专题01：古典概型题型巩固
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：古典概型基础计算.......................................................... 2
题型二：“放回”与“不放回”问题................................................ 6
题型三：游戏公平性问题............................................................. 8
题型四：多角度构建概率模型......................................................15
题型五：间接法求对立事件........................................................ 17
题型六：古典概型与统计........................................................... 20
题型七：古典概型与其他概率综合................................................28
题型八：古典概型的综合应用......................................................33
专题01：古典概型题型巩固
模块一：题型分类
【注意】本专题部分题型题目可能与前面章节内容重复
题型一：古典概型基础计算
1.一个不透明的箱子中有4 个红球、2 个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)．
(1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；
(2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．
【解题思路】
（1）根据题意写出从箱子中随机抽取两球的样本空间，从而得到答案；
（2）分别计算“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”和“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝
球”的概率，利用互斥事件的概率公式计算即可.
【解答过程】（1）
把4 个红球标记为��,��，��,��2 个蓝球标记为��,��
从箱子中随机抽取两球的样本空间为:
�= ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����，共有
15 个样本点，
设事件�=“从箱子中随机抽取两球且颜色相同”，
则事件�= ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����，包含7 个样本点，
∴��=
�
��．
（2）
设事件�= “从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”，
事件�= “从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”，
事件�= “从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”，
则�= �∪�，且�与�互斥．
所以��=
�
�×
�
�=
�
�，��=
�
�×
�
�=
�
�，
则��= ��∪�= ��+ ��=
�
�+
�
�=
�
�．
2.如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10 个棋子，其中A
棋1 个，B 棋2 个，C 棋3 个，D 棋4 个，
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；
②A 棋胜B 棋，C 棋；B 棋胜C 棋，D 棋；C 棋胜D 棋；D 棋胜A 棋；
③相同棋子不分胜负，
(1)若小玲先摸，问小玲摸到C 棋的概率是多少？
(2)已知小玲先摸到了C 棋，小军在剩余的9 个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？
(3)已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9 个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概
率最大？
【解题思路】
（1）（2）利用古典概型的概率公式即可得解；
（3）分别分析小玲摸到不同棋子胜小军的概率，从而得解.
【解答过程】（1）依题意，一共有10 个棋子，其中C 棋3 个，
所以小玲摸到�棋的概率等于
�
��；
（2）因为C 棋胜D 棋，D 棋4 个，
所以小玲在这一轮中胜小军的概率是
�
�；
（3）若小玲摸到�棋，小玲胜小军的概率是
�
�；
若小玲摸到�棋，小玲胜小军的概率是
�
�；
若小玲摸到�棋，小玲胜小军的概率是
�
�；
若小玲摸到�棋，小玲胜小军的概率是
�
�；
由此可见，小玲希望摸到�棋，小玲胜小军的概率最大.
3.某环保小组共有5 名成员，其中男成员有2 人，现从这5 人中随机选出3 人去某社区进行环保宣传.
(1)求所选的3 人中恰有1 名男成员的概率；
(2)求所选的3 人中至少有2 名女成员的概率.
【解题思路】（1）（2）利用古典概型公式求解.
【解答过程】（1）由题意可知该环保小组女成员有3 人，记为�, �, �；男成员有2 人，记为�, �.
从5 名成员随机选出3 人的情况有���, ���, ���, ���, ���, ���, ���, ���, ���, ���，共10 种.
所选的3 人中恰有1 名男成员的情况有���, ���, ���, ���, ���, ���，共6 种，
则所选的3 人中恰有1 名男成员的概率�=
�
��=
�
�.
（2）所选的3 人中至少有2 名女成员的情况有���, ���, ���, ���, ���, ���, ���，共7 种，
则所选的3 人中至少有2 名女成员的概率�=
�
��.
4.为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入验证码．已知该系统登入设置的每
个验证码均由有序数字串���组成，其中�, �, �∈1,2,3 ，某人非法登录一个账号，任选一组验证码输入．
(1)求这个人输入的验证码恰有两位正确的概率；
(2)若这个人通过技术获得了验证码的第一位数，求这个人输入的验证码正确的概率．
【解题思路】（1）利用古典概型的概率求解；
（2）利用古典概型的概率求解.
【解答过程】（1）解：由题可知，所有的验证码包括111，112，113，121，122，123，131，132，133，
211，212，213，221，222，223，231，232，233，311，312，313，321，322，323，331，332，333，共
27 种．
不妨设正确的验证码为111，则恰有两位正确的验证码包括112，113，121，131，211，311，共6 种，
故这个人输入的验证码恰有两位正确的概率为
�
��=
�
�．
（2）不妨设正确的验证码为111，这个人通过技术获得的验证码的第一位数为1，
则这个人输入的验证码可能为111，112，113，121，122，123，131，132，133，共9 种，
则这个人输入的验证码正确的概率为
�
�．
5.在试验�6“袋中有白球3 个（编号为1，2，3）、黑球2 个（编号为1，2），这5 个球除颜色外完全相同，
从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为�1，�2，�3，
摸到黑球的结果分别记为�1，�2．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
【解题思路】
（1）（2）（3）根据题意列出试验��的样本空间，利用古典概率模型概率计算公式进行计算即可.
【解答过程】（1）由前面的分析可知试验��的样本空间Ω =
����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ���
，
共有20 个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．
设事件A 表示“取到的两个球都是白球”，则�= ����, ����, ����, ����, ����, ����，
共含有6 个样本点，所以�(�) =
�
��=
�
��，即取到的两个球都是白球的概率为
�
��；
（2）设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则�= ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����，
共含有8 个样本点，所以�(�) =
�
��=
�
�，即取到的两个球颜色相同的概率为
�
�；
（3）设事件C 表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则�=
����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����
，
共含有18 个样本点，所以�(�) =
��
��=
�
��，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为
�
��.
6.如图，数轴上O 为原点，点A 对应实数6，现从1，2，3，4，5 中随机取出两个数，分别对应数轴上的
点B，C（点B 对应的实数小于点C 对应的实数）．
(1)记事件E 为：线段OB 的长小于等于2，写出事件E 的所有样本点；
(2)记事件F 为：线段OB，BC，CA 能围成一个三角形，求事件F 发生的概率．
【解题思路】（1）分别令��= �或�，一一列举，写出事件�的所有样本点；
（2）按古典概型的概率计算公式进行计算.
【解答过程】（1）事件E 的样本点有：(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �)．
（2）样本空间为：{(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �)}，
其中事件F 包含的样本点只有：(�, �)，
所以事件F 发生的概率�(�) =
�
��．
7.网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”
的普及情况，从全校3000 名学生中随机抽取了100 人，发现样本中使用过移动支付的有60 人，使用过共
享单车的有43 人，其中两种都使用过的有8 人.
(1)利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；
(2)经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3 人坐过高铁.现从样本中
两种都没使用过的学生里随机选出2 名学生，求这2 名学生都坐过高铁的概率.
【解题思路】（1）用容斥原理求出样本中移动支付和共享单车两种都没使用的人数，从而利用频率估计该
校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；
（2）利用列举法结合古典概型概率公式计算概率即可.
【解答过程】（1）样本中使用过移动支付的人组成集合�，使用共享单车的人组成集合�，
card(�)表示集合�中的元素，由题意card(�∩�) = �，card(�) = ��，card(�) = ��，
所以card(�∪�) = card(�) + card(�) −card(�∩�) = ��，
所以样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为���−��= �，
从而估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数为
�
���× ����= ���；
（2）由（1）知样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生有�人，记为A，B，C，D，E，
其中有3 人坐过高铁的学生记为A，B，C.
则从5 人中抽取2 人的所有抽取情况有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10 种，
其中2 名学生都坐过高铁的有AB，AC，BC，共3 种，故所求概率为�=
�
��.
所以这2 名学生都坐过高铁的概率为
�
��.
8.2023 年11 月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10 月31 日，学青会火炬传递在桂林举行，广
西师范大学有5 名教师参与了此次传递，其中男教师2 名，女教师3 名.现需要从这5 名教师中任选2 名教
师去参加活动.
(1)写出试验“从这5 名教师中任选2 名教师”的样本空间；
(2)求选出的2 名教师中至多有1 名男教师的概率.
