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专题 01 勾股定理（六大题型）
【题型1：用勾股定理解三角形】
【题型2：已知两点坐标求两点距离】
【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】
【题型4：勾股定理的证明】
【题型5：勾股定理与无理数】
【题型6：勾股数】
【题型1：用勾股定理解三角形】
1．（24-25八年级上·福建宁德·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，下列数量关系
正确的是（ ）
A．c2−a2=b2 B．a+b=c
C．a2−b2=c2 D．c2+b2=a2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理判断即可求解，掌握勾股定理是解题的关
键．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴c2−b2=a2，
故选：A．
2．（24-25八年级上·重庆·期末）若直角三角形的两直角边长分别为m，n，且满足
❑√(m−3) 2+|n−4)=0，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．3 B．4 C．❑√7 D．5【答案】D
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理．先根据非负数的性质求出m与n的长，
再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由题意得，m−3=0，n−4=0，
解得：m=3，n=4，
∵m，n是直角三角形的两直角边，
∴直角三角形的第三条边长为❑√32+42=5．
故选D．
3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的
第三条边长为（ ）
A．4 B．❑√5 C．❑√13 D．❑√5或❑√13
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理，分两种情况：①2和3为两条直角边；②3为斜边；
再利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：①2和3为两条直角边时，由勾股定理得第三条边长为❑√22+32=❑√13；
②3为斜边时，由勾股定理得第三条边长为❑√32−22=❑√5；
即第三条边长为❑√5或❑√13，
故选：D．
4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则
斜边上的高为（ ）
A．5 B．1.2 C．3.6 D．2.4
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由勾股定理可知斜
边长为❑√32+42=5，然后根据等积法可进行求解．
【详解】解：由题意得：斜边长为❑√32+42=5，
1 1
设该直角三角形的斜边上的高为h，则有：S= ×3×4= ×5ℎ，
2 212
∴ℎ = =2.4；
5
故选D．
5．（24-25八年级上·重庆黔江·期末）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CD于D，
BE⊥CD，AD=3cm，BE=6cm，则AE= ．
【答案】3❑√2cm
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．首先根据直角
的条件以及角度之间的关系，证明△ACD和ΔCBE全等(AAS)．然后利用全等三角形
对应边相等的性质，求出CE和CD的长度，进而得到DE的长度．最后在Rt△ADE中，
运用勾股定理求出斜边AE的长度．
【详解】已知∠ACB=90°，则∠ACD+∠BCE=90°．
∵ AD⊥CD,BE⊥CD，
∴ ∠ADC=∠CEB=90°，且∠CAD+∠ACD=90°，
∠CAD=∠BCE（同角的余角相等），
又∵ AC=BC，
∴ △ACD≌△CBE（AAS），
∴ AD=CE=3cm，CD=BE=6cm，
∴ DE=CD−CE=6−3=3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
∴ AE=❑√AD2+DE2=❑√32+32=❑√9+9=❑√18=3❑√2cm．
综上，答案为3❑√2cm．
6．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，AB=❑√6cm，AC=❑√2cm，点P在线段BC上，当AP=BP时，AP
的长度为 cm．3
【答案】
2
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先求得
BC=❑√(❑√6) 2 −(❑√2) 2=2，设AP=BP=tcm，则PC=2−t，再根据勾股定理得
PA2=PC2+AC2，列出方程得t2=(2−t) 2+(❑√2) 2 ，求解即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=❑√6cm，AC=❑√2cm，
∴BC=❑√(❑√6) 2 −(❑√2) 2=2，
设AP=BP=tcm，则PC=2−t，
∵在Rt△PAC中，PA2=PC2+AC2，
∴t2=(2−t) 2+(❑√2) 2 ，
3
解得：t= ，
2
3
∴AP= cm，
2
3
故答案为：
2
7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，
BC=6，BD为△ABC的角平分线，则△ABD的面积为 ．
【答案】15
【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及勾股定理；根据角平分线的性质可得
DE=DC，根据勾股定理求得AB=10，设DE=EC=x，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD为△ABC的角平分线，∠ACB=90°
∴DE=DC
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6
∴AB=❑√AC2+BC2=10，
∵S =S +S
△ABC △ABD △BDC
设DE=EC=x，
1 1 1
∴ BC×DE+ AB×DE= BC×AC
2 2 2
∴6x+10x=6×8
解得：x=3
1 1
∴S = AB×DE= ×10×3=15
△ABD 2 2
故答案为：15．
【题型2：已知两点坐标求两点距离】
8．（24-25九年级上·四川广安·期末）在平面直角坐标系中，点P(−4,3)到坐标原点O的距
离是 ．
【答案】5
