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微专题8 解决动力学问题的三大观点
多过程问题
[例1] (2025·山东·一模)质量m＝20 g、可视为质点的小石片从距液面高h0
处的P 点以初速度v0＝8 m/s 水平飞出后，从A 点与液面成α＝37°角射入某种液
体中，然后从B 点与液面成β＝45°角射出液面做斜上抛运动，到达最高点D 时
距离液面的高度h1＝0.2 m。已知小石片从A 点运动到B 点的过程中，水对小石
片的作用力在水平和竖直方向上的分量保持不变，A、B 两点间的距离L＝1
m，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力。求：
(1)小石片从A 点运动到B 点的过程中，该液体对小石片做的功W；
(2)小石片从抛出到第二次进入液面运动的时间t。
[解析] (1)由平抛运动规律可知，小石片在A 点速度大小v1＝v0
cosα
小石片在D 点速度大小v2x＝v2cos β
由机械能守恒定律有1
2 m v2
2＝mgh1+ 1
2 m v2 x
2
从A 点运动到B 点W＝1
2 m v2
2- 1
2 m v1
2
解得W＝－0.92 J。
(2)从P 点运动到A 点，时间t1＝v0 tan α
g
从A 点运动到B 点，水平方向有L＝v2 x+ v0
2
t2
从B 点运动到D 点，逆向思维法可知h1＝1
2 gt3
2
根据对称性可知t＝t1＋t2＋2t3＝1.2 s．
[答案] (1)－0.92 J (2)1.2 s
规律方法：
1．进行正确的受力分析，划分运动过程，明确各过程的运动特点。
2．当物体受到恒力作用，而且涉及时间、某一状态时，一般选用动力学方法。
3．当涉及曲线运动的某一状态时，要选用牛顿第二定律；当涉及曲线运动的过
程时，一般选用动能定理、能量守恒定律。
4．当涉及功、能、位移时，一般选用动能定理、能量守恒定律。
[针对训练1] (2025·江西南昌·三模)(多选)将一扫地机器人在材质均匀的水
平地板上进行测试，获得了机器人在直线运动中水平牵引力大小随时间变化的
图像如图甲所示，机器人的加速度a 随时间变化的图像如图乙所示。不计空气
阻力，重力加速度大小取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．机器人的质量为1.5 kg
B．3 s 时机器人的速度大小为8 m/s
C．在0～4 s 时间内，合外力的冲量大小为13.5 N·s
D．在0～4 s 时间内，合外力做的功为62.75 J
AC [由题图甲可知，水平牵引力F 随时间变化的关系为F＝3t(N)，由题图乙
可知t＝1 s 时，机器人开始有加速度，则有F1＝μmg＝3 N，t＝4 s 时，根据牛顿
第二定律可得a4＝F4- μmg
m
＝12 N - μmg
m
＝6 m/s2，联立解得μ＝0.2，m＝1.5
kg，故A 正确；a-t 图线与横轴围成的面积表示速度变化量，又因为初速度为
0，故面积即表示末速度，所以3 s 时机器人的速度大小为v3＝1
2×4×2 m/s＝4
m/s，故B 错误；由a-t 图线可知4 s 时机器人的速度大小为v4＝1
2×6×3 m/s＝9
m/s，根据动量定理可知，在0～4 s 时间内，合外力的冲量大小为I 合＝mv4－0
＝1.5×9 N·s＝13.5 N·s，故C 正确；根据动能定理可知，在0～4 s 时间内，
合外力做的功为W＝1
2 mv4
2－0＝1
2×1.5×92 J＝60.75 J，故D 错误。故选AC。]
[针对训练2] (2024·重庆卷节选)如图所示，M、N 两个钉子固定于相距a 的
两点，M 的正下方有不可伸长的轻质细绳，一端固定在M 上，另一端连接位于
M 正下方放置于水平地面质量为m 的小木块B，绳长与M 到地面的距离均为
10a，质量为2m 的小木块A，沿水平方向与B 发生弹性碰撞，碰撞时间极短，
A 与地面间动摩擦因数为5
