专题01：古典概型题型巩固
模块一：题型分类.........................................................................2
题型一：古典概型基础计算.......................................................... 2
题型二：“放回”与“不放回”问题................................................ 5
题型三：游戏公平性问题............................................................. 6
题型四：多角度构建概率模型....................................................... 9
题型五：间接法求对立事件........................................................ 10
题型六：古典概型与统计........................................................... 11
题型七：古典概型与其他概率综合................................................19
题型八：古典概型的综合应用......................................................23
专题01：古典概型题型巩固
模块一：题型分类
【注意】本专题部分题型题目可能与前面章节内容重复
题型一：古典概型基础计算
1.一个不透明的箱子中有4 个红球、2 个蓝球(球除颜色外，没有其它差异)．
(1)若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；
(2)若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．
2.如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10 个棋子，其中A
棋1 个，B 棋2 个，C 棋3 个，D 棋4 个，
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；
②A 棋胜B 棋，C 棋；B 棋胜C 棋，D 棋；C 棋胜D 棋；D 棋胜A 棋；
③相同棋子不分胜负，
(1)若小玲先摸，问小玲摸到C 棋的概率是多少？
(2)已知小玲先摸到了C 棋，小军在剩余的9 个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？
(3)已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9 个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概
率最大？
3.某环保小组共有5 名成员，其中男成员有2 人，现从这5 人中随机选出3 人去某社区进行环保宣传.
(1)求所选的3 人中恰有1 名男成员的概率；
(2)求所选的3 人中至少有2 名女成员的概率.
4.为了防止注册账号被他人非法登录，某系统在账号登录前，要先输入验证码．已知该系统登入设置的每
个验证码均由有序数字串���组成，其中�, �, �∈1,2,3 ，某人非法登录一个账号，任选一组验证码输入．
(1)求这个人输入的验证码恰有两位正确的概率；
(2)若这个人通过技术获得了验证码的第一位数，求这个人输入的验证码正确的概率．
5.在试验�6“袋中有白球3 个（编号为1，2，3）、黑球2 个（编号为1，2），这5 个球除颜色外完全相同，
从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为�1，�2，�3，
摸到黑球的结果分别记为�1，�2．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
6.如图，数轴上O 为原点，点A 对应实数6，现从1，2，3，4，5 中随机取出两个数，分别对应数轴上的
点B，C（点B 对应的实数小于点C 对应的实数）．
(1)记事件E 为：线段OB 的长小于等于2，写出事件E 的所有样本点；
(2)记事件F 为：线段OB，BC，CA 能围成一个三角形，求事件F 发生的概率．
7.网络流行词“新四大发明”是指移动支付、高铁、网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”
的普及情况，从全校3000 名学生中随机抽取了100 人，发现样本中使用过移动支付的有60 人，使用过共
享单车的有43 人，其中两种都使用过的有8 人.
(1)利用样本数据估计该校学生中，移动支付和共享单车两种都没使用过的学生人数；
(2)经过进一步调查，样本中移动支付和共享单车两种都没使用过的学生里，有3 人坐过高铁.现从样本中
两种都没使用过的学生里随机选出2 名学生，求这2 名学生都坐过高铁的概率.
8.2023 年11 月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10 月31 日，学青会火炬传递在桂林举行，广
西师范大学有5 名教师参与了此次传递，其中男教师2 名，女教师3 名.现需要从这5 名教师中任选2 名教
师去参加活动.
(1)写出试验“从这5 名教师中任选2 名教师”的样本空间；
(2)求选出的2 名教师中至多有1 名男教师的概率.
题型二：“放回”与“不放回”问题
1.一个不透明口袋中有4 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，现随机取一个小球然后放回，
再随机取出一个小球，则第一次取出的小球标号大于第二次取出的小球标号的概率为
．
2.一个盒子中装有4 张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取
一张卡片，放回后再抽取1 张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于6 的概率是
.