【解题思路】（1）写出所有可能发生的情况即可；
（2）写出所有满足题意的情况数，根据古典概型即可计算概率.
【解答过程】（1）将2 位男教师记为��,��，3 位女教师记为��, ��, ��，
则样本空间�=
��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��
，
共10 个样本点.
（2）设事件�表示“选出的2 名教师中至多有1 名男教师”,
则�=
��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��
，
�中包含9 个样本点,所以�(�) =
�
��.
题型二：“放回”与“不放回”问题
1.一个不透明口袋中有4 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，
再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为
．
【答案】3
8
【解析】画出树状图:
由树状图可知：基本事件的总数共有16 种，
其中第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号有6 种，
所以第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为
6
3
16
8
P
.
故答案为：3
8 .
2.一个盒子中装有4 张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取
一张卡片，放回后再抽取1 张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于6 的概率是
.
【答案】3
16 /0.1875
【解析】两次抽取的试验的样本空间
{11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44}
，共16 个，
两次抽取的卡片数字之和大于6 的事件
{34,43,44}
A
，共3 个，
所以两次抽取的卡片数字之和大于6 的概率是
3
( )
16
P A
.
故答案为：3
16
3.一个袋子中有大小和质地相同的4 个球，标号分别为1，2，3，4，从袋中不放回地随机抽取两次，每次
取一球．记事件A：第一次取出的是2 号球；事件B：两次取出的球号码之和为5．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)判断事件A 与事件B 是否相互独立，请说明理由；
(3)两次取出的号码之和最可能是多少？请说明理由．
【解析】（1）用数组
1
2
,
x x
表示可能的结果，
1
x 表示第一次抽到球的标号，
2
x 表示第二次抽到球的标号，
则试验样本空间为
1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,3 , 2,4 , 3,1 , 3,2 , 3,4 , 4,1 , 4,2
4,3
．
（2）
2,1 , 2,3 , 2,4
A
，
1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1
B
，
2,3
AB
．
所以
3
1
4
1
1
,
,
12
4
12
3
12
P A
P B
P AB
．
因为
P AB
P A P B
，所以事件A 与事件B 是相互独立．
（3）两次取出的号码之和的有：3，4，5，6，7．分别记作事件：C，D，E，F，G．
则
(
) (
)
(
) (
) ,
(
) (
) (
) (
) ,
1,2 , 2,1
1,3 , 3,1
1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1
C
D
E
,
2,4 , 4,2
,
)
,
(
) (
4
)
)
3 4
3
(
,
,
(
F
G
．
2
1
2
1
4
1
2
1
2
1
,
,
,
,
12
6
12
6
12
3
12
6
12
6
P C
P D
P E
P F
P G
．
因
( )
( )
(
)
( )
( )
P E
P C
P D
P F
P G
．
所以两次取出号码之和最有可能是5．
4.在试验
6
E “袋中有白球3 个（编号为1，2，3）、黑球2 个（编号为1，2），这5 个球除颜色外完全相同，
从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为
1
w ，
2
w ，
3
w ，
摸到黑球的结果分别记为
1b ，
2b ．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
【解析】（1）由前面的分析可知试验
6
E 的样本空间
1
2
1
3
1 1
1 2
2
1
2
3
2 1
2
2
3
1
3
2
3 1
3 2
1
1
1
2
1
3
1 2
2
1
2
2
2
3
2 1
Ω
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
w w w w w b w b w w w w
w b w b w w w w w b w b b w b w b w b b b w b w b w b b
，
共有20 个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率．
设事件A 表示“取到的两个球都是白球”，则
1
2
1
3
2
1
2
3
3
1
3
2
,
,
,
,
,
A
w w w w w w w w w w w w
，
共含有6 个样本点，所以
6
3
( )
20
10
P A
，即取到的两个球都是白球的概率为3
10 ；
（2）设事件B 表示“取到的两个球颜色相同”，则
1
2
1
3
2
1
2
3
3
1
3
2
1 2
2 1
,
,
,
,
,
,
,
B
w w w w w w w w w w w w bb b b
，
共含有8 个样本点，所以
8
2
( )
20
5
P B
，即取到的两个球颜色相同的概率为2
5 ；
（3）设事件C 表示“取到的两个球至少有一个是白球”，
则
1
2
1
3
1 1
1 2
2
1
2
3
2 1
2
2
3
1
3
2
3 1
3 2
1
1
1
2
1
3
2
1
2
2
2
3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
C
w w w w w b w b
w w w w w b w b w w w w w b w b b w b w b w b w b w b w
，
共含有18 个样本点，所以
18
9
( )
20
10
P C
，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为9
10 .
题型三：游戏公平性问题
1.甲、乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷3 次，游戏规则有下述3 种，这3 种规则是否
公平？对谁更有利？为什么？
(1)若三次掷出的点数之和为奇数，则甲获胜；若三次掷出的点数之和为偶数，则乙获胜．
(2)若三次掷出的点数为一奇两偶或两奇一偶，则甲获胜；若三次掷出的点数均为奇数或均为偶数，则乙获
胜．
(3)若三次掷出的点数之和为3，4，5，6，7，14，15，16，17，18 其中之一，则甲获胜；否则乙获胜．
【解题思路】
（1）求出概率，根据概率的意义判断；
（2）求出概率，根据概率的意义判断；
（3）求出概率，根据概率的意义判断．
【解答过程】（1）把一枚均匀的骰子连续抛掷3 次，基本事件的总数是�× �× �= ���，而�, �, �, �, �, �
中有3 个奇数3 个偶数，
事件“三次掷出的点数之和为奇数”，即三个奇数或一奇两偶，含有基本事件的个数是��+ �× �× ��=
���，概率��=
���
���=
�
�，
事件“三次掷出的点数之和为偶数”，即三个偶数或一偶两奇，含有基本事件的个数是��+ �× �× ��=
���，概率��=
���
���=
�
�，
��= ��，该规则公平；
（2）事件“三次掷出的点数为一奇两偶或两奇一偶”，含有的基本事件个数为�× �× ��+ �× ��× �=
���，概率为��=
���
���=
�
�，
事件“三次掷出的点数均为奇数或均为偶数”含有的基本事件个数为�× ��= ��，概率为��=
��
���=
�
�，
��> ��，该规则不公平，对甲更有利；
（3）和为3 只有���，和为4 只有���，和为5 有113 和122 两种情形，和为6 有114，123，222 三种情
形，和为7 有115，124，133，223 四种情形，由对称性，和为18，17，16，15，14 含有的基本事件个数
分别与和为3，4，5，6，7 相同，
因此事件“三次掷出的点数之和为3，4，5，6，7，14，15，16，17，18 其中之一”含有的基本事件个数是
[�+ �+ (�+ �) + (�+ �+ �) + (�+ �+ �+ �)] × �= ��，概率为��=
��
���=
��
���，显然�−��> ��，
因此该规则不公平，对乙更有利．
2.在编号分别为i（i＝0，1，2…，�−1）的n 名同学中挑选1 名参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚
骰子，若两枚骰子的点数之和除以n 所得的余数为i，则选编号为i 的同学．当�= 6 时，这种规则对每名
参加活动的同学公平吗？请说明理由．
【解题思路】用列举法列举出抛掷两枚骰子的所有可能的情况，从而求出两枚骰子的点数之和除以6 所得
的余数的情况及概率，得到相应的结论.
【解答过程】当�= �时，设事件��表示“所得的余数为i，i＝0，1，2，3，4，5”．
由题意知抛掷两枚骰子的所有可能的情况如下表．
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
两枚骰子的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．
设事件��表示“两枚骰子的点数之和为j，j＝2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12”，则���=
�
��，���=
�
��，
���=
�
��，���=
�
��，���=
�
��，���=
�
��，���=
�
��，���=
�
��，����=
�
��，����=
�
��，
����=
�
��．
所以���= ���+ ����=
�
��+
�
��=
�
�，
���= ���=
�
��=
�
�，
���= ���+ ���=
�
��+
�
��=
�
�，
���= ���+ ���=
�
��+
�
��=
�
�，
���= ���+ ����=
�
��+
�
��=
�
�，
���= ���+ ����=
�
��+
�
��=
�
�，
所以当�= �时，这种规则对每名参加活动的同学都是公平的．
3.小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法，他拿了8 张
扑克牌，将数字为2，3，5，9 的四张牌给小颖，将数字为4，6，7，10 的四张牌给自己，并按如下游戏
规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶
数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去.
