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专题 04 菱形的性质与判定（六大题型）
【题型1利用菱形的性质求角度】
【题型2利用菱形的性质求线段长】
【题型3利用菱形的性质求面积】
【题型4利用萎形的性质证明】
【题型5添一个条件使四边形是菱形】
【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】
【题型1利用菱形的性质求角度】
1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，点E在对
角线BD上，且BE=BA，那么∠AEB的度数是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，等边对等角，先根据菱形的性质得到
1
∠ABD= ∠ABC=40°，再根据等边对等角和三角形内角和定理得出答案．
2
【详解】解：解：∵四边形ABCD是菱形，点E在对角线BD上，∠ABC=80°，
1
∴∠ABD= ∠ABC=40°，
2
∵BE=BA，
1
∴∠AEB=∠EAB= (180°−40°)=70°，
2故选：C．
2．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、
CD、AC于点M、N和O．且AM=CN，连接BO．若∠OBC=60°，则∠DAC为（
）
A．65° B．30° C．25° D．20°
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，先由
菱形性质得出AB∥CD，BC∥AD，BA=BC．结合AM=CN，证明
△OAM≌△OCN(ASA)，则OA=OC，因为∠OBC=60°，所以运用三角形内角和性
质来计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，BC∥AD，BA=BC．
∴∠OMA=∠ONC，∠OAM=∠OCN，∠DAC=∠OCB．
∵AM=CN，
∴△OAM≌△OCN(ASA)．
∴OA=OC．
∴BO⊥AC．
∴∠BOC=90°．
∵∠OBC=60°，
∴∠OCB=180°−∠BOC−∠OBC=30°．
∴∠DAC=∠OCB=30°．
故选：B．
3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，用七根长度相同的小木棒摆成一个菱形
ABCD和一个等边三角形DEF，点E、F分别在AB、BC上，则∠A的度数为（ ）A．105° B．100° C．95° D．80°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，菱形的性质，等边三角形的性质，根据菱形，
等边三角形的性质可得∠A=∠C=∠AED=∠CFD，∠ABC=∠ADC，设
∠A=x，分别根据平角和三角形内角和定理表示出∠ADC=420°−4x，
∠B=2x−60°，由此列式即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，AD=CD，
∵△≝¿是等边三角形，
∴∠≝=∠DFE=∠EDF=60°，
∵用七根长度相同的小木棒摆成一个菱形ABCD和一个等边三角形DEF，
∴DA=DE=DC=DF，
∴∠A=∠DEA=∠C=∠DFC，
在△ADE，△CDF中，
{
∠A=∠C
)
∠AED=∠CFD ，
AD=CD
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴∠ADE=∠CDF，AE=CF，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE，
设∠A=x，则∠A=∠AED=∠C=∠CFD=x，
∴∠ADE=∠CDF=180°−2x，
∴∠ADC=2∠ADE+∠≝=2(180°−2x)+60=420°−4x，
∵∠AED+∠≝+∠BEF=180°，∠CFD+∠DFE+∠BFE=180°，且
∠BEF=∠BFE，
∴∠BEF=180°−∠AED−∠≝=180°−x−60=120°−x，
∴∠B=180°−2∠BEF=180°−2(120°−x)=2x−60°，
∴420°−4x=2x−60°，解得，x=80°，
∴∠A=80°，
故选：D ．
4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB,CD上，
且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=25°，则∠OBC的度数为
（ ）
A．25° B．55° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明
三角形全等，是解题的关键．根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得
△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD,AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO,∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
{∠MAO=∠NCO
)
∵ AM=CN ，
∠AMO=∠CNO
∴△AMO≌△CNO(ASA)，
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=25°，
∴∠BCA=∠DAC=25°，
∴∠OBC=90°−25°=65°．
故选：C．
5．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）．
当∠BCD=52°时，则∠BAC的度数为（ ）
A．26° B．27° C．28° D．29°
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴∠BCD=∠BAD=52°，AC平分∠BAD，
1 1
∴∠BAC= ∠BAD= ×52°=26°，
2 2
故选：A ．
6．（2024·广东·二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，四边形BCEF为菱形，BF与
CD交于点G，∠A=60°，∠BEC=22°，则∠BGC=（ ）
A．76° B．82° C．86° D．104°
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形和菱形的性质，三角形的内角和定理，掌握菱形的对角线
平分一组对角是解题的关键．
【详解】解：∵四边形BCEF为菱形，
∴∠FBC=∠FEC=2∠BEC=2×22°=44°，
又∵ABCD为平行四边形，
∴∠BCD=∠A=60°，
∴∠BGC=180°−∠BCD−∠FBC=180°−60°−44°=76°，
故选A．
7．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，过点A作AH⊥BC分别交BD，BC于点E，H，F为ED的中点，∠BAF=120°，则∠C的度数为 ．
【答案】140°/140度
【分析】本题考查菱形的性质及三角形内角和的应用，根据菱形的性质得出
AD∥BC，∠ABD=∠CBD，进而可判定∠DAH=90°，利用直角三角形斜边上
的中线性质和等边对等角可得出∠FAD=∠ADB=x，利用平行线的性质可得出
2x+120°+x=180°，即可求解.
