.y＝±√3
3 x
B.y＝±2√3
3 x
C.y＝±√3x
D.y＝±4√3
3 x
答案 C
解析 由题意可得A(a,0),F(－c,0),
所以直线MN 的方程为y＝√3
3 (x＋c),
由{
y ＝√3
3 ( x＋c),
y ＝b
a x ,
可得M(
ac
√3b−a ,
bc
√3b−a),
由{
y ＝√3
3 ( x＋c),
y ＝−b
a x ,
可得N(
−ac
√3b＋a ,
bc
√3b＋a),
因为△AMN 为等边三角形,所以|AM|＝|AN|,
即(
ac
√3b−a −a)
2
＋(
bc
√3b−a)
2
＝(
−ac
√3b＋a −a)
2
＋(
bc
√3b＋a)
2
,
整理可得b2＝3a2,所以b
a ＝√3,
所以双曲线C 的渐近线方程是y＝±√3x.
8.已知函数f(x)＝
1
a
2 x＋1－ax3,a>1,则关于x 的不等式f(x2)＋f(5x－6)>1 的解集是( )
A.(－6,1)
B.(2,3)
C.(－∞,1)
D.(2,＋∞)
答案 A
解析 由1－f(－x)＝1－
1
a
−2 x＋1＋a(－x)3＝1－
a
2 x
1＋a
2 x－ax3＝
1
a
2 x＋1－ax3＝f(x),
则1－f(5x－6)＝f(6－5x),由a>1,
则函数y＝a2x在R 上单调递增,
易知函数f(x)在R 上单调递减,
由f(x2)＋f(5x－6)>1,
则f(x2)>1－f(5x－6),
即f(x2)>f(6－5x),
可得x2<6－5x,解得－6<x<1.
二、选择题(本大题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0 分)
9.已知cos αcos β＝1
4,cos(α＋β)＝1
3,则( )
A.sin αsin β＝1
12
B.cos(α－β)＝1
6
C.tan αtan β＝－1
3
D.sin 2αsin 2β＝1
12
答案 BC
解析 由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1
3,且cos αcos β＝1
4,
则sin αsin β＝－1
12,故A 错误;
由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1
4 －1
12 ＝1
6,故B 正确;
由tan αtan β＝sin α sin β
cos α cos β ＝
−1
12
1
4
＝－1
3,故C 正确;
由sin 2αsin 2β＝2sin αcos α·2sin βcos β＝4sin αsin βcos αcos β＝4×(−1
12)× 1
4＝－1
12,故D 错
误.
10.在边长为2 的菱形ABCD 中,∠BAD＝π
3 ,将菱形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A'BCD,使得
∠A'BC＝π
2 ,则( )
A.直线A'C 与直线BD 所成角为π
2
B.直线A'C 与平面BCD 所成角的余弦值为√6
3
C.四面体A'BCD 的体积为4√2
3
D.四面体A'BCD 外接球的表面积为8π
答案 ABD
解析 如图所示,取BD 的中点E,连接A'E,CE,
因△A'BD 和△BDC 为等边三角形,则A'E⊥BD,CE⊥BD,
因A'E∩CE＝E,A'E⊂平面A'EC,CE⊂平面A'EC,则BD⊥平面A'EC,
因A'C⊂平面A'EC,则BD⊥A'C,故A 正确;
因BD⊥平面A'EC,则A'在平面BCD 内的投影落在直线EC 上,
故∠A'CE 为直线A'C 与平面BCD 所成角,
因∠A'BC＝π
2 ,|A'B|＝|BC|＝2,
则|A'C|＝2√2,
因|A'E|＝|EC|＝√3,
则在△A'EC 中,边A'C 上的高为1,
则cos∠A'CE＝√2
√3 ＝√6
3 ,故B 正确;
因S△A'EC＝1
2×2√2×1＝√2,BD⊥平面A'EC,则V 三棱锥A'－BCD＝1
3S△A'EC·|BD|＝1
3 ×√2×2＝2√2
3 ,故C
错误;
点O1,O2分别为△A'BD 和△BDC 的外心,过O1,O2分别作O1O⊥平面A'BD,O2O⊥平面
BDC,O1O∩O2O＝O,
则点O 为球心,则|CO2|＝2√3
3 ,
|EO2|＝|EO1|＝√3
3 ,
在△A'EC 中,tan ∠A ' EC
2
＝√2,
故|OO2|＝|EO2|tan∠A ' EC
2
＝√3
3 ×√2＝√6
3 ,
则|OC|2＝|O O2|
2＋|C O2|
2
＝(
√6
3 )
2
＋(
2√3
3 )
2
＝2,
则四面体A'BCD 外接球的表面积为4π×2＝8π,故D 正确.