3.一个袋子中有大小和质地相同的4 个球，标号分别为1，2，3，4，从袋中不放回地随机抽取两次，每次
取一球．记事件A：第一次取出的是2 号球；事件B：两次取出的球号码之和为5．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)判断事件A 与事件B 是否相互独立，请说明理由；
(3)两次取出的号码之和最可能是多少？请说明理由．
4.在试验
6
E “袋中有白球3 个（编号为1，2，3）、黑球2 个（编号为1，2），这5 个球除颜色外完全相同，
从中不放回地依次摸取2 个，每次摸1 个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为
1
w ，
2
w ，
3
w ，
摸到黑球的结果分别记为
1b ，
2b ．求：
(1)取到的两个球都是白球的概率；
(2)取到的两个球颜色相同的概率；
(3)取到的两个球至少有一个是白球的概率．
题型三：游戏公平性问题
1.甲、乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷3 次，游戏规则有下述3 种，这3 种规则是否
公平？对谁更有利？为什么？
(1)若三次掷出的点数之和为奇数，则甲获胜；若三次掷出的点数之和为偶数，则乙获胜．
(2)若三次掷出的点数为一奇两偶或两奇一偶，则甲获胜；若三次掷出的点数均为奇数或均为偶数，则乙获
胜．
(3)若三次掷出的点数之和为3，4，5，6，7，14，15，16，17，18 其中之一，则甲获胜；否则乙获胜．
2.在编号分别为i（i＝0，1，2…，�−1）的n 名同学中挑选1 名参加某项活动，挑选方法如下：抛掷两枚
骰子，若两枚骰子的点数之和除以n 所得的余数为i，则选编号为i 的同学．当�= 6 时，这种规则对每名
参加活动的同学公平吗？请说明理由．
3.小颖的爸爸只有一张《阿凡达》的电影票，她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法，他拿了8 张
扑克牌，将数字为2，3，5，9 的四张牌给小颖，将数字为4，6，7，10 的四张牌给自己，并按如下游戏
规则进行：小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶
数，则小颖去；如果和为奇数，则哥哥去.
(1)求小颖去看电影的概率；
(2)这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由，若不公平，在小颖和哥哥所拿4 张牌不变的情况下，如何
修改游戏规则使其对双方公平.
4.（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1 分，
否则小明得1 分.这个游戏公平吗？
（2）盒子里装有3 个红球，1 个白球，从中任取3 个球，求“3 个球中既有红球又有白球”的概率.
5.甲、乙两人用4 张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背
面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3 大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明
你的理由．
6.（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个
正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙
胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．
7.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，
你认为哪个游戏是公平的？
游戏1
游戏2
游戏3
袋子中球的数量和颜色
1 个红球和1 个白球
2 个红球和2 个白球
3 个红球和1 个白球
取球规则
取1 个球
依次取出2 个球
依次取出2 个球
获胜规则
取到红球→甲胜
两个球同色→甲胜
两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜
两个球不同色→乙胜
两个球不同色→乙胜
8.甲、乙两人玩一种游戏：在装有质地、大小完全相同，在编号分别为1，2，3，4，5，6 的6 个球的口袋
中，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数则甲赢，否
则乙赢．
（1）求甲赢且编号和为8 的事件发生的概率；
（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
9.在一次猜灯速的活动中，共有20 道灯谜，甲同学知晓其中16 道灯谜的谜底，乙同学知晓其中12 道灯谜
的谜底，两名同学之间独立竞猜，假设猜对每道灯谜都是等可能的.
(1)任选一道灯谜，求甲和乙各自猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，求甲和乙至少一人猜对的概率.
10.算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分
别表示个位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）
代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，
表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件�=“表示的三位数能被
5 整除”，�=“表示的三位数能被3 整除”．
(1)求事件�发生的概率��；
(2)求事件�或�发生的概率．
题型四：多角度构建概率模型
1.天气预报说，在接下来的一个星期里，每天涨潮的概率为20%，设计一个符合要求的模拟试验：利用计
算机产生0~9 之间取整数值的随机数，用1，2 表示涨潮，用其他数字表示不涨潮，这样体现了涨潮的概
率是20%，因为时间是一周，所以每7 个随机数作为一组，假设产生20 组随机数是：
则下个星期恰有2 天涨潮的概率为
.