的内角和解答即可．
【详解】解：设∠CBD=x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD=x，
∴∠ADB=∠CBD=x，
∵AH⊥BC，AD∥BC，
∴∠DAH=∠AHB=90°，
∵F为ED的中点．
∴AF=FD，
∴∠FAD=∠ADB=x，
∵∠BAF=120°，
∴∠BAD=120°+x，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，即2x+120°+x=180°，
解得：x=20°，
∴∠BAD=120°+x=140°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠C=∠BAD=140°．
故答案为：140°．
8．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在菱形ABCD中，以点B为圆心，一定长为半径画
1
弧分别交BC，BD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画
2弧，两弧交于点P，连接BP并延长交CD于点Q．若∠C=40°，则∠DQB=
°．
【答案】75
【分析】本题考查菱形的性质，作角平分线，由作图步骤可得BP平分∠DBC，由菱
形的性质求出∠DBC的度数，最后根据三角形的外角求∠DQB即可．
【详解】∵菱形ABCD，
1
∴∠C+∠ABC=180°，∠DBC= ∠ABC，
2
∵∠C=40°，
∴∠ABC=140°，
1
∴∠DBC= ∠ABC=70°，
2
由作图步骤可得BP平分∠DBC，
1
∴∠QBC= ∠DBC=35°，
2
∴∠DQB=∠QBC+∠C=35°+40°=75°，
故答案为：75．
9．（2024·浙江·模拟预测）如图，点E为菱形ABCD中AB边上一点，连结DE，DE=DA，
将菱形沿DE折叠，点A的对应点F恰好落在BC边上，则∠A的度数为 ．
【答案】72°/72度
【分析】由将菱形ABCD沿DE折叠，点A的对应点F，DE=DA，得DA=DE=DF，
得∠A=∠DEA=∠≝=∠DFE=x，由DC=DA=DF，得∠DFC=∠C=∠A=x，
得∠BEF=∠BFE=180°−2x，∠B=180−∠A=180°−x，得180−2x+180−2x+180−x=180，即可得∠A=x=72°．本题主要考查了图形的
折叠，菱形的性质，解题关键是正确应用折叠的性质．
【详解】解：∵将菱形ABCD沿DE折叠，点A的对应点F，DE=DA，
∴DA=DE=DF，
∴∠A=∠DEA=∠≝=∠DFE=x，
∵DC=DA=DF，
∴∠DFC=∠C=∠A=x，
∴∠BEF=∠BFE=180°−2x，∠B=180−∠A=180°−x，
∴180−2x+180−2x+180−x=180，
∴∠A=x=72°．
故答案为：72°．
【题型2利用菱形的性质求线段长】
10．（2025·陕西西安·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM，若MN=3，S =24，
菱形ABCD
则OM的长为( )
A．3 B．3.5 C．2 D．2.5
【答案】D
【分析】根据中位线定理可得AC，由菱形的面积可得BD，进而可求出AD，再根据直
角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可求出OM的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO
∵点M，N分别是边AD，CD的中点，MN=3
∴AC=2MN=6
1
∵S = ×AC×BD=24
菱形ABCD 2∴BD=8
1 1
∴AO= AC=3,DO= BD=4
2 2
∴AD=❑√AO2+DO2=5
1 5
OM = AD= =2.5
2 2
故选：D
【点睛】本题综合考查了菱形的性质、中位线定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜
边的一半、勾股定理等．熟记相关结论是解题关键．
11．（2025·广东广州·一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E为边BC
的中点，连接OE．若AC=3,BD=4，则OE的长为（ ）
5 5 3
A．2 B． C． D．
2 4 2
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质
和三角形的中位线性质是解答的关键．先根据菱形性质得到AC⊥BD，
1 1 3 5
OB=OD= BD=2，OC=OA= AC= ，再利用勾股定理求得CD= ，然后根据
2 2 2 2
三角形的中位线定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=3,BD=4，
1 1 3
∴AC⊥BD，OB=OD= BD=2，OC=OA= AC= ，
2 2 2
在Rt△OCD中，CD=❑√OC2+OD2=❑
√ (3) 2
+22=
5
，
2 2
∵点E为边BC的中点，OB=OD，
∴OE是△BCD的中位线，1 5
∴OE= CD= ，
2 4
故选：C．
12．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点
5
O,E是CD边上一点，且∠OEC=2∠ODC．若OE= ，则菱形ABCD的周长为
2
（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【分析】本题考查菱形的性质，等角的余角相等，等角对等边；先根据菱形的性质得到
∠COD=90°，然后得到∠ODC=∠DOE，∠OCD=∠EOC，即可得到
