专练10 14 小题＋1 大题(概统)
——节选自成都七中三诊
一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)
1.集合A＝{x|x<m},B＝{x|－3<x<5},若B⊆A,则实数m 的取值范围为( )
A.(－∞,－3)
B.(－∞,－3]
C.(5,＋∞)
D.[5,＋∞)
答案 D
解析 因为B⊆A,所以由数轴得m≥5.
即m 的取值范围为[5,＋∞).
2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标是(1,－2),则i·z的虚部是( )
A.i
B.1
C.－i
D.－1
答案 B
解析 由题意可得z＝1－2i,
则i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i,
则i·z的虚部是1.
3.已知向量a 和b 的夹角为120°,且|a|＝2,|b|＝5,则(2a－b)·a＝( )
A.13
B.3
C.8＋5√3
D.8－5√3
答案 A
解析 由题意可得(2a－b)·a＝2a2－a·b＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝8＋5＝13.
4.《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作,书中有如下问题:“今有大夫、不更、簪袅、
上造、公士,凡五人,共出百钱,欲令高爵出少,以次渐多,问子几何?”意思是:“有大夫、不更、簪
袅、上造、公士(爵位依次降低)5 个人共出100 钱,按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差
数列,这5 个人各出多少钱?”在这个问题中,若上造出27 钱,则公士出钱数为( )
A.31 钱
B.32 钱
C.33 钱
D.34 钱
答案 D
解析 不妨设大夫所出的钱数为a1,公差为d(d>0),
依题意可得a3＝20,a4＝27,则a5＝34,故选D.
5.2025 年4 月12 日是成都七中成立120 周年校庆日,将2,0,2,5,4,1,2 这些数字排成一行拼成7 位
数,则不同的7 位数的有 个.( )
A.480
B.600
C.720
D.840
答案 C
解析 共6×6!
3!
＝720 种,故选C.
6.从午夜零时算起,钟的时针和分针一天内重合的次数为( )
A.18 次
B.20 次
C.22 次
D.24 次
答案 C
解析 一天24 小时中时针转2 圈,分针转24 圈,
所以分针比时针多转的圈数是24－2＝22,
又因为每多转一圈,分针就与时针相遇一次,
所以钟的时针和分针一天内会重合22 次,故选C.
7.过双曲线C: x
2
a
2－y2＝1(a>0)右支上的点P 作C 的切线l,F1,F2为双曲线C 的左、右焦点,N 为切线
l 上的一点,且ON∥F1P.若|ON|＝2,则双曲线的离心率为( )
A.√2
B.√5
2
C.2
D.√5
答案 B
解析 设P(x0,y0),x0>0,则双曲线在点P(x0,y0)的切线方程为
x0 x
a
2 －y0y＝1,
令
x0 x
a
2 －y0y＝1 中y＝0 得x＝a
2
x0,故B(
a
2
x0
,0),
故|OB|＝a
2
x0
,
又|OF1|＝c＝√a
2＋1,
故|BF1|＝a
2
x0
＋√a
2＋1,
其中|F1P|＝√( x0＋c)
2＋y0
2
＝√( x0＋√a
2＋1)
2＋y0
2,
又x0
2
a
2 －y0
2＝1,
故|F1P|＝√
( x0＋√a
2＋1)
2＋x0
2
a
2 −1
＝√
(a
2＋1)x0
2
a
2
＋2√a
2＋1 x0＋a
2
＝√(
√a
2＋1 x0
a
＋a)
2
＝√a
2＋1 x0
a
＋a,
因为ON∥F1P,所以|ON |
| F1 P| ＝|OB|
|B F1|,
即
2
√a
2＋1 x0
a
＋a
＝
a
2
x0
a
2
x0
＋√a
2＋1
,
整理得(a－2)(a2＋√a
2＋1x0)＝0,
显然a2＋√a
2＋1x0>0,故a－2＝0,故a＝2,
所以c＝√a
2＋1＝√5,
所以双曲线的离心率为√5
2 .
8.设x,y,z∈[1,2],则( x−y)
2
xy
＋( y −z)
2
yz
＋( z−x)
2
zx
的最大值是( )
A.1
B.5
4
C.4
3
D.3
2
答案 A
解析 设max(x,y,z)≥y≥min(x,y,z),
则(x－y)(y－z)≥0⇔xy＋yz≥xz＋y2,
∴{
1＋x
z ≥x
y ＋y
z ,
1＋z
x ≥y
x ＋z
y ,
则x
z ＋z
x ＋2≥x
y ＋y
x ＋z
y ＋y
z
∴( x−y)
2
xy
＋( y −z)
2
yz
＋( z−x)
2
zx
＝x
y ＋y
x ＋x
z ＋z
x ＋z
y ＋y
z －6≤2(
x
z ＋z
x)－4.
