文档内容
专题01 勾股定理重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 勾股定理的证明方法
题型二 以弦图为背景的计算题
题型三 用勾股定理构造图形解决问题
题型四 勾股定理与无理数
题型五 勾股树问题
题型六 用勾股定理解三角形
题型七 已知两点坐标求两点距离
题型八 以直角三角形三边为边长的图形面积
题型九 利用勾股定理求两条线段的平方和
题型十 利用勾股定理证明线段平方关系
题型十一 勾股定理与网格问题
题型十二 勾股定理与折叠问题
【知识梳理】
知识点 1 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2 b2 c2
.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建
立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2 c2 b2 ，b2 c2 a2
，
c2 ab2 2ab
.
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为 的线段
知识点2 勾股定理证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【经典例题一 勾股定理的证明方法】
【例1】（2024上·河北石家庄·八年级校考期末）在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，
可以利用面积验证勾股定理 的是（ ）
甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形
乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以
C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，掌握数形集合思想是解题的关键．
甲：分别用两种方法表示大正方形的面积，然后化简即可判断；乙：先算出三个正方形的面积，看是否满
足 即可判断．
【详解】解：甲：大正方形的面积可以表示为： 或 ，即 ；
先根据正方形的面积计算出 ，即可 ；
所以甲、乙均可验证 ．
故选A．
【变式训练】
1．（2023上·山东淄博·七年级校联考期中）如图，在四边形 中， ， ，点 是边
上一点， ， ， ．下列结论：① ；② ；
③ ；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明；证明 ，由全
等三角形的性质可得出 ， ．再由图形的面积逐项分析判断即可求解．
【详解】解： ， ，
，
．
在 和 中，
，
，
， ．
，
．
，
，
故①②正确；
梯形 的面积 直角三角形 的面积 两个直角三角形的面积，
，
， ，
故③④正确
故选：A．
2．（2023下·全国·八年级阶段练习）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方
形 的面积为25，正方形 的面积为1，若用 、 分别表示直角三角形的两直角边 ，下
列三个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是 （填序
号）．【答案】①②③
【分析】用含有 的代数式分别表示小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出 与 的关系
式，依次判断所给关系式即可．
【详解】解：由题意可得小正方形的边长＝1，大正方形的边长＝5，
斜边2＝大正方形的面积 ，
故①正确；
∵小正方形的边长为1，
，
故②正确；
∵小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，
，
，
故③正确；
，
故④不正确．
综上可得①②③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用等知识，根据所给图形，利用面积关系判
断 与 的关系是解答本题的关键．
3．（2024上·山西长治·八年级统考期末）综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者．(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”．在 中， ，若 ， ， ，请你利用这个图形说明
．
(2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和 按如图
2所示的方式放置， ， ， ， ，连接 ， ，用
a，b，c分别表示出梯形 ，四边形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从
而证明勾股定理．请你补充该证明过程．
【答案】(1)说明见解析；
(2)补充证明见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，全等三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角
三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式；
（2）先证明 ，然后分别表示出出梯形 ，四边形 ， 的面积，再根据四边形
的面积-四边形 的面积 的面积即可求解．
【详解】（1）∵大正方形面积为 ，直角三角形面积为 ，小正方形面积为 ，
∴ ，
即 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵直角梯形 的面积 ，
四边形 的面积 ，
的面积 ，
∵四边形 的面积－四边形 的面积 的面积
∴ ，
化简得： ．
【经典例题二 以弦图为背景的计算题】
【例2】（2024上·湖北·九年级校考周测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，
后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼
接而成的记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ，若 ，则
的值是（ ）
A．32 B．38 C．48 D．108
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质等知识点，准确找到图中的等量关系并熟练使用
勾股定理是解题的关键．
【详解】解： 八个直角三角形全等，四边形 是正方形
，故选：D．
【变式训练】
1．（2023上·浙江温州·八年级统考期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它
是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 组成，恰好拼成一个大正方形 ，分别在 ，
上取点 ， ，使得 ，得四边形 ．若大正方形 的边长为 ，且
，设四边形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，解方程组，面积的计算．设四个全等的直角三角形的两直角边长为 ， ，
则由大正方形 的边长为 ，且 ，可求出 ， ，再求出 ， ，即可解决问题．【详解】解：设四个全等的直角三角形的两直角边长为 ， （不妨设 ，
， ，
正方形 的边长为 ，
，①
，
，②
解①②得： ， ，或 ， （舍去），
， ， ， ，
∴四边形 的面积为 ，
正方形 的面积为 ，
∴ ，
故选：D．
2．（2023上·陕西渭南·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代
数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，