48，重力加速度为g，忽略空气阻力和钉子直径，不
计绳被钉子阻挡和绳断裂时的机械能损失。
(1)若碰后，B 在竖直面内做圆周运动，且能经过圆周运动最高点，求B 碰后瞬
间速度的最小值；
(2)若改变A 碰前瞬间的速度，碰后A 运动到P 点停止，B 在竖直面圆周运动旋
转2 圈，经过M 正下方时细绳断开，B 也来到P 点，求B 碰后瞬间的速度大小；
(3)若拉力达到12mg 时细绳会断，上下移动N 的位置，保持N 在M 正上方，B
碰后瞬间的速度与(2)问中的相同，使B 旋转n 圈。经过M 正下方时细绳断开，
求M、N 之间距离的范围。
[解析] (1)碰后B 能在竖直面内做圆周运动，轨迹半径为10a，设B 碰后瞬间
速度大小最小为v0，最高点速度大小为v，在最高点时由牛顿第二定律有mg＝
m v
2
10a
B 从最低点到最高点由动能定理可得－mg×2×10a＝1
2 mv
2- 1
2 mv0
2
解得v0＝5√2 ga。
(2)A 和B 碰撞过程中动量守恒，设碰前A 的速度大小为v1，碰后A 的速度大小
为v2，碰后B 的速度大小为v3，则有2mv1 ＝ 2mv2＋mv3
1
2 ×2m v1
2＝1
2 ×2m v2
2+ 1
2 m v3
2
碰后A 减速到0，有μ×2mgL＝1
2 ×2mv2
2
碰后B 做两周圆周运动，绳子在M、N 间缠绕2 圈，缩短4a，在M 正下方时，
离M 的距离为6a，离地面的距离为4a，此时速度大小为v4，由功能关系得
mg×4a＝1
2 m v3
2- 1
2 m v4
2
B 随后做平抛运动，有4a＝1
2gt2
L＝v4t
解得v3＝4√5 ga。
(3)设M、N 间距离为h，B 转n 圈后到达M 正下方时的速度大小为v5，绳缩短
2nh，绳断开时，以M 为圆心，由牛顿第二定律得12mg－mg≤m
v5
2
10a-2nh(n
＝ 1，2，3，…)
以N 为圆心，由牛顿第二定律得12mg－mg≥m
v5
2
10a-2(n- 1
2 )h(n ＝ 1，2，
3，…)
从碰后到B 转n 圈后到达M 正下方，由功能关系得mg×2nh＝1
2mv3
2－1
2mv5
2(n
＝ 1，2，3，…)
解得5a
3n≤h≤
30a
18n-11(n ＝ 1，2，3，…)
[答案] (1)5√2 ga (2)4√5 ga (3)5a
3n≤h≤
30a
18n-11(n ＝ 1，2，3，…)
[针对训练3] (2025·陕晋青宁卷)如图，有两个电性相同及质量分别为m、4m
的粒子A、B，初始时刻相距l0，粒子A 以速度v0沿两粒子连线向速度为0 的粒
子B 运动，此时A、B 两粒子系统的电势能等于1
25 m v0
2。经时间t1粒子B 到达
P 点，此时两粒子速度相同，同时开始给粒子B 施加一恒力，方向与速度方向
相同。当粒子B 的速度为v0时，粒子A 恰好运动至P 点且速度为0，A、B 粒
子间距离恢复为l0，这时撤去恒力。任意两带电粒子系统的电势能与其距离成
反比，忽略两粒子所受重力。求：(m、l0、v0、t1均为已知量)
(1)粒子B 到达P 点时的速度v1；
(2)t1时间内粒子B 的位移xB；
(3)恒力作用的时间t2。
[解析] (1)施加恒力前的过程，两粒子组成的系统所受合外力为零，动量守恒，
则有
mv0＝(m＋4m)v1
解得v1＝v0
5 ，方向水平向右。
(2)设B 到达P 点(A、B 共速)时，系统的电势能为Ep2，则由能量守恒得
1
2 m v0
2＋Ep1＝1
2
(m+ 4 m)v1
2＋Ep2
代入Ep1＝1
25 mv0
2
解得Ep2＝11
25 m v0
2
设A 与B 共速时A、B 间距离为r，因电势能与距离成反比，则有
E p1
E p2
＝r
l0
解得r＝l0
11
在t1 时间内，由动量守恒有mv0 ＝mvA＋4mvB，可得mv0Δt ＝mvA·Δt ＋
4mvB·Δt
两边对时间累加求和，有mv0t1＝mxA＋4mxB
由位移关系得l0＋xB＝xA＋r
联立解得xB＝v0t1