11.已知函数f(x)满足:对任意x,y∈R,xf(y)＋yf(x)＝f(xy),且当0<x<1 时,f(x)>0.下列说法正确的是(
)
A.f(0)＋f(1)＝0
B.f(x)为偶函数
C.当|x|>1 时,xf(x)<0
D.f(x)在(1,＋∞)上单调递减
答案 ACD
解析 因为x,y∈R,xf(y)＋yf(x)＝f(xy),
令x＝0,y＝0,可得0f(0)＋0f(0)＝f(0×0),所以f(0)＝0,
令x＝1,y＝1,可得1f(1)＋1f(1)＝f(1×1),所以f(1)＝0,
所以f(0)＋f(1)＝0,A 正确;
由xf(y)＋yf(x)＝f(xy),令y＝－1 可得,xf(－1)－f(x)＝f(－x),
再将xf(－1)－f(x)＝f(－x)中的x 替换为－1,可得－f(－1)－f(－1)＝f(1),
所以f(－1)＝0,所以－f(x)＝f(－x),所以函数f(x)为奇函数,B 错误;
当x≠0 时,将xf(y)＋yf(x)＝f(xy)中的y 用1
x 替换,
可得xf(
1
x)＋1
x f(x)＝f(1)＝0,
即xf(x)＝－x3f(
1
x),
当x>1 时,0<1
x <1,由已知可得f(
1
x)>0,
所以xf(x)<0,f(x)<0,
又函数f(x)为奇函数,所以当x<－1 时,f(x)>0,xf(x)<0,
所以当|x|>1 时,xf(x)<0,C 正确;
因为xf(y)＋yf(x)＝f(xy),所以若xy≠0,则f ( y)
y
＋f ( x)
x
＝f ( xy )
xy
,
任取x1,x2∈(1,＋∞),且x1<x2,
则f ( x2)
x2
－f ( x1)
x1
＝
f(
x2
x1
× x1)
x2
x1
× x1
－f ( x1)
x1
＝
f(
x2
x1)
x2
x1
＋f ( x1)
x1
－f ( x1)
x1
＝x1
x2
f(
x2
x1),
因为x2>x1>0>1,所以
x2
x1
>1,0<
x1
x2
<1,
所以
f ( x2)
x2
－f ( x1)
x1
<0,所以
f ( x2)
x2
<
f ( x1)
x1
,
所以函数f ( x)
x
在(1,＋∞)上单调递减,
设y＝x·f ( x)
x
,
当x>1 时,y'＝f ( x)
x
＋x[f ( x)
x
]',
因为f(x)<0,所以f ( x)
x
<0,
因为函数f ( x)
x
在(1,＋∞)上单调递减,
所以[f ( x)
x
]'≤0,所以y'<0,
所以f(x)在(1,＋∞)上单调递减,D 正确.
三、填空题(本大题共3 小题,每小题5 分,共15 分)
12.若函数f(x)＝sin x＋acos x 的图象关于直线x＝π
6 对称,则实数a 的值是 .
答案 √3
解析 因为函数f(x)＝sin x＋acos x 的图象关于直线x＝π
6 对称,
所以f(
π
6 ＋x)＝f(
π
6 −x),
所以sin(
π
6 ＋x)＋acos(
π
6 ＋x)
＝sin(
π
6 −x)＋acos(
π
6 −x),
所以sin(
π
6 ＋x)－sin(
π
6 −x)
＝a[cos(
π
6 −x)−cos(
π
6 ＋x)],
所以2cosπ
6 sin x＝2asinπ
6 sin x,
因为sin x 不恒为0,所以cosπ
6 ＝asinπ
6 ,
所以a＝√3.
13.已知椭圆C: x
2
2 ＋y2＝1 的上顶点为A,直线l:y＝kx＋m 交C 于M,N 两点.若△AMN 的重心为
(
1
2 ,0),则实数k 的值是 .
答案 3
4
解析 已知椭圆C: x
2
2 ＋y2＝1,上顶点坐标为A(0,1).
设M(x1,y1),N(x2,y2),因为△AMN 的重心为(
1
2 ,0),
所以0＋x1＋x2
3
＝1
2,1＋y1＋y2
3
＝0.