若直角三角形中的较短直角边长为2，中间小正方形的面积为9，则大正方形的边长为 ．（结果保留根
号）
【答案】
【分析】本题考查了以赵爽弦图为背景的勾股定理，算术平方根．熟练掌握勾股定理，算术平方根是解题
的关键．由题意知，小正方形的边长为 ，则直角三角形的另外一条直角边的长度为 ，根据大正方形的
边长为直角三角形的斜边长，利用勾股定理计算求解即可．
【详解】解：由题意知，小正方形的边长为 ，
∴直角三角形的另外一条直角边的长度为 ，
由勾股定理得，直角三角形的斜边长即大正方形的边长为 ，故答案为： ．
3．（2023上·江苏扬州·八年级统考期中）如图1，在 中， ， ， ，
．将 绕点O依次旋转 、 和 构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵
爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为2002年
在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用图1证明勾股定理；
(2)请利用图1说明 ，并说明等号成立的条件；
(3)请根据（2）的结论解决下面的问题：如图2，在四边形 中， ， ．若
，则这个四边形的最大面积为__________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)
【分析】本题考查了勾股定理的证明和以及非负数的性质．
（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角
三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式；
（2）利用非负数的性质证明即可；
（3）设 依题意得 ， 的面积为 ，利用（2）结论求得当x，y取何值时，
该三角形面积最大以及四边形最大面积．
【详解】（1）解：因为边长为c的正方形面积为 ，
它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为 的小正方形组成的，它的面积为 ，
所以 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时，等号成立；
（3）解：设 ，
依题意得 ，
∴ 的面积为 ，
由（2）的结论知 ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时，四边形的面积最大，最大面积是 ．
故答案为： ．
【经典例题三 用勾股定理构造图形解决问题】
【例3】（2023上·山东青岛·八年级校考期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是
用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸
引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推
至 处时（即水平距离 ），踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，则绳索 的
长是（ ）A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索 的长是x，则 ，由勾股定理得出方程，解方程即
可．
【详解】设绳索 的长是 ，则 ，
， ，
，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即绳索 的长是 ，
故选：B．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）已知 是斜边长为 的等腰直角三角形，以
的斜边 为直角边，画第二个等腰 ，再以 的斜边 为直角边，画第三个等腰
， ，依此类推，第 个等腰直角三角形的斜边长是（ ）．
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据在同一个等腰直角三角形中，斜边长是直角边长的 倍，然后发现其规律即可求解．
【详解】解：在同一个等腰直角三角形中，斜边长是直角边长的 倍，
∵第一个等腰直角三角形的斜边长为 ，
∴第二个等腰直角三角形的斜边长为 ，
第三个等腰直角三角形的斜边长为 ，
第四个等腰直角三角形的斜边长为 ，
以此类推，第 个等腰直角三角形的斜边长为 ，
故选： ．
【点睛】此题考查了等腰直角三角形的三边长的数量关系，以及找规律型，解题的关键是熟练等腰直角三
角形的直角边与斜边长的关系．
2．（2023下·湖北孝感·八年级统考期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一．其中记载了一道
“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图， 中，
， 与 的和为 尺， 为 尺，求 的长．在这个问题中，可求得 的长为 尺．
【答案】
【分析】设 ，可知 ，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，即解得： ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示
意图，领会数形结合的思想的应用．
3．（2023上·四川雅安·八年级四川省名山中学校考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满
着魅力．
【知识运用】（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作
两个点）， ， ，垂足分别为A、B， 千米， 千米，则两个村庄的距离为
______千米．
（2）在（1）的背景下，若 千米， 千米， 千米，现要在 上建造一个供应站P，
使得 ，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出 的距离．
（3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式 （其中 ）最
小值为多少？画图并写出解题过程．
【答案】（1）50；（2）画图见解析， 的距离为16千米；（3）画图见解析，
【分析】本题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质与尺规作图，轴对称—最短路线问题等知识，
熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）连接 ，作 于点E，根据 ， 得到 ， ，由平行线间的
距离处处相等可得 千米， 千米，求出 ，然后利用勾股定理求得CD两地之间
的距离；
（2）连接 ，作 的垂直平分线交 于P，根据线段垂直平分线的性质可得 ，点P即为所求；
设 千米，则 千米，分别在 和 中，利用勾股定理表示出 和 ，然后根据 建立方程，解方程即可；
（3）如图3， ， ， ， ， ，设 ，
则 ，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．
【详解】解：（1）如图1，连接 ，作 于点E，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ 千米， 千米，
∴ 千米，
∴ （千米），即两个村庄的距离为 千米，
故答案为： ；
（2）如图2，连接 ，作 的垂直平分线交 于P，点P即为所求，
设 千米，则 千米，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，即 的距离为16千米；
（3）如图3， ， ， ， ， ，设 ，则 ，由勾股定理得 ，
∴
作点C关于 的对称点F，连接 ，过点F作 于E，则 是 的最小值，即代数式
的最小值为 ，
∵ ， ， ，
∴代数式 最小值为： .