(1)求小颖去看电影的概率；
(2)这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由，若不公平，在小颖和哥哥所拿4 张牌不变的情况下，如何
修改游戏规则使其对双方公平.
【解题思路】（1）利用树状图展示所有的结果数，再找出两数和为偶数的结果数，利用古典概型概率公式
直接计算即可；
（2）根据两人看电影的概率大小判断是否游戏规则公平，然后根据数字和是不是3 的倍数修改规则，使
得两人看电影概率一样即可.
【解答过程】（1）由题意画树状图:
两张牌的数字之和所对应16 种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，
其中和为偶数的结果有6,8,12,10,12,16 共6 种，所以小颖去看电影的概率为
�
��=
�
�；
（2）哥哥设计的游戏规则不公平，因为小颖去看电影的概率为
�
�，
哥哥去看电影的概率为�−
�
�=
�
�，
�
�>
�
�，此规则对哥哥更有利；
因为在所拿的牌不变的情况下，两张牌的数字之和所对应16 种结果分别为
6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19，其中和为3 的倍数的结果有8 个，
故可修改规则为：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，
如果和为3 的倍数，则小颖去；如果和不是3 的倍数，则哥哥去.
4.（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1 分，
否则小明得1 分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3 个红球，1 个白球，从中任取3 个球，求“3 个球中既有红球又有白球”的概率.
【解题思路】（1）通过列表得出所有情况，在对比两者的概率即可判段；
（2）通过树状图得出全部情况，在得出3 个球中既有红球又有白球的情况即可得出概率.
【解答过程】（1）用列表的方法得：
一共36 种情况，和为奇数的共18 种，则小刚得一分的概率为
��
��=
�
�，小明得一分的概率为�−
�
�=
�
�，两
者概率相同，所以公平；
（2）用画树状图的方法得：
一共24 种情况，又有红又有白为一白二红共有18 种，则概率为
��
��=
�
�.
5.甲、乙两人用4 张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背
面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3 大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明
你的理由．
【解题思路】（1）根据抽取的方法写出样本空间.
（2）根据古典概型的概率问题计算公式，计算出所求答案.
（3）根据甲、乙的胜率进行说明.
【解答过程】（1）用a 表示方片4，2，3，4 分别表示红桃2、红桃3、红桃4，
则甲、乙两人抽到的牌的样本空间为：
{(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �)}．
（2）甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的牌面数字大于3 的概率为
�
�．
（3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的样本点有(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �)，
所以甲胜的概率为
�
��，乙胜的概率为
�
��，故游戏不公平．
6.（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个
正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙
胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
【解题思路】利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可，若概率相同，则游戏公平，否则不公平
【解答过程】（1）抛掷两枚质地均匀的硬币，所有情况有：{（正正），（正反），（反正），（反反）}．
记事件A，B 分别为“甲胜”，“乙胜”，则�(�) = �(�) =
�
�，
∴这个游戏公平的．
（2）拋掷三枚质地均匀的硬币，所以有情况有：{（正正正），（正正反），（正反正），（正反反），（反正正），
（反正反），（反反正），（反反反）}．
记事件A，B 分别为“甲胜”，“乙胜”，
则�(�) =
�
�=
�
�，�(�) =
�
�．这个游戏不公平．
7.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，
你认为哪个游戏是公平的？
游戏1
游戏2
游戏3
袋子中球的数量和颜色
1 个红球和1 个白球
2 个红球和2 个白球
3 个红球和1 个白球
取球规则
取1 个球
依次取出2 个球
依次取出2 个球
获胜规则
取到红球→甲胜
两个球同色→甲胜
两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜
两个球不同色→乙胜
两个球不同色→乙胜
【解题思路】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等
判断游戏的公平性.
【解答过程】解：游戏1 中，甲获胜的概率为
�
�；
游戏2 中，甲获胜的视率为
�
�=
�
�；
游戏3 中，甲获胜的概率为
�
�=
�
�，
所以游戏1 和游戏3 是公平的.
8.甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，在编号分别为1，2，3，4，5，6 的6 个球的口袋
中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数则甲赢，否
则乙赢．
（1）求甲赢且编号和为8 的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
【解题思路】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有�× �种等可能的结
果，满足条件的事件可以通过列举法得到，根据古典概型的概率公式得到结果；
（2）要判断这种游戏是否公平，只要做出甲胜和乙胜的概率，先根据古典概型做出甲胜的概率，再由1
减去甲胜的概率，得到乙胜的概率，得到两个人胜的概率相等，得到结论．
【解答过程】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有�× �= ��（个)等可能的结果，
设“两个编号和为8”为事件�，
∴事件�包含的基本事件为(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)共5 个，
∴根据古典概型概率公式得到�(�) =
�
��
（2）这种游戏规则是公平的．
设甲胜为事件�，乙胜为事件�，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有18 个：(�, �)，(�, �)，(�, �)，
(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，(�, �)，
(�, �)
∴甲胜的概率�(�) =
��
��=
�
�，乙胜的概率��= �−
�
�=
�
�= ��，
∴这种游戏规则是公平的．
9.在一次猜灯速的活动中，共有20 道灯谜，甲同学知晓其中16 道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12 道灯谜
的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的.
(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率.
【解题思路】
（1）根据古典概型的知识求得正确答案.
（2）利用对立事件的知识求得正确答案.
【解答过程】（1）甲猜对的概率为
��
��=
�
�，乙猜对的概率为
��
��=
�
�.
（2）甲乙都没有猜对的概率为�−
�
�× �−
�
�=
�
��，
所以甲和乙至少一人猜对的概率为�−
�
��=
��
��.
10.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分
别表示个位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）
代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，
表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件�=“表示的三位数能被
5 整除”，�=“表示的三位数能被3 整除”．
(1)求事件�发生的概率��；
(2)求事件�或�发生的概率．
【解题思路】（1）所有组成的三位数的个数是��= �，只需个位数是5 的数的个数即可得解.
（2）由题意先求得��=
�
�=
�
�，���=
�
�，再根据和事件的概率公式结合（1）中结论即可得解.
【解答过程】（1）只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示1 或5，三位数的个数是��= �，
要使得组成的三位数能被5 整除，则只需个位数是5 即可，
而这些数中个位数是5 的数的个数为��= �，
所以事件�发生的概率��=
�
�=
�
�.
（2）由题意要使得组成的三位数能被3 整除，则只能同时出现3 个1 或者同时出现3 个5，即111 和555
共两个数，
即组成的三位数能被3 整除的数的个数为2 个，
所以��=
�
�=
�
�，
又555 既能被3 整除，又能被5 整除，即���=
�
�，
所以事件�或�发生的概率为��∪�= ��+ ��−���=
�
�+
�
�−
�
�=
�
�.
题型四：多角度构建概率模型
1.天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计
算机产生0~9 之间取整数值的随机数，用1，2 表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概
率是20%，因为时间是一周，所以每7 个随机数作为一组，假设产生20 组随机数是：
则下个星期恰有2 天涨潮的概率为
.
【答案】1
5 /0.2
【解析】产生20 组随机数相当于做了20 次试验，在这组数中，如果恰有两个是1 或2，就表示恰有两天
涨潮，它们分别是3142486，5241478，3215687，1258697，共有4 组数，于是一周内恰有两天涨潮的概率
近似值为4
1
20
5
，
故答案为：1
5 .
2.第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023 年10 月在北京召开．某记者与参会的3 名代表起合影留念（四
人站成排），则记者与代表甲相邻的概率为
【答案】1
2 /0.5
【解析】设记者为A ，另两位代表记作1，2．四个人站成一排，共有24 种情况，
记者与甲相邻的情况有12 种：A 甲12, A 甲21，甲12
A
，甲
21,1
A
A甲2,2A甲1，
1 甲
2,2
A
甲1,12
A
A甲，12 甲A ，21A甲，21 甲
,
A
所以所求概率为12
1
24
2
，
故答案为：1
2 .
3.口袋里装有2 个白球和2 个黑球，这4 个球除颜色外完全相同，4 个人按顺序依次从中摸出一个球.试计
算第二个人摸到白球的概率.