【分析】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出距离．
根据勾股定理解答即可．
【详解】点P到原点O距离是❑√(3−0) 2+(−4−0) 2=5．
故答案为：5．
9．（24-25八年级上·上海·期末）已知直角坐标平面内三点A(−1,0)和B(1,0)，C(0,❑√3)，
那么△ABC是 三角形．【答案】等边
【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是
解题的关键．
由题意根据两点间的距离公式可得AC，BC，AB的长度，即可对△ABC的形状进
行判断．
【详解】解：∵A(−1,0)，B(1,0)，C(0,❑√3)，
∴AB=2，
AC=❑√ (−1−0) 2+(0−❑√3) 2=2，
BC=❑√ (1−0) 2+(0−❑√3) 2=2，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
10．（2024八年级上·上海·专题练习）已知直角坐标平面上点P(4,2)和Q(−1,3)，那么
PQ= ．
【答案】❑√26
【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离公式，熟知若两点的坐标分别为
(x ,y ),(x ,y )，则这两点的距离=❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2是解题的关键．根据平面
1 1 2 2 1 2 1 2
直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可．
【详解】解：∵直角坐标平面上点P(4,2)和Q(−1,3)，
∴PQ=❑√(4+1) 2+(2−3) 2=❑√26．
故答案为：❑√26．
11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了
勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．
【已有认识】由于❑√2=❑√12+12由此得到在数轴上寻找❑√2所表示的点的方法，如图
1．（1）【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．
【拓展运用】请在图2正方形网格（每个小正方形的边长为1）内，
①画出顶点在格点的△ABC，其中AC=❑√2,BC=2❑√2,AB=❑√10，
②直接写出△ABC的面积=___________，点C到AB边的距离为___________．
（2）【拓展运用】①在图3中，设A(x ,y ),B(x ,y ),AC∥y轴，BC∥x轴，
1 1 2 2
AC⊥BC于点C，则AC=___________BC=___________，由此得到平面直角坐标系
内任意两点间的距离公式，AB=❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2
1 2 1 2
②图4中，平面直角坐标系中有两点M(−3,4),N(−5,1),P为x轴上任一点，则
PM+PN的最小值为___________；
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式❑√(x+2) 2+(y−1) 2−❑√(x−6) 2+(y+3) 2
的最大值为：___________．
2❑√10
【答案】（1）①见解析；②2， ；（2）①y −y ，x −x ；②❑√29；③4❑√5
5 1 2 1 2
【分析】（1）①根据勾股定理，结合数轴即可得出结论；②根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）①根据题意列出代数式即可；
②利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出PM+PN的最小值；
③把❑√(x+2) 2+(y−1) 2−❑√(x−6) 2+(y+3) 2看成点(x,y)到两点(−2,1)和(6,−3)的
距离之差，当点(x,y)和(6,−3)重合时，可得最大值，再根据两点间的距离公式即可
得到结论．
【详解】解：（1）①如图所示，△ABC即为所求；
②∵AC2+BC2=2+8=10=AB2，
∴∠ACB=90°，
1 1
∴ △ABC的面积= AC⋅BC= ×❑√2×2❑√2=2，
2 2
设点C到AB边的距离ℎ，
1
∴ △ABC的面积= ℎ⋅AB=2，
2
2×2 2❑√10
∴点C到AB边的距离ℎ = =2×2÷❑√10= ，
AB 5
2❑√10
故答案为：2， ；
5
（2）①A(x ,y ),B(x ,y ),AC∥y轴，BC∥x轴，AC⊥BC，
1 1 2 2
∴AC= y −y ，BC=x −x ，
1 2 1 2
故答案为：y −y ，x −x ；
1 2 1 2
②如图，作点N关于x轴对称的点G，连接MG，直线MG与x轴的交点即为所求的点
P．∵N(−5,1)，
∴G(−5,−1)，
∵M(−3,4)，
∴PM+PN=PM+PG=MG=❑√(−3+5) 2+(4+1) 2=❑√29，
即PM+PN的最小值为❑√29，
故答案为：❑√29；
③∵把式❑√(x+2) 2+(y−1) 2−❑√(x−6) 2+(y+3) 2看成点E(x,y)到两点F(−2,1)和
G(6,−3)的距离之差，即EF−EG≤FG，
∴ E(x,y) FG G
点 在直线 上，且在点 右
边时，EF−EG=FG，FG=❑√(x+2) 2+(y−1) 2−❑√(x−6) 2+(y+3) 2有最大值，
∴最大值为：❑√(6+2) 2+(−3−1) 2=4❑√5，
故答案为：4❑√5．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了两点间的距离公式，勾股定理，轴对称−最
短路径问题，勾股定理的逆定理．
12．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期中）阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两
点P (x y )，P (x y )，则该两点间距离公式为P P = ❑√(x −x ) 2+(y −y ) 2，同
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公
式可分别化简成|x −x )和|y −y )．
1 2 1 2
(1)若已知两点A(3,3)，B(−2,−1)，试求A，B两点间的距离；
(2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为
−2，试求M，N两点间的距离．
【答案】(1)❑√41
(2)9
【分析】本题考查两点间的距离，解题的关键是巧妙的运用两点间的距离公式求出任