【经典例题四 勾股定理与无理数】
【例4】（2023下·广东广州·八年级校联考期末）如图，长方形 中， ， ， 在数轴上，
若以点 为圆心， 的长为半径作弧交数轴于点 ，则点 表示的数为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴上的点，掌握求法是解题的关键．由勾股定理可求
， ，即可求解．
【详解】解：由题意得， ，
由作法得： ，
；
表示的数为 ；
故选：A．
【变式训练】
1．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，△ 中， ， ， 边上的高
长为 ，点 在数轴上，且对应的数为 ．以点 为圆心， 长为半径作圆弧，交数轴于点 ，则点
表示的数是( )
A．1或 B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理，实数与数轴的关系；根据等腰直角三角形的性
质求出 的长，结合数轴，即可得到答案．
【详解】解：在 中， ， 边上的高 长为 ，
， ，
点 表示的数为： 或 ，
故选：D．2．（2024上·河北承德·八年级统考期末）实数和数轴上的点是一一对应的，你能找到下面数轴上的两个点
表示的实数吗？
（1）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数 对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重
合，则点B对应的实数是 ．
（2）如图，数轴上的点A表示原点， ，垂足为D，且 ，以A为圆心， 长为半径画弧，
交数轴于点C，则点C表示的数为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了数轴与实数，数轴上两点之间的距离，勾股定理等知识．熟练掌握数轴与实数，数轴
上两点之间的距离，勾股定理是解题的关键．
（1）由题意知，点A，点B之间的距离为 ，则点B对应的实数是 ；
（2）由勾股定理得， ，则 ，点C表示的数为 ，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，点A，点B之间的距离为 ，
∴点B对应的实数是 ，
故答案为： ；
（2）解：由勾股定理得， ，
∴ ，
∴点C表示的数为 ，
故答案为： ．
3．（2023上·浙江杭州·七年级校考期中）如图1，依次连接 方格的各条边中点，得到一个正方形（如
图中的阴影部分），(1)图1中阴影部分的面积是______，阴影部分正方形的边长是______；
(2)请你利用图2在 的方格内作出边长为 的正方形．
(3)请在数轴上作出表示 的点
【答案】(1)8，
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查勾股定理与网格，勾股定理与无理数，实数与数轴．利用数形结合的思想是解题关键．
（1）由勾股定理可直接求出正方形的边长是 ，再根据正方形面积的计算公式求解即可；
（2）根据直角边分别为3和1的直角三角形的斜边为 ，画出正方形的四条边即可；
（3）根据直角边分别为3和1的直角三角形的斜边为 ，再在数轴负半轴画出表示 的点即可．
【详解】（1）解：阴影部分正方形的边长是 ，
∴图1中阴影部分的面积是 ．
故答案为：8， ；
（2）解：如图所示正方形即为所作；（3）解：在数轴上作出表示 的点，如图．
【经典例题五 勾股树问题】
【例5】（2023上·全国·八年级专题练习）如果正整数 满足等式 ，那么正整数
叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 的值为（ ）
A．67 B．34 C．98 D．73
【答案】C
【分析】依据每列数的规律，即可得到 ， ， ，进而得出 的值．
【详解】解：由题可得：
，
，
，
∴当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，故选：C．
【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·云南昆明·八年级统考期末）如果正整数a、b、c满足等式 ，那么正整数a、b、c
叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 的值为（ ）
a b c
3 4 5
8 6 10
15 8 17
24 10 26
… … …
x 14 y
A．67 B．34 C．98 D．73
【答案】C
【分析】依据每列数的规律，即可得到 ， ， ，进而得出 的值．
【详解】解：由题可得， ， ， ，
， ， ，（ 且n为正整数）
当 时，
解得： ，
， ，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数．
2．（2023上·河北承德·八年级统考期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为
a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围
成的三角形是直角三角形，则a的值为 ；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下
去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为 （填数字）．【答案】
【分析】本题主要考查的是勾股定理、图形的变化规律等知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角
边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
根据正方形的面积公式求出第一个正方形的面积，即可求得a的值；再根据勾股定理求出经过一次“生
长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和，总结规律，然后按照规律解答即可．
【详解】解：如图：
∵第一个正方形的边长为a,
∴第一个正方形的面积为 ，
由勾股定理得， ，
∴ ，即经过一次“生长”后在它的上侧生长出两个小正方形的面积和为 ，
∴ ，即 ，“生长”第1次后所有正方形的面积和为 ，
同理：“生长”第2次后所有正方形的面积和为 ，
……
则“生长”第2024次后所有正方形的面积和为 ，
故答案为： ， ．
3．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校考期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、
25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问
题让学生解决．
若两直角边为 ，斜边为 ．
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______；
(2)当 （ 为奇数，且 ）时，若 ______， ______时可以构造出勾股数（用含 的代数式表
示）；并证明你的猜想；
(3)当 （ 为偶数，且 ）时，若 ______， ______时可以构造出勾股数（用含 的代数式表
示）；
(4)构造勾股数的方法很多，请你寻找当 时， ______．
【答案】(1)60，61
(2)
(3) ，
(4)25或52或101或29
【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组
勾股数：11，60，61；发现规律是解题的关键；
（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，
然后计算验证即可；发现规律是解题的关键；
（3）根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然
后计算验证即可；发现规律是解题的关键；
（4）由勾股定理可得： ，再根据勾股定理可得 ；然后根据列举法即可解答；
发现规律是解题的关键．
【详解】（1）解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61．
（2）解：观察发现：当 （ 为奇数，且 ）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为： ；
证明如下：
∵ ，
∴ ，
又∵n为奇数，且 ，
∴n, 三个数组成的数是勾股数．
（3）解：观察发现：当 （ 为偶数，且 ）时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方
的四分之一加一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为： ， ；
证明如下：
∵ ，
∴ ，
又∵n为偶数，且 ，
∴n, ， 三个数组成的数是勾股数．
（4）解：由勾股定理可得： ，
当 ，则有: ，即 ，
当 ，解得： ；
当 ，解得： ；当 ，解得： ；
当 ，解得： ．
综上，c的值为25或52或101或29．
【经典例题六 用勾股定理解三角形】
【例6】（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）在四边形 中， ， ，连接对角线
、 ，过点 作 垂直 于 ，且 ．若 ，求 的面积（ ）
A．8 B．16 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正
确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．过点 作 于点 ，首先证明 ，由全等