5 －2l0
11 ，方向水平向右。
(3)在恒力作用的t2时间内，对A、B 系统，由功能关系得
F l0+ 1
2 (m+ 4 m)v1
2+ 11
25 mv0
2＝1
2 ×4 mv0
2+ 1
25 mv0
2
解得F＝3m v0
2
2l0
由动量定理得Ft2＝0＋4mv0－5mv1
解得t2＝
2l0
v0
。
[答案] (1)1
5v0，方向水平向右 (2)v0t1
5 －2l0
11 ，方向水平向右 (3)
2l0
v0
传送带问题
[例2] (2025·辽宁大连·二模)物流公司传送小件货物，简化的传输系统如图
所示。曲面AB 末端与水平面BC 平滑连接于B 点，水平面BC 与传送带等高。
工人将小件甲从A 点由静止释放，运动到C 点时以速度v0＝4 m/s，与遗留在平
面末端C 点的小件乙发生碰撞(碰撞时间极短，碰撞前后甲、乙在同一条直线上
运动)，碰后甲、乙分别以速度v1＝1.5 m/s 和v2＝5 m/s 冲上顺时针运行的传送
带上，传送带的速度v＝4 m/s，传送带足够长。已知曲面高度h＝1 m，小件甲
的质量m1＝4 kg，小件甲、乙均可视为质点，且与传送带间的动摩擦因数均为
μ＝0.5，重力加速度取10 m/s2。求：
(1)小件甲从A 点运动到C 点过程中克服摩擦阻力所做的功；
(2)小件乙的质量m2及甲、乙碰撞过程损失的机械能；
(3)小件甲和乙冲上传送带到都与传送带共速过程中，传送带的电动机需额外多
消耗的电能。
[解析] (1)甲从A 到C，由动能定理
m1gh－Wf＝1
2 m1v0
2－0
得Wf＝8 J。
(2)甲、乙碰撞，由动量守恒定律有m1v0＝m1v1＋m2v2
解得m2＝2 kg
则损失的机械能
ΔE 机＝1
2 m1v0
2-(
1
2 m1v1
2+ 1
2 m2v2
2)
解得ΔE 机＝2.5 J。
(3)甲冲上传送带先做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律μm1g＝m1a1
可得a1＝5 m/s2
甲加速到与传送带共速的时间Δt1＝
v - v1
a1
＝0.5 s
此过程传送带发生的位移x1＝vΔt1＝2 m
传送带克服小件甲摩擦力做功Wf1＝μm1gx1＝40 J
乙冲上传送带先做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律μm2g＝m2a2
可得a2＝5 m/s2
乙减速到与传送带共速的时间Δt2＝
v - v2
-a2
＝0.2 s
此过程传送带发生的位移x2＝vΔt2＝0.8 m
小件乙对传送带的摩擦力做了正功Wf2＝μm2gx2＝8 J
电动机需额外消耗的电能ΔE 电＝Wf1－Wf2＝32 J。
[答案] (1)8 J (2)2 kg 2.5 J (3)32 J
规律方法：
1．摩擦力的方向及存在阶段的判断
理清物体与传送带间的相对运动方向及摩擦力方向是解决传送带问题的关键。
2．物体能否达到与传送带共速的判断
物体与传送带达到相同速度时往往出现摩擦力突变的临界状态，对这一临界状
态进行分析往往是解题的突破口。
3．摩擦生热的计算：①Q＝Ffs 相对，其中s 相对为相互摩擦的两个物体间的相对
路程。②传送带因传送物体多消耗的能量等于物体增加的机械能与系统产生的
内能之和。
[针对训练] (2025·甘肃·模拟预测)如图所示，倾角θ＝37°的传送带以v＝2.5
m/s 的速度逆时针转动。将一质量M＝0.99 kg 的木块无初速放在传送带的底端
A 点时，一质量m＝10 g 的子弹立即以沿传送带向上的速度v0＝1×103 m/s 击中
木块且未穿出，子弹与木块相对运动的时间极短。若传送带足够长且速度不变，
木块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取重力加速
度大小g＝10 m/s2。
(1)求子弹与木块相对运动的过程中产生的内能Q；
(2)求木块(含子弹)在传送带上的运动时间t；