意两点间的距离．
（1）根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为−2，
可以利用垂直于x轴的距离公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵点A(3,3)，B(−2,−1)，
∴AB=❑√(−2−3) 2+(−1−3) 2=❑√41，
即A，B两点间的距离是❑√41；
（2）解：∵点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为
−2，
∴MN=|−2−7|=9，
即M，N两点间的距离是9．
【题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积】
13．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，每个四边形都是正方形，字母A所代表的正
方形的边长为（ ）A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根
据勾股定理，先得出字母A所代表的正方形的面积，再求出其边长即可．
【详解】解：由图可知，以长直角边为边长的正方形面积为225，则边长为15，
以斜边为边长的正方形面积为289，则斜边长为17，
∴字母A所代表的正方形的边长=❑√172−152=8，
故选：B．
14．（24-25八年级上·河南·期末）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，正方形AEDC，
BCFG的面积分别为25和144，则AB的长度为（ ）
A．13 B．16 C．119 D．❑√119
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的
边长的平方即为相应的正方形的面积．由正方形的面积公式可知AC2=144，BC2=25，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即可得出AB的长．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，AC2=144，BC2=25，
∴AB2=25+144=169，
∴AB=❑√169=13．
故选：A．
15．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，S ,S ,S 是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若S =36,S =64，
1 2 3 1 2
则S 的值为（ ）
3
10❑√π 10
A．10 B．100 C． D．
π π
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理结合圆的面积公式，推出S =S +S ，即可
3 1 2
得出结果．
【详解】解：如图，
由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
(BC) 2 (AC) 2 (AB) 2
由题意，得：S = π,S = π,S = π，
1 2 2 2 3 2
∴S =S +S =36+64=100；
3 1 2
故选B．
16．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直
角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（ ）9 9
A． B．3 C． D．9
4 2
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
1
先由等腰三角形的性质即勾股定理得出S = AC2 ，
△ACG 4
1 1
S = BC2,S = AB2 ，再在Rt△ABC中由勾股定理得出AC2+BC2=AB2，
△BCF 4 △ABE 4
最后根据阴影部分面积为S +S +S 进行求解即可．
△ACG △BCF △ABE
【详解】解：∵△ACG是等腰直角三角形，
∴∠G=90°，
∴AC2=AG2+CG2,AG=CG，
1
∴AG2= AC2
，
2
1 1 1
∴S = AG⋅CG= AG2= AC2 ，
△ACG 2 2 4
1 1
同理可得，S = BC2,S = AB2 ，
△BCF 4 △ABE 4
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2,AB=3，
∴阴影部分面积为：
1 1 1 1 1 1 9
S +S +S = BC2+ AB2+ AC2= (BC2+AB2+AC2)= ⋅2AB2=，×9=
△ACG △BCF △ABE 4 4 4 4 4 2 2
故选：C．
17．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，△A A B是腰长为1的等腰直角三角形，以
1
它的斜边A A 为直角边作第二个等腰直角三角形A A A ，再以△A A A 的斜边A A
1 1 2 1 2 2
为直角边作第三个等腰直角三角形A A A ，依次作下去，则△A A A 的面积为
2 3 2023 2024
（ ）
A．22022 B．22023 C．22024 D．22025【答案】A
【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，勾股定理，根据勾股定理总结出规律是解
题的关键．
根据勾股定理，得出三角形的面积变化规律为2n−2，计算即可得到答案．
【详解】解：∵△A A B是腰长为1的等腰直角三角形，
1
1 1
∴S = ×1×1= =2−1
△AA 1 B 2 2
A A =1×❑√2=❑√2；
1
∵以A A 为直角边作第二个等腰直角三角形A A A ，
1 1 2
∴A A =1×❑√2×❑√2=(❑√2) 2 ，
2
1
S = ×(❑√2)×(❑√2)=1=20 ；
△AA 1 A 2 2
1
同理可得第三个等腰直角三角形的面积为：
×2×2=21
，
2
⋯
以此类推，第n个三角形的面积为：2n−2；
∴△A A A 的面积为：22024−2=22022，
2023 2024
故选： A．
18．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，
在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直
角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继
续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2024次后形成的图形中所有