2.第三届“一带一路”国际高峰论坛于2023 年10 月在北京召开．某记者与参会的3 名代表起合影留念（四
人站成排），则记者与代表甲相邻的概率为
3.口袋里装有2 个白球和2 个黑球，这4 个球除颜色外完全相同，4 个人按顺序依次从中摸出一个球.试计
算第二个人摸到白球的概率.
4.在2022 年北京冬奥会志愿服务开始前，北京市团委调查了北京师范大学某院50 名志愿者参加志愿服务
礼仪培训和赛会应急救援培训的情况，数据（单位：人）如下表：
参加志愿服务礼仪培训
未参加志愿服务礼仪培训
参加赛会应急救援培训
6
10
未参加赛会应急救援培训
6
28
(1)从50 名志愿者中随机选1 名同学，求该同学至少参加上述一个培训的概率；
(2)在既参加志愿服务礼仪培训又参加赛会应急救援培训的6 名同学中，有4 名男同学
1
2
3
4
,
,
,
,2
A A A A
名女同
学
1
2
,
B B ，现从这4 名男同学和2 名女同学中各随机选1 人，求
1A 未被选中且
1
B 被选中的概率.
题型五：间接法求对立事件
1.某商场有奖销售中，购满100 元商品得一张奖券，多购多得，每1000 张奖券为一个开奖单位.设特等奖1
个，一等奖10 个，二等奖50 个.设1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)
( ),
( ),
( )
P A P B P C ；
(2)抽取1 张奖券中奖概率；
(3)抽取1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率.
2.将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记下骰子朝上
的点数．若用x 表示第一次抛掷出现的点数，用y 表示第二次抛掷出的点数，用( , )
x y 表示这个试验的一个
样本点．
(1)记A “两次点数之和大于9”，B “至少出现一次点数为3”，求事件A，B 的概率；
(2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：若xy 为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明
理由．
3.某学校成立了数学、英语、音乐3 个课外兴趣小组，3 个小组分别有39，32，33 名成员，一些成员参加
了不止1 个小组，具体情况如图所示．随机选取一名成员．
(1)他参加至少2 个小组的概率是多少？
(2)他参加不超过2 个小组的概率是多少？
4.抛掷一枚均匀的骰子2 次，将第1次掷出的点数记为a ，第2 次掷出的点数记为b ．
(1)求
6
a
b
的概率；
(2)记事件A 为“
2
a
”，事件B 为“a
b
m
”，若
( )
0
P B
且事件A 和事件B 为相互独立事件，求m 的值．
题型六：古典概型与统计
1.Unidentified Flying Object，简称UFO，俗称飞碟，通常被人们看作是外地文明派到地球的使者．为了调
查国内网友对UFO 的了解情况，资深UFO 爱好者李磊，在网上发起了一项“UFO”有奖问答，共有10000
名网友参加，李磊随机抽取了1000 名（得分都在60～100 分之间），将得分分成4 组：60,70 ，70,80 ，
80,90 ，90,100 ，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)李磊决定根据得分从高到低，对参与活动的5%的高分网友发放奖品，试估计这次有奖问答的获奖分数
线；（保留一位小数）
(2)用分层随机抽样的方法从60,70 ，90,100 两个分数段共抽取出4 名网友，再从这4 名网友中随机抽取
2 名依次分享UFO 时间供大家交流，求第一个分享的网友得分在90,100 的概率．
2.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更
是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从
所有答卷中随机抽取100 份作为样本，将样本的成绩（满分100 分，成绩均为不低于40 分的整数）分成
六段：40,50 ，50,60 , ⋯, 90,100 ，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中�的值；
(2)求样本成绩的第75 百分位数；
(3)现从该样本成绩在40,50 与90,100 两个分数段内的市民中按分层抽样选取6 人，求从这6 人中随机选
取2 人，且2 人的竞赛成绩之差的绝对值大于20 的概率.