∵x,y,z∈[1,2],∴2x≥z,2z≥x,
∴(2 x−z)(2 z−x)
xz
≥0⇒5≥2 x
z ＋2 z
x ,
∴( x−y)
2
xy
＋( y −z)
2
yz
＋( z−x)
2
zx
≤1.
二、选择题(本大题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0 分)
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点P 为棱CC1中点,则( )
A.过P 有且只有一条直线与直线AB 和A1D1都相交
B.过P 有且只有一条直线与直线AB 和A1D1都垂直
C.过P 有且只有一个平面与直线AB 和A1D1都平行
D.过P 有且只有一个平面与直线AB 和A1D1所成角相等
答案 ABC
解析 如图所示,对于A 选项,过点P 与直线AB 相交的直线必在平面PAB 内,
过点P 与直线A1D1相交的直线必在平面PA1D1内,
故满足条件的直线必为两平面的交线,显然两平面有唯一交线,A 正确;
对于B 选项,因为A1D1∥AD,若l⊥A1D1,
则l⊥AD,若l⊥AB,则l⊥平面ABCD,
显然满足条件的直线唯一,即CC1,B 正确;
对于C 选项,分别取BB1,DD1的中点E,F,连接PE,PF,EF,A1D1∥PE,
因为A1D1⊄平面PEF,PE⊂平面PEF,所以A1D1∥平面PEF,
同理可证AB∥平面PEF,
所以过P 有且只有一个平面与直线AB 和A1D1都平行,即平面PEF,C 正确;
对于D 选项,以点A 为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐
标系,
不妨设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),A1(0,0,1),D(0,1,0),D1(0,1,1),
所以⃗AB＝(1,0,0),⃗A1 D1＝(0,1,0),
设满足题设条件的平面的法向量为m＝(x,y,z),其中x2＋y2＋z2>0,由题意可得
|⃗AB·m|
|⃗AB|·|m|
＝|⃗A1 D1·m|
|⃗A1 D1|·|m| ,
可得|⃗AB·m|＝|⃗A1 D1·m|,即|x|＝|y|,
所以以n＝(x,x,z)或n＝(x,－x,z)(x2＋z2>0)为法向量且过点P 的平面均满足题意,
故过P 有无数个平面与直线AB 和A1D1所成角相等,D 错.
10.已知函数f(x)＝sin x|cos x|＋cos x|sin x|,则下列说法正确的是( )
A.f(x)的周期为π
2
B.f(x)的图象关于x＝π
4 对称
C.f(x)在[0,π]上恰有3 个零点
D.若f(ωx)(ω>0)在[0, π
2]上单调递增,则ω 的最大值为1
2
答案 BD
解析 ①当x∈[2k π ,2k π ＋π
2)(k∈Z)时,
f(x)＝sin xcos x＋cos xsin x＝2sin xcos x＝sin 2x,
②当x∈[2k π ＋π
2 ,2k π ＋π)(k∈Z)时,
f(x)＝sin x(－cos x)＋cos xsin x＝0,
③当x∈[2k π ＋π ,2k π ＋3 π
2 )(k∈Z)时,
f(x)＝sin x(－cos x)＋cos x(－sin x)＝－2sin xcos x＝－sin 2x,
④当x∈[2k π ＋3 π
2 ,2k π ＋2π)(k∈Z)时,
f(x)＝sin xcos x＋cos x(－sin x)＝0,
因此,f(x)＝{
sin 2 x ,2k π ≤x<2k π ＋π
2 ,
0,2k π ＋π
2 ≤x<2k π ＋π ,
−sin 2 x ,2k π ＋π ≤x<2k π ＋3 π
2 ,
0,2k π ＋3 π
2 ≤x<2k π ＋2π
k∈Z.
所以函数f(x)的图象,如图所示.