三角形的性质可得 ， ，进而证明 为等腰直角三角形，利用勾股定理解得
，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图，过点 作 于点 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【变式训练】
1．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在 中， ，点 是 的中点，点 在
射线 上运动， ，交直线 于 ，连接 ．在 点运动的过程中，下列结论：① ；
② 长度的最小值为2；③当点 在 之间运动时，四边形 的周长和面积保持不变；④
．其中正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次根式的性质等
知识，连接 运用 证明 即可判断①；设 ，则 ，由勾股定
理得 ，当 时， 有最小值为 ，可判断②；证明 ，得
，因此 ，由 得 ，所以，
是等腰直角三角形，点E变化时，四边形 的周长会发生变化，故可
判断③；由 知 ，在 中， ，可得 ，可判
断④．
【详解】解：①连接 ，如图，
∵ 是等腰直角三角形， ，D为 的中点，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∴
又
∴ ，
∴ ，故①正确；
②设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∵
∴当 时， 有最小值为 ，故②错误；
③∵
∴
又
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵点E变化时， 也会发生变化，
∴四边形 的周长会发生变化，故③错误；
④∵ ，
∴
在 中， ，
∴ ，故④正确，
∴正确的结论有2个，
故选：B2．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图， 中， ．以点 为圆心，
长为半径作弧，交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 ．若 ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可得到结论．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解： ， ，
，
，
由作图得， ，
，
，
故答案为： ．
3．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①， 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．小明经过组内合作交流，得
到了如下的解决方法：延长 至点 ，使 ，连接 ．请根据小明的方法思考：
①由已知和作图能得到 ，依据是______
A． B． C． D．
②由“三角形的三边关系”可求得 的取值范围是______．
（2）【初步运用】
如图②， 是 的中线， 交 于 ，交 于 ，且 ，若 ， ，求线段
的长．
（3）【灵活运用】
如图③，在 中， ， 为 中点， ， 交 于点 ， 交 于点 ，连接．若 ， ，求 的长度．
【答案】（1）①A；② ；（2） ；（3）
【分析】（1）①根据 证明 ，即可求解；
②根据 得出 ，根据三角形三边关系得出 ，进而即
可求解；
（2）如图，延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ， ，
，根据 即可求解；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 ， ，证明 ，得出 ，
，进而得出 ，在 中，根据勾股定理得出 ，等量代换即
可求解．
【详解】解：（1）①∵ 是 的中线，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
故答案为：A；
②∵ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
∴ ；
故答案为： ；（2）如图，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ 是 的中线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）延长 到点 ，使 ，连接 ， ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
在 和 中， ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形三边关系，三
角形的中线，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，作出辅助线，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
【经典例题七 已知两点坐标求两点距离】
【例7】（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）在直角坐标系中，点A、B坐标分别为 和 ，
点C是y轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一直线上，当 的周长最小时，点C坐标可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，连接 ， ，过点 作
轴于点 ，从而可得 的周长为 ，根据两点之间线段最短可得当点 与点 重
合时， 的值最小，最小值为 ，再根据等腰三角形的判定与性质求解即可得．【详解】解：如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，连接 ， ，
过点 作 轴于点 ，
则 ，
，
， ，
的周长为 ，
由两点之间线段最短可知，当点 与点 重合时， 的值最小，最小值为 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
即当 的周长最小时，点 坐标是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了点坐标的轴对称与最短问题、等腰三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识
点，正确找出当 的周长最小时，点 的位置是解题关键．【变式训练】
1．（2021下·广东广州·八年级校考期中）函数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把 配方得 ，得到y就是在x轴
上的点 到 和 的距离之和，求得点 关于x轴的对称点为 ，连接
交x轴于P，则此时，点 到 和 的距离之和最小，即为 的长，根据两点间的距离公
式即可得到结论．
【详解】
就是在 x轴上的点 到 和 的距离之和，
点 关于x轴的对称点为
连接 交x轴于点P，
则此时，点 到 和 的距离之和最小，即为 的长，
根据两点间的距离公式得： ，
故选：C【点睛】本题考查了函数的最值，两点间的距离公式，推理出函数的最值就是 的长，是解题的关键．
2．（2024上·云南昆明·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内且点 ，连
接 ，在y轴上找一点P，使得 是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．
【答案】4
【分析】此题考查了等腰三角形的定义，两点间的距离公式，分类讨论是解决问题的关键．先求出 ，
设点P的坐标为 ，表示出 的长，根据 是等腰三角形分三种情况进行讨论：① ，②
，③ ，根据每一种情况求出点P的坐标即可得出符合条件的点P的个数．
【详解】解： 点 ，
，
点P在y轴上，
设点P的坐标为 ，
，
又 是等腰三角形，
有三种情况：
①当 时，
则 ，
整理得： ，
，
由 ，解得 ，此时点P与原点O重合，故不合题意，舍去，
由 ，解得： ，
此时点P的坐标为 ；
②当 时，
则 ，
解得： ，或 ，
此时点P的坐标为 或 ；
③当 时，
则 ，
整理得： ，
解得： ，
此时点P的坐标为 ．
综上所述：符合条件的点P有4个，其坐标分别是 或 或 或 ．
故答案为：4．
3．（2024上·江西吉安·八年级统考期末）先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点 ，这两点间的距离 ．同时，当两点所在的
直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为 或 ．
(1)已知点 ， ，试求A，B两点间的距离；
(2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标；
(3)已知△ABC各顶点的坐标分别为 ， ， ，你能判断 的形状吗？说明理由．
【答案】(1)A，B两点间的距离为13
(2)A的纵坐标为6或
(3) 为等腰直角三角形【分析】本题考查两点间的距离公式及勾股定理，熟记以上知识是解题的关键．
（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）由于横坐标相同，所以 、 两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；
（3）先根据两点间的距离公式计算出 、 、 ，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．
【详解】（1） ，