【解析】方法一：需要找出4 个人按顺序依次摸球的所有可能结果数和第二个人摸到白球的可能结果数.
解题过程如下：用A 表示事件“第二个人摸到白球”，把2 个白球编上序号1,2；2 个黑球也编上序号1,2.
于是，4 个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有可能结果，可用树状图直观地表示出来，如图所示：
由上图可知，试验的所有可能结果数是24，由于口袋内的4 个球除颜色外完全相同，所以，这24 种结果
出现的可能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有12 种，
故第二个人摸到白球的概率
12
1
( )
24
2
P A
.
方法二：把2 个白球编上序号1,2，两个黑球也编上序号1,2,4 个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两人摸
出的球的所有可能的结果如图所示：
由图可知，试验的所有结果数是12，由于口袋内的4 个球除颜色外完全相同，所以这12 种结果出现的可
能性相同，其中，第二个人摸到白球的结果有6 种，
故第二个人摸到白球的概率
6
1
( )
12
2
P A
.
4.在2022 年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50 名志愿者参加志愿服务
礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表：
参加志愿服务礼仪培训
未参加志愿服务礼仪培训
参加赛会应急救援培训
6
10
未参加赛会应急救援培训
6
28
(1)从50 名志愿者中随机选1 名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；
(2)在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6 名同学中，有4 名男同学
1
2
3
4
,
,
,
,2
A A A A
名女同
学
1
2
,
B B ，现从这4 名男同学和2 名女同学中各随机选1 人，求
1A 未被选中且
1
B 被选中的概率.
【解析】（1）由调查数据可知，既未参加志愿服务礼仪培训又未参加赛会应急救援培训的有28 人，
故至少参加上述一个培训的共有50
28
22
（人）.
因此从50 名志愿者中随机选1 名同学，该同学至少参加上述一个培训的概率为
22
11
50
25
P
；
（2）从这4 名男同学和2 名女同学中各随机选1 人，
其一切可能的结果组成的基本事件有
1
1
1
2
2
1
2
2
3
1
3
2
4
1
4
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
A B
，
共8 个，
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，
事件“
1A 未被选中且
1
B 被选中”所包含的基本事件有
2
1
3
1
4
1
,
,
,
,
,
A B
A B
A B
，共3 个，
所以可得
1A 未被选中且
1
B 被选中的概率为
3
8
P
.
题型五：间接法求对立事件
1.某商场有奖销售中，购满100 元商品得一张奖券，多购多得，每1000 张奖券为一个开奖单位.设特等奖1
个，一等奖10 个，二等奖50 个.设1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)
( ),
( ),
( )
P A P B P C ；
(2)抽取1 张奖券中奖概率；
(3)抽取1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
【解析】（1）因为每1000 张奖券中设特等奖1 个，一等奖10 个，二等奖50 个，
所以
1
10
1
50
1
( )
,
( )
,
( )
1000
1000
100
1000
20
P A
P B
P C
.
（2）设“抽取1 张奖券中奖”为事件D，
则
1
1
1
61
(
)
( )
( )
( )
1000
100
20
1000
P D
P A
P B
P C
.
（3）设“抽取1 张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，
则
1
1
989
( )
1
( )
( )
1 1000
100
1000
P E
P A
P B
.
2.将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记下骰子朝上
的点数．若用x 表示第一次抛掷出现的点数，用y 表示第二次抛掷出的点数，用( , )
x y 表示这个试验的一个
样本点．
(1)记A “两次点数之和大于9”，B “至少出现一次点数为3”，求事件A，B 的概率；
(2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若xy 为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明
理由．
【解析】（1）依题意，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，共有36 个样本点，
其中事件
(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)
A
，即事件A 包含6 个样本点，
所以事件A 的概率为
6
1
( )
36
6
P A
．
又由事件
(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6)
B
，
即事件B 中包含11 个样本点，所以事件B 的概率为
11
( )
36
P B
．
（2）设事件C “ xy 为偶数”，事件
{( , ) |
{1,3,5},
{2,4,6}}
D
x y
x
y
，
事件
{( , ) |
{2,4,6},
{1,2,3,4,5,6}}
E
x y
x
y
，
可得
9
18
(
)
,
( )
36
36
P D
P E
，
因为事件D 与事件E 互斥，且C
D
E
，
所以
9
18
27
3
( )
(
)
( )
36
36
36
4
P C
P D
P E
．
因此甲获胜的概率为3
4 ，乙获胜的概率为
3
1
1
4
4
，
所以3
1
4
4
，故这种游戏规则不公平．
3.某学校成立了数学、英语、音乐3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有39，32，33 名成员，一些成员参加
了不止1 个小组，具体情况如图所示．随机选取一名成员．
(1)他参加至少2 个小组的概率是多少？
(2)他参加不超过2 个小组的概率是多少？
【解析】（1）从图中可以看出，3 个课外兴趣小组总人数为60．用A 表示事件“选取的成员只参加1 个小
组”，
则A 就表示“选取的成员参加至少2 个小组”，于是
( )
1
( )
1
P A
P A
6
8 10
3
60
5
．
因此，随机选取的一名成员参加至少2 个小组的概率是3
5 ．
（2）用B 表示事件“选取的成员参加3 个小组”，则B 就表示“选取的成员参加不超过2 个小组"，于是
8
13
( )
1
( )
1
60
15
P B
P B
，所以随机选取一名成员属于不超过2 个小组的概率是13
15 ．
4.抛掷一枚均匀的骰子2 次，将第1次掷出的点数记为a ，第2 次掷出的点数记为b ．
(1)求
6
a
b
的概率；
(2)记事件A 为“
2
a
”，事件B 为“a
b
m
”，若
( )
0
P B
且事件A 和事件B 为相互独立事件，求m 的值．
【解析】（1）将2 次掷出的点数记为( , )
a b ，则所有的样本点为：
(1,1) ，(1,2) ，(1,3) ，(1,4) ，(1,5)，(1,6) ，(2,1) ，(2,2) ，(2,3) ，(2,4) ，(2,5) ，(2,6) ，
(3,1) ，(3,2) ，(3,3) ，(3,4) ，(3,5) ，(3,6) ，(4,1) ，(4,2) ，(4,3) ，(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，
(5,1) ，(5,2) ，(5,3) ，(5,4) ，(5,5) ，(5,6) ，(6,1) ，(6,2) ，(6,3)，(6,4) ，(6,5) ，(6,6) ，
共36个，且每个样本点出现的可能性相同，
使得
6
a
b
的样本点有(1,1) ，(1,2) ，(1,3) ，(1,4) ，(2,1) ，(2,2) ，(2,3) ，(3,1) ，(3,2) ，(4,1) 共10个，
因此
10
5
(
6)
36
18
P a
b
，显然
6
a
b
与
6
a
b
为对立事件，
所以
5
13
(
6)
1
(
6)
1 18
18
P a
b
P a
b
．
（2）由（1）知，
1
( )
6
P A
，由A 和B 相互独立，即
(
)
( ) ( )
0
P AB
P A P B
知
{3,4,5,6,7,8}
m
，
此时A
B
等价于事件“
2
a
且
2
b
m
”，因此A
B
中仅有(2,
2)
m
一个样本点，即
1
(
)
36
P AB
，则
1
( )
6
P B
，
而
2
(
3)
36
P a
b
，
3
(
4)
36
P a
b
，
4
(
5)
35
P a
b
，
5
(
6)
(
8)
36
P a
b
P a
b
，
6
(
7)
36
P a
b
，
因此当且仅当
7
m
时，
( )
0
P B
且
(
)
( ) ( )
P AB
P A P B
，所以所求m 的值为7 .
题型六：古典概型与统计
1.Unidentified Flying Object，简称UFO，俗称飞碟，通常被人们看作是外地文明派到地球的使者．为了调
查国内网友对UFO 的了解情况，资深UFO 爱好者李磊，在网上发起了一项“UFO”有奖问答，共有10000
名网友参加，李磊随机抽取了1000 名（得分都在60～100 分之间），将得分分成4 组：60,70 ，70,80 ，
80,90 ，90,100 ，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)李磊决定根据得分从高到低，对参与活动的5%的高分网友发放奖品，试估计这次有奖问答的获奖分数
线；（保留一位小数）
(2)用分层随机抽样的方法从60,70 ，90,100 两个分数段共抽取出4 名网友，再从这4 名网友中随机抽取
2 名依次分享UFO 时间供大家交流，求第一个分享的网友得分在90,100 的概率．
【解题思路】（1）根据给定的频率分布直方图，利用面积法列式计算即得.
