专练8 14 小题＋1 大题(数列)
——节选自华大新高考联盟测评
一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)
1.已知集合A＝{－3,－2,0,2},B＝{x|－1<x<4},则A∩B 的子集个数为( )
A.2
B.4
C.8
D.16
答案 B
解析 由已知A＝{－3,－2,0,2},B＝{x|－1<x<4},
则A∩B＝{0,2},则A∩B 子集的个数为4 个.
2.(1－5i)(4＋3i)在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案 D
解析 (1－5i)(4＋3i)＝4＋3i－20i＋15＝19－17i,其在复平面内所对应的点的坐标为(19,－17),位
于第四象限.
3.已知某机械在生产正常的情况下,生产出的产品的指标参数符合正态分布N(100,16).现从该机械
生产出的所有产品中随机抽取2 件,则这2 件产品的质量指标分别在(96,112)和(92,108)的概率为(
)
(运算结果保留小数点后两位)参考数据:若X 服从正态分布(μ,σ2),则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 7,P(μ
－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 5,P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 3.
A.0.57
B.0.75
C.0.80
D.0.84
答案 C
解析 P(96<X<112)＝P(μ－σ<X<μ＋3σ)＝0.84,
P(92<X<108)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 5,
故所求概率P＝0.84×0.954 5＝0.801 78≈0.80.
4.已知在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,其中acos B＋bcos A＝3ctan C,若c＝√10,则
△ABC 外接圆的面积为( )
A.16π
B.25π
C.36π
D.49π
答案 B
解析 由正弦定理得,sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin C＝3sin Ctan C,
解得tan C＝1
3,
故sin C＝√10
10 ,则R＝
√10
2× √10
10
＝5,
故所求外接圆的面积为25π,故选B.
5.如图,已知在四面体ABCD 中,△BCD 为等边三角形,AB＝√3,△BCD 的面积为√3,点A 在平面
BCD 上的投影为点B,点M,N 分别为AC,CD 的中点,则( )
A.MN 与BD 相交
B.MN 与AD 异面
C.BM⊥AN
D.DM⊥BN
答案 C
解析 AB 选项,连接MN,则MN∥AD,MN⊄平面ABD,AD⊂平面ABD,
所以MN∥平面ABD,
由于AD 与BD 相交,故MN 与BD 异面,故AB 错误;
C 选项,△BCD 的面积为√3,△BCD 为等边三角形,
设△BCD 的边长为a,则1
2a2sin 60°＝√3,
解得a＝2,因为N 为CD 的中点,
所以BN⊥CD,
又A 在平面BCD 上的投影为点B,
故AB⊥平面BCD,
以B 为坐标原点,BN 所在直线为x 轴,平行CD 的直线为y 轴,BA 所在直线为z 轴,
建立空间直角坐标系,
又AB＝√3,
故 B(0,0,0),M(
√3
2 ,−1
2 , √3
2 ),A(0,0,√3),N(√3,0,0),
则⃗BM ＝(
√3
2 ,−1
2 , √3
2 ),⃗
AN＝(√3,0,0)－(0,0,√3)＝(√3,0,－√3),⃗
BM·⃗AN ＝(
√3
2 ,−1
2 , √3
2 )·(√3,0,－√3)
＝3
2＋0－3
2＝0,
所以BM⊥AN,C 正确;
D 选项,D(√3,1,0),⃗DM ＝(
√3
2 ,−1
2 , √3
2 )－(√3,1,0)＝(−√3
2 ,−3
2 , √3
2 ),⃗
BN＝(√3,0,0),
故|cos<⃗DM,⃗BN>|＝|⃗DM ·⃗BN |
|⃗DM |·|⃗BN |
＝|(−√3
2 ,−3
2 , √3
2 )·(√3,0,0)|
√3×√
3
4 ＋9
4 ＋3
4
＝
3
2
√3× √15
2
＝√5
5 ,
故DM,BN 所成角的余弦值为√5
5 ,故D 错误.