即A，B两点间的距离为13．
（2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，
∴A的纵坐标为 或者 ．即点A的纵坐标为6或 ．
（3） 为等腰直角三角形．理由如下：
∵ ，
，
，
∴ ，且
∴ 为等腰直角三角形．
【经典例题八 以直角三角形三边为边长的图形面积】
【例8】（2024·全国·八年级竞赛）如图，分别以直角三角形的三边为直径的三个半圆的面积从小到大依次
为 ，则 之间的关系正确的是（ ）A． 或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用、圆的面积等知识，由勾股定理表示出三边的关系，表示出三个半圆
的面积即可得出答案，熟练运用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设直角三角形的三边分别为 ，则三个半圆的半径分别为
由勾股定理得： 即
故选： ．
【变式训练】
1．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图， 中， ，分别以 、 、 为边在
的同侧作正方形 、 、 ，四块阴影部分的面积分别为 、 、 、 ．若已知
，则 的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．过F作 于D，先证明 得到 ，再证明 ，得到 ，进一步证明 ， ，则可证明
，由此求解即可．
【详解】解：过F作 于D，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理可证 ，
∴ ．
由 可得： ，
∴ ，
∵ ，即 ，且 ， ，
∴ ，又 ，
又 ，
∴四边形 是长方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，同理可得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
故选：A．
2．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图， 中， ， ， ，分别以
、 、 为边在 的同侧作正三角形 、 、 ，图中四块阴影部分的面积分别为 ，
， ， ，求 ．
【答案】6
【分析】本题考查勾股定理的知识，将勾股定理和等边三角形的面积公式进行灵活的结合和应用是解题的关键．过点E作 于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可求 ，
， ，从而可得出 ，然后结合图形把 转化为
即可求解．
【详解】解：如图，过点E作 于点G，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由图可知：．
故答案为：6．
3．（2023上·江西·八年级期末）如图①，在 中， ， ， ，
，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边 运动，回到点A停止，速度为
，设运动时间为t ．
(1)如图（1），当 时， 的面积等于 面积的一半；
(2)如图（2），在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有
一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边 运动，回到点A停止．在两点运动过程中的
某一时刻，恰好 ，求点Q的运动速度．
【答案】(1) 或
(2) 或
【分析】本题主要考查直角三角形性质和全等三角形的性质，
（1）分两种情况进行解答，①当点P在 上时，②当点P在 上时，分别画出图形，利用三角形的面
积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；
（2）由 ，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在
上；②当点P在 上， ， ，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．【详解】（1）解：①当点P在 上时，如图 ，
若 的面积等于 面积的一半，则 ，
此时，点P移动的距离为 ，
移动的时间为： 秒；
②当点P在 上时，如图
若 的面积等于 面积的一半，则 ，即点P为 中点，
此时，点P移动的距离为 ，
移动的时间为： 秒，
故答案为： 或 ；
（2） ，即对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在 上，如图 所示：
此时， ， ，
∴点Q移动的速度为 ，
②当点P在 上，如图 所示：
此时， ， ，
即，点P移动的距离为 ，点Q移动的距离为 ，
∴点Q移动的速度为 ，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好 ，点Q的运动速度为 或 ．
【经典例题九 利用勾股定理求两条线段的平方和】
【例9】（2022上·福建福州·八年级校考期末）在 中， ， ， ， 的对边分别是
a，b，c，若 ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据题意可知， 的面积为 ，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】解： 中， ， ， ， 所对的边分别为a，b，c，
，
∵ ， ，
∴ ，
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的
值．
【变式训练】
1．（2021上·河南洛阳·八年级统考期末）在 中， ， ， ，三个
内角的平分线交于点 ，则点 到 的距离 为（ ）
A．1cm B．2cm C． cm D． cm
【答案】B
【分析】由勾股定理解得 ，根据角平分线的性质，可得
，过点 ，分别作 三边的垂线段，继而证明
， ， ，由全等三角形对应边相等的性质得到 ， ，即可证明 ，最后利用三角形面积公式及等积法解题即可
求得 的值．
【详解】解：在 中， ， ， ，
是 中三个内角的平分线的交点，
过点 ，分别作 三边的垂线段，如图，
在 与 中，
同理得， ，
又
故选：B．【点睛】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式及等积法等
知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．（2022下·湖北十堰·八年级统考期中）如图， 中， ，以AC、BC为直径作半圆S
1
和S，且 ，则AB的长为 ．
2
【答案】4
【分析】由勾股定理得 ，解得 ，结合
计算解答即可．
【详解】解：由勾股定理得，
∴
故答案为：4．【点睛】本题考查勾股定理、半圆面积的求法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．（2023上·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）(1)如图1，四边形 的对角线 于
点 ．判断 与 的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作正方形 和正方形 ，连接 ，
，交点为 ．
①判断 ， 的关系，并说明理由．
②连接 ．若 ， ，请直接写出 的长．
【答案】(1) ，理由见解析；(2)① ， ，理由见解析；②
【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出 即可求解；
（2）①证明 即可得到 ；进而得到 ，②在四边形 中，根据（1）
求得的结论即可求出 的长．
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，
∴在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
即 ；
（2）①∵四边形 和四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上， ， ；
②
解析：在四边形 中， ，由（1）知
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ．
图2
【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是
解题关键．
【经典例题十 利用勾股定理证明线段平方关系】
【例10】（2023上·浙江·八年级期末）如图，在 中， ， ， 与 相交于点P， 于Q．则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，
证明 是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 是等边三角形．
∴
∵
∴ （SAS），
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
故选：B．【变式训练】
1．（2023下·山东德州·八年级校考阶段练习）如图， 和 都是等腰直角三角形， 的顶点
A在 的斜边 上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由 和 都是等腰直角三角形，可证 ，根据 得证 .①
正确；由全等得 ， ， ，于是 ，可证 ，
从而 ．故②正确； 中， ，于是 ；④正确；由
的顶点A在 的斜边 上，得 ，从而 ，故③错误．
【详解】解∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ,
， .
∴ .