（2）求出两段抽取的人数，再利用列举法求出古典概率.
【解答过程】（1）分数在[��, ���]的频率为0.3，依题意，有奖问答的获奖分数线�∈(��, ���)，
则(���−�) × �. ��= �. ��，解得�≈��. �，
所以这次有奖问答的获奖分数线约为��. �.
（2）分数在[��, ��), [��, ���]的频率分别为�. �, �. �，因此抽取的4 人中，分数在[��, ��)内的抽1 人，
记为�，
分数在[��, ���]内的抽3 人，依次记为�, �, �，
抽取2 人依次分享的试验样本空间�= {��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��}，共12 个结果，
第一个分享的得分在��, ���的事件�= {��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��}，共9 个结果，
所以第一个分享的网友得分在��, ���的概率�(�) =
�
��=
�
�.
2.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更
是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从
所有答卷中随机抽取100 份作为样本，将样本的成绩（满分100 分，成绩均为不低于40 分的整数）分成
六段：40,50 ，50,60 , ⋯, 90,100 ，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中�的值；
(2)求样本成绩的第75 百分位数；
(3)现从该样本成绩在40,50 与90,100 两个分数段内的市民中按分层抽样选取6 人，求从这6 人中随机选
取2 人，且2 人的竞赛成绩之差的绝对值大于20 的概率.
【解题思路】（1）利用频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1 列式求解即可；
（2）利用频率分布直方图结合第75 百分位数的计算公式求解即可；
（3）根据分层抽样的概念和古典概型的概率计算公式求解即可.
【解答过程】（1）因为频率分布直方图每组小矩形的面积之和为1，
所以(�. ���+ �. ���+ �. ���+ �+ �. ���+ �. ���) × ��= �，
解得�= �. ���.
（2）成绩落在[��, ��)内的频率为(�. ���+ �. ���+ �. ���+ �. ���) × ��= �. ��,
落在[��, ��)内的频率为(�. ���+ �. ���+ �. ���+ �. ���+ �. ���) × ��= �. �,
设第75 百分位数为�，由�. ��+ (�−��) × �. ���= �. ��，解得�= ��，
故第75 百分位数为84.
（3）由图可知成绩在��, ��与��, ���的频率比为�: �，
根据分层抽样在[��, ��)内选取2 人,记为�, �,
在��, ���内选取4 人,记为�, �, �, �，
从这6 人中选取2 人的所有选取方法:
��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��,共15 种，
其中2 人成绩之差的绝对值大于20 的选取方法:
��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��共8 种.
所以从这6 人中随机选取2 人，且2 人的竞赛成绩之差的绝对值大于20 的概率为
�
��.
3.亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023 年9 月第19 届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45 个国家和地区的1 万
多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢
得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运
会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方
法抽取了600 名学生进行调查，成绩全部分布在40~100 分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分
布直方图如图所示，
(1)求频率分布直方图中�的值；
(2)估计这600 名学生成绩的中位数；
(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在40,60 , 90,100 的学生中选取5 人，再从这5 人中任
意选取2 人，求这2 人中至少有1 人成绩不低于90 分的概率．
【解题思路】（1）根据各矩形面积之和为1，列式计算，即可求得a 的值；
（2）根据频率分布直方图，结合中位数的求解方法，即可求得答案；
（3）求出��, ��, ��, ���内的人数之比，根据分层抽样可求得两组各抽取的人数，列举出从这5 人中
任意选取2 人的所有可能情况，再列举出这2 人中至少有1 人成绩不低于90 分的情况，根据古典概型的
概率公式，即可求得答案.
【解答过程】（1）由频率分布直方图，得��× �. ���+ �. ���+ �. ���+ �+ �. ���+ �. ���= �，
解得�= �. ���；
（2）由频率分布直方图，得��× �. ���+ �. ���+ �. ���= �. ��< �. �，
��× (�. ���+ �. ���+ �. ���+ �. ���) = �. �，
则估计这600 名学生成绩的中位数为80；
（3）由题意得，成绩在��, ��的频率为�. ���× ��= �. ��，
成绩在��, ���的频率为�. ���× ��= �. ��，频率之比为�: �，
所以按分层抽样的方法从中选取5 人，成绩在��, ��的学生有2 人，分别记为��, ��，
成绩在��, ���的学生有3 人，分别记为��, ��, ��，
从这5 人中任意选取2 人，有����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����，共10 种选法，
其中至少有1 人成绩不低于90 分的选法有����, ����, ����, ����, ����, ����, ����, ����，����，共9 种，
所以这2 人中至少有1 人成绩不低于90 分的概率�=
�
��.
4.现从某学校高三年级男生中随机抽取50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm
之间，将测量结果按如下方式分成6 组：第1 组160,164 ，第2 组164,168 ，…，第6 组180,184 ．如
图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)试评估该校高三年级男生的平均身高；
(2)求这50 名男生中身高在176cm 以上（含176cm）的人数；
(3)从这50 名男生身高在176cm 以上（含176cm）的人中任意抽取2 人，求该2 人中身高恰有1 人在180cm
（含180cm）以上的概率．
【解题思路】（1）取各小组两端点的中间值为该组男生的身高，由频率分布直方图中平均数的计算公式计
算即得；
（2）由频率分布直方图，求得身高在���cm 以上的男生所占的频率，结合样本总数计算即得；
（3）先计算出50 人中���cm 以上和���cm 以上的人数，再用字母表示，列出试验表示的样本空间中的
所有基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式计算即得.
【解答过程】（1）由频率分布直方图，可得该校高三年级男生的平均身高为：���×
�
���+ ���×
�
���+
���×
�
���+ ���×
�
���+ ���×
�
���+ ���×
�
���× �= ���. ��cm.
（2）由频率分布直方图知，身高在���cm 以上的男生分布在后2 组，其频率为(�. ��+ �. ��) × �= �. ��，
则人数为�. ��× ��= �，
即这50 名男生身高在���cm 以上（含���cm）的人数为6．
（3）由（2）知，在所抽样本50 人中���cm 以上的有6 人，���cm 以上的有2 人．设这6 人分别为
��, ��, ��, ��, ��, ��,其中��, ��表示���cm 以上的2 人.
任取2 人的取法为��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��,
��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��
��, ��, ��, ��, ��, ��
��, ��, ��, ��
��, ��共15 种，
恰有1 人在180cm 以上的取法为��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��,
��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��
共8 种，
故所求概率为：�=
�
��.
5.2023 年11 月10 日，第六届中国国际进口博览会圆满闭幕，在各方的共同努力和大力支持下，本届进博
会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献．本
届进博会优化了志愿者服务，为展客商提供了更加准确、细致的服务．为了解参会的展客商对志愿者服务
的满意度，组委会组织了所有的展客商对志愿者服务进行评分（满分100 分），并从评分结果中随机抽取
100 份进行统计，按照50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 进行分组，得到如图所示的频率分布直方
图：
(1)求�的值，并以样本估计总体，求所有展客商对志愿者服务评分的平均值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）；
(2)在这100 份评分结果中按照分层抽样的方法随机抽取20 份，再从其中评分在60,70 和90,100 的评分
结果中随机抽取2 份，求这2 份评分结果均不低于90 分的概率．
【解题思路】（1）利用频率和等于�即可求出�的值；根据频率分布直方图得出各组的频率，再计算各组
中间值乘以频率的和即可解答.
（2）先根据分层抽样的特点得出评分在��, ��和��, ���的数量并进行编号；再根据古典概型的概率公
式即可求解.
【解答过程】（1）由频率分布直方图可得：
�−�. ���× ��−�. ��× ��−�. ���× ��−�. ��× ��= �. �，
即评分在��, ��的频率为0.2，
故�=
�.�
��= �. ���，
故各组频率依次为：�. ��，�. �，�. �，�. ��，�. �。
所以平均值为�. ��× ��+ �. �× ��+ �. �× ��+ �. ��× ��+ �. �× ��= ��. �．
（2）由题可知：抽取的20 份评分结果中，评分在��, ��的份数为�. �× ��= �，分别记为�, �，
评分在��, ���的份数为�. �× ��= �，分别记为�, �, �, �, �, �.