6.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定满十进一就是十进制,满八进一就是
八进制,即“满几进一”就是几进制,不同进制的数可以相互转换,如十进制下,159＝2×82＋3×8
＋7,用八进制表示159 这个数就是237.现用八进制表示十进制的719,则这个八进制数的最后一位
为( )
A.3
B.4
C.5
D.7
答案 D
解析 719＝(8－1)19＝819－C19
1 ×818＋C19
2 ×817－C19
3 ×816＋C19
4 ×815＋…＋C19
18×8－1,
而C19
18×8－1＝151＝2×82＋2×8＋7,
故最后一位数为7,故选D.
7.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为4,侧棱长为2,点M 在平面B1BCC1内(不含三棱柱的顶
点),若MA1⊥MB,则CM 的最小值为( )
A.3－√2
B.2√3－√2
C.√2
D.√10－√2
答案 D
解析 由题意知,点M 是在以线段A1B 为直径的球与平面B1BCC1形成的交线上,
如图,取A1B 的中点D,B1C1的中点P,
设BP 的中点为E,连接DE,则DE∥A1P,DE＝1
2A1P,
过点E 作EN⊥BC,垂足为N,由于A1P⊥B1C1,
又根据正三棱柱可知BB1⊥A1P,B1C1∩BB1＝B1,B1C1,BB1⊂平面B1BCC1,
所以A1P⊥平面B1BCC1,
则DE⊥平面B1BCC1,
则DE＝1
2A1P＝1
2 × √3
2 ×4＝√3,
而A1B＝√4
2＋2
2＝2√5,
EN＝1
2BB1＝1,BN＝1,CN＝3,
CE＝√3
2＋1
2＝√10,
故点M 在以E 为圆心,r＝√(
A1B
2 )
2
−D E
2＝√2为半径的圆上,
故CM 的最小值为CE－√2＝√10－√2,故选D.
8.已知双曲线C: x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P 在双曲线上,且|PF1|>|PF2|,若
△PF1F2的内心为Q(xQ,a),且⃗PQ＋3⃗OQ与⃗F1 F2共线,则双曲线C 的渐近线方程为( )
A.y＝±x
B.y＝±√2x
C.y＝±√3x
D.y＝±2x
答案 B
解析 设P(xP,yP),
依题意可设⃗PQ＋3⃗OQ
＝λ⃗F1 F2,
所以a－yP＋3a＝0,
则yP＝4a,
故S△P F1 F2＝1
2×2c×4a
＝1
2(|PF1|＋|PF2|＋2c)a,
化简得|PF1|＋|PF2|＝6c,
又|PF1|－|PF2|＝2a,
所以|PF1|＝3c＋a,|PF2|＝3c－a,
因为F1(－c,0),点P 在双曲线上,
且|PF1|>|PF2|,
所以P 在双曲线的右支上,
所以|PF1|＝√( xP＋c)
2＋y P
2
＝√
( xP＋c)
2＋b
2(
xP
2
a
2 −1)＝c
a·xP＋a,
则3c＋a＝c
a·xP＋a,解得xP＝3a,
所以P 的坐标为(3a,4a),
代入双曲线方程中,得(3a)
2
a
2
－(4 a)
2
b
2
＝1,
解得b
a ＝√2,
故所求渐近线的方程为y＝±√2x.
二、选择题(本大题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0 分)
9.已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示,其中A(
π
6 ,0),B(
2π
3 ,0),则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(0)≠f(
11π
6 )
C.f(x)在[π , 3 π
2 ]上单调递减
D.f(x)在[0,3π]上有6 个零点
答案 AD
解析 依题意得,T
2 ＝2π
3 －π
6 ＝π
2 ,则T＝π,故A 正确;
由图可知对称轴为x＝
π
6 ＋2π
3
2
＝5 π
12
,则f(0)＝f(
5 π
6 ),
又T＝π,则f(
5 π
6 )＝f(
11π
6 ),故f(0)＝f(
11π
6 ),故B 错误;
延长f(x)的图象如图所示,观察可知,f(x)在[π , 3 π
2 ]上先减后增,故C 错误;
f(x)在[0,3π]上有6 个零点,故D 正确.