∴ .①正确；
∴ ， ， ．
∴ ；
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．故②正确；
中，
而
∴ ；④正确；
∵ 的顶点A在 的斜边 上，
∴ ．而
∴ ，故③错误．
故选：C
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短；由
全等三角形得到线段相等，角相等是解题的关键．
2．（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四
边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 交于点 ．若 ，则
．
【答案】17
【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
【详解】解：∵ ，
由勾股定理得，
故答案为：17．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定
理是解题的关键．
3．（2023上·江苏南京·八年级统考期中）（1）如图①，在 中， ， ， 为 边上的
中线，则 的取值范围是 （提示：延长 到点 ，使 ，连接 ）；
（2）如图②，在 中， ， 是 边上的中点， ， 交 于点 ， 交
于点 ，连接 ，求证 ；（3）如图③，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 ，求证 ．（简述解
题思路即可）
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【分析】（1）如图①所示，延长 到点 ，使 ，连接 ，先证明 ，得
到 ，然后根据三角形三边关系即可证得结论；
（2）如图②所示，延长 到点 ，使 ，连接 ， ，先证明 ，得到
， ，进而证得 ，由勾股定理得 ，再证 ，即可
证得结论 ；
（3）如图③所示，延长 到点 ，使 ，连接 ， ，证明 ，得到 ，
，再证明 ，得到 ，即可证得结论 ．
【详解】解：（1）如图①所示，延长 到点 ，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
，，
，即 ，
，
故答案为： ．
（2）证明：延长 到点 ，使 ，连接 ， ，如图②，
是 边上的中点，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
垂直平分 ，
，
．
（3）证明：延长 到点 ，使 ，连接 ， ，如图③，
， ，
，
， ，，
， ，
，
又 ，
，
，
又 ，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，平行线的性质，合理添加辅
助线，利用“倍长中线法”构造全等三角形是解本题的关键．
【经典例题十一 勾股定理与网格问题】
【例11】（2023上·陕西西安·八年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格， 的顶点
， ， 均在格点上．若 于点 ，则线段 的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，利用勾股定理得出 的长，再利用等面积法得
出 的长．
【详解】解：由图可知： ， ，
∵ ，
∴ ，解得： ．
故选：D．
【变式训练】
1．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，将 放在正方形网格图中（图中每个小正
方形的边长均为1），点A、B、C恰好在网格图中的格点上，那么 中 边上的高的长度是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由勾股定理求得 ，由割补法求得 ，设 中 边上的高的长度是 ，利用
三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：由题意可知， ， ，
设 中 边上的高的长度是 ，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，割补法求面积，一元一次方程的应用你，分母有理化，利用属数形结合的
思想解决问题是解题关键．
2．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点A、
B、C、D均为格点，给出下列四个命题：①点B到点C的最短距离为 ； ②点A到直线 的距离为 ．③直线 所交的锐角为 ；
④四边形 的面积为11．其中，所有正确命题的序号为 . （填序号）
【答案】 /
【分析】①本题③考③查①的是勾股定理，等腰三角形性质，利用网格求三角形面积，①利用勾股定理求解可得结
论；②构造 ，利用面积法求解即可；③平移线段 到 ，利用等腰直角三角形的性质解决问题
即可；④利用分割法求面积，可得结论．
【详解】解：由图可知点B到点C的最短距离为 ，故①正确；
如图，取格点E，连接 ， ，则C，D，F，E共线，过点A作 于点H，
，
，故②错误；
取格点J，连接 ， ，则 ， 是等腰直角三角形，
，
直线 ， 所交的锐角为 ，故③正确，
，故④错误，
故答案为：①③．3．（2024上·湖北武汉·八年级统考期末）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格
点，请仅用无刻度直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示．图中的点A、B、C、
P、Q在格点上，其中 ．
(1)在图1中先作线段 且 ，然后作 的高 ；
(2)在图2中作 的角平分线 ；
(3)在图3中的直线 上找一点 ，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点D，连接 ，则 且 ，取格点F，连接 交 于点E，则 为
的高；
（2）取格点E，构造等腰三角形求解即可；
（3）取格点E，F，连接 交 于点M，连接 ，由方格纸的特点可知 分别垂直平分 ，
，结合对顶角的性质可知点M即为所求．
【详解】（1）如图，（2）如图， 即为所求，
（3）点M即为所求．
【点睛】本体考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，线段垂直
平分线的性质，对顶角相等知识，熟练掌握方格纸的特点是解答本题的关键．
【经典例题十二 勾股定理与折叠问题】
【例12】（2024上·四川宜宾·八年级统考期末）如图，三角形纸片 中， ．
沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边 上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则 的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理等知识点，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
根据题意可得 ， 进而得到 ；设 ，则
，根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边 上的点D处，
∴ ，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
设 ，
∴ ，解得： ，即 ．
故选D．
【变式训练】
1．（2023上·江苏连云港·八年级期末）如图，等腰直角三角形 中， ，点M，N
在边 上，且 ，若 ，则 的长为（ ）．A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，把 沿
翻折至 ，连接 ，则 ， ， ， ，再证明
得到 ， ，接着证明 ，则
，．
【详解】解：把 沿 翻折至 ，连接 ，
∴ ， ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，，
故选：C．
2．（2024上·四川成都·八年级统考期末）如图，在长方形纸片 中， ， ，如图所示折叠