则从这8 份评分结果中任取2 份，不同取法有：
��, ��, ��，��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��，
��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��，共28 种，
记“这2 份评分结果均不低于90 分”为事件�，
则事件�包含的基本事件有：
��, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��，��, ��, ��, ��, ��, ��, ��，共15 种，
故所求概率��=
��
��．
6.为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园
知识大赛，全市共有500 名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间50,100 内，组委会将初赛
成绩分成5 组：50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这500 名学生初赛成绩的平均数�及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中
位数精确到0.01）
(2)组委会在成绩为60,80 的学生中用分层抽样的方法随机抽取5 人，然后再从抽取的5 人中任选取2 人
进行调查，求选取的2 人中恰有1 人成绩在60,70 内的概率.
【解题思路】（1）利用频率分布直方图，根据平均数和中位数的计算方法即可求得答案；
（2）确定成绩为��, ��的学生中成绩在��, ��和��, ��内的人数比例，即可确定抽查的5 人中各组抽
的人数，列举出抽取的�人中任选取�人的所有可能情况，再列出选取的�人中恰有�人成绩在��, ��内的
情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【解答过程】（1）�= ��× �. ��× ��+ ��× �. ��× ��+ ��× �. ��× ��+ ��× �. ��× ��+ ��×
�. ��× ��= ��，
设中位数为�，因为前�组的频率之和为�. �+ �. �+ �. �> �. �，
而前2 组的频率之和为�. �+ �. �= �. �< �. �，所以��< �< ��，
由�. ��⋅(�−��) = �. �−�. �，
解得：�≈��. ��，
故可估计这500 名学生初赛成绩的中位数约为��. ��；
（2）根据分层抽样，由频率分布直方图知成绩在��, ��和��, ��内的人数比例为�. ��: �. ��= �: �，
所以抽取的5 人中，成绩在��, ��内的有�×
�
�= �人，记为��，��；
成绩在��, ��内的有�×
�
�= �人，记为��，��，��，
从5 人中任意选取2 人，有����，����，����，����，����，����，����，����，����，����，共
10 种可能；
其中选取的2 人中恰有1 人成绩在区间��, ��内的有����，����，����，����，����，����，共6
种可能；
故所求的概率为�=
�
��=
�
�．
7.某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，
直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50 位推销员上个月的月
销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.
求：
(1)根据图中数据，求出月销售额在[14,16)小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，
能够使70%的推销员完成任务.
(2)该公司决定从月销售额为[12,14]和[24,26]的两个小组中，选取2 位推销员介绍销售经验，求选出的推
销员来自不同小组的概率.
(3)第一组[12,14)中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组[24,26)中推销员的销售金额的平
均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
【解题思路】（1）根据频率之和为1 求得所求区间的频率，由题意求得��%的推销员不能完成月销售额目
标得销售额即可求解；
（2）利用举所有的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概型概率公式求解；
（3）将数据代入平均数公式和总体方差公式求解即可.
【解答过程】（1）月销售额在[��, ��)小组内的频率为�−�× �. ��+ �. ��+ �. ��+ �. ��+ �. ��+
�. ��= �. ��，
若要使��%的推销员完成月销售额目标，则意味着��%的推销员不能完成月销售额目标，
根据题图所示的频率分布直方图知，[��, ��)和[��, ��)两组的频率之和为�. ��，
[��, ��)和[��, ��)及[��, ��)三组的频率之和为�. ��，
故估计月销售目标应定为��+
�.��
�.��× �= ��万元；
（2）第一组3 人记为��, ��, ��，第七组2 人��, ��，
则选取2 位推销员有(��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��),
(��, ��), (��, ��), (��, ��)共10 种情形，
“选取2 位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M，
则事件M 包含有(��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��)共6 种情形，
所以�(�) =
�
��= �. �；
（3）第一组3 人，第七组2 人，
则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为�ഥ=
���+���
�
= ��. �，
方差��=
�
��. ��+ (��−��. �)�+
�
��. ��+ (��−��. �)�= ��.
8.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4 月23 日为
世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100 位年轻人，对这些人每
天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这100 位年轻人每天阅读时间的第85 百分位数；
(2)为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组50,60 ，
60,70 和80,90 的年轻人中抽取5 人，再从中任选2 人进行调查，求其中至少有1 人每天阅读时间位于
80,90 的概率．
【解题思路】（1）首先根据频率和为1，求�的值，再确定第85 百分位数所在的组数，代入百分位数公式，
即可求解；
（2）首先确定3 组所抽取的人数，再通过列举样本点的方法，代入古典概型概率公式，即可求解.
【解答过程】（1）由题意可知，�. ���+ ��+ �. ���+ �. ���× ��= �，得�= �. ���，
前3 组的频率和为�. ���+ �. ���+ �. ���× ��= �. ��，前4 组的频率和为�. ���+ �. ���+ �. ���+
�. ���× ��= �. ��，
所以第85 百分位数在第4 组，设为�，
则�. ��+ �−��× �. ���= �. ��，解得：�= ��，
所以这100 位年轻人每天阅读时间的第85 百分位数为85；
（2）由于��, ��，��, ��和��, ��的频率之比为�: �: �，
故抽取的5 人中��, ��，��, ��和��, ��分别为1 人，2 人，2 人，
记��, ��的1 人为�，��, ��的2 人为��, ��，��, ��的2 人为��, ��，
故随机抽取2 人的所有样本点为{ �, ��, �, ��, �, ��, �, ��, ��, ��, ��, ��, ��, ��，
��, ��, ��, ��, ��, ��}，共包含10 个样本点，
其中至少有1 人每天阅读时间位于��, ��的样本点为{ �, ��, �, ��, ��, ��, ��, ��，
��, ��, ��, ��, ��, ��}，共包含7 个样本点，
故至少有1 人每天阅读时间位于��, ��概率�=
�
��.
题型七：古典概型与其他概率综合
1.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4 个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是
3
4，得
到黄球或蓝球的概率是
1
2.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间Ω；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公
平，请说明理由.
【解题思路】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件�, �, �，根据�, �, �为两两互斥事
件，由
�(�) + �(�) + �(�) = �
�(�) + �(�) =
�
�
�(�) + �(�) =
�
�
求解.
（2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2 表示红球，用�表示黄球，用�表示蓝球，
�表示第一次取出的球，�表示第二次取出的球，(�, �)表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用
古典概型的概率求解.
【解答过程】（1）解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件�, �, �，
因为�, �, �为两两互斥事件，
由已知得
�(�) + �(�) + �(�) = �
�(�) + �(�) =
�
�
�(�) + �(�) =
�
�
，
解得
�(�) =
�
�
�(�) =
�
�
�(�) =
�
�
.
∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是�, �, �；
（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2 表示红球，用�表示黄球，用�表示
蓝球，�表示第一次取出的球，�表示第二次取出的球，(�, �)表示试验的样本点，
则样本空间�= {(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �),
(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �)}.
（ii）由（i）得�(�) = ��，记“取到两个球颜色相同”为事件�，“取到两个球颜色不相同”为事件�，则
�(�) = �，所以�(�) =
�
��=
�
�
所以�(�) = �−�(�) = �−
�
�=
�
�
因为
�
�>
�
�，所以此游戏不公平.
2.截至2022 年年底，女足亚洲杯已经成功举办了20 届．中国女子国家足球队在参赛的15 届亚洲杯中共获
得9 次冠军、2 次亚军和3 次季军，其辉煌战绩每每给国人带来拼搏奋进的力量．在某届女足亚洲杯中，
将甲、乙、丙3 支队伍分到�，�，�三个小组．
(1)求甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率；
(2)求甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率．
【解题思路】（1）古典概型求事件概率，将所有基本事件均列出，然后将符合题意的基本事件列出，即可
求符合题意的事件的概率；
（2）可以直接求符合题意的事件的概率，也可以先求互斥事件的概率，间接求符合题意的事件概率.