3.亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023 年9 月第19 届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45 个国家和地区的1 万
多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢
得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运
会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方
法抽取了600 名学生进行调查，成绩全部分布在40~100 分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分
布直方图如图所示，
(1)求频率分布直方图中�的值；
(2)估计这600 名学生成绩的中位数；
(3)根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在40,60 , 90,100 的学生中选取5 人，再从这5 人中任
意选取2 人，求这2 人中至少有1 人成绩不低于90 分的概率．
4.现从某学校高三年级男生中随机抽取50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和184cm
之间，将测量结果按如下方式分成6 组：第1 组160,164 ，第2 组164,168 ，…，第6 组180,184 ．如
图，这是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)试评估该校高三年级男生的平均身高；
(2)求这50 名男生中身高在176cm 以上（含176cm）的人数；
(3)从这50 名男生身高在176cm 以上（含176cm）的人中任意抽取2 人，求该2 人中身高恰有1 人在180cm
（含180cm）以上的概率．
5.2023 年11 月10 日，第六届中国国际进口博览会圆满闭幕，在各方的共同努力和大力支持下，本届进博
会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献．本
届进博会优化了志愿者服务，为展客商提供了更加准确、细致的服务．为了解参会的展客商对志愿者服务
的满意度，组委会组织了所有的展客商对志愿者服务进行评分（满分100 分），并从评分结果中随机抽取
100 份进行统计，按照50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 进行分组，得到如图所示的频率分布直方
图：
(1)求�的值，并以样本估计总体，求所有展客商对志愿者服务评分的平均值（同一组中的数据用该组区间
的中点值为代表）；
(2)在这100 份评分结果中按照分层抽样的方法随机抽取20 份，再从其中评分在60,70 和90,100 的评分
结果中随机抽取2 份，求这2 份评分结果均不低于90 分的概率．
6.为了营造浓厚的读书氛围，激发学生的阅读兴趣，净化学生的精神世界，赤峰市教育局组织了书香校园
知识大赛，全市共有500 名学生参加知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间50,100 内，组委会将初赛
成绩分成5 组：50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这500 名学生初赛成绩的平均数�及中位数（同一组的数据以该组区间的中间值作为代表）；（中
位数精确到0.01）
(2)组委会在成绩为60,80 的学生中用分层抽样的方法随机抽取5 人，然后再从抽取的5 人中任选取2 人
进行调查，求选取的2 人中恰有1 人成绩在60,70 内的概率.
7.某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，
直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50 位推销员上个月的月
销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.
求：
(1)根据图中数据，求出月销售额在[14,16)小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，
能够使70%的推销员完成任务.
(2)该公司决定从月销售额为[12,14]和[24,26]的两个小组中，选取2 位推销员介绍销售经验，求选出的推
销员来自不同小组的概率.
(3)第一组[12,14)中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组[24,26)中推销员的销售金额的平
均数为25，方差3.16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.
8.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4 月23 日为
世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100 位年轻人，对这些人每
天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这100 位年轻人每天阅读时间的第85 百分位数；
(2)为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组50,60 ，
60,70 和80,90 的年轻人中抽取5 人，再从中任选2 人进行调查，求其中至少有1 人每天阅读时间位于
80,90 的概率．
题型七：古典概型与其他概率综合
1.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4 个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是
3
4，得
到黄球或蓝球的概率是
1
2.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间Ω；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公
平，请说明理由.
