高考题型专练
专练1 14 小题＋1 大题(三角)
——节选自“皖南八校”联考
一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)
1.设集合A＝{x|－2≤x≤2},B＝{x|
3 x−1
x＋1 <2},则A∪B＝( )
A.(－1,2]
B.{0,1,2}
C.[－2,3)
D.{－2,－1,0,1,2}
答案 C
解析 根据题意,B＝{x|
3 x−1
x＋1 <2},解得－1<x<3,结合A＝{x|－2≤x≤2}得A∪B＝{x|－2≤x<3}.
2.已知复数z 与5
2−i互为共轭复数,则复数z 的虚部为( )
A.－1
B.－i
C.－2
D.－2i
答案 A
解析 因为5
2−i ＝10＋5i
5
＝2＋i,
所以z＝2－i,虚部为－1.
3.设l1,l2,l3是三条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,且α∩β＝l1,l2⊂α,l3⊂β,则“l2∥l3”是
“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当l2∥l3时,l3⊂β,l2⊄β,所以l2∥β,又l2⊂α,α∩β＝l1,所以l1∥l2成立;
当l1∥l2时,若l1与l3相交,则l2与l3异面,不能推导出l2∥l3,
所以“l2∥l3”是“l1∥l2”的充分不必要条件.故选A.
4.已知一组数据为－1,1,3,4,5,7,10,11,若n 为这组数据的70%分位数,则(2x－y)n的展开式中x4y3
的系数为( )
A.280
B.－280
C.560
D.－560
答案 D
解析 由8×70%＝5.6,得n＝7,
于是(2x－y)7展开式中第四项为C7
3(2x)4·(－y)3＝－560x4y3,所以系数为－560.
5.已知双曲线C: y
2
a
2 －x
2
b
2＝1(a>0,b>0)的离心率为
1
cos 30°,则其渐近线方程为( )
A.y＝±2x
B.y＝±√3x
C.y＝±1
2x
D.y＝±√3
3 x
答案 B
解析 根据题意,双曲线C 的离心率为e＝
1
cos 30° ＝1
√3
2
＝2
√3 ＝c
a,b＝√3
3 a,
则双曲线C: y
2
a
2 －x
2
b
2＝1(a>0,b>0)的渐近线方程为y＝±a
bx＝±√3x.
6.如图,高为h 的圆锥形容器里装了一定量的水,下列容器内水的体积最接近容器容积一半的是(
)
答案 D
解析 设圆锥的顶点到水面的距离为mh,圆锥的底面半径为r,则水面半径为mr.
当水的体积等于容器容积的一半时,
有2·1
3π(mr)2·mh＝1
3πr2h,
整理得m3＝1
2.
因为0.53＝0.125,0.63＝0.216,0.73＝0.343,0.83＝0.512,则D 选项更接近1
2.
7.已知数列{an}满足an＝(－1)nn2,某同学将其前20 项中某一项正负号写错,得其前20 项和为372,
则写错之前这个数为( )
A.－64
B.－81
C.100
D.－121
答案 B
解析 an＝(－1)nn2,则其前20 项和为S＝－12＋22－32＋42－…－192＋202＝(22－12)＋(42－32)＋…
＋(202－192)＝3＋7＋11＋…＋39＝210.
设写错项为x,则S－x－x＝372,解得x＝－81,a9＝－81,故写错之前这个数为－81.
8.已知函数f(x)＝b－2ln x－a
x
2,若对任意x∈(0,1),有f(x)f(x＋1)<0,则正整数a 的最小值为(参考
值:ln 2≈0.69,ln 3≈1.1)( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 B
解析 由f(x)f(x＋1)<0,知f(x),f(x＋1)都不为零,
所以f(x)在(0,1)和(1,2)上都没有零点.
由于f(
1
2)f(
3
2)＝f(
1
2)f(
1
2 ＋1)<0,
故f(x)在(
1
2 , 3
2)上有零点.
二者结合,可知f(1)＝0,而f(x)在(0,1)和(1,2)上分别取固定的符号,且符号相反.
所以0＝f(1)＝b－a,得b＝a,
故f(x)＝a－2ln x－a
x
2.
