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第十一章 三角形 基础常考60题（20考点）专练
【精选2023年最新题型训练】
基础常考题一、三角形的识别与有关概念
1．（2023·浙江·八年级假期作业）将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
【答案】C
【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．
【详解】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角互补，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的分类，理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的
性质和基本作图的方法作图．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）一个三角形的周长为81cm，三边长的比为 ，则最长边是 ．
【答案】36cm
【分析】设三角形的三边长为2x，3x，4x，找出等量关系：三角形的周长为81cm，列方程求出x的值，继
而可求出三角形的边长．
【详解】解：设三角形的三边长为2x，3x，4x，
由题意得，2x+3x+4x=81，
解得：x=9，
则三角形的三边长分别为：18cm，27cm，36cm，
所以，最长边长为36cm．故答案是：36cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程在三角形中的应用，解答本题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出
的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，
（1）图中有几个三角形？
（2）说出 的边和角．
（3） 是哪些三角形的边？ 是哪些三角形的角？
【答案】（1）图中有： ， ， ， ， ，共5个；
（2） 的边： ， ， ，角： ， ， ；
（3） 是 ， ， 的边； 是 ， ， 的角．
【分析】（1）分类找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三类即可；
（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；
（3）观察图形，找出含AD的三角形，先找AD左边的，再找AD右边的即可，根据三角形内角的定义，
角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C的内部在线段看与角的两边是否相交即可
【详解】解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，
以AD为边的三角形有△ADE，△ADC，
再以DE为边三角形有△DEC，
一共有5个三角形分别为 ， ， ， ， ；
（2） 的边： ， ， ，
角： ， ， ；
（3） 是 ， ， 的边；
是 ， ， 的角．
【点睛】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形
的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与
角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．
基础常考题二、三角形的个数问题1．（2023春·七年级课时练习）图中，以DE为边的三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据三角形的边得出三角形即可．
【详解】解：以DE为边的三角形有△DEC，△AED，△DEF，△BED，
故选：C．
【点睛】此题考查三角形，关键是根据三角形的边解答．
2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，以点A为顶点的三角形有 个，它们分别是 ．
【答案】 4 △ABC，△ADC，△ABE，△ADE
【分析】根据三角形的定义得出答案即可．
【详解】解：以点 为顶点的三角形有4个，它们分别是 ， ， ， ．
故答案为：4， ， ， ， ．
【点睛】此题主要考查了三角形的定义，解题的关键是理解三角形的定义：由三条都不共线的线段首尾相
连围成的图形得出三角形个数．
3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:
(1)图中有多少个三角形?并把它们表示出来.
(2)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?
(3)以AB为边的三角形有哪些?(4)以F为顶点的三角形有哪些?
【答案】答案见解析
【详解】试题分析：利用三角形的定义以及三角形有关的角和边概念分别得出即可．
试题解析：
（1）8个： ABC， ABF， ABE， ABD， BDF， AEF， ACD， BCE；
（2）三个顶△点：B，△D，F；三△条边：△BD，BF，△DF； △ △ △
（3） ABC， ABF， ABD， ABE；
（4）△ABF，△BDF，△AEF．△
点睛：△此题主要△考查了△三角形有关定义，正确把握相关定义是解题关键．
基础常考题三、三角形的分类
1．（2023秋·七年级单元测试）现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第
三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角
三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（ ）
A．4个 B．3 个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据三角形的分类，三角形的三边关系，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，故①正确；
②三角形的两边之差小于第三边，故②错误；
③三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形，的说法是错误的（因为等边三角形
属于等腰三角形），故③错误
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确
∴上述说法中正确的有2个.