ED=EC=EO，然后求出CD长即可解题．
【详解】解：∵ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，
又∵∠OEC=2∠ODC=∠ODC+∠DOE，
∴∠ODC=∠DOE，
∴ED=EO，
又∵∠ODC+∠OCD=∠DOE+∠EOC=90∘，
∴∠OCD=∠EOC，
∴EC=EO，
即CD=2EO=5，
∴菱形ABCD的周长为4×5=20，
故选：C．
13．（2025·广西·模拟预测）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BAD=60°，AD=2，则OH= ．【答案】1
【分析】由菱形的性质得AD=AB，OD=OB，由∠BAD=60°，可得△BAD是等边
1
三角形，再由AD=2，得到OD=OB= BD=1，最后由直角三角形斜边上的中线等
2
于斜边的一半求出OH的长．本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，直
角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，OD=OB，
∵∠BAD=60°，
∴△BAD是等边三角形，
∵AD=2，
1 1
∴OD=OB= BD= AD=1，
2 2
∵DH⊥AB，
1
∴OH= BD=1．
2
故答案为：1．
14．（2025·上海·模拟预测）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作
DH⊥AB于点H，连接OH，OH=4，若菱形ABCD的面积为32❑√3，则AC的长为
．
【答案】8❑√3
【分析】由菱形的性质得OA=OC， OB=OD，AC⊥BD，再求出BD=8，然后由菱形面积求出AC=8❑√3，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握
菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC， OB=OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴BD=2OH，
∵OH=4，
∴BD=8，
1 1
∵菱形ABCD的面积= AC⋅BD= ×AC×8=32❑√3，
2 2
∴AC=8❑√3，
故答案为：8❑√3．
【题型3利用菱形的性质求面积】
15．（22-23九年级下·山东淄博·期中）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的
中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠≝=∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）
A．16 B．20 C．12❑√7 D．6❑√7
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都
相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形面积，连
接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD∥BC，
CB=CD=AD=4,AC⊥AB,BO=OD,OC=AO，再利用∠≝=∠DFE得到
DF=DE=2，证明∠BCF=∠BFC得BF=BC=4，则BD=6，所以OB=OD=3，
接着利用勾股定理计算出OC，从而得到AC=2❑√7，然后根据菱形的面积公式计算它
的面积．【详解】解：连接AC交BD于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，CB=CD=AD=4,AC⊥AB,BO=OD,OC=AO，
∵E为AD边的中点，
∴DE=2，
∵∠≝=∠DFE，
∴DF=DE=2，
∵DE∥BC，
∴∠≝=∠BCF，
∵∠DFE=∠BFC，
∴∠BCF=∠BFC，
∴BF=BC=4，
∴BD=BF+DF=4+2=6，
∴OB=OD=3，
在Rt△BOC中，OC=❑√42−32=❑√7，
∴AC=2OC=2❑√7，
1 1
∴菱形ABCD的面积= AC⋅BD= ×2❑√7×6=6❑√7．
2 2
故选：D．
16．（23-24八年级下·广东江门·期中）菱形两条对角线长分别为6cm,7cm，则菱形的面积
是 cm2．
【答案】21
【分析】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．已知对角线的长
度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
1
【详解】解：由题意得，菱形的面积是
×6×7=21cm2
，
2故答案为：21．
17．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB=2，E，F分别
是AB，BC的中点，将△CDF沿着DF折叠得到△DFC'，若C′恰好落在EF上，则
菱形ABCD的面积为 ．
3❑√7 3
【答案】 / ❑√7
2 2
【分析】先连接AC，BD交于点O，延长FE交DA的延长线于H，后证明
❑√7
AH=BF=1，HF=DH=3，再利用勾股定理求出OB= ，继而得到BD=❑√7，继
2
而求出菱形面积．
【详解】解：如图，连接AC，BD交于点O，延长FE交DA的延长线于H，
∵ ABCD
四边形 是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=2，
∴∠ADF=∠DFC，
∵∠DFC=∠DFE，
∴∠HDF=∠HFD，
∴HD=HF，
