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专题17 力学三大观点的综合应用
目录
题型一 应用力学三大观点解决多过程问题...................................................................................1
题型二 应用力学三大观点解决板—块模型及传送带模型问题................................................19
题型一 应用力学三大观点解决多过程问题
力学三大观点对比
力学三大观点
对应规律
表达式
选用原则
动力学观点
牛顿第二定律
F 合＝ma
物体做匀变速直线运
动，涉及到运动细节.
匀变速直线运动规律
v＝v0＋at
x＝v0t＋at2
v2－v0
2＝2ax 等
能量观点
动能定理
W 合＝ΔEk
涉及到做功与能量转换
机械能守恒定律
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
功能关系
WG＝－ΔEp等
能量守恒定律
E1＝E2
动量观点
动量定理
I 合＝p′－p
只涉及初末速度、力、
时间而不涉及位移、功
动量守恒定律
p1＋p2＝p1′＋p2′
只涉及初末速度而不涉
及力、时间
【例1】（2024·湖北·模拟预测）如图甲所示，小球A 以初速度
竖直向上冲入半
径为R 的
粗糙圆弧管道，然后从管道另一端沿水平方向以速度
冲出，在光滑水
平面上与左端连有轻质弹簧的静止小球B 发生相互作用，距离B 右侧s 处有一个固定的弹
性挡板，B 与挡板的碰撞没有能量损失。已知A、B 的质量分别为3m、2m，整个过程弹簧
的弹力随时间变化的图像如图乙所示（从A 球接触弹簧开始计时，t0已知）。弹簧的弹性
势能为
，x 为形变量，重力加速度为g。求：
1
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（1）小球在管道内运动的过程中阻力做的功；
（2）弹簧两次弹力最大值之比F2:F1；
（3）小球B 的初始位置到挡板的距离s。
【答案】（1）
；（2）7:5；（3）
【详解】（1）设小球在管道内运动的过程阻力做功为Wf，根据动能定理可得
解得
（2）当A、B 第一次共速时，弹簧压缩量最大，弹簧弹力最大，设压缩量为x1，A、B 共
同速度为v 共1，从A 刚接触弹簧到A、B 共速，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得
此时弹簧弹力为F1，有
由图乙可知，弹簧刚好恢复原长时，B 与挡板相撞，设此时A、B 速度分别为v1、v2，从A
刚接触弹簧到弹簧恢复原长，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得
2
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解得
，
此时B 原速率反弹，当A、B 第二次共速时，弹簧压缩量再一次达到最大，设压缩量为
x2，A、B 共同速度为v 共2，从B 刚反弹到弹簧第二次压缩最大，根据动量守恒定律和机械
能守恒定律可得
此时弹簧弹力为F2，有
联立解得
（3）设A、B 一起向右运动的过程中，任意时刻A、B 速度分别为vA、vB，根据动量守恒
可得
在任意一极短时间∆t 内，有
所以
等式两边求和得
由图乙可知，t0时B 与挡板发生碰撞，此时弹簧恰好恢复原长，故从t=0 到t=t0时，A、B
位移相同，即
3
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联立解得
【例2】（2024·河北·三模）滑雪是人们在冬季喜爱的户外运动。如图所示，斜面的倾角为
，滑车甲（含坐在里面的人）的总质量
，从距斜面底端高度
处的A
点沿斜面由静止开始匀加速下滑，下滑到B 点时的速度大小
，然后滑车甲进
入水平滑道，滑车甲在水平滑道上滑行的距离
时与静止于C 点、质量
的空滑车乙相碰（碰撞时间可忽略不计），两车碰后速度相同，两滑车与斜面和水平滑道
间的动摩擦因数相同，两滑车均可视为质点，不计空气阻力，不计滑车甲通过B 点时的机
械能损失。求：
（1）滑车甲与斜面间的动摩擦因数
；
（2）两滑车碰后滑行的距离s。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）滑车甲从A 到B，根据动能定理
代入数据得
（2）设滑车甲与滑车乙碰前速度为v，根据动能定理
得
4
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根据动量守恒
得碰后速度
两滑车碰后滑行的距离
【变式演练1】如图所示，在倾角为
的固定斜面上有一物块A，在斜面底部有一物
块B，物块B 左侧水平面上有一物块C，C 与B 用一轻弹簧和一轻杆连接，杆长与弹簧原
长相等。已知物块A、B、C 均可视为质点，质量均为
，所有接触面均光滑。物块A
从某时刻开始由静止下滑，不计物块A 在斜面与平面转角处的机械能损失，A 与B 发生弹
性碰撞，g 取
。
（1）求物块A 沿斜面返回的最大高度与初始高度的比值；
（2）若在物块A 开始下滑时，同时对物块C 施加一水平向左的恒力F，为使物块A、B 不
相碰，求恒力F 的最小值；
（3）用质量为
的物块替换物块C 且撤去轻杆，若在此后的运动中弹簧的最大弹性势能
与A 第一次下滑至斜面底部时的动能之比为
，求
。
【答案】（1）
； （2）
；（3）
【详解】（1）设物块A 开始时距斜面底端的高度为
，沿斜面下滑至底部过程机械能守
恒，有
物块A 与BC 间发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和能量守恒有
5
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设碰撞后物块A 沿斜面上滑至最高点为，则有
联立解得
（2）设A 在斜面上的运动时间为
，在水平面上的运动时间为
，对BC 的整体有
物块A 在斜面上时有
，
物块A 在水平面上时有
恰好追不上的条件为
联立解得
（3）A、B 间发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和能量守恒有
6
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B 压缩弹簧至最短过程，由动量守恒定律有
对B、C 系统由能量守恒得
根据题意有
联立解得
【变式演练2】如图所示，光滑半圆形轨道AB 竖直固定放置，轨道半径为R（可调节），