正方形的面积和是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用等知识，由勾股定理得a2+b2=1，再由图1
可知，“生长”1次后，所有正方形的面积和为2×1=2，由图2可知，“生长”2次
后，所有正方形的面积和为3×1=3，得出规律即可，熟练掌握其性质并能灵活根据
勾股定理，得出规律是解决此题的关键．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，
∴a2+b2=c2，
∵正方形的边长为1，
∴a2+b2=1，
由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等
于以斜边为边长的正方形的面积，
∴此时，所有正方形的面积和为：2×1=2，
由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：3×1=3，
⋯，
∴在“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是：2025×1=2025．
故选：D．
19．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，直线l上有三个正方形，若a，b的面积分别
为9和16，则c的面积为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定和
性质是解题关键．先证明△ABC≌△CED(AAS)，得到BC=DE，再根据勾股定理，
得到DE2=BC2=7，即可求出c的面积．
【详解】解：∵∠ABC=∠CED=∠ACD=90°，
∴∠CAB+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠CAB=∠DCE，
在△ABC和△CED中，{∠ABC=∠CED
)
∠CAB=∠DCE ，
AC=CD
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC=DE，
∵a，b的面积分别为9和16，
∴AB2=9，AC2=16，
在Rt△ABC中，BC2=AC2−AB2=7，
∴DE2=7，
∴c的面积为7，
故答案为：7
【题型4：勾股定理的证明】
20．（24-25八年级上·全国·期末）如图1是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角
形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．
(1)如图1请你用它验证勾股定理．
(2)如图2四边形ABCD中AC⊥BD于点O，AB=6，BC=5，CD=2，请直接写出
AD= ．
【答案】(1)见解析
(2)❑√15
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）根据△ABO,△BCO,△CDO,△ADO均为直角三角形，根据勾股定理得出
AB2+CD2=AD2+BC2即可求出AD的值.
【详解】（1）解：S =(b−a) 2=b2−2ab+a2，
小正方形1
另一方面S =c2−4× ab=c2−2ab，
小正方形 2
即b²−2ab+a²=c²−2ab，
∴a²+b²=c²；
（2）解：由题意可得， △ABO,△BCO,△CDO,△ADO均为直角三角形，
由勾股定理可得， AO2+BO2=AB2①，CO2+DO2=CD2②，AO2+DO2=AD2③，
BO2+CO2=BC2④
①+②可得AO2+BO2+CO2+DO2=AB2+CD2；
③+④可得AO2+DO2+BO2+CO2=AD2+BC2；
即：AB2+CD2=AD2+BC2，
∴62+22=AD2+52，
解得AD=❑√15（负值舍去），
故答案为：❑√15．
21．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1
是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春
在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2
放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三
个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三
个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，
求x的值．
【答案】(1)见解析
6❑√5
(2)
59
(3)x=
4
【分析】此题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法
是利用面积证明是解本题的关键．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；
（2）利用割补法求出△ABC的面积，勾股定理求出AB，再利用三角形的面积公式即
可求出AB边上的高；
（3）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ACD中表示出AD2，列出方程求解即可．
1 1
【详解】（1）证明：∵ S = c2 ，S = (b+a)b，
四边形ABDC 2 梯形AEDC 2
1
S = (a−b)a，S =S +S ，
△BED 2 四边形ABDC 梯形AEDC △BED
1 1 1
∴ c2= (b+a)b+ (a−b)a，
2 2 2
1 1 1 1 1
∴ c2= b2+ ab+ a2− ab，
2 2 2 2 2
∴ a2+b2=c2；
1 1 1
（2）S =4×4− ×2×4− ×2×4− ×2×2=6，AB=❑√22+42=2❑√5，
△ABC 2 2 2
1 1
∵S = AB×ℎ = ×2❑√5ℎ =6，
△ABC 2 2
6❑√5
∴ ℎ = ，
5
6❑√5
即AB边上的高是 ；
5
（3）在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD2=AB2−BD2=42−x2=16−x2，
∵ BD+CD=BC=6，
∴ CD=BC−BD=6−x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AD2=AC2−CD2=52−(6−x) 2=−11+12x−x2
∴ 16−x2=−11+12x−x2，9
∴ x= ．
4
23．（24-25八年级上·广东佛山·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方
国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦
五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图
1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有
a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中
任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
(2)①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、
等边三角形，这三个图形中面积关系满足S +S =S 的有______个；
1 2 3②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图
中阴影部分）的面积分别为S ，S ，直角三角形面积为S ，请判断S ，S ，S 的关系
1 2 3 1 2 3
并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向
外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的
“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，
C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答
下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
①a2+b2+c2+d2=______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．
【答案】(1)①a2+b2=c2；②证明见解析
(2)①3；②S +S =S ，证明见解析
1 2 3
(3)①m2；②b=c，a+d=m
【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键
是掌握勾股定理的应用．
（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；
②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；
（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c，利用面积相等的方法，分别
求出面积的关系，即可得到答案；
②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；
（3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，a2+b2+c2+d2=m2；
②作JN⊥KL于点N，根据AAS证明△LNJ≌△IGH得ln=IG=d，NJ=HG=c，同
理可证KN=a，NJ=b，从而可求出b与c的关系为b=c，a与d的关系为a+d=m．
【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2+b2=c2；
②（以下过程，选择其一解答即可，不必三个皆证．）
若选择图1，证明过程如下：
证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形
面积的和，
1
即c2= ab×4+(b−a) 2 ，
2化简，得a2+b2=c2．
若选择图2，证明过程如下：
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的
和，
1
即(a+b) 2=c2+ ab×4，
2
化简，得a2+b2=c2．
若选择图3，证明过程如下：
证明：在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
1 1 1
即 (a+b)(a+b)= ab×2+ c2 ，
2 2 2
化简，得a2+b2=c2．
（2）①根据题意，在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得a2+b2=c2，
∴S +S =S ；
1 2 3
在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，
则S =
1
π×
(a) 2
=
1
πa2 ，S =
1
π×
(b) 2
=
1
πb2 ，S =
1
π×
(c) 2
=
1
πc2 ，
1 2 2 8 2 2 2 8 3 2 2 8
1
∴S +S = π(a2+b2)，
1 2 8
∵a2+b2=c2，
1 1
∴
π(a2+b2)= πc2
，
8 8
∴S +S =S ；
1 2 3
在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，
则S =
❑√3
a2 ，S =
❑√3
b2 ，S =
❑√3
c2 ，（等边三角形面积公式：S =
❑√3
a2 ，a
1 4 2 4 3 4 等边△ 4
为边长）
❑√3
∵S +S = (a2+b2)，a2+b2=c2，
1 2 4
❑√3 ❑√3
∴
(a2+b2)= c2
，
4 4
∴S +S =S ；
1 2 3∴满足S +S =S 的有3个，
1 2 3
故答案为：3；
②结论S +S =S ；
1 2 3
1 (a) 2 1 (b) 2 1 (c) 2
∵S +S = π + π +S − π
1 2 2 2 2 2 3 2 2
1
∴S +S = π(a2+b2−c2)+S
1 2 8 3
∵a2+b2=c2，
∴S +S =S ；
1 2 3
故答案为：S +S =S ．
1 2 3
（3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、
c、d、e、f、m，
由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：S +S =S ，S +S =S ，
A B E C D F
S +S =S ，
E F M
∴a2+b2=e2，c2+d2=f2，e2+f2=m2，
∴a2+b2+c2+d2=m2
故答案为：m2．
②作JN⊥KL于点N，∵∠1+∠KJN=90°，∠NJL+∠KJN=90°，
∴∠1=∠3=∠NJL，
∵∠LNJ=∠IGH=90°，LJ=IH，
∴△LNJ≌△IGH，
∴ln=IG=d，NJ=HG=c．
同理可证：KN=a，NJ=b，
∴b与c的关系为b=c，a与d的关系为a+d=m．
故答案为：b=c，a+d=m．
24．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）同学们学习了勾股定理，课后查阅资料发现有很