∵∠H=∠EFB，AE=EB，∠AEH=∠BEF，
△EAH≌ △EBF(AAS)，
∴AH=BF=CF=1，HE=EF，
∴HF=HD=3，
3
∴EF= ，
2
∵BE=EA，BF=FC，∴AC=2EF=3，
3
∴OA=OC= ，
2
√ 3 2 ❑√7
∴OB=❑√AB2−OA2=❑22−( ) = ，
2 2
∴BD=❑√7，
1 1 3❑√7
∴S = ⋅BD⋅AC= ×3×❑√7= ，
菱形ABCD 2 2 2
3❑√7
故答案为： .
2
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），三角形中位线定理，等腰三角形的判定和
性质，菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决
问题．
18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，直线EF经过菱形ABCD的对角线的交点，
若AE=3cm，四边形AEFB的面积为12cm2，则CF= cm，菱形ABCD的面积
为 cm2．
【答案】 3 24
【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意，连接AC，
BD，可证△AOE≌△COF(ASA)，△AOB≌△COD(ASA)，△BOF≌△DOE(ASA)，
由此即可求解．
【详解】解：如图，连接AC，BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
{∠EAO=∠FCO
)
OA=OC ，
∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴CF=AE=3cm，
同理：△AOB≌△COD(ASA)，△BOF≌△DOE(ASA)，
∴S =S =12cm2 ，
四边形EDCF 四边形AEFB
∴S =2×12=24(cm2)，
菱形ABCD
故答案为：3，24．
【题型4利用萎形的性质证明】
19．（2025·福建泉州·模拟预测）小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分
会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题
的关键．
由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相
等，由此即可得出答案．
【详解】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其
各边的长均相等，
∴得到的平面图形一定是菱形，
故选：C．
20．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，
点P从点D出发沿DA向终点A运动；点Q从点B出发沿BC向终点C运动．P，Q两
点同时出发，它们的速度都是2cm/s．连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为ts．
(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
【答案】(1)t=3
9
(2)t=
4
【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定，菱形
的判定，勾股定理和动点问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=CQ，列方程求得运动的时间t．
【详解】（1）解∶∵P，Q两点同时出发，它们的速度都是2cm/s，
∴PD=BQ=2t，
∴AP=CQ=12−2t，
∵四边形ABQP是矩形
∴AP=BQ，即12−2t=2t，
解得t=3；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵四边形AQCP是菱形，
∴AQ=CQ，
在Rt△ABQ中，AQ2=AB2+BQ2，
即AQ2=62+(2t) 2 ，
∴62+(2t) 2=(12−2t) 2．
9
解得t= ．
4
21．（23-24八年级下·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分
线交AD于点D，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：EB=BC．
(2)试判断四边形AEBD的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形AEBD是菱形，见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质、菱形的判定
等知识，理解并掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC,AD=BC，进而可得
∠DAF=∠EBF，再结合垂直平分线的性质证明AF=FB,∠AFD=∠BFE，可证
明△ADF≌△BEF(ASA)，结合全等三角形的性质即可获得答案；
（2）首先证明四边形AEBD是平行四边形，再结合“邻边相等的平行四边形是菱
形”，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC，
∴∠DAF=∠EBF，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AF=FB,∠AFD=∠BFE，
∴△ADF≌△BEF(ASA)，
∴AD=BE，
∴EB=BC；
（2）四边形AEBD是菱形；理由如下：
∵AD∥BC,AD=EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形．