轨道最高点A 处有一弹射装置，最低点B 处与放在光滑水平面上足够长的木板Q 上表面处
于同一高度，木板左侧x 处有一固定挡板C（x 未知）。可视为质点的物块P 压缩弹射装置
中的弹簧，使弹簧具有弹性势能
，P 从A 处被弹出后沿轨道运动到B 处时的速度大小始
终为
；已知P 的质量
，Q 的质量
，P、Q 间的动摩擦因数
，
Q 与C 之间的碰撞为弹性碰撞，忽略空气阻力，重力加速度
。
（1）若P 恰好不脱离轨道，求轨道半径R 的值；
（2）若P 始终不脱离轨道，写出弹性势能
与R 的关系式，并指出R 的取值范围；
（3）若Q 与C 恰好发生n 次碰撞后静止，求x 的值。
【答案】（1）
；（2）
（J），（
；（3）
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【详解】（1）在A 处
从A 到B，由动能定理得
解得
（2）在A 处
从A 到B，同理
解得
（3）在木板Q 碰到挡板C 前PQ 不会共速
物块P 一直匀减速运动至静止，运动时间
木板Q 前进x 距离，碰到挡板C 原速反弹，向右匀减速运动，由于加速度大小不变，经过
相同时间减速为零，接下来，重复以上运动……
设木板Q 第一次碰到档板前时间为t0，则有
即
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所以
【变式演练3】某过山车模型轨道如图甲所示，
为半径分别为
的圆形轨道，它
们在最低点分别与两侧平直轨道顺滑连接，不计轨道各部分摩擦及空气阻力，小车的长度
远小于圆形轨道半径，各游戏车分别编号为1、2、3…n，质量均为
，圆形轨道
最高点
处有一压力传感器。让小车1 从右侧轨道不同高度处从静止滑下，压力传
感器的示数随高度变化，作出
关系如图乙所示。
（1）根据图乙信息，分析小车1 质量
及圆形轨道
半径
；
（2）在水平轨道
区间（不包含A 和E 两处），自由停放有编号为2、3…n 的小车，让
1 号车从
高处由静止滑下达到水平轨道后依次与各小车发生碰撞，各车两端均装有挂
钩，碰后便连接不再脱钩，求在作用过程中，第
辆车受到合力的冲量及合力对它做的功。
（3）轨道
半径为
，每辆车长度为
，且
，要使它们都能安全通过轨
道
，则1 车至少从多大高度滑下？
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）从静止释放到C 点的过程，对小车1，由动能定理有
在C 点，对小车1，由牛顿第二定律有
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解得
对照F-h 图像可得
（2）由题意，在C 点对小车1 由牛顿第二定律有
C 点到A 点过程，对小车1，由动能定理有
碰撞过程中由动量守恒有
对第n 辆小车，由动量定理有
由动能定理有
联立解得
（3）小车1 下滑到A 点，由机械能守恒有
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在圆O2最高点，取微元
作为研究对象，由牛顿第二定律有
对第n 辆车由机械能守恒有
联立解得
【变式演练3】如图所示，半径为
的四分之一光滑圆弧
与水平桌面相切于
点（其
中
水平，
竖直），水平桌面
的长度为
，以
点为圆心，半径为
的四分之一圆弧分别与水平
轴，竖直
轴相交。位于
点甲物块的质量为
，位于
点的
乙物块的质量可调整变化。乙物块与水平桌面之间的动摩擦因数为
。不计空气阻
力，重力加速度为
。甲、乙物块均可视为质点，两物块碰撞时无机械能损失，且碰撞时
间极短。求：
（1）甲物块由
点静止释放，甲物块即将与乙物块碰撞前对圆弧的压力多大；
（2）甲物块每次都是从
点释放，通过调整乙物块的质量，甲乙物块碰撞后乙物块获得的
速度不同，落到圆弧上速度也会发生变化。若某次乙物块落到圆弧上的速度最小，则乙物
块从圆心
平抛的初速度多大？
（3）上述（2）中乙物块的质量为多大？
【答案】（1）3mg；（2）
；（3）
【详解】（1）甲物块由
点静止释放运动到
点过程，根据机械能守恒定律有
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在b 点甲物块与乙物块即将碰撞前，根据牛顿第二定律有
甲物块碰撞前对圆弧的压力与圆弧对甲物块碰撞前的支持力是一对相互作用力，根据牛顿
第三定律有
联立解得
（2）乙物块到达
点后将向右平抛运动的初速度为
，落到圆弧上的速度为，则水平
方向有
竖直方向有
乙物块平抛运动的位移有
乙物块由
点向右平抛落到圆弧上时，根据动能定理有
联立可得
由数学知识可知当
时，乙物块平抛落在圆弧上的速度最小，联立可得
（3）设乙物块质量调整为
，甲、乙两物块在
点碰撞时动量和机械能均守恒，则有
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碰后
物块向右左减速运动到
点，根据动能定理有
解得
【变式演练4】如图所示，小明和滑块P 均静止在光滑平台上，某时刻小明将滑块P 以一
定速度从A 点水平推出后，滑块P 恰好从B 点无碰撞滑入半径R1＝3m 的光滑圆弧轨道
BC，然后从C 点进入与圆弧轨道BC 相切于C 点的水平面CD，与放置在水平面E 点的滑
块Q 发生弹性正碰，碰后滑块Q 冲上静止在光滑水平面上的、半径为R2＝0.3m 的四分之
一圆弧槽S，圆弧槽与水平面相切于F 点，最高点为G。已知小明的质量M＝60kg，滑块P
的质量m1＝30kg，滑块Q 的质量m2＝60kg，圆弧槽S 的质量m3＝90kg，AB 两点的高度差
h＝0.8m，光滑圆弧对应的圆心角53°，L＝2m，L＝1.3m，两滑块与CF 部分的动摩擦因数
均为μ＝0.5，F 点右侧水平面足够长且光滑，将滑块P 和Q 看做质点，重力加速度g＝
10m/s2。求：
（1）小明由于推出滑块P 至少多消耗的能量；
（2）滑块P 到达圆弧末端C 时对轨道的压力；
（3）滑块Q 冲上圆弧槽后能上升的最大高度。
【答案】（1）202.5J；（2）790N，方向竖直向下；（3）0.27m
【详解】（1）设推出滑块P 的瞬时速度为v0，滑块P 在B 点的速度为vB，其竖直速度为
vBy，则有
根据B 点速度的方向，由速度的分解，有
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小明推出滑块P 的过程，小明和滑块P 组成的系统动量守恒
根据能量守恒，小明由于推出滑块P 至少多消耗的能量
解得
（2）滑块由B 到C 的过程，由动能定理，有
其中
滑块P 经过圆弧末端C 点时，对其进行受力分析，根据牛顿第二定律和向心力公式，有
根据牛顿第三定律，滑块P 到达圆弧末端C 时对轨道的压力
代入数据，解得
方向竖直向下