多方法证明勾股定理．中国古代最早对勾股定理进行证明的，是东汉末至三国时期吴
国数学家赵爽，他用数形结合形式创制了“赵爽弦图”：如图1，由四个全等的直角
三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边
长为a，b(b>a>0)，斜边长为c．
(1)在图1中，若c=15，b=12，则小正方形的边长为_____；
(2)探索：某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图2，点B是正方形ACDE边CD
上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接
至△AEF位置，如图3所示，该同学用图2、图3的面积不变证明了勾股定理．请你
写出该方法证明勾股定理的过程；（提示：连接BF）
(3)拓展：若图1中较短的直角边长为5，将这四个直角三角形中较长的直角边分别向
外延长一倍，得到图4所示的“数学风车”，若以AB为边的正方形面积为61，则这
个风车的外围周长是_____．
【答案】(1)3
(2)见解析
(3)76
【分析】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）先根据勾股定理求出a=9，然后根据线段的和差求解即可；
（2）连接BF，根据正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明；
（3）根据外延部分的4个三角形全等,且AD=AC=❑√61−52=6,由勾股定理求得
BD=❑√CD2+BC2=13,根据风车的外围周长是4×(BD+AD)，计算求解即可，
【详解】（1）解：由勾股定理得：a=❑√c2−b2=❑√152−122=9，
∴小正方形的边长为：12−9=3，
故答案为：3；
（2）（答案不唯一）
证明：如图，连接BF，
∵AC=b，
∴正方形ACDE的面积为b2，
∵CD=DE=AC=b，BC=a，EF=BC=a，
∴BD=CD−BC=b−a，DF=DE+EF=a+b，
∵∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=90°，
∵∠BAC=∠EAE，
∴∠EAF+∠BAE=90°，
∴△BAF为等腰直角三角形，
1 1 1 1
∴四边形ABDF的面积为： c2+ (b−a)(a+b)= c2+ (b2−a2)，
2 2 2 2
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，1 1
∴b2= c2+ (b2−a2)，
2 2
1 1 1
∴b2= c2+ b2− a2
，
2 2 2
1 1 1
∴ a2+ b2= c2 ，
2 2 2
∴a2+b2=c2．
（3）解：如图，∵以AB为边的正方形面积为61,
∴AB2=61,
由题意知，外延部分的4个三角形全等，图1中较短的直角边长为5，
∴AD=AC=❑√61−52=6，
∴CD=12，
∴BD=❑√CD2+BC2=❑√122+52=13，
∴这个风车的外围周长是：4×(BD+AD)=4×(13+6)=76
故答案为：76
25．（24-25七年级上·山东东营·期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，
由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两
种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，
1 1
即 ab×4+(b−a) 2 ，从而得到等式c2= ab×4+(b−a) 2 ，化简便得结论a2+b2=c2．
2 2
这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也
有业余数学爱好者，向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三
角形△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°
，显然BC⊥AD．
（1）请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究
这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
【方法迁移】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为2，
连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，直接写出AB边上的高为______．
（3）如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设
BD=x，求x的值．
9
【答案】（1）证明见解析；（2）AB边上的高是7❑√2；（3）x=
4
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用
的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证a2+b2=c2；
（2）计算出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AB边上的高；
（3）运用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；
1 1 1
【详解】证明：（1）∵S = c2 ，S = (b+a)b，S = (a−b)a
四边形ABDC 2 梯形AEDC 2 △BED 2
，
S =S +S ，
四边形ABDC 梯形AEDC △BED
1 1 1
∴ c2= (b+a)b+ (a−b)a，
2 2 2
1 1 1 1 1
∴ c2= b2+ ab+ a2− ab，
2 2 2 2 2
∴a2+b2=c2；1 1 1
（2）S =8×8− ×2×2− ×6×8− ×6×8=14，
△ABC 2 2 2
AB=❑√22+22=2❑√2，
1 1
∵S = AB×ℎ = ×2❑√2ℎ =14，
△ABC 2 2
∵ℎ =7❑√2，
即AB边上的高是7❑√2；
（3）在Rt△ABD中，由勾股定理得
AD2=AB2−BD2=42−x2=16−x2，
∵BD+CD=BC=6，
∴CD=BC−BD=6−x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD2=AC2−CD2=52−(6−x) 2=−11+12x−x2，
∴16−x2=−11+12x−x2，
9
∴x= ．
4
【题型5：勾股定理与无理数】
26．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴
上，且表示的数为−2．现以点A为圆心，以AC的长为半径画圆，所得圆和数轴交于
点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（ ）
A．❑√10−2 B．1.2 C．❑√10+2 D．❑√10
【答案】A
【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出
点所表示的数是解题的关键．
根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB=BC=❑√5，再根据勾股定理可得AC=AE=❑√10，再结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数．
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为5，
∴AB=BC=❑√5，
∴AC=AE=❑√AB2+BC2=❑√10
∵点A表示的数是−2，且点E在点A的右侧，
∴点E表示的数为❑√10−2．
故选：A．
27．（23-24八年级上·福建宁德·阶段练习）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a
的值为（ ）
A．−❑√5 B．−1−❑√5 C．1−❑√5 D．−1+❑√5
【答案】B
【分析】本题考查了数轴与实数及勾股定理．根据图示，可得：点A是以(−1,0)为圆
心，以❑√5为半径的圆与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少
即可．
【详解】解：由勾股定理得：BD=❑√22+12=❑√5，
∴BA=BD=❑√5，
∴点A是以(−1,0)为圆心，以❑√5为半径的圆与数轴的交点，且在−1左侧，
∴a=−1−❑√5．
故选：B．
28．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上
的点A所表示的数为 （ ）A．−1−❑√5 B．−1+❑√5 C．−❑√5 D．1−❑√5
【答案】A
【分析】本题主要考查数轴表示数、勾股定理等知识，掌握数形结合思想是解题的关
键．
根据勾股定理可求出圆的半径，进而求出点A到−1的距离，再根据点A的位置确定点
A所表示的数即可．
【详解】解：根据勾股定理可求出圆的半径为：❑√22+12=❑√5，即点A到表示−1的点
的距离为❑√5，
∴点A到原点的距离为(❑√5+1)个单位，
∵点A在原点的左侧，
∴点A所表示的数为：−1−❑√5．
故选：A．
29．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，
A(1,3)，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则点B的坐标是
．
【答案】(❑√10,0)
【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理求出OA的长，由作图可知OB=OA，结合B
点的位置即可得出结论．
【详解】解：∵点O(0,0)，A(1,3)，∴OA=❑√12+32=❑√10，
由作图可知：OB=OA=❑√10，
∵点B在x轴的正半轴上，
∴B(❑√10,0)；
故答案为：B(❑√10,0)．
30．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，数轴上点A表示的实数是 ．
【答案】2−❑√5/−❑√5+2
【分析】此题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识直接利用勾股定理得出三角形
斜边长即可得出A点对应的实数．
【详解】解：由图形可得：2到A的距离为❑√12+22=❑√5
∴数轴上点A表示的实数是2−❑√5；
故答案为：2−❑√5．
31．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点O为数轴上的原点，点A在数轴的负半轴
上，且点A表示的数为−2，AB⊥OA，AB=1，连接OB，请你在数轴的正半轴上画
出点C，使得点C表示的数为❑√5．（保留画图痕迹，不写画法）
【答案】见解析
【分析】本题考查在数轴上表示无理数，以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正
半轴于点C，则点C即为所作．
【详解】解：如图，点C即为所作．
32．（24-25七年级上·浙江台州·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图1，依次连结2×2方格四条边的中点A，B，C，D，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边
长为1，得到阴影正方形面积为2：
(1)发现图1这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是
_______，由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法；
(2)如图2，以1个单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的
对角线为半径画弧，与数轴交于M，N两点，则点M表示的数为_______；
(3)如图3，3×3网格是由9个边长为1的小方格组成，画出面积是5的正方形，使它的
顶点在网格的格点上．
【答案】(1)❑√2
(2)1−❑√2
(3)图见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数等知识点，利用勾
股定理表示出无理数是解题的关键．
（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，可得小正方形的
对角线长；
（2）由小正方形对角线长为❑√2可得，原点与M之间的距离为❑√2−1，从而可得到点
M表示的数；
（3）根据大正方形的面积为5，作边长为❑√5的正方形即可．
【详解】（1）解：∵阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，
∴小方格对角线长等于❑√2，
故答案为：❑√2；
（2）解：如图，小正方形的对角线长为❑√2，
∴原点与M之间的距离为❑√2−1，
∴点M表示的数为1−❑√2，
故答案为：1−❑√2；
（3）解：∵大正方形的面积是5，∴小长方形的对角线长为❑√5，
作图如下：
∴ 5
阴影部分即为面积是 的正方形．
33．（24-25八年级上·广东深圳·期中）根据推理提示，回答下列问题：
∵❑√1<❑√3<❑√4, 1<❑√3<2,
即
∴❑√3的整数部分为1，小数部分为 ❑√3−1.