纸片，使点 落在 边上的 处，折痕为 ，此时 的长为
【答案】 /
【分析】本题考查折叠的性质、勾股定理，根据折叠前后对应边相等可得 ， ，利用
勾股定理解 求出 ，设 ，则 ，再利用勾股定理解 即可．
【详解】解：由折叠的性质可得 ， ，
由长方形的性质可得 ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
即 的长为 ，
故答案为： ．
3．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，把一张长方形 纸片沿对角线 折叠，点 落在
点 处， 交 于点 ，重合部分是 ， ，点 是对角线 上一点， 于点 ，
于点 ．(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的值；
(3)若 ．求 的面积．
【答案】(1)证明详见解析；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到 ，即可证明出 是等腰三角形；
（2）连接 ，根据 代数求解即可；
（3）设 ，则 ， ，在 中根据勾股定理求出 ，然后利用三角形面积
公式求解即可．
【详解】（1）证明： 把一张长方形 纸片沿对角线 折叠，点 落在点 处，
又 长方形 ，
，
，
是等腰三角形
（2）如图所示，连接 ，，
（3）设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可知：
，
，
．
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟
练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理．
【拓展培优】
1．（2024上·重庆大渡口·八年级统考期末）如图，将长方形 放置于平面直角坐标系中，点 与原点
重合，点 分别在 轴和 轴上，点 ，连接 ，并将 沿 翻折至长方形 所在平面，
点 的对称点为点 ，则点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．
设 与 交点为点D，过点E作 轴于点F，由 可得 ， ，由长方
形 与折叠的性质可得 ，从而 ，设 ，则 ， ，在
中，根据勾股定理得 ，代入即可解得 ，根据 的面积可求得
，进而在 中，根据勾股定理可求得 ，结合点E的位置可得点E的
坐标．
【详解】设 与 交点为点D，过点E作 轴于点F，
∵ ，
∴ ， ，
∵在长方形 中， ，
∴ ，
∵由折叠有 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，∵在长方形 中， ，
∴在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
由折叠可得 ，
∴ ，
∵ 或 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴在 中， ，
∴点E的坐标为 ．
故选：A．
2．（2024上·河北衡水·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， ，点 是
上一动点（D与点 不重合），连接 ，作 关于直线 的对称点 ，当点 在 的下方时，连
接 、 ，则 面积的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B
【分析】本题考查轴对称性质、垂线段最短、勾股定理，根据轴对称性质和勾股定理得 ，
，当 时，点A到 的距离最小，则E到 的距离最大，此时 面积的最大，如图，
过A作 于H，先根据三角形的等面积求得 ，进而求得 即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ 关于直线 的对称点 ， ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∵点 在 的下方，
∴当 时，点A到 的距离最小，则E到 的距离最大，此时 面积的最大，如图，过A作
于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 面积的最大值为 ，
故选：B．
3．（2024上·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在 中， ，以 的各边为边作三个
正方形，点 落在 上，若 ，空白部分面积为10，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，完全平方公式，关键是由 ，得到四边
形 的面积 的面积．
【详解】解： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
的面积 的面积，
四边形 的面积 的面积，
空白部分的面积 正方形 的面积 的面积，
①，
，
，
，
，
②，
由①和②得 ，（舍去负值）．
故选：A．
4．（2024上·山东青岛·八年级统考期末）两个直角三角板如图摆放，其中 ，
， ， ， ， 与 交于点P，则点B到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线的距离，勾股定理，等腰三角形的判定．
设点B到 的距离为h，证 ，得 ，再由勾股定理得 ，然后由三角形面积
求出 即可．
【详解】设点B到 的距离为h，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即点B到 的距离为 ，
故选：C．
5．（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）在四边形 中， ， ，连接对角线 、
，过点 作 垂直 于 ，且 ．若 ，求 的面积（ ）
A．8 B．16 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正
确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．过点 作 于点 ，首先证明 ，由全等
三角形的性质可得 ， ，进而证明 为等腰直角三角形，利用勾股定理解得
，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
6．（2024上·江苏南京·八年级统考期末）如图，以Rt 的两边 为边向外所作正方形的面积分
别是 ，则以另一边 为直径向外作半圆的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，根据题意得出 的值，再根据半圆面积公式求解即
可．
【详解】解： 以 的两边 ， 为边向外所作正方形的面积分别是 ， ，
，
，以另一边 为直径向外作半圆的面积为 ，
故答案为： ．
7．（2024上·江苏镇江·八年级统考期末）如图，在长方形 中， ．在 上找一点
E，把 沿 折叠，使D点恰好落在 上，设这一点为F，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查折叠的性质，长方形的性质，关键是由折叠的性质解答；由长方形的性质推出
， ，由折叠的性质得到： ， ，由勾股定理
求出 ，得到 ．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
由折叠的性质得到： ，
故答案为：3．
8．（2024·全国·八年级竞赛）已知实数 ，且 ，则代数式 的最小值为
．
【答案】5
【分析】本题考查利用轴对称求最短路线的问题，解题关键是将求代数式 的最小值巧妙地
转化成几何问题．
根据题意构造三角形，然后利用轴对称的性质求最短距离．
【详解】作图如下所示，作 ， ，，
设 ， ， ，
在 上取一点F，将 分为 和 ，
设 ， ，
，
，
，
过C作关于 对称点E，使得 ，
连 交 于F，
，
最短，
代数式 的最小值 的最小值，
过E作 交 延长线于G,
四边形 为矩形，
， ，
，
在 中
，
故答案为：5