A 中,因为f(x＋π
2)
＝sin(x＋π
2)|cos(x＋π
2)|＋cos(x＋π
2)|sin(x＋π
2)|
＝cos x|sin x|－sin x|cos x|≠±f(x),故A 不正确;
B 中,因为f(
π
4 ＋x)
＝sin(
π
4 ＋x)|cos(
π
4 ＋x)|＋cos(
π
4 ＋x)|sin(
π
4 ＋x)|
＝sin[
π
2 −(
π
4 −x)]|cos[
π
2 −(
π
4 −x)]|＋cos[
π
2 −(
π
4 −x)]|sin[
π
2 −(
π
4 −x)]|
＝cos(
π
4 −x)|sin(
π
4 −x)|＋sin(
π
4 −x)|cos(
π
4 −x)|＝f(
π
4 −x),
所以f(x)的图象关于x＝π
4 对称,故B 正确;
C 中,由f(x)的函数解析式以及函数图象可知:
当x＝0 时,f(x)＝0,当x∈(0, π
2)时,f(x)>0,当x∈[
π
2 ,π]时,f(x)＝0,
所以f(x)在[0,π]上有无数个零点,故C 错误;
D 中,由ω>0,0≤x≤π
2 ,得0≤ωx≤π
2 ω,
因为f(ωx)(ω>0)在[0, π
2]上单调递增,
由f(x)的图象可知0<π
2 ω≤π
4 ,
解得0<ω≤1
2,
则ω 的最大值为1
2,故D 正确.
11.玫瑰线以优雅之姿蜿蜒于平面,其花瓣般的曲线如诗如画,每一道弧度都流淌着属于数学的浪漫,
已知某种玫瑰曲线的方程为(x2＋y2)2＝ax(x2－3y2)(a≠0),下列关于该玫瑰曲线的说法正确的是(
)
A.当a＝1 时,若P(x,y)在玫瑰线上,则点P 关于x 轴对称点也在该玫瑰线上
B.当a＝－2 时,玫瑰线上的点距坐标原点最远距离为2√2
C.当a＝2 时,过原点且与玫瑰线仅有一个交点的直线方程为y＝±√3
3 x
D.将该玫瑰线顺时针旋转π
3 ,新的曲线方程为(x2＋y2)2＝－ax(x2－3y2)(a≠0)
答案 AD
解析 A 中,设(x,y)满足玫瑰线方程,则验证(x,－y)也满足方程,所以A 正确;
B 中,令{
x＝r cos θ ,
y ＝r sin θ ,代入原方程化简得
r＝－8cos3θ＋6cos θ,
令t＝cos θ,由于r≥0,
所以cos θ∈[−1,−√3
2 ]∪[0, √3
2 ],
又因为r'(t)＝－24t2＋6,
易验证t＝1
2时,rmax＝2,所以B 错误;
C 中,考虑直线斜率不存在,将x＝0 代入,解得y＝0,唯一解,
所以直线x＝0 满足条件.
若直线斜率存在,则y＝kx,代入方程得
(x2＋k2x2)2＝2x(x2－3k2x2),
方程仅有x＝0 这个解,
所以x＝0 满足方程(1＋k2)2x＝2(1－3k2),
解得k＝±√3
3 ,
综上,y＝±√3
3 x,x＝0 与玫瑰曲线产生一个交点,C 错误;
D 中,设旋转后的曲线上任意一点坐标为(x',y'),
则旋转前的坐标为(x,y),
设{
x
'＝r cos θ ,
y
'＝r sin θ ,
所以原坐标为新坐标逆时针旋转π
3 ,
则{
x＝r cos(θ＋π
3),
y ＝r sin(θ＋π
3),
所以{
x＝1
2 x' −√3
2 y ' ,
y ＝√3
2 x' ＋1
2 y ' ,
代入玫瑰方程化简可得
(x'2＋y'2)2＝－ax'(x'2－3y'2),
所以D 正确.
三、填空题(本大题共3 小题,每小题5 分,共15 分)
12.在(2 x
3−1
√x)
7
的展开式中,x7的系数为 .(用数字作答)
答案 280
解析 因为(2 x
3−1
√x)
7
的通项为Tr＋1＝C7
r(2x3)7－r(−1
√x)
r
＝(－1)r·27－rC7
r x
21−7
2 r,
令21－7
2r＝7,得r＝4,
所以x7的系数为(－1)4·27－4C7
4＝8×35＝280.
13.正三棱锥底面边长√3,体积√3
4 ,则该三棱锥外接球的表面积为 .
答案 4π
解析 设正三棱锥P－ABC 的底面中心为M,
外接球的球心为O,显然球心O 在直线PM 上.