（3）滑块P 从C 点到E 点的过程，由动能定理，可得
滑块P 与Q 碰撞的过程遵循动量守恒和能量守恒，设碰后滑块P 和Q 的速度分别为
和
，有
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Q 碰后的速度
方向水平向右
滑块Q 从E 点到F 点，根据动能定理，有
滑块Q 从F 点冲上圆弧槽S，滑块Q 与圆弧槽S 组成的系统水平方向动量守恒
设滑块Q 离开地面的最大高度为hm，滑块Q 从冲上圆弧槽S 到到达距离地面最高的过程，
滑块Q 和圆弧槽S 组成的系统机械能守恒
解得
【变式演练5】如图所示，物块A 和B 静止在光滑水平面上，B 的前端固定轻质弹簧，某
时刻一子弹以大小为
的速度水平射向B 并嵌入其中，射入过程子弹与B 水平方向的平
均相互作用力大小为
，之后B 以大小为
的速度向着A 运动，从弹簧开始接触A
到第一次被压缩至最短所用时间为t，在这段时间内B 运动的位移大小为
。又经过一
段时间后A 与弹簧分离，滑上粗糙斜面后再滑下，在水平面上再次压缩弹簧后又滑上斜面。
已知A 的质量为m，子弹和B 的总质量为
，A 前两次在斜面上到达的最高点相同，B 始
终在水平面上运动，斜面与水平面平滑连接，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，
不计A、B 碰撞过程中的机械能损失。求：
（1）子弹嵌入物块B 的深度；
（2）物块A 第一次离开弹簧时，A、B 各自的速度大小；
（3）物块A 第一次在斜面上到达的最大高度；
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（4）物块A 第一次离开弹簧前，弹簧的最大压缩量。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
；（4）
【详解】（1）设子弹的质量为
，对子弹射入B 的过程中，由动量守恒定律
由能量守恒定律
联立解得，子弹嵌入物块B 的深度为
（2）以B 的初速度方向为正方向，物块A 第一次离开弹簧时，由动量守恒定律
由机械能守恒定律
联立解得，物块A 第一次离开弹簧时，A、B 各自的速度大小为
（3）设A 返回斜面底端时的速度大小为
，斜面倾角为
，A 所受斜面的摩擦力为
，对
A 第一次沿斜面的运动，上滑过程中，由动能定理可得
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下滑过程中有
由两次沿斜面上滑的最高点相同可知，A 与B 再次碰撞分离后A 的速度大小仍为
，以
B 的初速度方向为正方向，对A 与B 再次碰撞分离的过程中，由动量守恒定律和机械能守
恒定律可得
联立可得
物块A 第一次在斜面上到达的最大高度为
（4）A、B 第一次压缩弹簧的过程中，任意时刻A、B 组成的系统动量守恒，有
方程两边同时乘以时间
，得
在时间内，根据位移等于速度在时间上的累积，可得
将
代入，可得
所以，物块A 第一次离开弹簧前，弹簧的最大压缩量为
【变式演练6】（2024·安徽安庆·三模）竖直平面内的轨道由斜面AB 与圆弧BCD 组成，两
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部分在B 点相切且平滑连接，圆弧部分轨道的半径为R，OC 沿竖直方向，斜面AB 的倾角
，O、D、E 位于同一水平线上，A、E 的竖直高度也为R，如图所示，可视为小质
点的小滑块1 和小滑块2 的质量均为m，两小滑块与圆弧轨道的摩擦均忽略不计，小滑块1
与斜面间摩擦也可忽略不计，小滑块2 与斜面间存在较大摩擦且处处相等，将小滑块1 和
小滑块2 在A、E 两点由静止开始释放，一段时间后二者在E 点相碰，碰后合在一起沿EB
段匀速向下运动，已知小滑块1 和小滑块2 每次相碰都会合在一起匀速运动但不粘连，重
力加速度为g，
，求：
（1）小滑块2 与斜面间的动摩擦因数；
（2）在整个运动过程中，轨道C 点受到小滑块压力N 的最大值和最小值分别是多少；
（3）在整个运动过程中，小滑块2 在斜面AB 上往复运动的最大路程
。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）由题意，碰后两小滑块合在一起沿EB 段匀速运动，由平衡条件可知
解得
（2）设小滑块1 第一次碰前速度为
，第一次碰后二者共同速度为
，有
解得
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两小滑块合在一起，第一次经过C 点时轨道对两滑块的支持力最大，有
解得
在C 点，由合力提供向心力可得
解得
两滑块经过N 次（N 足够大）碰撞后，两滑块将在B 点及其关于OC 的对称点之间做往复
运动，此过程中两滑块经过C 点时轨道对两滑块的支持力最小，有
，
解得
由牛顿第三定律可知，两滑块对轨道C 点压力方向竖直向下，最大值和最小值为
（3）小滑块2 沿斜面减速运动的加速度为
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小滑块1 沿斜面运动的加速度为
设小滑块2 第一次、第二次返回斜面减速至零时运动路程分别为
、
，小滑块1 第二次
碰前速度为
，第二次碰后二者共同速度为
解得
可知：小滑块2 第1 次、第2 次、
返回斜面减速至零时运动路程为公比为
的等比数列，
由此可求小滑块2 在整个运动过程中在斜面AB 上往复运动的最大路程为
【变式演练7】水平地面上放置有如图所示的装置，光滑竖直杆上、下端分别固定有挡板
和底座，且套有可上下移动圆盘。一轻质弹簧下端固定在底座上，上端位于A 处。推动圆
盘将弹簧压缩至
处后由静止释放，圆盘运动到
处与挡板发生完全非弹性碰撞（作用时
间极短），带动竖直杆和底座一起向上运动，上升
时速度减为零。已知圆盘质量
，竖直杆、挡板和底座总质量
，A、
间距离
，A、
间距离
，重力加速度
取10m/s2，不计空气阻力和圆盘厚度。求：
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（1）圆盘与挡板碰撞前瞬间的速度大小
；
（2）释放圆盘瞬间弹簧中储存的弹性势能
。
【答案】（1）2m/s；（2）9.2J
【详解】（1）圆盘与挡板碰撞后，圆盘和整个装置一起向上做匀减速运动，则
代入数据得
圆盘与挡板碰撞前后瞬间，圆盘和整个装置动量守恒，则
代入数据解得
（2）弹簧中储存的弹性势能转化为圆盘的动能和重力势能，由能量守恒得
解得
【变式演练8】如图所示为某滑雪场滑道示意图。滑雪运动员及装备（可视为质点）的质
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量为