(3)每当木块的速度刚减为0 时，另一颗完全相同的子弹就靠近木块以相同的速
度击中木块一次，不计子弹占据木块的空间，求第n 颗子弹击中木块后木块向
上减速到0 的时间tn。
[解析] (1)设子弹击中木块后二者共同速度大小为v 共，取沿传送带向上为正方
向，有mv0＝(M＋m)v 共
解得v 共＝10 m/s
由能量守恒有Q＝1
2 m v0
2- 1
2
(M +m)v共
2
解得Q＝4 950 J。
(2)由题意可知木块(含子弹)先沿传送带向上做匀减速直线运动，加速度大小a1
＝mgsinθ+ μmgcosθ
m
＝10 m/s2
向上运动时间t1＝
v0
a1
＝1 s
位移大小x1＝v0
2 t1＝5 m
木块(含子弹)再沿传送带向下加速运动至与传送带共速，加速度大小也为a1，
加速时间t2＝v
a1＝1
4 s
位移大小x2＝v
2t2＝5
16 m
因动摩擦因数小于倾角的正切值，所以木块(含子弹)与传送带速度相同后的加
速度大小a2＝mgsinθ - μmgcosθ
m
＝2 m/s2
设加速时间为t3，有x1－x2＝ v t3+ 1
2 a2t3
2
解得t3＝5
4 s
则总的运动时间t＝t1＋t2＋t3
解得t＝2.5 s。
(3)设第n 颗子弹击中木块后瞬间，木块的速度大小为vn，有mv0＝(M＋nm)vn
此后木块(含所有打入木块中的子弹)做匀减速运动的时间tn＝
vn
a1
可得tn＝100
99+n s。
[答案] (1)4 950 J (2)2.5 s (3) 100
99+n s
板块问题
[例3] (2025·河北·三模)如图所示，在倾角为θ＝37°的足够长的斜面上有一
个质量为m1＝4 kg 的长木板，长木板与斜面之间的动摩擦因数为μ1＝0.7。将长
木板由静止释放，经过Δt＝2.5 s，将一质量为m2＝1 kg 的物块无初速度地放到
距长木板底端L＝9.628 m 处。已知物块最终从长木板底端滑出，物块与长木板
之间的动摩擦因数为μ2＝0.3，重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°
＝0.8，不计空气阻力，物体体积较小，计算时可视为质点。
(1)刚放上物块的瞬间，求长木板的加速度a′1的大小；
(2)求物块在长木板上滑行的时间t；
(3)求整个过程中物块和长木板之间产生的热量Q。
[解析] (1)由静止释放长木板之后，设长木板的加速度为a1，由牛顿第二定律
有m1g sin θ－μ1m1g cos θ＝m1a1
解得a1＝g sin θ－μ1g cos θ＝0.4 m/s2，
放上物块瞬间，同理由牛顿第二定律，长木板的加速度为
a′1＝
m1gsinθ - μ2m2 gcosθ - μ1(m2+m1)gcosθ
m1
＝－1.6 m/s2
长木板的加速度大小为1.6 m/s2，方向沿斜面向上。
(2)刚放上物块时，设物块的加速度为a2，由牛顿第二定律有m2g sin θ＋μ2m2g
cos θ＝m2a2
解得a2＝g sin θ＋μ2g cos θ＝8.4 m/s2
此时长木板的速度为v1＝a1Δt＝1.0 m/s
设经过Δt1时间二者共速，则v1＋a′1Δt1＝a2Δt1
解得Δt1＝0.1 s，v 共＝0.84 m/s。
这段时间里长木板比物块多走的距离为Δx1＝v1 Δt1+ 1
2 a1
' Δt1
2- 1
2 a2 Δt1
2＝0.05 m
经过判断，物块会继续相对长木板加速下滑，长木板的加速度
a″1＝
m1gsinθ+ μ2m2 gcosθ - μ1(m1+m2)gcosθ
m1
＝-0.4 m/s2
物块的加速度为a′2＝g sin θ－μ2g cos θ＝3.6 m/s2，
设又经过Δt2时间长木板停下，0－v 共＝a″1Δt2
解得Δt2＝2.1 s
Δt2时间内物块比长木板多走Δx2＝1
2 (a2
' -a1
″) Δt2
2＝8.82 m
此时物块的速度为v2＝v 共＋a′2Δt2＝8.4 m/s
距离长木板底端Δx3＝L＋Δx1－Δx2＝0.858 m