则f'(x)＝－2
x ＋2a
x
3 ＝−2( x−√a)( x＋√a)
x
3
,
所以当x∈(0,√a)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(√a,＋∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
当√a≥2 时,对任意x∈(0,1),f(x)f(x＋1)<0 恒成立;
当1≤√a<2 时,需满足f(2)≥0,
即a－2ln 2－a
4≥0,
解得a≥8
3ln 2≈1.84,
所以正整数a 的最小值为2.故选B.
二、选择题(本大题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0 分)
9.已知向量a,b 满足|a－2b|＝√7,|a|＝|b|＝1,则( )
A.a 与b 的夹角为2π
3
B.a 与b 的夹角为5 π
6
C.|2a－3b|＝√19
D.a⊥(a＋2b)
答案 ACD
解析 设a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),
|a－2b|＝√(a−2b)
2＝√a
2−4 a·b＋4 b
2＝√7,得|a|2－4|a||b|cos θ＋4|b|2＝7,
将|a|＝|b|＝1 代入得1－4cos θ＋4＝7,
∴cos θ＝－1
2,
又θ∈[0,π],∴θ＝2π
3 ,A 正确,B 错误;
|2a－3b|＝√
4＋9−12×(−1
2)＝√19,
C 正确;
a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－1＝0,
故a⊥(a＋2b),D 正确.
10.已知函数f(x)＝1
sin x ＋
1
cos x ,则( )
A.f(x)的定义域为{x|x≠k π
2 ,k ∈Z}
B.f(x)的最小正周期为2π
C.f(x)在区间(
π
2 ,π)上单调递减
D.f(x)在区间(0,2π)上仅有2 个零点
答案 ABD
解析 sin x≠0,cos x≠0,所以x≠k π
2 ,k∈Z,
f(x)的定义域为{x|x≠k π
2 ,k ∈Z},A 正确;
f(x)＝1
sin x ＋
1
cos x 的最小正周期为2π,B 正确;
因为函数y＝1
x 在区间(－∞,0),(0,＋∞)上单调递减,且函数y＝cos x 与y＝sin x 在区间(
π
2 ,π)上
均单调递减,
所以函数y＝
1
cos x 与y＝1
sin x 在区间(
π
2 ,π)上均单调递增,
所以f(x)＝1
sin x ＋
1
cos x 在区间(
π
2 ,π)上单调递增,C 错误;
f(x)＝1
sin x ＋
1
cos x ＝0,则tan x＝－1,
方程在区间(0,2π)上有2 个解,D 正确.
11.平面直角坐标系xOy 中,曲线E 上任一点M,满足到点F1(－1,0),F2(1,0)的距离的倒数和为定值,
即
1
|M F1| ＋
1
|M F2|＝λ(λ>0),则下列说法正确的是( )
A.对于不同的λ 值,曲线E 总是关于y 轴对称
B.当λ＝1
2时,曲线E 经过原点
C.当λ＝1 时,|MF1|＋|MF2|的取值范围为[4,2＋2√2]
D.当λ＝3 时,x 轴上存在4 个不同的点在曲线E 上
答案 ACD
解析 因为F1(－1,0),F2(1,0),可知O(0,0)为线段F1F2的中点,
又动点M 满足
1
|M F1| ＋
1
|M F2|＝λ(λ>0),
设动点M 关于y 轴对称的点为M1,
则|MF1|＝|M1F2|,|MF2|＝|M1F1|,
可得
1
| M 1 F1| ＋
1
| M 1 F2| ＝λ,
所以曲线E 关于y 轴对称,故A 正确;
当λ＝1
2时,将原点O(0,0)代入,得
1
|O F1| ＋
1
|O F2|＝2≠1
2,故B 错误;
当λ＝1 时,|MF2|＝
|M F1|
|M F1|−1>0,
可得|MF1|>1.