，运动员从平台上水平飞出后恰好能从A 点沿圆弧切线进入竖直面内的光滑
圆弧滑道ABC，并沿滑道滑上与圆弧滑道在C 点相切的粗糙倾斜直滑道CD，CD 滑道足够
长。已知圆弧滑道半径为
，圆心为O，AO 连线与竖直方向夹角为
，AO 与
CO 连线互相垂直。平台与A 点之间的高度差为
。取重力加速度大小
，
，
，不计空气阻力。求：
（1）运动员离开平台瞬间的速度大小；
（2）运动员第一次运动到圆弧滑道最低点B 时，受到的支持力大小；
（3）为保证运动员不从A 点滑离圆弧滑道，运动员与CD 段之间动摩擦因数的最小值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设运动员在A 点竖直方向的分速度为vy
在A 点
解得
（2）运动员在A 点的速度大小
从A 点到B 点由动能定理可得
在B 点对运动员进行受力分析可得
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解得
（3）运动员恰好不从A 点滑离轨道时，运动员与粗糙轨道之间动摩擦因数最小。从A 点到
C 点由动能定理可得
设从C 点向上滑动距离x 后运动员速度减为零，据动能定理可得
运动员从A 点进入圆弧滑道到回到A 点的过程，由动能定理可得
解得
题型二 应用力学三大观点解决板—块模型及传送带模型问题
1．滑块和木板组成的系统所受的合外力为零时，优先选用动量守恒定律解题；若地面不光
滑或受其他外力时，需选用动力学观点解题．
2．滑块与木板达到相同速度时应注意摩擦力的大小和方向是否发生变化．
3．应注意区分滑块、木板各自的相对地面的位移和它们的相对位移．用运动学公式或动能
定理列式时位移指相对地面的位移；求系统摩擦生热时用相对位移(或相对路程)．
【例1】（2024·河南郑州·模拟预测）如图所示，一根长
不可伸长的轻绳，一端
系一小球P，另一端固定于O 点．长
绷紧的水平传送带始终以
恒定的速率沿逆
时针方向运行，传送带左侧半径
的竖直光滑圆轨道在D 点与水平面平滑连接，现
将小球拉至悬线（伸直）与水平位置成
角由静止释放，小球到达最低点时与小物块
A 作弹性碰撞，碰后小物块A 向左运动到B 点进入圆轨道，绕行一圈后到达E 点。已知小
球与小物块质量相等均为
且均视为质点，小物块与传送带之间的动摩擦因数
，其他摩擦均忽略不计，重力加速度大小
。求：
23
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（1）小球运动到最低点与小物块碰前的速度大小和对轻质细绳拉力大小；
（2）小物块在传送带上运动时，因相互间摩擦产生的热量；
（3）小物块通过圆轨道最高点C 时对轨道的压力大小。
【答案】（1）6m/s，
；（2）
；（3）0
【详解】（1）因开始时轻质细线与水平方向的夹角为
，则小球
自由下落
时，轻绳
刚好再次伸直，设此时
的速度为
。根据自由落体运动规律，可得
轻质细线伸直后瞬间小球
速度为
小球
与小物块A 碰前瞬间，设小球
的速度大小为
，从轻质细绳刚好再次伸直到小球
运动到最低点的过程中，由动能定理得
联立解得小球
运动到最低点与小物块碰前的速度大小
设小球运动到最低点，轻质细绳对小物块拉力大小为
，根据牛顿第二定律可知
解得
根据牛顿第三定律可知：小物块碰前对轻质细绳拉力大小为
。
24
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（2）小球与小物块进行弹性碰撞后的速度为
，根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
解得小物块冲上传送带前的速度
小物块冲上传送带后做匀减速运动，根据牛顿第二定律有
解得加速度大小
设小物块与传送带共速时对地位移为
，传送带速度为
，则由运动学公式可得
代入数据解得
则可知小物块与传送带共速后和传送带一起做匀速运动，小物块在传送带上减速所用时间
为
这段时间内传送带运动的位移为
则小物块通过传送带时由于摩擦产生的热量为
（3）设小物块通过圆轨道最高点时的速度为
，轨道对小物块的弹力为
，则由动能定
理有
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小物块通过圆轨道最高点时的速度大小为
在最高点由牛顿第二定律可得
联立解得
根据牛顿第三定律可知，通过最高点时，小物块对轨道的压力为0。
【例2】．（2024·浙江·高考真题）一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直
轨道AB、半径为R 的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE 平滑连接。长为L、质
量为M 的平板紧靠长为d 的固定凹槽EFGH 侧璧EF 放置，平板上表面与DEH 齐平。将一
质量为m 的小滑块从A 端弹射，经过轨道BCD 后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达
HG 即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，M=m=0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因
数μ1=0.6、与凹槽水平底面FG 间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻力，最大
静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
。
（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C 时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小；
（2）若μ2=0，滑块恰好过C 点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
（3）若μ2=0.1，滑块能到达H 点，求其离开弹簧时的最大速度vm。
【答案】（1）5m/s；（2）0.625J；（3）6m/s
【详解】（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C 时
从滑块离开弹簧到C 过程，根据动能定理
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解得
（2）平板加速至与滑块共速过程，根据动量守恒
根能量守恒
解得
（3）若μ2=0.1，平板与滑块相互作用过程中，加速度分别为
共速后，共同加速度大小为