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的分类，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．
2．（2023秋·重庆忠县·八年级统考期末）在 中，若 ，则 的形状是
三角形（填钝角、直角和锐角）．
【答案】锐角
【分析】根据三角形的内角和，以及三角形的三个角之间的比例，计算出最大角的度数，并且判断出三角
形的类型即可．
【详解】∵三角形内角和为 ， ，∴ ，
即 为锐角，
故答案为锐角．
【点睛】本题考查三角形的内角和，三角形的分类，能够根据三个角之间的比例计算出每个角的度数是解
决本题的关键．
3．（2023·浙江·八年级假期作业）在 中， ， ，且 的长为偶数，求 的周长，
并判断其形状．
【答案】 周长为 ， 是等腰三角形，
【分析】根据“三角形的两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，进而判断三角
形的形状．
【详解】解： ，
，
长是偶数，
，
，
是等腰三角形，
周长为：
【点睛】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，
三角形的两边差小于第三边，掌握以上知识是解题的关键．
基础常考题四、构成三角形的条件与确定第三边的取值范围
1．（2023春·四川达州·八年级校考期中）在下列所给的条件中，能组成三角形的是（ ）
A．三条线段的比为2：3：4 B．三条线段的比为1：2：3
C．三条线段的比为4：5：9 D．三条线段的比为7：4：3
【答案】A
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边逐项判断即可解答．
【详解】解：A、∵ ，所以能够组成三角形，故本选项正确；
B、∵ ，所以不能够组成三角形，故本选项错误；
C、∵ ，所以不能够组成三角形，故本选项错误；
D、∵ ，所以不能够组成三角形，故本选项错误．
故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三
边是解题的关键．
2．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）一个不等边三角形的两边分别为 和 ，第三边
的长度为奇数，则满足条件的三角形共有 个．
【答案】5/五
【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形的三边关系进行求解，
即可得到答案．
【详解】解：设第三边的长度为 ，
由三角形的三边关系可知， ，
即第三边的取值范围为 ，
第三边的长度为奇数，
的取值可以有3、5、7、9、11，共5个，
满足条件的三角形共有5个，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之
差小于第三边．
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知一个三角形的第一条边长为 ，第二条边长为
(1)求第三条边长 的取值范围；（用含 ， 的式子表示）
(2)若 ， 满足 ，第三条边长 为整数，求这个三角形周长的最大值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论；
（1）根据绝对值和平方的非负性可确定 ， 的值，从而得出 的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵三角形的第一条边长为 ，第二条边长为 ，
∴第三条边长 的取值范围是 ，
即 ，
∴第三条边长 的取值范围是 ；
（2）∵ ， 满足 ，第三条边长 为整数，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
则三角形的周长为： ，
∵ 为整数，
∴ 可取最大值为 ，
此时这个三角形周长的最大值为 ，
∴这个三角形周长的最大值为 ．
【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长．掌
握三角形三边关系定理是解题的关键．
基础常考题五、三角形三边关系的应用
1．（2023春·江苏盐城·七年级统考期中）为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点
P，测得 ， ，那么 间的距离可能是（ ）
A．2 B．30 C．28 D．20
【答案】D
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得
，再解即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得： ，
即 ，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于
两边的和．
2．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考阶段练习）已知三角形三边分别为 、 、 ，化简．
【答案】 /
【分析】根据三角形三边关系得出 进而化简绝对值，即可求解．
【详解】解：∵三角形三边分别为 、 、 ，
∴
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关
键．
3．（2023春·广东揭阳·七年级校联考阶段练习）已知 的三边长是a，b，c.