由0＋x1＋x2
3
＝1
2可得x1＋x2＝3
2;
由1＋y1＋y2
3
＝0 可得y1＋y2＝－1.
直曲联立,将直线l:y＝kx＋m 代入椭圆C: x
2
2 ＋y2＝1,可得x
2
2 ＋(kx＋m)2＝1.
展开并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
根据韦达定理可知x1＋x2＝－4 km
1＋2k
2.
又因为y1＝kx1＋m,
y2＝kx2＋m,
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m
＝k×(−
4 km
1＋2k
2)＋2m
＝
2m
1＋2k
2.
由x1＋x2＝3
2可得－4 km
1＋2k
2 ＝3
2 ;①
由y1＋y2＝－1 可得
2m
1＋2k
2＝－1.②
由②可得m＝－1＋2k
2
2
,将其代入①可得
－4 k ×(−1＋2k
2
2 )
1＋2k
2
＝3
2
,
则2k＝3
2,解得k＝3
4.
当k＝3
4时,代入②可得m＝－17
16,
此时直线l:y＝3
4x－17
16 与椭圆x
2
2 ＋y2＝1 有两个交点,符合题意.
14.将9 个互不相同的向量ai＝(xi,yi),xi,yi∈{－1,0,1},i＝1,2,…,9,填入3×3 的方格中,使得每行、
每列的三个向量的和都相等,则不同的填法种数是 .
答案 72
解析 已知ai＝(xi,yi),xi,yi∈{－1,0,1},i＝1,2,…,9,
那么向量ai的所有可能情况有(－1,－1),(－1,0),(－1,1),(0,－1),(0,0),(0,1),(1,－1),(1,0),(1,1)
共9 种.
设每行、每列的三个向量的和为s＝(m,n),
因为xi,yi∈{－1,0,1},所以m,n∈{－3,－2,－1,0,1,2,3}.
又因为三行向量和等于三列向量和,且所有向量和为
9
∑
i=1
ai,所以3s＝
9
∑
i=1
ai,
而
9
∑
i=1
ai的x 分量和y 分量都为0(xi,yi取值－1,0,1 且各有3 个),所以s＝(0,0).
要使每行、每列的三个向量和为(0,0),则每行、每列的三个向量的x 分量和y 分量都分别为0.
对于x 分量,3 个数的和为0,有(－1,0,1)这一种组合情况;
对于y 分量,3 个数的和为0,也有(－1,0,1)这一种组合情况.
先确定第一行的填法,第一行的3 个向量的x 分量和y 分量都要满足(－1,0,1)的组合,x 分量的排列
有A3
3＝3!＝6 种,y 分量的排列也有A3
3＝3!＝6 种,所以第一行的填法有6×6＝36 种.
当第一行确定后,第二行第一列的向量x 分量要与第一行第一列和第三行第一列的x 分量和为0,y
分量同理,所以第二行第一列的向量是唯一确定的,同理第二行第二列、第二行第三列的向量也唯
一确定,第三行的向量也就随之确定.
因为第一行确定后,第二行和第三行可以交换位置.
所以不同的填法种数是36×2＝72 种.
四、解答题(本题共13 分.考查方向:数列)
15.已知数列{an}的前n 项和Sn满足Sn
n ＝an＋(1－n)t,n∈N*,t 为常数,且a2＝a1＋2.
(1)求t 的值;
(2)证明:{an}为等差数列;
(3)若n2<Sn<(n＋1)2,n∈N*,求a1的取值范围.
(1)解 因为Sn
n ＝an＋(1－n)t,n∈N*,
所以S2
2 ＝a2－t,
又S2＝a1＋a2,所以a2－a1＝2t.
又a2＝a1＋2,所以t＝1.
(2)证明 由(1)可得Sn
n ＝an＋1－n,n∈N*,
所以Sn＝nan＋n－n2,
因此Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋n＋1－(n＋1)2,
相减得an＋1＝(n＋1)an＋1－nan－2n,
得an＋1－an＝2,n∈N*,
所以{an}为等差数列.
(3)解 由(2)得Sn＝na1＋n(n−1)
2
×2
＝n2＋(a1－1)n,
由n2<Sn<(n＋1)2,n∈N*,
得1<a1<3＋1
n.
因为1<a1<3＋1
n对n∈N*恒成立,
所以1<a1≤3