考虑滑块可能一直减速直到H，也可能先与木板共速然后共同减速；
假设先与木板共速然后共同减速，则共速过程
共速过程，滑块、木板位移分别为
共速时，相对位移应为
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解得
，
随后共同减速
到达H 速度
说明可以到达H，因此假设成立，若滑块初速度再增大，则会从木板右侧掉落。
【变式演练1】（2024·山东·高考真题）如图甲所示，质量为M 的轨道静止在光滑水平面
上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P 点平滑连接，
Q 为轨道的最高点。质量为m 的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因
数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径R=0.4m，重力加速度
大小g=10m/s2.
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q 点时，受到轨道的弹力大小等
于3mg，求小物块在Q 点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加
速度a 与F 对应关系如图乙所示。
（i）求μ 和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力F=8N，当小物块到
P 点时撤去F，小物块从Q 点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长
度L。
【答案】（1）
；（2）（i）
，
；（3）
【详解】（1）根据题意可知小物块在Q 点由合力提供向心力有
28
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代入数据解得
（2）（i）根据题意可知当F≤4N 时，小物块与轨道是一起向左加速，根据牛顿第二定律可
知
根据图乙有
当外力
时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有
结合题图乙有
可知
截距
联立以上各式可得
，
，
（ii）由图乙可知，当F=8N 时，轨道的加速度为6m/s2，小物块的加速度为
当小物块运动到P 点时，经过t0时间，则轨道有
小物块有
在这个过程中系统机械能守恒有
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水平方向动量守恒，以水平向左的正方向，则有
联立解得
根据运动学公式有
代入数据解得
【变式演练2】．（2024·海南·高考真题）某游乐项目装置简化如图，A 为固定在地面上的
光滑圆弧形滑梯，半径
，滑梯顶点a 与滑梯末端b 的高度
，静止在光滑水平
面上的滑板B，紧靠滑梯的末端，并与其水平相切，滑板质量
，一质量为
的游客，从a 点由静止开始下滑，在b 点滑上滑板，当滑板右端运动到与其上表
面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，并在平台上滑行
停下。游客视为质点，
其与滑板及平台表面之间的动摩擦系数均为
，忽略空气阻力，重力加速度
，求：
（1）游客滑到b 点时对滑梯的压力的大小；
（2）滑板的长度L
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）设游客滑到b 点时速度为
，从a 到b 过程，根据机械能守恒
解得
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在b 点根据牛顿第二定律
解得
根据牛顿第三定律得游客滑到b 点时对滑梯的压力的大小为
（2）设游客恰好滑上平台时的速度为，在平台上运动过程由动能定理得
解得
根据题意当滑板右端运动到与其上表面等高平台的边缘时，游客恰好滑上平台，可知该过
程游客一直做减速运动，滑板一直做加速运动，设加速度大小分别为
和
，得
根据运动学规律对游客
解得
该段时间内游客的位移为
滑板的位移为
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根据位移关系得滑板的长度为
【变式演练3】．（2024·湖北·高考真题）如图所示，水平传送带以5m/s 的速度顺时针匀
速转动，传送带左右两端的距离为
。传送带右端的正上方有一悬点O，用长为
、
不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.2kg 的小球，小球与传送带上表面平齐但不接触。在O 点
右侧的P 点固定一钉子，P 点与O 点等高。将质量为0.1kg 的小物块无初速轻放在传送带
左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，碰后瞬间小物块的速度大小为
、
方向水平向左。小球碰后绕O 点做圆周运动，当轻绳被钉子挡住后，小球继续绕P 点向上
运动。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.5，重力加速度大小
。
（1）求小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的速度大小；
（2）求小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能；
（3）若小球运动到P 点正上方，绳子不松弛，求P 点到O 点的最小距离。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意，小物块在传送带上，由牛顿第二定律有
解得
由运动学公式可得，小物块与传送带共速时运动的距离为
可知，小物块运动到传送带右端前与传送带共速，即小物块与小球碰撞前瞬间，小物块的
速度大小等于传送带的速度大小
。
32
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（2）小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短，小物块与小球组成的系统动量守恒，
以向右为正方向，由动量守恒定律有
其中
，
解得
小物块与小球碰撞过程中，两者构成的系统损失的总动能为
解得
（3）若小球运动到P 点正上方，绳子恰好不松弛，设此时P 点到O 点的距离为
，小球
在P 点正上方的速度为
，在P 点正上方，由牛顿第二定律有
小球从
点正下方到P 点正上方过程中，由机械能守恒定律有
联立解得
即P 点到O 点的最小距离为
。