9．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）如图， 中， ，
点 在边 上， ，若 ，则 长为 ．【答案】
【分析】将 绕点B逆时针旋转 到 ，连接 ， 、 ，过点F作 于点G，证明
，得出 ， ，根据直角三角形性质求出 ，
根据勾股定理求出 ， ，证明 ，得出
．
【详解】解：将 绕点B逆时针旋转 到 ，连接 ， 、 ，过点F作 于点G，如
图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，
旋转的性质，解题的关键是作出发现，构造全等三角形，证明 ， ．
10．（2024上·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期末）如图，在 中， ，
，P是 边上的动点，过点P画直线截 ，使截得的一个三角形是等腰三角形，且A，P
是其顶点．若过点P可画出满足条件的直线恰有3条，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查等腰直角三角形，等腰三角形的判定，解答的关键是根据条件分三种情况进行讨论，
得出相应的 的范围．由题意得所截得的等腰三角形的第三个顶点必在 上，先找到临界点 中点，
，再分当 、 、 时，三种情况讨论即可求解．
【详解】解：由题意得：所截得的等腰三角形的第三个顶点必在 上，令这个点为M，∵ ， ，
∴ ，
当点 在 中点时， ，如图，
存在 的等腰直角三角形， 的等腰直角三角形，以 为顶角的等腰 ，即
过点P可画出满足条件的直线恰有3条，符合题意；
当 时，如图，
存在 的等腰直角三角形，以 为顶角的等腰 ，即过点P可画出满足条件的直线恰有
2条，不符合题意；
当 时，如图，
存在 的等腰直角三角形， 的等腰直角三角形，以 为顶角的等腰 ，
即过点P可画出满足条件的直线有3条，符合题意；
当 时，如图，存在 的等腰直角三角形，以 为顶角的等腰 ，即过点P可画出满足条件的直线恰
有2条，不符合题意；
当 时，如图，
只存在 的等腰直角三角形，即过点P可画出满足条件的直线只有1条，不符合题意；
∴ 的取值范围是： ．
故答案为： ．
11．（2024上·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，点 在线段 上， ， ， ，
平分 ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2) 的面积是60
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是找出 需要的条件，其中用到的数学思想是数形结合的思想．
（1）根据 ，可以得到 ，然后根据 即可证明结论成立；
（2）根据（1）中的结果和等腰三角形的性质，可以得到 的长，由 平分 ，推导出
，在 中，求得 ，再根据三角形的面积计算公式即可计算出 的面积．
【详解】（1）证明： ，
，
在 和 中，
，
；
（2）解：由（1）知 ，
，
又 平分 ，
， ，
，
，
在 中，
，
，
即 的面积是60．
12．（2023上·福建泉州·八年级统考期末）已知 ，且 ，把 和 拼
成如图所示的形状，使点B，C，D在同一条直线上，若 ， ．
(1)求 的长；
(2)将 沿 折叠，点B落在点F处，延长 与 相交于点G，求 的长．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理：
（1）由全等三角形的性质得到 ， ，则由勾股定理得到 ，再证明
，则由勾股定理可得 ；
（2）由对折性质可知 ， ， ，
设 ，由勾股定理可得 ，则 ，解得 ，则 的长为
．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ．
在 中，由勾股定理得 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理 ，
∴ ；
（2）解：由对折性质可知 ， ， ，
设 ，
在 和 中，由勾股定理得： ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，∴ 的长为 ．
13．（2024上·山西长治·八年级统考期末）如图，在 中， ， ， .
(1)请用无刻度直尺和圆规作 的垂直平分线，分别交 ， 于点D，E，连接 .（保留作图痕迹，
不写作法）
(2)在（1）的条件下，求 的长.
【答案】(1)图形见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了作图—基本作图，勾股定理，一元二次方程，解题的关键是熟练掌握勾股定理和线段
中垂线性质；
（1）根据线段垂直平分线的做法解答即可；
（2）由勾股定理求出 ，根据垂直平分线的性质可得 ，则设 ， ，再由
勾股定理可得方程 ，即可解答．
【详解】（1）解：如图， 即为所求.
（2）在 中， ， ， ，
，
垂直平分 ， ，
设 ，则 ，在 中， ，
，
解得 ，
.
14．（2024上·山西长治·八年级统考期末）综合与实践
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，
也有业余数学爱好者．
(1)我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为
“赵爽弦图”．在 中， ，若 ， ， ，请你利用这个图形说明
．
(2)业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和 按如图
2所示的方式放置， ， ， ， ，连接 ， ，用
a，b，c分别表示出梯形 ，四边形 ， 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，从
而证明勾股定理．请你补充该证明过程．
【答案】(1)说明见解析；
(2)补充证明见解析．
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，全等三角形的性质，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角
三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式；
（2）先证明 ，然后分别表示出出梯形 ，四边形 ， 的面积，再根据四边形
的面积-四边形 的面积 的面积即可求解．【详解】（1）∵大正方形面积为 ，直角三角形面积为 ，小正方形面积为 ，
∴ ，
即 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵直角梯形 的面积 ，
四边形 的面积 ，
的面积 ，
∵四边形 的面积－四边形 的面积 的面积
∴ ，
化简得： ．
15．（2024上·江苏南京·八年级统考期末）在 中， ，且 ．
(1)当 是锐角三角形时，小明猜想： ．以下是他的证明过程：
小明的证明过程
如图①，过点 作 ，垂足为 ．设 ．
∵在 中， ，
在 中， ① ，
∴ ① ．
化简得， ．
② ．其中，①是______；②是______．
(2)如图②，当 是钝角三角形时，猜想 与 之间的关系并证明．
【答案】(1) ，
(2) ；证明见详解
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）在 中根据勾股定理即可表示出 ，从而得出 ，然后进行判断即可；
（2）过点 作 的延长线，垂足为 ，设 ，在 和 中分别根据勾股定理表
示出 ，然后仿照（1）中的方法判断即可．
【详解】（1）解：如图①，过点 作 ，垂足为 ，设 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
化简得， ，
， ，
，
，．
其中，①是 ；②是 ；
故答案为： ， ；
（2） ；
证明：如图，
过点 作 的延长线，垂足为 ，设 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
化简得， ，
， ，
，
，
．