22．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，E，F是对角
线BD上的点，且BE=DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形．【答案】见解析
【分析】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌
握菱形的判定与性质是解题的关键．
连接AC，交BD于点O，证明平行四边形ABCD是菱形，得
AC⊥BD,AO=CO,BO=DO，再证明EO=FO，则四边形AECF是平行四边形，
然后由菱形的判定即可得出结论．
【详解】证明：如图，设AC交BD于点O，
∵AB=AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO，
∵BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF，
即EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形AFCE是菱形．
23．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的
中点，连接DE、BF、BD．(1)求证：△ADE≌△CBF．
(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形DEBF为菱形．证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，结合中
点证明AE=CF，从而可得结论；
（2）先证明四边形DEBF为平行四边形，再证明DE=BE，从而可得结论．
【详解】（1）证明：在▱ABCD中，
AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AE=CF，
∴△ADE≌△CBF；
（2）解：四边形DEBF为菱形．理由如下：
在▱ABCD中，
AB∥CD，AB=CD，
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∵AD⊥BD，E为AB的中点，
∴DE=BE，
∴四边形DEBF为菱形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，直角三角形斜
边上的中线的性质，菱形的判定，熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键．
【题型5添一个条件使四边形是菱形】
24．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在▱ABCD中，添加下列条件仍不
能判定▱ABCD是菱形的是（）A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠DAC=∠BAC
【答案】C
【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．根据菱形的判定定
理，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴添加AC⊥BD，能判定▱ABCD是菱形，故A不符合题意；
添加AB=BC，能判定▱ABCD是菱形；故B不符合题意；
添加AC=BD，则▱ABCD是矩形，不能判定▱ABCD是菱形；选项C符合题意；
添加∠DAC=∠BAC，能判定▱ABCD是菱形；选项D不符合题意．
故选：C．
25．（24-25九年级上·广东佛山·期末）在▱ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，添
加下列其中一个条件就能使▱ABCD成为矩形，那么添加的条件是（ ）
A．AC=BD B．AC⊥BD C．AB=BC D．AC平分∠BAD
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判断，根据矩形和菱形的判定定理逐项判断
即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：A、由AC=BD能判定▱ABCD是矩形，该选项符合题意；
B、由AC⊥BD能判定▱ABCD是菱形，该选项不合题意；
C、由AB=BC能判定▱ABCD是菱形，该选项不合题意；
D、由AC平分∠BAD能判定▱ABCD是菱形，该选项不合题意；
故选：A．
26．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，顺次连结四边形ABCD各边中点得到四边形
EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是（ ）A．AB∥CD B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD
【答案】D
【分析】本题主要考查了菱形的判定，先说明四边形EFGH为平行四边形，再结合四
个答案依次判断即可.
【详解】连结AC、BD，如图所示，
∵E、F、C、H分别为四边形ABCD各边中点，
1 1
∴EF∥AC,EF= AC,HG∥AC,HG= AC，
2 2
∴EF∥HG,EF=HG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
当AB∥DC或AB=DC时，
只能判断四边形EFGH为平行四边形，故A、B选项错误；
当AC⊥BD时，能判断四边形EFGH为矩形，故C选项错误；
当AC=BD时，能判断四边形EFGH为菱形，故D选项正确．
故选：D.