设再经Δt3时间，物块从长木板上滑落，则Δx3＝v2 Δt3+ 1
2 a2
' Δt3
2
解得Δt3＝0.1 s
所以物块在长木板上滑行的时间为t＝Δt1＋Δt2＋Δt3＝2.3 s。
(3)整个过程中，物块和长木板之间产生的热量为Q＝μ2m2g cos θ×(Δx1＋Δx2＋
Δx3)＝23.347 2 J。
[答案] (1)1.6 m/s2 (2)2.3 s (3)23.347 2 J
规律方法：
1．滑块和木板组成的系统所受的合外力为零时，优先选用动量守恒定律解题；
若地面不光滑或受其他外力时，需选用动力学观点解题。
2．滑块与木板达到相同速度时应注意摩擦力的大小和方向是否发生变化。
3．应注意区分滑块、木板各自相对地面的位移和它们的相对位移。用运动学公
式或动能定理列式时位移指相对地面的位移；求系统摩擦生热时用相对位移(或
相对路程)。
[针对训练] (2025·山西晋中·模拟预测)如图所示，两块完全相同的长木板
A、B 静置于光滑水平面上，长木板的质量为m、长度为L。两板间初始距离为
L
9 ，质量为2m 的物块C(可看作质点)以某一水平初速度v(未知)从A 的左端滑
上长木板，物块C 在滑至A 的右端前，长木板A、B 会发生碰撞(碰撞时间极
短)，两板碰后粘在一起。当物块C 与两板相对静止时，离B 板右端的距离为
L
18，物块与长木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。
(1)求长木板A 碰撞后的速度大小；
(2)求物块C 滑上长木板A 时的初速度大小；
(3)若两板间初始距离为x，其他条件不变，最终物块C 离B 板右端的距离为
s，求s 与x 的关系。
[解析] (1)设两木板碰撞前瞬间长木板A 的速度为v1，碰撞后的速度为v2，碰
前A 的加速度为a，对长木板A，由牛顿第二定律得μ·2mg＝ma
两木板碰撞前A 做初速度为零的匀加速直线运动，对A 根据运动学公式v1
2＝
2a· L
9
A、B 碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得mv1＝2mv2
联立解得v2＝√μgL
3
。
(2)A、B 碰撞过程，对系统，由能量守恒定律得1
2 m v1
2＝1
2 ·2m v2
2＋Q1
解得Q1＝1
9μmgL
设物块C 滑上平板时的初速度大小为v，最终C 与两板相对静止时的速度为
v3，整个过程A、B、C 组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定
律得2mv＝(2m＋m＋m)v3
由能量守恒定律得1
2·2mv2＝1
2
(2m+m+m)v3
2＋Q1＋μ·2mg(2 L- L
18)
解得v＝2√2 μgL。
(3)若初始间距为x，设两木板碰撞前瞬间长木板A 碰撞前的速度为v4，碰撞后
A 的速度为v5，因碰撞损失的能量为Q2，则A 碰前加速过程v4
2＝2ax
A 与B 碰撞过程系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得mv4＝
2mv5
由能量守恒定律得1
2 mv4
2＝1
2 ·2mv5
2＋Q2
从C 滑上长木板A 到与长木板相对静止，由能量守恒得1
2·2mv2 ＝
1
2
(2m+m+m)v3
2＋Q2＋μ·2mg(2L－s)
解得s＝0.5x
设碰撞时物块C 的速度为v6，物块C 相对于长木板A 的位移为Δx，A 碰前A
与C 动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得2mv＝mv4＋2mv6
由能量守恒定律得1
2·2mv2＝1
2 m v4
2+ 1
2 ·2m v6
2＋μ·2mgΔx
且Δx≤L
解得0<x≤2 L
9
故s 与x 的关系为s＝0.5x(0＜x≤2 L
9 )。
[答案] (1)√μgL
3
(2)2√2 μgL (3)s＝0.5x(0＜x≤2 L
9 )