10.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0),若函数g(x)＝|f(x＋2)－3|为偶函数,则下列说法一定正确
的是( )
A.y＝|f(x)|的图象关于直线x＝2 对称
B.g(0)＝0
C.ab<0
D.f(0)＋f(4)＝6
答案 BCD
解析 A 选项,令f(x)＝(x－2)3＋3,
则g(x)＝|f(x＋2)－3|＝|x3|,满足g(x)为偶函数,
但y＝|f(x)|的图象如图所示,不关于直线x＝2 对称,A 错误;
BD 选项,g(x)＝|f(x＋2)－3|为偶函数,
故q(x)＝f(x＋2)－3 为奇函数,
即q(－x)＝－q(x),
即f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3,
故f(－x＋2)＋f(x＋2)＝6,故点(2,3)为曲线y＝f(x)的对称中心,
故f(2)＝3,则g(0)＝|f(2)－3|＝0,f(0)＋f(4)＝2f(2)＝6,故B,D 正确;
C 选项,由题意得f'(x)＝3ax2＋2bx＋c,
令h(x)＝f'(x),则h'(x)＝6ax＋2b,
由于曲线y＝f(x)的对称中心为(2,3),结合三次函数的图象特征可知,
h'(2)＝12a＋2b＝0,则b＝－6a,又a≠0,故ab<0,故C 正确.
11.19 世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中,用标准差表达并论证了一个不等式,该不等式
被称为切比雪夫不等式,它可以使人们在随机变量X 的分布未知的情况下,对事件|X－μ|<ε 做出估
计.切比雪夫不等式定义为:若随机变量X 具有数学期望E(X)＝μ,方差D(X)＝σ2,则对任意正数ε,不
等式P(|X－μ|<ε)≥1－σ
2
ε
2 成立.已知某试验田对一种新型作物进行种植实验,现抽取部分作物的高度
进行调研,所得数据统计如下表所示:
作物类别
数量
作物平均高度/cm
作物高度的方差
雄性作物
50
30
256
雌性作物
50
20
361
由本次的试种可知,该新型作物的高度受到环境,肥料等一系列因素的影响,每株作物成长到达标高
度的概率为0.6,则下列说法正确的是( )
A.本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为25
B.本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为313.5
C.为了保证下一次种植实验中至少有90%的作物的高度达到预定达标高度的频率大于0.3 且小于
0.9,则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植27 株
D.经过几次实验之后,作物最终存活的频率为0.8,若种植20 000 株此类作物,则作物存活16 000
株的概率最大
答案 ACD
解析 所有作物的高度的平均值为1
100×(50×30＋50×20)＝25,故A 正确;
所有作物的高度的方差为1
100×{50×[256＋(30－25)2]＋50×[361＋(20－25)2]}＝333.5,故B 错误;
设作物高度达到预定达标高度的数量为X,
依题意知X~B(n,0.6),
则E(X)＝0.6n,
D(X)＝n×0.6×(1－0.6)＝0.24n,
若0.3n<X<0.9n,则－0.3n<X－0.6n<0.3n,
由切比雪夫不等式可得P(|X－μ|<ε)＝P(|X－0.6n|<0.3n)≥1－σ
2
ε
2 ＝1－0.24 n
(0.3n)
2≥0.9,又n>0,
解得n≥80
3 ,即最少种植27 株,故C 正确;
设存活m 株的概率最大,X~B(20 000,0.8),
则P(X＝m)＝C20 000
m
×0.8m×0.220 000－m
＝
20 000!
(20 000−m)!m!×0.8m×0.220 000－m,
P(X＝m＋1)＝C20 000
m＋1 ×0.8m＋1×0.219 999－m
＝
20 000!
(19 999−m)!(m＋1)!×0.8m＋1×0.219 999－m,
P(X＝m－1)＝C20 000
m−1 ×0.8m－1×0.220 001－m
＝
20 000!
(20 001−m)!(m−1)!×0.8m－1×0.220 001－m,
则P( X ＝m＋1)
P( X ＝m)
＝
20 000!
(19 999−m)!(m＋1)! ×0.8
m＋1×0.2
19 999−m
20 000!
(20 000−m)!m! ×0.8
m×0.2
20 000−m
＝(20 000−m)×0.8
(m＋1)×0.2
≤1,
解得m≥16 000－1
5,
P( X ＝m)
P( X ＝m−1) ＝
20 000!
(20 000−m)!m! ×0.8
m×0.2
20 000−m
20 000!