【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】
27．（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线BD的
垂直平分线分别交BD、AD、BC于点O、E、F，
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若∠AEB=62°，求∠BDF的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)∠BDF=31°．【分析】（1）先证△DOE≌△BOF(ASA),得EO=FO,再证四边形BEDF是平行四
边形，然后由EF⊥BD,即可得出结论；
1
（2）由菱形的性质得BE∥DF, ∠BDF= ∠EDF,则∠EDF=∠AEB=62°,即可
2
求解．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明△DOE≌△BOF是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,
∴∠ODE=∠OBF,
∵EF垂直平分BD，
∴BO=DO,
在△DOE和△BOF中，
{∠ODE=∠OBF
)
OD=OB ,
∠DOE=∠BOF
∴△DOE≌△BOF(ASA),
∴EO=FO,
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD,
∴平行四边形BEDF是菱形；
（2）解：由（1）可知， 四边形BEDF是菱形，
1
∴BE∥DF,∠BDF= ∠EDF,
2
∴∠EDF=∠AEB=62°
1
∴∠BDF= ∠EDF=31°
2
28．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，
连接OP．(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AC=12，BD=16，求OP的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得∠BAC=∠BCA，进而
利用等角对等边得到AB=BC，然后根据菱形的判定定理可得结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求得CD=10，AC⊥BD，再证明四边形OCPD
是矩形，利用矩形的对角线相等得到OP=CD=10．
【详解】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC=∠BCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
1 1
∴OC= AC=6，OD= BD=8，AC⊥BD，
2 2
∴CD=❑√OD2+OC2=❑√82+62=10．
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形．
∴四边形OCPD是矩形，∴OP=CD=10．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、
等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握菱形和矩形的判定
与性质是解答的关键．
29．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相
交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于
点P，连接OP．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AC=12，BD=16，求OP的长．
【答案】(1)见详解
(2)10
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠DAC=∠ACB，根据角平分线的性质得
到∠DAC=∠BAC，推出AB=BC，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形；
（2）根据已知条件且结合勾股定理得到CD=10，根据菱形的判定和性质定理即可得
到结论．
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，
熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵AC 平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC
∴AB=BC
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，
1 1
∴AC⊥BD，OD= BD=8，OC= AC=6，
2 2∴CD=❑√OD2+OC2=10，
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形OCPD是矩形，
∴OP=CD=10．
30．（24-25九年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的
垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G，连接DE,DG．
(1)求证：四边形BGDE是菱形：
(2)若∠EDG=30°，∠C=45°，ED=6，求△DGC的面积．
【答案】(1)详见解析
9+9❑√3
(2)
2
【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证
∠EDB=∠DBG=∠ABD=∠GDB，可得BE∥DG,DE∥GB，由菱形的判定可
证结论；
（2）过点D作DH⊥BC，由菱形的性质可得DE=DG=6，DG∥EB，由直角三角
形的性质可得CH=DH=3，HG=❑√3DH=3❑√3，即可求CG=CH+HG的长，再
根据三角形面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）证明：在△ABC中，BD平分∠ABC，BD的垂直平分线分别交
AB,BD,BC于点E,F,G，
∴∠ABD=∠DBG，DG=BG，DE=EB，
∴∠DBG=∠GDB，∠ABD=∠EDB，
∴∠EDB=∠DBG=∠ABD=∠GDB，
∴BE∥DG,DE∥GB，
∴四边形BGDE是平行四边形，
又∵DE=EB，∴四边形BGDE是菱形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥BC，
∵四边形BGDE是菱形，
∴∠ABC=∠EDG=30°，DE=DG=6,DG∥EB，
∴∠ABC=∠DGC=30°，
又∵DH⊥BC，
1
∴DH= DG=3,HG=❑√3DH=3❑√3，
2
∵∠C=45°,DH⊥BC，
∴∠C=∠CDH=45°，
∴CH=DH=3，
∴CG=CH+HG=3+3❑√3，
1 1 9+9❑√3
∴S = CG·DH= ×(3+3❑√3)×3= ．
△DCG 2 2 2
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定，
菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关
键．
31．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在▱ABCD中，线段AC的垂直平分线交
AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
(1)证明：四边形AECF是菱形；
(2)在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B=30°，AE=3，求四边形AECF的面积．