设正三棱锥的高为h,外接球的半径为R,
由AB＝√3,可得正三角形ABC 的面积为√3
4 ×3＝3√3
4 ,
所以1
3 × 3√3
4 h＝√3
4 ,解得h＝1,
球心O 到底面ABC 的距离为OM＝|h－R|＝|1－R|,AM＝2
3AD＝1,
由R2＝OM2＋AM2,
得R2＝(1－R)2＋1,得R＝1,
所以外接球的表面积为4πR2＝4π.
14.若t>0,关于x 的不等式tln(tx)≤ex恒成立,则实数t 的取值范围是 .
答案 (0,e]
解析 txln(tx)≤xex,
则ln(tx)eln tx≤xex,x>0,
由于y＝xex在x>0 时单调递增,
所以ln tx≤x,∴tx≤ex(x>0).
所以t≤e
x
x ＝h(x)(x>0),
因为h'(x)＝( x−1)e
x
x
2
,
当0<x<1 时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x>1 时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
所以当x＝1 时,h(x)取得极小值,也是最小值,所以h(x)min＝h(1)＝e,即t∈(0,e].
四、解答题(本题共13 分.考查方向:概统)
15.在一个足够大的不透明袋中进行一个n 轮摸球试验,规则如下:每一轮试验时,袋中均有红、黑、
白三种颜色的球,从中随机摸出一个球(摸出的球不再放回),若摸出红球.则试验成功;若摸出白球,
则试验失败;若摸出黑球,则进入判定环节:判定时,放回两个黑球取出一个白球,从中随机摸出一个
球,若为白球则试验失败,否则试验成功.若试验成功,则结束试验,若试验失败,则进行下一轮试验,
直至成功或n 轮试验进行完.
已知第i(i＝1,2,…,n)轮试验开始时,袋中有1 个红球,i 个黑球,(i＋i2)个白球.
(1)求第1 轮试验成功的概率;
(2)某团队对这个试验进行了一定的研究,请若干志愿者进行了5 轮试验,并记录了第i(i＝
1,2,3,4,5)轮试验成功志愿者的比例yi,记xi＝1
i ,发现xi与yi线性相关,求y 关于x 的经验回归方程,
并预测试验轮数足够大时,试验成功志愿者的比例;
(3)记试验结束时,试验成功的概率为Pn,证明:Pn<3
4.
参考数据:x＝0.46,y＝0.69,
5
∑
i=1
(x－x)2＝0.42,
5
∑
i=1
xiyi＝1.503.
附:回归方程y＝^bx＋^a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为^b＝
n
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
n
∑
i=1
( xi−x)
2
,
^a＝y －^b x.
(1)解 第1 轮试验中有1 个红球,1 个黑球,2 个白球,摸出红球,即试验成功的概率为
1
1＋1＋2 ＝1
4,
摸出黑球且试验成功的概率为
1
4 ×
1＋2
4−1−1＋2 ＝3
16,
所以第1 轮试验成功的概率为1
4 ＋3
16 ＝7
16.
(2)解 ^b＝
5
∑
i=1
( xi−x)( yi−y)
5
∑
i=1
( xi−x)
2
＝
5
∑
i=1
xi yi−5 x y
5
∑
i=1
( x−x)
2
＝1.503−5×0.46×0.69
0.42
＝－0.2,
所以^a＝0.69＋0.2×0.46＝0.782,
则所求经验回归方程为^y＝－0.2x＋0.782,
当试验轮数足够大,即i 足够大时,x 接近于0,则y 接近于0.782,
故预测成功志愿者的比例为0.782.
(3)证明 依题意,n 轮试验失败的概率为1－Pn,设第i 轮试验失败的概率为Pi,
则1－Pn＝P1 P2…Pn,
Pi发生有两种可能,
直接摸出白球,概率为
i＋i
2
1＋i＋i＋i
2 ＝
i
1＋i,
或者摸出黑球后再摸出白球,
概率为
i
1＋i＋i＋i
2 ×
i＋i
2−1
1＋i＋i＋i
2
＝i(i＋i
2−1)
(i＋1)
4
,
所以Pi＝i(i＋1)
3＋i(i＋i
2−1)
(i＋1)
4
＝i[(i＋1)
3＋(i＋i
2−1)]
(i＋1)
4
＝i
2(i
2＋4i＋4)
(i＋1)
4
＝i
2(i＋2)
2
(i＋1)
4 ,
则1－Pn＝1
2×3
2
2
4
× 2
2×4
2
3
4
×…×n
2(n＋2)
2
(n＋1)
4
＝(n＋2)
2
4(n＋1)
2,
因此Pn＝1－(n＋2)
2
4(n＋1)
2<1－1
4 ＝3
4