【变式演练4】．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角
的直轨道
，半径
的圆弧轨道
，长度
、倾角为
的直轨道
，半径为R、圆心角为
的圆弧管道
组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F 的右侧
光滑水平面上紧靠着质量
滑块b，其上表面与轨道末端F 所在的水平面平齐。质
量
的小物块a 从轨道
上高度为h 静止释放，经圆弧轨道
滑上轨道
，
轨道
由特殊材料制成，小物块a 向上运动时动摩擦因数
，向下运动时动摩擦
33
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因数
，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a 在滑块b 上滑动时动摩擦因数
恒为
，小物块a 动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小
物块视为质点，不计空气阻力，
，
）
（1）若
，求小物块
①第一次经过C 点的向心加速度大小；
②在
上经过的总路程；
③在
上向上运动时间
和向下运动时间
之比。
（2）若
，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
【答案】（1）①16m/s2；②2m；③1 2∶；（2）0.2m
【详解】（1）①对小物块a 从A 到第一次经过C 的过程，根据机械能守恒定律有
第一次经过C 点的向心加速度大小为
②小物块a 在DE 上时，因为
所以小物块a 每次在DE 上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在DE 上的滑动使机
械能损失，最终小物块a 将在B、D 间往复运动，且易知小物块每次在DE 上向上运动和向
下运动的距离相等，设其在
上经过的总路程为s，根据功能关系有
解得
34
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③根据牛顿第二定律可知小物块a 在DE 上向上运动和向下运动的加速度大小分别为
将小物块a 在DE 上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学公式
有
解得
（2）对小物块a 从A 到F 的过程，根据动能定理有
解得
设滑块长度为l 时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定
律和能量守恒定律有
解得
【变式演练5】．（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实
验装置。水平直轨道AB、CD 和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为
的四分之
一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF 与轨道CD 和足够长的水平直轨道FG 平滑相切连接。
质量为3m 的滑块b 与质量为2m 的滑块c 用劲度系数
的轻质弹簧连接，静置于
轨道FG 上。现有质量
的滑块a 以初速度
从D 处进入，经DEF 管
道后，与FG 上的滑块b 碰撞（时间极短）。已知传送带长
，以
的速率
35
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顺时针转动，滑块a 与传送带间的动摩擦因数
，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均
可视为质点，弹簧的弹性势能
（x 为形变量）。
（1）求滑块a 到达圆弧管道DEF 最低点F 时速度大小vF和所受支持力大小FN；
（2）若滑块a 碰后返回到B 点时速度
，求滑块a、b 碰撞过程中损失的机械能
；
（3）若滑块a 碰到滑块b 立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差
。
【答案】（1）10m/s；31.2；（2）0；（3）0.2m
【详解】（1）滑块a 从D 到F，由能量关系
在F 点
解得
FN=31.2N
（2）滑块a 返回B 点时的速度vB=1m/s，滑块a 一直在传送带上减速，加速度大小为
根据
可得在C 点的速度
36
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vC=3m/s
则滑块a 从碰撞后到到达C 点
解得
v1=5m/s
因ab 碰撞动量守恒，则
解得碰后b 的速度
v2=5m/s
则碰撞损失的能量
（3）若滑块a 碰到滑块b 立即被粘住，则ab 碰后的共同速度
解得
v=2.5m/s
当弹簧被压缩到最短或者伸长到最长时有共同速度
则
当弹簧被压缩到最短时压缩量为x1，由能量关系
解得
同理当弹簧被拉到最长时伸长量为
37
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x2=x1
则弹簧最大长度与最小长度之差
【变式演练6】．（2024·甘肃·高考真题）如图，质量为2kg 的小球A（视为质点）在细绳
和OP 作用下处于平衡状态，细绳
，与竖直方向的夹角均为60°。质量
为6kg 的木板B 静止在光滑水平面上，质量为2kg 的物块C 静止在B 的左端。剪断细绳
，小球A 开始运动。（重力加速度g 取
）
（1）求A 运动到最低点时细绳OP 所受的拉力。
（2）A 在最低点时，细绳OP 断裂。A 飞出后恰好与C 左侧碰撞（时间极短）、碰后A 竖
直下落，C 水平向右运动。求碰后C 的速度大小。
（3）A、C 碰后，C 相对B 滑行4m 后与B 共速。求C 和B 之间的动摩擦因数。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】根据题意，设AC 质量为
，B 的质量为
，细绳
长为
，
初始时细线与竖直方向夹角
。
（1）A 开始运动到最低点有
对最低点受力分析，根据牛顿第二定律得
解得
，
（2）A 与C 相碰时，水平方向动量守恒，由于碰后A 竖直下落可知
38
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故解得
（3）A、C 碰后，C 相对B 滑行4m 后与B 共速，则对CB 分析，过程中根据动量守恒可得
根据能量守恒得
联立解得
【变式演练7】．（2024·安徽·高考真题）如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其