2.截至2022 年年底，女足亚洲杯已经成功举办了20 届．中国女子国家足球队在参赛的15 届亚洲杯中共获
得9 次冠军、2 次亚军和3 次季军，其辉煌战绩每每给国人带来拼搏奋进的力量．在某届女足亚洲杯中，
将甲、乙、丙3 支队伍分到�，�，�三个小组．
(1)求甲、乙、丙三支球队分到同一小组的概率；
(2)求甲、乙、丙三支球队中恰有两支分到同一组的概率．
3.受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，
某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3 年，乙品牌车保修期为2 年，现从该厂已售
出的两种品牌轿车中分别随机抽取50 辆，统计出在保修期内出现故障的车辆数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障
的时间x(年)
0 < �
≤1
1 < �
≤2
2 < �
≤3
�>
3
0 < �
≤1
1 < �
≤2
�>
2
轿车数量(辆)
2
1
3
44
2
3
45
（1）从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（2）从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率．（将频率视为
概率）
4.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1，2，3，4，5 的五个小球.小球除编号不同外，其
余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100 元；若抽到
的小球编号为偶数，则获得奖金50 元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回的抽奖两
次.
（1）求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；
（2）求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100 元的概率.
5.在一个盒子中有3 个红球（分别用�1，�2，�3表示）和2 个黑球（分别用�1，�2表示），这5 个球除颜色
外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2 个球．
(1)求第一次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率．
6.袋中有7 只大小形状相同颜色不全相同的小猫摆件，分别为黑猫、白猫、红猫，某同学从中任意取一只
小猫摆件，得到黑猫或白猫的概率是
5
7，得到白猫或红猫的概率是
4
7，试求：
(1)某同学从中任取一只小猫摆件，得到黑猫、白猫、红猫的概率各是多少？
(2)某同学从中任取两只小猫摆件，得到的两只小猫颜色不相同的概率是多少？
题型八：古典概型的综合应用
1.某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100 件进行
检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在[70,90) 内取2 件，乙型芯片指标在[50,70]内取4 件，
再从这6 件中任取2 件，求指标在[50,60) 和[70,80) 内各1 件的概率；
(3)根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且
[50,60]
c
，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生
产A 型手机、B 型手机各1 万部，有以下两种方案可供选择：
方案一：将甲型芯片应用于A 型手机，其中该指标小于等于临界值c 的芯片会导致每部手机损失700 元；
将乙型芯片应用于B 型手机，其中该指标大于临界值c 的芯片会导致每部手机损失300 元；
方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101 万元；请从科技公
司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由，
2.骰子（tóuzi），中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常
见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔（或数字），其相对两面之数字和必为七.
中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成shăi.现
甲､乙两人玩掷骰子（质地均匀）游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，
否则算乙赢.
(1)记A “甲､乙两人掷出的点数和为6”，写出事件A 包含的样本点；
(2)现连玩三次，记B “甲至少赢一次”，C “乙至少赢两次”，试问：B 与C 是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由.
3.某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机
抽取60 人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分
别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在
70,80 的有10 个.
(1)求n 和乙样本直方图中a 的值；
(2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩
的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
(3)采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在
60,70 和
70,80 的学生中抽取6 人，并从这6 人中任取2
人，求这两人分数都在
70,80 中的概率.
4.从某学校的800 名男生中随机抽取50 名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量
结果按如下方式分成八组：第一组
155,160 ，第二组
160,165 ，…，第八组
190,195 ，下图是按上述分
组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4 人（同一组的
数据用该组区间的中点值为代表）.
(1)求第七组的频率；
(2)估计该校800名男生身高的平均数和50%分位数；
(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为,x y ，事件
5
E
x
y
，求
P E ．
5.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一
带一路”知识竞赛，满分100 分（95 分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5
组，其中第一组：
20,25 ，第二组：
25,30 ，第三组：
30,35 ，第四组：
35,40 ，第五组：
40,45 ，
得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10 人．
(1)根据频率分布直方图，估计这些人的平均年龄和第80 百分位数；
(2)现从各年龄分组中用分层随机抽样的方法抽取20 人，担任本市的“中国梦”宣传使者，若有甲（年龄38），
乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2 名作为
组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
(3)若第四组的年龄的平均数与方差分别为37 和5
2 ，第五组的年龄的平均数与方差分别为43 和1，据此估
计这m 人中35-45 岁所有人的年龄的方差．