(1)❑√5的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)如图所示，在数轴上点A 所表示的实数是 ．
【答案】(1)2，❑√5−2
(2)−1−❑√5
【分析】本题主要考查了无理数的估算，勾股定理，实数与数轴等知识．
（1）根据所给的例子估计无理数❑√5的整数和小数部分即可．
（2）先根据勾股定理求出圆的半径，再利用数轴上两点之间的距离即可得出A 所表
示的实数．
【详解】（1）解：∵❑√4<❑√5<❑√9，即2<❑√5<3
∴❑√5的整数部分是2，小数部分是❑√5−2．
（2）解：根据题意圆的半径为：❑√12+22=❑√5，
∴点A所表示的数为：−1−❑√5．
34．（24-25八年级上·广东深圳·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，
形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是数形结合的产
物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系．(1)如图1，点O是原点，点A对应的实数为−2，过点A作AB垂直于数轴，且AB=1，
连接OB，以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，那么点C对应的实数为 ；
(2)在（1）的条件下，若将线段OC向右平移，使得点O对应的实数为1，那么此时点
C对应的实数为 ；
(3)如图2，点A对应的实数是3，射线AB垂直数轴于点A，请在数轴上作出❑√10−2对
应的点M．（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
【答案】(1)−❑√5
(2)−❑√5+1
(3)见解析
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理等知识．熟练掌握实数与数轴，勾股定理
是解题的关键．
（1）由勾股定理得，OB=❑√OA2+AB2=❑√5，则点C对应的实数为−❑√5；
（2）由题意知，此时点C对应的实数为−❑√5+1；
（3）由题意知，❑√10=❑√32+12，如图，在AB上取AE=1，连接OE，由
❑√10−2=−2+❑√10，如图，取点F，F表示的数为−2，然后以F为圆心，OE为半径
画弧，右侧交点即为M，点M即为所作．
【详解】（1）解：由题意知，OA=2，
由勾股定理得，OB=❑√OA2+AB2=❑√5，
∴点C对应的实数为−❑√5，
故答案为：−❑√5；
（2）解：由题意知，此时点C对应的实数为−❑√5+1；
故答案为：−❑√5+1；
（3）解：由题意知，❑√10=❑√32+12，
如图，在AB上取AE=1，连接OE，∵❑√10−2=−2+❑√10，
∴如图，取点F，F表示的数为−2，然后以F为圆心，OE为半径画弧，右侧交点即为
M，点M即为所作．
【题型6：勾股数】
35．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．1，2，3 B．1，1，❑√2 C．5，12，13 D．0.3，0.4，0.5
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟知满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾
股数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可．
【详解】解：A、∵12+22≠32，
∴1，2，3，不是勾股数，本选项不符合题意；
B、❑√2不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意；
C、∵52+122=132，
∴5，12，13是勾股数，本选项符合题意；
D、0.3，0.4，0.5这三个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，本选项不符合题意；
故选：C．
36．（24-25八年级上·福建泉州·期末）下列各组数中，属于“勾股数”的是（）
A．2，4，6 B．4，6，8
C．6，8，10 D．8，10，12
【答案】C
【分析】本题考查勾股数的定义，注意勾股数的定义要求是正整数，按照公式进行正
确的计算是解题的关键．根据满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】解：A.∵22+42≠62，
∴不是勾股数，不符合题意；
B.∵42+62≠82,
∴不是勾股数，不符合题意；C.∵62+82=102,
∴是勾股数，符合题意；
D.∵82+102≠122,
∴不是勾股数，不符合题意，
故选：C．
37．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广
三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…这
类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相
差为2的一类勾股数，如6、8、10；8、15、17；…若此类勾股数的勾为12，则其弦
是 ．
【答案】37
【分析】本题考查勾股定理，根据勾为偶数，弦与股相差为2，设弦为x，则：股为
x−2，利用勾股定理，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设弦为x，则：股为x−2，
由勾股定理，得：x2=(x−2) 2+122，
解得：x=37；
故答案为：37．
38．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）观察下列勾股数：
①3，4，5，且32=4+5；
②5，12，13，且52=12+13；
③7，24，25，且72=24+25；
④9，b，c，且92=b+c；
…
(1)请你根据上述规律，并结合相关知识求：b=______，c=______；
(2)猜想第n组勾股数，并说明你的猜想正确．
【答案】(1)40；41
(2)2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，见解析
【分析】此题考查勾股数有关的规律探究．
（1）由规律可得c=b+1，然后再由勾股定理得：c2−b2=92，再计算即可；
（2）认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第
二、三个数的和；最后得出第n组数为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此规律解决
问题．
【详解】（1）解：由规律可得c=b+1，
∵由勾股定理得：c2−b2=92，
∴(b+1) 2−b2=92，解得b=40，
∴c=41，
故答案为：40，41；
（2）解：根据规律设第n组勾股数为：2n+1，m，m+1．
∴∵(2n+1) 2+m2=(m+1) 2，
解得m=2n2+2n，
∴猜想第n组勾股数为：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1．
证明：∵(2n+1) 2+(2n2+2n) 2=4n4+8n3+8n2+4n+1，
(2n2+2n+1) 2=4n4+8n3+8n2+4n+1，
∴(2n+1) 2+(2n2+2n) 2=(2n2+2n+1) 2，
∵n是整数，
∴2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，是一组勾股数．