【答案】(1)见解析
9❑√3
(2)
2【分析】（1）证明△AOF≌△COE(ASA)，得出AF=CE，由EF⊥AC，得出四边
形AECF是菱形；
（2）由菱形的性质得出CE=AE=3，OA=OC，OB=OD，证明EF∥AB，由平
行线的性质得出∠OEC=∠B=30°，由直角三角形的性质和菱形的面积公式进行计
算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF=∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA=OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，
{∠OAF=∠OCE
)
OA=OC ，
∠AOF=∠COE
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE=AE=3，OA=OC，OE=OF，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC=∠B=30°，
1 3
∴OC= CE= ，
2 2
3❑√3
∴OE=❑√CE2−OC2=
，
2
∴AC=2OC=3，EF=2OE=3❑√3，
1 1 9❑√3
∴四边形AECF的面积= AC×EF= ×3×3❑√3= ．
2 2 2
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性
质、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
32．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
点E是AC上一点，连接BE，DE．且BE=DE．
(1)求证：EO⊥BD；
(2)若AB=10cm，∠BAC=60°，求▱ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)50❑√3cm2
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、含30°角的直角三角形
的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OB=OD，结合BE=DE，即可证明；
（2）由（1）得AC⊥BD，推出四边形ABCD是菱形，∠AOB=90°，得到
∠ABO=30°，求出AC、BD，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB=OD，
又∵ EB=ED，
∴ EO⊥BD．（三线合一）
（2）解：由（1）得AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，∠BAC=60°，
∴ ∠ABO=30°，
∵ AB=10cm，
∴ AO=5cm， BO=5❑√3cm，
∴ BD=2BO=10❑√3cm，AC=2AO=10cm，
1
∴ S = AC×BD=50❑√3cm2 ．
▱ABCD 2
33．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在矩形ABCD中，点E是DC的中点，延长1
DC至点G，使得CG= CD，连接AE，AE的延长线与BC的延长线交于点F，连接
2
BG，FG．
(1)求证：四边形BEFG是菱形；
(2)若EB平分∠AEG，AB=4，求菱形BEFG的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)8❑√3
【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD=BC，∠ADE=90°，由两直线平
行内错角相等可得∠FCE=∠ADE=90°，利用线段中点的有关计算及已知条件
1
CG= CD可得EC=CG，由对顶角相等可得∠AED=∠FEC，利用ASA可证得
2
△ADE≌△FCE，于是可得CF=AD=BC，进而可证得四边形BEFG是平行四边形，
由于BF⊥EG，于是结论得证；
（2）由EB平分∠AEG可得∠AEB=∠GEB，由矩形的性质可得AB∥CD，
CD=AB=4，BC=AD，∠ADE=90°，由两直线平行内错角相等可得
∠ABE=∠GEB，进而可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边可得AE=AB=4，利
1
用线段中点的有关计算及已知条件CG= CD可得EC=CG=2，于是可得
2
EG=2EC=4，利用勾股定理可得AD=❑√AE2−DE2=2❑√3，进而可得
BC=AD=2❑√3，由（1）可得CF=BC，于是可得BF=2BC=4❑√3，利用菱形的性
EG⋅BF
质可得S = ，据此即可得出答案．
菱形BEFG 2
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADE=90°，∴∠FCE=∠ADE=90°，
1
∵点E是DC的中点，CG= CD，
2
1
∴DE=EC= CD=CG，
2
又∵∠AED=∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴CF=AD=BC，
∴四边形BEFG是平行四边形，
又∵BF⊥EG，
∴四边形BEFG是菱形；
（2）解：∵EB平分∠AEG，
∴∠AEB=∠GEB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，CD=AB=4，BC=AD，∠ADE=90°，
∴∠ABE=∠GEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4，
1
∵点E是DC的中点，CG= CD，
2
1
∴DE=EC= CD=CG=2，
2
∴EG=EC+CG=2EC=4，
∴AD=❑√AE2−DE2=❑√42−22=2❑√3，
∴BC=AD=2❑√3，
由（1）可得：CF=BC，
∴BF=BC+CF=2BC=4❑√3，
EG⋅BF 4×4❑√3
∴菱形BEFG的面积= = =8❑√3．
2 2
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，两直线平行内错角相等，线段中点的有关计算，
对顶角相等，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，等
角对等边，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
34．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在矩形ABCO中，延长AO到D，使
DO=AO，延长CO到E，使EO=CO，连接AE、ED、DC、AC．
(1)求证：四边形AEDC是菱形；
(2)若CD=2❑√3，∠CDE=120°，求菱形AEDC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6❑√3
【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形AEDC是平
行四边形，根据矩形的四个角都是直角得到∠AOC=90°，即AD⊥EC，根据对角
线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的邻角互补，对角线平分对角可得∠DCO=30°，根据直角三角形中
1
30°角所对的边是斜边的一半得出OD= CD=❑√3，根据勾股定理求出OC=3，根据
2
菱形的对角线互相平分求出AD=2OD=2❑√3，EC=2OC=6，根据菱形面积等于对
角线积的一半即可求解．
【详解】（1）证明：∵DO=AO，EO=CO，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∵四边形ABCO是矩形，