【解答过程】（1）当甲球队分到A 组时，乙、丙两支球队分到的小组有��，��，��，��，��，��，��，
��，��共9 种情况．
同理，当甲球队分到B 组或C 组时，乙、丙两支球队分到的小组也分别有9 种情况，
故甲、乙、丙三支球队的分组情况共有�× �= ��（种）．
又因为甲、乙、丙三支球队分到同一小组有���，���，和���共3 种情况，
所以甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率为
�
��=
�
�．
（2）方法一当甲、乙两支球队都分到A 组而丙球队分到B 组或C 组时有2 种情况．
同理，当甲、乙两支球队都分到B 组或C 组而丙球队不与它们一组时也分别有2 种情况．
故甲、乙两支球队同组，而丙球队不与它们一组的概率为
��
��=
�
�．
同理，甲、丙两支球队同组，而乙球队不与它们一组的概率也为
�
�，
乙、丙两支球队同组，而甲球队不与它们一组的概率也为
�
�．
又因为上述三种情况互斥，所以甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率为
�
�+
�
�+
�
�=
�
�．
方法二甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的对立事件是甲、乙、丙三支球队都分到不同小组和
甲、乙、丙三支球队都分到同一小组．
甲、乙、丙三支球队都分到不同小组的情况有ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，共6 种，
所以甲、乙、丙三支球队都分到不同小组的概率为
�
��=
�
�．
所以甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率为�−
�
�+
�
�=
�
�．
3.受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，
某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3 年，乙品牌车保修期为2 年，现从该厂已售
出的两种品牌轿车中分别随机抽取50 辆，统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障
的时间x(年)
0 < �
≤1
1 < �
≤2
2 < �
≤3
�>
3
0 < �
≤1
1 < �
≤2
�>
2
轿车数量(辆)
2
1
3
44
2
3
45
（1）从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．（将频率视为
概率）
【解题思路】（1）设A，B，C 分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1 年，第2 年和第3 年之内，设D
表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，分别计算出��, ��, ��，相加即可得结果；（2）乙品牌
轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为
��
��=
�
��，利用对立事件的概率计算公式可得结果.
【解答过程】（1）设A，B，C 分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第1 年，第2 年和第3 年之内，
设D 表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内，
因为A，B，C 是互斥的，其概率分别为�(�) =
�
��=
�
��，�(�) =
�
��，�(�) =
�
��，
所以��= �(�∪�∪�) = �(�) + �(�) + �(�) =
�
��，
即首次出现故障发生在保修期内的概率为
�
��．
（2）乙品牌轿车首次出现故障未发生在保修期内的概率为
��
��=
�
��，
故首次出现故障发生在保修期内的概率为�−
�
��=
�
��．
4.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5 的五个小球.小球除编号不同外，其
余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100 元；若抽到
的小球编号为偶数，则获得奖金50 元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回的抽奖两
次.
（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；
（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100 元的概率.
【解题思路】（1）用列举法得到所有的基本事件数，然后根据古典概型概率公式可得事件发生的概率；（2）
根据互斥事件的概率加法公式求解可得结果．
【解答过程】（1）由题意得，该顾客有放回的抽奖两次的所有可能结果为：
(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �),
(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �),
(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �),
(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �),
(�, �), (�, �), (�, �), (�, �), (�, �).
共有25 种情况．
设“该顾客两次抽奖后都没有中奖”为事件A，则事件A 包含的结果为(�, �), (�, �), (�, �), (�, �)，共4 种，
所以�(�) =
�
��．
即该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率为
�
��．
（2）两次抽奖奖金之和为100 元包括三种情况：
①第一次奖金为100 元，第二次没有获奖，其包含的情况为(�, �), (�, �)，概率为��=
�
��；
②第一次没中奖，第二次奖金为100 元，其包含的情况为(�, �), (�, �)，概率为��=
�
��；
③两次各获奖金50 元，包含的情况有(�, �), (�, �), (�, �), (�, �)，概率为��=
�
��．
由互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为�= ��+ ��+ ��=
�
��，
即该顾客两次抽奖后获得奖金之和为���元的概率为
�
��．
5.在一个盒子中有3 个红球（分别用�1，�2，�3表示）和2 个黑球（分别用�1，�2表示），这5 个球除颜色
外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球．
(1)求第一次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率．
【解题思路】（1）根据古典概型求解即可；
（2）根据互斥事件的概率加法公式求解.
【解答过程】（1）两次取球的基本事件为
(��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��), (�
，(��, ��), (��, ��), (��, ��), (��, ��)，共20 个，
所以第一次取到红球的概率�=
��
��=
�
�.
（2）两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件，
由（1）可知两次取到红球的概率��=
�
��=
�
��，
两次取到黑球的概率�
�=
�
��=
�
��，
所以两次取到的球颜色相同的概率�= ��+ �
�=
�
��+
�
��=
�
�.
6.袋中有7 只大小形状相同颜色不全相同的小猫摆件，分别为黑猫、白猫、红猫，某同学从中任意取一只
小猫摆件，得到黑猫或白猫的概率是
5
7，得到白猫或红猫的概率是
4
7，试求：
(1)某同学从中任取一只小猫摆件，得到黑猫、白猫、红猫的概率各是多少？
(2)某同学从中任取两只小猫摆件，得到的两只小猫颜色不相同的概率是多少？
【解题思路】（1）从中任取一只小猫摆件，分别记得到黑猫、白猫、红猫为事件�, �, �，由已知列出��
、��、��的方程组即可得解；
（2）求出从�只小猫摆件中取出两只小猫摆件的基本事件总数，再求出两只小猫颜色相同的基本事件总数，
从而利用古典概型与对立事件的概率公式即可得解.
【解答过程】（1）从中任取一只小猫摆件，分别记得到黑猫、白猫、红猫为事件�, �, �，
由于�, �, �为互斥事件，
所以由题意得，
��+ �= ��+ ��=
�
�
��+ �= ��+ ��=
�
�
��+ �+ �= ��+ ��+ ��= �
，解得
��=
�
�
��=
�
�
��=
�
�
，
所以任取一只小猫摆件，得到黑猫、白猫、红猫的概率分别是
�
�，
�
�，
�
�.
（2）由（1）知黑猫、白猫、红猫摆件的个数别为�, �, �，
记黑猫摆件为�, �, �，白猫摆件为�, �，红猫摆件为�, �，
则从�只小猫摆件中取出两只小猫摆件的基本事件有：��, ��, ��, ��, ��, ��，
��, ��, ��, ��, ��，��, ��, ��, ��，��, ��, ��，��, ��, ��，共有��件，
其中两只摆件是黑猫的基本事件有：��, ��, ��，共3 件，
两只白猫的基本事件有：��，共1 件，两只红猫的基本事件有：��，共1 件，
于是两只小猫摆件同色的概率为
�+�+�
��
=
�
��，
则两只小猫摆件颜色不相同的概率是�−
�
��=
��
��.
题型八：古典概型的综合应用
1.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100 件进行
检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在[70,90) 内取2 件，乙型芯片指标在[50,70]内取4 件，
再从这6 件中任取2 件，求指标在[50,60) 和[70,80) 内各1 件的概率；
(3)根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且
[50,60]
c
，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生
产A 型手机、B 型手机各1 万部，有以下两种方案可供选择：
方案一：将甲型芯片应用于A 型手机，其中该指标小于等于临界值c 的芯片会导致每部手机损失700 元；
将乙型芯片应用于B 型手机，其中该指标大于临界值c 的芯片会导致每部手机损失300 元；
方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101 万元；请从科技公
司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由，
【解析】（1）由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值为：
25 0.002
35 0.026
45 0.032
55 0.030
65 0.010
10
47
x
.