上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最
低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于O 点正下方，并轻
靠在物块右侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块
发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长
。小球质量
。物块、小车质量均为
。小车上的水平轨道长
。圆弧轨道
半径
。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度g 取
。
（1）求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小；
（2）求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小；
（3）为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦
因数
的取值范围。
【答案】（1）6N；（2）4m/s；（3）
【详解】（1）对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理
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解得
在最低点，对小球由牛顿第二定律
解得，小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为
（2）小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律
解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为
（3）若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方
向动量守恒
由能量守恒定律
解得
若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方
向动量守恒
由能量守恒定律
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解得
综上所述物块与水平轨道间的动摩擦因数
的取值范围为
【变式演练8】．某固定装置的竖直截面如图甲所示，由长度为1.0m 的水平传送带和两段
光滑圆管轨道组成，两段圆管轨道所对应的圆心角相同
，
，
，
右侧带有竖直挡板的滑块b 放置在光滑的水平面上，传送带和滑块b 与轨道端口均为平滑
连接，传送带启动后运行的
图如图乙所示，传送带启动0.5s 后把小物块a 从传送带左
侧静止释放，小物块a 和滑块b 的质量均为
，a 与传送带和滑块b 之间的动摩擦因
数均为
，若空气阻力、小物块a、圆管轨道的口径和皮带轮半径均可不计，物块a
进出管道时无能量损失，物块a 和滑块b 发生的碰撞为完全弹性碰撞，重力加速度
，试求：
（1）小物块a 在传送带上运动的时间t；
（2）小物块a 进入
管道时对管道的作用力大小；
（3）滑块b 至少多长才能使小物块a 不脱离滑块。
【答案】（1）
；（2）4N；（3）
【详解】（1）对传送带 0-1s 做加速度
对a 物体，匀加速
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当a 物体与传送带同速时
得
此时共速
物体位移
a 物体与传送带一起匀加速至1
，有
所以
a 物体匀速运动
时间
运动时间
（2）A 到B 动能定理
对B 处
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得
由牛顿第三定律可知，对管道作用力为4N。
（3）A 到C 动能定理
得
当a 刚好滑动b 最右端与b 共速，此时b 的长度是满足题意的最短长度，由能量守恒和动
量守恒有
联立得
【变式演练9】如图所示，水平地面上固定一足够长的光滑斜面，斜面的倾角为θ
30°，
底部固定一垂直于斜面的挡板，在斜面上锁定一质量为0.8m 的滑板A。将一质量为0.1m
的滑块B 轻轻放在A 的最上端，B 与A 间的动摩擦因数为
，一质量为0.9m、可视
为质点的小球C 在竖直推力F1
1.8mg 的作用下，以竖直向上的速度
沿四分之
一固定的、半径为R 的竖直光滑圆弧运动，经过最高点P 时撤去推力，小球C 可无障碍地
穿过斜面运动，刚好以平行于斜面的速度在Q 点与B 碰撞并成为一个整体BC，碰撞时间
极短，同时解除对A 的锁定，A 下滑到斜面底端时刚好与BC 的速度相等，A 与挡板碰撞
后瞬间给A 施加一平行于斜面向上的拉力F2，F2
0.9mg。已知A 与挡板碰撞的过程中无机
械能损失，BC 始终未滑到A 的最下端，不计空气阻力，重力加速度为g。求（以下结果均
43
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用含v0的式子表示）：
（1）C 经过最高点P 和到达Q 点时的速度大小vP、vQ。
（2）从C 与B 碰撞后到A 第一次与挡板碰撞前瞬间系统产生的内能Q。
（3）C 与B 碰撞后，A 第三次与挡板碰撞时的速度大小。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球C 从开始运动至最高点P 的过程，根据动能定理
由于
解得
C 从P 点到Q 点做平抛运动，则
解得
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（2）C 与B 碰撞瞬间系统动量守恒
解得
碰撞后，BC 整体沿滑板匀减速下滑，设BC 整体沿滑板匀减速下滑的加速度大小为 a1，根
据牛顿第二定律，有
解得
a1=0.1g
A 沿斜面匀加速下滑，设A 沿斜面匀加速下滑的加速度大小为a2，根据牛顿第二定律，有
解得
a2=1.25g
设A 下滑到挡板处时的速度为v1，根据匀变速直线运动规律，可知
对BC，有
对A，有
联立解得
，
则从C 与B 碰撞后到A 第一次与挡板碰撞前瞬间，BC 运动的位移为
A 运动的位移
45
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系统产生的内能
联立解得
（3）A 第一次与挡板碰撞后向上做匀减速运动，BC 继续向下做匀减速运动，因
可知系统沿斜面方向的合力为0，系统动量守恒，以沿斜面向下为正方向，设系统再次共
速时的速度为，根据动量守恒定律，有
解得
共速后，系统以
的速度沿斜面向下做匀速运动，A 以