∴∠AOC=90°，即AD⊥EC，
∴平行四边形AEDC是菱形．
（2）解：∵四边形AEDC是菱形，∠CDE=120°，
∴∠DCA=180°−∠CDE=60°，
1
∴∠DCO= ∠DCA=30°，
2
∵∠COD=90°，CD=2❑√3，
1
∴OD= CD=❑√3，
2∴OC=❑√CD2−OD2=❑√(2❑√3) 2 −(❑√3) 2=3，
∴AD=2OD=2❑√3，EC=2OC=6，
1 1
∴菱形AEDC的面积为 AD⋅EC= ×2❑√3×6=6❑√3．
2 2
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质，直角三角
形的性质，勾股定理等．掌握相关知识是解题的关键．
35．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边
上的点，且AE=CF．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AC⊥EF时，AE=10，AC=16，求四边形AECF的面积．
【答案】(1)见解析．
(2)96．
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、勾
股定理；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得∠B=∠D=90°，AB=CD；再根据题中给出的AE=CF由
HL证明Rt△ABE和Rt△CDF 全等即可；
（2）由（1）中全等三角形的性质得到BE=DF，得出CE=AF，再由CE∥AF 证
得四边形AECF是平行四边形，再根据 AC⊥EF证得四边形 AECF是菱形，然后
根据勾股定理求出EF的长，利用菱形的面积等于对角线乘积的一半解题即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，AB=CD，
又∵AE=CF，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
{AE=CF)
，
AB=CD
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．
（2）∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，
∵BC＝AD，
∴CE＝AF，
又∵CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
设AC与EF交于点O，
∵AE=10，AC=16，
1 1
∴AO= AC= ×16=8，
2 2
∴OE=❑√AE2−OA2=❑√102−82=6，
∴EF＝2OE=12，
1 1
∴S = AC×EF= ×16×12=96．
菱形AECF 2 2
36．（23-24八年级下·广东湛江·期末）如图，在矩形ABCD中，O为BD的中点，过点O
作EF⊥BD分别交BC，AD于点E，F．
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若FD=5,FO=3，求四边形BEDF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】本题考查了菱形的判定定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
（1）先证四边形BEDF为平行四边形，然后根据平行四边形对角线垂直证得菱形；
（2）利用勾股定理求出OD=4，根据菱形的性质，求出EF=2OF=6，
BD=2OD=8，根据菱形的面积公式求解．
【详解】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵O为BD的中点，
∴BO=DO，
∵∠BOE=∠DOF，
∴△OBE≌△ODF(ASA)，
∴BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
（2）解：∵四边形BEDF是菱形，FD=5,FO=3，∠DOF=90°，
∴ OD=❑√FD2−FO2=4，
∴ EF=2OF=6，BD=2OD=8，
1 1
∴四边形BEDF的面积为： EF⋅BD= ×8×6=24．
2 2
37．（2024·广西南宁·一模）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，
BF=CE．(1)求证：△ABC≌△≝¿；
(2)若AF=FD=❑√13，FC=4，求四边形ACDF的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)12．
【分析】（1）由SAS可证△ABC≌△DBF；
（2）先证明四边形ACDF是菱形，可得AO=DO，AD⊥CF，CO=FO=2，由菱
形的面积公式可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是
解题的关键．
【详解】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠E，
又∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，
在△ABC和△≝¿中，
{
AB=DE
)
∠B=∠E ，
BC=EF
∴△ABC≌△DBF(SAS)；
（2）解：连接AD交FC于点O，
∵△ABC≌△≝¿，
∴AC=DF，∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF，∴四边形ACDF是平行四边形，
又AF=FD
∴四边形ACDF是菱形，
1
∴AD⊥CF，OF=OC= FC=2，
2
在Rt△AFO中，
∴AO=❑√AF2−OF2=❑√(❑√13) 2 −22=3，
∴AD=2AO=6，
1 1
∴S = FC⋅AD= ×6×4=12．
四边形ACDF 2 2
38．（2024·四川广元·二模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边中点，过D
点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF=ED，连接AE、AF、
BF．
(1)求证：四边形AEBF是菱形；
(2)若AC=4，BF=5，连接CD，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)CD=2❑√5
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、直角
三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关
键．
（1）先证四边形AEBF是平行四边形，再由EF⊥AB，得出四边形AEBF是菱形．
（2）由菱形的性质得AE=BF=BE=5，再由勾股定理求出CE=3，推出BC=8，进
而由勾股定理求出AB=4❑√5，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DF=ED，
∴四边形AEBF是平行四边形，∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形．
（2）由（1）得：四边形AEBF是菱形，
∴AE=BF=BE=5，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
CE=❑√AE2−AC2=❑√52−42=3，
∴BC=CE+BE=3+5=8，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AB=❑√AC2+BC2=❑√42+82=4❑√5，
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
1 1
∴CD= AB= ×4❑√5=2❑√5．
2 2