（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在[70,80) 和[80,90) 的各1 件，分别记为A 和B，来自乙型芯片
指标在[50,60) 和[60,70]分别为3 件和1 件，分别记为
1
2
3
,
,
C C C 和D ，
从中任取两件，样本空间可记为
1
2
3
Ω
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
A B
A C
A C
A C
A D
1
2
3
1
2
1
3
1
2
3
2
3
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
B C
B C
B C
B D
C C
C C
C D
C C
C
D
C D
共包含15 个样本点，
记事件E：指标在[50,60) 和[70,80) 各1 件，则
1
2
3
,
,
,
,
,
E
A C
A C
A C
共包含3 个样本点，
所以
3
1
( )
15
5
P E
．
（3）设将甲、乙两种型号芯片应用于A 型、B 型手机时，该科技公司损失为y（万元），
700 [0.002 10
0.005 (
50)] 300 [0.01 10
0.03 (60
)]
y
c
c
409 5.5 ,
[50,60]
c c
，
所以当50
56
c
时，
101
y
；
当
56
c
时，
101
y
；
当56
60
c
时，
101
y
，
综上，当临界值
[50,56)
c
时，选择方案二；
当临界值
56
c
时，选择方案一和方案二均可；
当临界值
(56,60]
c
时，选择方案一．
2.骰子（tóuzi），中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常
见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔（或数字），其相对两面之数字和必为七.
中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成shăi.现
甲､乙两人玩掷骰子（质地均匀）游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，
否则算乙赢.
(1)记A “甲､乙两人掷出的点数和为6”，写出事件A 包含的样本点；
(2)现连玩三次，记B “甲至少赢一次”，C “乙至少赢两次”，试问：B 与C 是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由.
【解析】（1）用,x y 表示甲､乙两人投出的点数，则
,x y 表示这个实验的一个样本点，
所以该实验的样本空间为
*
*
,
N ,
N ,1
6,1
6
S
x y
x
y
x
y
∣
，共有36 个样本点，
事件A 包含的样本点共5 个，即
1,5 , 2,4 , 3,3 , 4,2 , 5,1
A
；
（2）B 与C 不是互斥事件，由于连玩三次，
则事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意，
所以事件B 与C 不是互斥事件；
（3）这种游戏规则公平，
由题可知甲､乙两人投出的点数和为偶数的样本点有
1,1 , 1,3 , 1,5 , 2,2 , 2,4 , 2,6 , 3,3 , 3,5 , 4,4 , 4,6 ,5,5 ，
6,6 , 5,1 , 3,1 , 6,2 , 4,2 , 5,3 , 6,4
，共18 个.
所以甲赢的概率为18
1
36
2
，所以乙赢的概率为18
1
36
2
，所以这种游戏规则公平.
3.某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机
抽取60 人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分
别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在
70,80 的有10 个.
(1)求n 和乙样本直方图中a 的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩
的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在
60,70 和
70,80 的学生中抽取6 人，并从这6 人中任取2
人，求这两人分数都在
70,80 中的概率.
【解析】（1）由直方图可知，乙样本中数据在
70,80 的频率为0.020 10
0.20
，
则10
0.20
n
，解得
50
n
；
由乙样本数据直方图可知，
0.006
0.016
0.020
0.040
10
1
a
，
解得
0.018
a
；
（2）甲样本数据的平均值估计值为
55 0.005
65 0.010
75 0.020
85 0.045
95 0.020
10
81.5
，
乙样本数据直方图中前3 组的频率之和为
0.006
0.016
0.02
10
0.42
0.5
，
前4 组的频率之和为
0.006
0.016
0.02
0.04
10
0.82
0.5
，
所以乙样本数据的中位数在第4 组，设中位数为x ，
80
0.04
0.42
0.5
x
，
解得
82
x
，所以乙样本数据的中位数为82.
（3）由频率分布直方图可知从分数在
60,70 和
70,80 的学生中分别抽取2 人和4 人，
将从分数在
60,70 中抽取的2 名学生分别记为
1
2
,
a a ，从分数在
70,80 中抽取的4 名学生分别记为
1
2
3
4
,
,
,
b b b b ，
则从这6 人中随机抽取2 人的基本事件有
1
2
1
1
1
2
1
3
1
4
2
1
2
2
2
3
2
4
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
a a
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
1
2
1
3
1
4
2
3
2
4
3
4
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
b b
b b
b b
b b
b b
b b ，共15 个，
所抽取的两人分数都在
70,80 中的基本事件有6 个，所以所求概率为6
2
15
5
.
4.从某学校的800 名男生中随机抽取50 名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量
结果按如下方式分成八组：第一组
155,160 ，第二组
160,165 ，…，第八组
190,195 ，下图是按上述分
组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4 人（同一组的
数据用该组区间的中点值为代表）.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校800名男生身高的平均数和50%分位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y ，事件
5
E
x
y
，求
P E ．
【解析】（1）第六组的频率为4
0 08
50
.
，
∴第七组的频率为
1 0 08
5
0 008 2
0 016
0 04 2
0 06
0 06
.
.
.
.
.
.
．
（2）由直方图得，身高在第一组
155 160
,
的频率为0 008 5
0 04
.
.
，
身高在第二组
160 165
,
的频率为0 016 5
0 08
.
.
，
身高在第三组
165 170
,
的频率为0 04 5
0 2
.
.
，
身高在第四组
170 175
,
的频率为0 04 5
0 2
.
.
，
由于0 04
0 08
0 2
0 32
0 5
.
.
.
.
.
，0.04
0.08
0.2
0.2
0.52
0.5
，
设这所学校的800 名男生的身高50%分位数为m ，则170
175
m
，
由
0 04
0 08
0 2
170
0 04
0 5
.
.
.
m
.
.
得
174 5
m
.
，
所以这所学校的800 名男生的身高的50%分位数为174.5cm ，
平均数为：
157.5 0.04 162.5 0.08 167.5 0.2 172.5 0.2 177.5 0.06 5 182.5 0.08 187.5 0.06
192.5 0.008 5
174.1
．
（3）第六组
180 185
,
的抽取人数为4，设所抽取的人为a b c d
, ,
,
，
第八组
190 195
,
的抽取人数为0.008 5 50
2
，设所抽取的人为,
A B ，
则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，
cA，cB，dA，dB，AB 共15 种情况，
因事件
5
E
x
y
发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
所以事件E 包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB 共7 种情况．
所以
7
15
P E
5.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一
带一路”知识竞赛，满分100 分（95 分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5
组，其中第一组：
20,25 ，第二组：
25,30 ，第三组：
30,35 ，第四组：
35,40 ，第五组：
40,45 ，
得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10 人．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80 百分位数；
(2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20 人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），
乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2 名作为
组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37 和5
2 ，第五组的年龄的平均数与方差分别为43 和1，据此估
计这m 人中35-45 岁所有人的年龄的方差．
【解析】（1）这些人的平均年龄为
22.5 0.05
27.5 0.35
32.5 0.3
37.5 0.2
42.5 0.1
32. 25
x
（岁）．
由频率分布直方图知，年龄在[20,35) 的频率为0.05
0.35
0.3
0.7
，
在
20,40 的频率为0.05
0.35
0.3
0.2
0.9
，则第80 百分位数为
(35,40)
a
，
由
0.7
35
0.04
0.8
a
，解得
37.5
a
，
所以这些人的平均年龄为32.25（岁），第80 百分位数为37.5.
（2）依题意，第四组应抽取0.2 20
4
人，记为, ,
a b c ,甲，第五组抽取0.1 20
2
人，记为d ,乙，
对应的样本空间Ω {(a,b),(a,c),(a,甲),(a,乙),(a,d),(b,c),(b,甲),(b,乙),(b,d),(c,甲),(c,乙),(c,d),(甲,
乙),(甲,d),(乙,d)}，共15 个样本点．
设事件M “甲、乙两人至少一人被选上”，
则M {(a,甲),(a,乙),(b,甲),(b,乙),(c,甲),(c,乙),(甲,乙),(甲,d),(乙,d)}，共有9 个样本点，
所以甲、乙两人至少有一人被选上的概率
3
5
P M
．
（3）设第四组、第五组的年龄的平均数分别为
4
5
,
x x ，方差分别为
2
2
4
5
,
s
s ，
则
2
2
4
5
4
5
5
37,
43,
,
1
2
x
s
x
s
，由第一组有10 人，得第四组有40 人，第五组有20 人，
设第四组和第五组所有人的年龄平均数为z ，方差为
2s ，
则
4
5
2
2
2
40
20
1
5
39,
40
(37
39)
20 [1 (43 39)
10
0{
[
]
60
6
2
]}
z
x
x
s
，
因此第四组和第五组所有人的年龄方差为10，
据此，可估计这m 人中年龄在35
45
岁的所有人的年龄方差约为10.