的速度第三次与挡板碰撞。
【变式演练10】．（2024·广西桂林·模拟预测）如图所示，光滑轨道
由竖直轨道与半
径
的竖直圆弧轨道组成，O 为圆弧轨道的圆心，B 为圆弧轨道的最低点，OC 连
线与竖直方向的夹角
，在轨道右侧与A 等高处有一平台，平台边缘D 处有一质量为
的薄木板，其最左端放有一质量为
的滑块。质量为
的小球
在一定条件下可经C 点射出后恰能水平击中滑块，该碰撞过程可视为弹性碰撞。已知C 与
D 的高度差
，滑块与薄木板间的动摩擦因数为
，薄木板与平台间的动摩
擦因数
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，薄木板厚度不计，小球和滑块均可视为
质点，不计空气阻力，重力加速度g 取
，
，
。求：
（1）若小球自A 点无初速度释放，则小球经过B 点时对轨道的压力大小；
（2）要使小球能水平击中薄木板上的滑块，则C 与D 间的水平距离；
（3）若小球能水平击中薄木板上的滑块，且滑块恰好不脱离薄木板，则薄木板的长度及薄
木板与地面间因摩擦产生的热量。
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【答案】（1）5N；（2）1.2m；（3）0.12J
【详解】（1）小球从A 运动到B，由动能定理有
小球运动到B 点时，由向心力公式有
联立解得
由牛顿第三定律可知，小球经过B 点时对轨道的压力大小为
（2）小球由C 运动到D 位置，可视为由D 到C 逆向的平抛运动，竖直方向有
解得
水平方向有
则C 与D 间的水平距离
（3）小球与滑块碰撞过程，由动量守恒定律有
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由机械能守恒定律有
联立解得滑块的速度大小为
因
故滑块在薄木板上滑动过程中，薄木板向右做匀加速运动，对滑块受力分析，由牛顿第二
定律有
解得
对薄木板受力分析，由牛顿第二定律有
解得
设经过时间
，两者共速，有
解得
，
此过程中，滑块的位移大小为
薄木板的位移大小为
则薄木板的长度为
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故薄木板与地面间因摩擦产生的热量为
【变式演练11】．（2024·安徽·三模）如图所示，用长L=1m 的绳子拴住一质量为
m0=0.5kg 的小球，绳的一端固定在O 点，起始时，小球位于O 点竖直平面内右上方的A 点，
绳子处于绷直状态，OA 与水平方向夹角为53°，给小球一向左的水平初速度v0，当绳子再
次绷直时，小球刚好运动到O 点左侧等高的B 点（绳子绷直后立即在竖直平面内做圆周运
动）。小球运动到最低点与地面上质量为M=1.5kg 的木板发生弹性碰撞，木板最右端静止
一质量为m=1kg 的物块，板块间的动摩擦因数为0.1，木板与地面间的动摩擦因数为0.2。
已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，g=10m/s2。
（1）求小球平抛出去的初速度大小v0；
（2）求小球与木板碰后木板的瞬时速度的大小v2；
（3）木板足够长，物块与木板间由于发生相对滑动产生的热量Q。
【答案】（1）4m/s；（2）3m/s；（3）0.72J
【详解】（1）小球从A 到B 做平抛运动，有
解得
，
（2）小球到B 点时，水平分速度因为绳子作用瞬间变为0，小球从B 运动到C 的过程中，
根据动能定理可得
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解得
小球与木板发生弹性碰撞有
解得
，
（3）木板向右运动过程中，对木板M，有
对物块，有
当二者共速时有
解得
，
所以相对位移为
物块与木板间由于发生相对滑动产生的热量为
【变式演练12】一自上而下的传送装置可简化为如下模型。如图所示，水平光滑轨道OA
上安装了一理想弹簧发射器，弹簧原长小于OA 间距离，弹簧左端固定在O 处，弹簧右端
放置一小滑块P，使滑块向左压缩弹簧且不拴接，在轨道右侧有一顺时针转动的水平传送
带，其左右端分别与轨道A 点和细管道B 点等高相切，水平固定粗糙平台CD 与细管道最
低点C 等高相切，在水平地面上有一左端带挡板的木板，木板上表面与平台CD 等高且木
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板与平台紧密接触。将滑块P 由静止释放，P 经过水平传送带和三个竖直的半圆形光滑细
管道，与静止在CD 平台末端的小滑块Q 发生弹性碰撞，碰后P 恰好能返回C 点，碰后Q
滑上木板，然后Q 与木板左端挡板发生弹性碰撞。已知管道半径均为R，滑块P、木板质
量分别为
、
，释放滑块P 时弹簧弹性势能的大小为
，传送带长
度为
，传送带速度大小为
，平台CD 长度为
，木板长为
，
滑块P 与传送带间的动摩擦因数为
，P 与平台CD 间的动摩擦因数为
，滑
块Q 与木板间的动摩擦因数为
，木板与地面间的动摩擦因数为
，重力加速
度为g，滑块P、Q 均可视为质点，所有碰撞时间极短。
（1）求滑块P 到达B 点过程中传送带对滑块P 做的功W；
（2）求滑块Q 的质量
；
（3）求滑块Q 与木板间因摩擦而产生的热量
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）假设P 在传送带上一直匀减速，则由动能定理
解得
由于
则假设成立，即
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（2）设P 与Q 碰撞前的速度大小为
，碰后P 的速度大小为
，Q 的速度为
，则P 从B
到C 由动能定理
解得
从C 到D 过程中由动能定理
解得
对P 滑块从D 到C 根据动能定理
解得
根据动量守恒和机械能守恒可知
解得
解得
（3）由（2）可得，Q 碰后速度
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进入长木板上表面，先判断长木板是否移动，Q 对长木板摩擦力向左
地面对长木板最大静摩擦力
故长木板先不动，Q 做匀减速运动，可得
解得
Q 以速度
与长木板弹性碰撞，可得
可得碰后Q 的速度大小
长木板的速度大小为
Q 向右减速
长木板向左减速
Q 向右做减速运动直至速度减为零后再向左做加速运动直到两者共速，再一起减速，做出
图像如图
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可得
相对位移
可得
则滑块未滑离木板，滑块Q 与木板间因摩擦产生的热量为
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