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专题 04 角平分线模型的三种考法
类型一、角平分线上的点向两边作垂线
例1．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝
3，则AD的长是 ．
【变式训练1】如图， 、 是四边形 的对角线， 平分 ，
，已知 ，则 ．
【变式训练2】已知： 是 的角平分线，且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2， ，点E在 上，连接 并延长交 于点 ， 交CA的延
长线于点 ，且 ，连接 ．
①求证： ；
②若 ，且 ，求 的长．【变式训练3】在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，点B的坐标 且a，b满足
．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图（1），点C为x轴负半轴一动点， ， 于D，交y轴于点E，
求证： 平分 ．
（3）如图（2），点F为 的中点，点G为x正半轴点 右侧的一动点，过点F作 的
垂线 ，交y轴的负半轴于点H，那么当点G的位置不断变化时， 的值是
否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．
类型二、过边上的点向角平分线作垂线构造等腰三角形
例．已知： 中， 为 的中点， 平分 于 ，连结 ，若
，求 的长．
【变式训练1】已知：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°；AC=BC；∠1=∠3；BE⊥AD．
求证：BE= AD．【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=AC，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长
线于E，AE= BD，且DF⊥AB于F，求证：CD=DF
类型三、利用角平分线的性质，在角两边截长补短
例．如图，在 中， ， 平分 交 于 ，求证：
.
【变式训练1】如图所示，在 中， ， 是 的角平分线，
交于点 ，求证： ．
【变式训练2】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:
如图一， ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发
现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：
△
(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.
(2)如图二， ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，
并证明你的猜想.
△
(3)如图三， ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量
关系，并证明你的猜想.
△【变式训练3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二
象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
（2）求证：AD平分∠CDE；
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？
如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．
【变式训练4】如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上， 平分
与y轴交于D点， ．
(1)求证： ；
(2)在（1）中点C的坐标为 ，点E为 上一点，且 ，如图2，求
的长；
(3)在（1）中，过D作 于F点，点H为 上一动点，点G为 上一动点，
（如图3），当点H在 上移动、点G在 上移动时，始终满足 ，
试判断 、 、 这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．课后训练
1．如图，在 中， ， 、 分别是 、 的平分线， 、
相交于点 ，试判断 和 之间的数量关系.
2．如图，在 中， ， 平分 ，交 于 ， 于 ，求
证： .
3．如图，在 中， ， ， 是 的平分线，延长 至点 ，
，试求 的度数．
4．如图1，在 中， 是 边的中线， 交 延长线于点 ，
．
（1）求证 ；
（2）如图2， 平分 交 于点 ，交 于点 ，若 ， ，
求 的值．5．如图，在 中， 为 边上的高， 是 的角平分线，点F为 上一点，
连接 ， ．
(1)求证： 平分 ；
(2)连接 交 于点G，若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，当 ， 时，求线段 的长．
6．已知 中， 平分 ， 交 于点 ， 平分 ，交 于点 ，
与 交于点 ．
(1)如图 ，求证： ．
(2)如图 ，连接 ，求证： 平分 ．
(3)如图 ，若 ， ， ，求 的值．7．已知：在 和 中， ， ， ．
(1)如图1，A，C，D在同一直线上，延长 交 于F，求证： ；
(2)如图2， 与 交于F，G在 上，若 平分 ，求证：点C在直线 上．