因为||MF1|－|MF2||≤|F1F2|＝2,
即||M F1|−|M F1|
|M F1|−1|≤2,
解得√2≤|MF1|≤2＋√2,
|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋
|M F1|
|M F1|−1
＝(|MF1|－1)＋
1
|M F1|−1＋2,
令t＝|MF1|－1∈[√2－1,√2＋1],
则|MF1|＋|MF2|＝t＋1
t ＋2,
由对勾函数可知f(t)＝t＋1
t ＋2 在[√2－1,1]内单调递减,在(1,√2＋1]内单调递增,
且f(1)＝4,f(√2－1)＝f(√2＋1)＝2＋2√2,
可得f(t)∈[4,2＋2√2],
所以|MF1|＋|MF2|∈[4,2＋2√2],故C 正确;
当λ＝3 时,设曲线E 在x 轴上的点为(x,0),
由题意得
1
√( x＋1)
2 ＋
1
√( x−1)
2＝3,
因为曲线图象关于y 轴对称,不妨考虑x>0 的情形,
当x>1 时,方程化为3x2－2x－3＝0,
解得x＝1＋√10
3
,
当0<x<1 时,方程化为3x2＝1,
解得x＝√3
3 ,
故x>0 时,x 轴上有2 个点,所以x 轴上存在4 个不同的点在曲线E 上,故D 正确.故选ACD.
三、填空题(本大题共3 小题,每小题5 分,共15 分)
12.已知a,b>0,log2a＝1.7,log2√b＝－0.15,则a
b＝ .
答案 4
解析 log2a＝1.7,log2√b＝1
2log2b＝－0.15,
所以log2b＝－0.3,
所以log2a－log2b＝log2a
b＝2,则a
b＝4.
13.如图所示,两直角三角形共斜边MN,且MN＝1,MB－MA＝1
2,NA－NB＝1
3,设∠AMN＝
β,∠BMN＝α,则cos(β－α)＝ .
答案 59
72
解析 ∠BMN＝α,∠AMN＝β,
由题意可得MB＝cos α,NB＝sin α,MA＝cos β,NA＝sin β,
因为{
MB−MA ＝1
2 ,
NA −NB＝1
3 ,
则{
cosα −cos β ＝1
2 ,
sin β −sin α ＝1
3 ,
两式平方相加可得2－2cos αcos β－2sin αsin β＝13
36,即2－2cos(β－α)＝13
36,
所以cos(β－α)＝59
72.
14.已知数集A＝{1,2,3,4,5,6,7},B＝{1,2,3,4,5,6},现随机从A 和B 中各抽取3 个不同的数分别
构成最大的三位数X 和Y,则事件“X>Y”的概率为 .
答案 7
10
解析 X>Y 可分为两类:X 中有7 时X>Y 和X 中无7 时X>Y,
由题意可得P(X 中有7)＝
C6
2
C7
3 ＝3
7,
P(X 中无7)＝1－3
7 ＝4
7 .
若X 中含7,则X>Y;
若X 中无7 的情况下:
P(X＝Y)＝
C6
3
C6
3·C6
3 ＝1
20,
此时P(X>Y)＝P(X<Y)＝1
2(1−1
20)＝19
40,
所以P(X>Y)＝3
7 ＋4
7 × 19
40 ＝49
70 ＝7
10.
四、解答题(本题共13 分.考查方向:三角)
15.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,(sin C－sin A)sin A＝sin2C－sin2B.
(1)求B;
(2)若tan C＝tan A＋tan B(A ,C ≠π
2),c＝5√7
2 ,求△ABC 的面积.
解 (1)由正弦定理得(c－a)a＝c2－b2,
即a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理得cos B＝a
2＋c
2−b
2
2ac
＝1
2.
因为0<B<π,得B＝π
3 .
(2)由A＋B＋C＝π,则tan C＝－tan(A＋B)
＝－tan A ＋tan B
1−tan A tan B ＝－
tan C
1−tan A tan B,
整理可得tan C·2−tan A tan B
1−tan A tan B＝0,
则2－tan Atan B＝0,由tan B＝tan π
3 ＝√3,
解得tan A＝2√3
3 ,则sin A＝2√7
7 ,
由tan C＝tan A＋tan B＝5√3
3 ,
则sin C＝√
tan
2C
1＋tan
2C
＝5√7
14 ,
由正弦定理可得
a
sin A ＝
b
sin B ＝
c
sin C ＝7,
则a＝7sin A＝2√7,
所以△ABC 的面积为1
2acsin B＝35√3
4