(20 001−m)!(m−1)! ×0.8
m−1×0.2
20 001−m
＝(20 001−m)×0.8
m×0.2
≥1,
解得m≤16 000＋4
5 .
又m∈N*,所以当m＝16 000 时,P(X＝m)最大,故D 正确.
三、填空题(本大题共3 小题,每小题5 分,共15 分)
12.已知O 为坐标原点,抛物线C:y2＝8x 的焦点为F,点M(2,y0)在抛物线C 上,则|MO|＝ .
答案 2√5
解析 依题意得,y0
2＝16,解得y0＝±4,
故|MO|＝√2
2＋y0
2＝2√5.
13.已知在梯形ABCD 中,⃗BC＝2⃗AD,若M 为CD 边上靠近C 的三等分点,且⃗BM＝x⃗AB＋y⃗AD,则x
＋y＝ .
答案 4
3
解析 如图所示,因为在梯形ABCD 中,⃗BC＝2⃗AD,
若M 为CD 边上靠近C 的三等分点,
所以⃗CD＝⃗CB＋⃗BA ＋⃗AD＝－2⃗AD－⃗AB＋⃗AD＝－⃗AD－⃗AB,⃗
CM ＝1
3⃗CD＝－1
3⃗AD－1
3⃗AB,
所以⃗BM ＝⃗BC ＋⃗CM＝2⃗AD－1
3⃗AD－1
3⃗AB＝－1
3⃗AB＋5
3⃗AD.
又因为⃗BM＝x⃗AB＋y⃗AD,则x＋y＝4
3.
14.已知m＝
99…9
⏟
12个9
,n＝
66…6
⏟
8个6
,则m,n 的最大公约数为 .
答案 3 333
解析 用(x,y)表示正整数x,y 的最大公约数,
则(
99…9
⏟
12个9
,
66…6
⏟
8个6
)＝(
99…9
⏟
12个9
,
33…3
⏟
8个3
)
＝3(
33…3
⏟
12个3
,
11…1
⏟
8个1
)＝3(
1…1
⏟
12个1
,
11…1
⏟
8个1
),
而
11…1
⏟
12个1
＝11…1
⏟
8个1
×104＋1111,
故(
11…1
⏟
12个1
,
11…1
⏟
8个1
)＝(1111,
11…1
⏟
8个1
)＝1 111,
则m,n 的最大公约数为3 333.
四、解答题(本题共13 分.考查方向:数列)
15.已知数列{an}的首项为2,前n 项和为Sn,且Sn＋1＋2＝an＋3n＋Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求满足an>3n＋5
2
的n 的最小值;
(3)已知bn＝
1
6an＋6n−20,记数列{bn}的前n 项和为Tn,求证:－1
2≤Tn<－1
3.
(1)解 由已知Sn＋1＋2＝an＋3n＋Sn,
则an＋1＝Sn＋1－Sn＝an＋3n－2,
即an＋1－an＝3n－2,则an－an－1＝3n－5,
an－1－an－2＝3n－8,…,a2－a1＝1,
等式左右分别相加可得an－a1＝(3n－5)＋(3n－8)＋…＋1＝(3n−5＋1)(n−1)
2
＝3n
2−7n＋4
2
,
则an＝3n
2−7n＋4
2
＋a1＝3n
2−7n＋8
2
.
(2)解 由(1)得an＝3n
2−7n＋8
2
,且an>3n＋5
2
,即3n
2−7n＋8
2
>3n＋5
2
,
化简可得(3n－1)(n－3)>0,又n∈N*,
即n>3,所以满足an>3n＋5
2
的n 的最小值为4.
(3)证明 依题意得,
bn＝
1
6an＋6n−20 ＝
1
9n
2−15n＋4
＝
1
(3n−4)(3n−1)
＝1
3(
1
3n−4 −
1
3n−1),
则Tn＝1
3(−1−1
2 ＋1
2 −1
5 ＋1
5 −1
8 ＋…＋
1
3n−4 −
1
3n−1)＝1
3(−1−
1
3n−1)＝－1
3 －
1
9n−3,
又n∈N*,所以
1
9n−3∈(0, 1
6],
所以Tn＝－1
3 －
1
9n−3∈[−1
2 ,−1
3),
即－1
2≤Tn<－1
3