(1)若 ， ，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
(2)化简
【答案】(1)4或6
(2)
【分析】（1）先根据三角形三边关系确定c边的范围，再根据三角形的周长是小于18的偶数确定c边的
长；
（2）根据三角形三边关系确定 ，再根据绝对值的意义，化简绝对值的即可．
【详解】（1）解：∵ 的三边长是a，b，c， ， ，
∴ ，
即 ，
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴ 或 ；
（2）解：∵ 的三边长是a，b，c，
∴ ，
∴ ， ，∴
．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大
于第三边，任意两边之差小于第三边．
基础常考题六、与三角形的高有关的计算问题
1．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在 中， ，若 的面积为 ，则
的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点 作 于 ，再利用三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】解：过点 作 于 ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
故选：B．【点睛】本题考查三角形的面积，解题的关键是结合图形进行恒等变换．
2（2023春·四川雅安·七年级校考期中）如图，在 中，已知 ， ，垂足分别为D，
E， ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】利用三角形面积相等可得 ，即可求出答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形的面积，熟练掌握等积法求边长是解题的关键．
3．（2023春·河北邯郸·七年级校联考阶段练习）如图，在 中， 是中线， 是的高，且
， ．(1) ___________ （填数字）；
(2)求 及 的长；
(3)若 ，求 和 的周长差．
【答案】(1)2
(2) ，
(3)1
【分析】（1）根据三角形的中线的性质即可求解；
（2）根据三角形的中线的性质可得 ，根据三角形的面积公式即可求得；
（3）根据三角形的周长公式，结合（1）（2）中结论即可求得．
【详解】（1）∵ 是中线，
∴ ，
即 ，
故答案为：2．
（2）∵ 是中线，
∴ ，
又∵ ，且 ，
故 ．
（3）∵ 的周长为 ，
的周长为 ，且 ，
故 和 的周长差为
即 和 的周长差为1．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积公式，三角形的周长公式等，熟练掌握三角形中线的
性质是解题的关键．
基础常考题七、与三角形中线有关的计算问题
1．（2023春·湖南长沙·七年级校联考期末）如图， 是 的中线， ， 的周长
与 的周长差为( )
A．2 B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】由题意知， ， 的周长为 ， 的周长为 ，根据
，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ， 的周长为 ， 的周长为 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了中线．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图， 、 分别是 边 、 上的点，
， ，设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若 ，则 的值为
．【答案】6
【分析】根据 ， 得 ，则 ，根据 得 ，则
，进行计算即可得．
【详解】解： ， ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三
角形的面积，然后求出差．
3．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）三角形如图， 的边 上的高为 ，中线为
边上的高为 ，已知 ， ， ．(1)求 的面积；
(2)求 的长；
(3) 和 的面积有何关系？
【答案】(1)30
(2)
(3) 和 的面积相等
【分析】（1）利用面积公式进行计算即可；
（2）利用面积公式进行求解即可；
（3）利用中线平分面积，作答即可．
【详解】（1）解： 的面积 ；
（2）∵ 的面积 ， ，
∴ ；
（3）∵ 为 的中线，
∴ ，
∵ 的边 上的高为 ，
∴ ．
即： 和 的面积相等．
【点睛】本题考查与三角形的高和中线有关的计算．熟练掌握高线和中线的定义，以及中线平分三角形面
积，是解题的关键．
基础常考题八、三角形角平分线的定义
1．（2023·全国·八年级假期作业）下列正确的有（ ）
三角形的三条角平分线的交点在三角形内 三角形三条中线的交点在三角形内 三角形的三条高线的
交点在三角形内 三角形的三条高线的交点在三角形外
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据三角形角平分线的，中线，高线的交点逐项分析判断即可求解．
【详解】解： 三角形的三条角平分线的交点在三角形内，正确；
三角形三条中线的交点在三角形内，正确；锐角三角形的三条高线的交点在三角形内，错误；
钝角三角形的三条高线的交点在三角形外，错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形角平分线的，中线，高线的定义，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023·全国·八年级假期作业）如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，则：∠1+∠2+∠3＝
．
【答案】90°
【分析】根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理解答即可．
【详解】∵AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，
∴∠1＝ ∠BAC，∠2＝ ∠ABC，∠3＝ ∠ACB，
∴∠1+∠2+∠3＝ (∠BAC+∠ABC+∠ACB)，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，
故答案为90°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， 是 的角平分线， ，交AC于点F，已知
，求 的度数．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得到 ，再根据角平分线的定义得到
即可得到答案．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，根据平行线的性质求出 是
解题的关键．
基础常考题九、利用网格求三角形的面积
1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B
均在格点上．在格点上确定点C，使 为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形的面积求出点C到 的距离，再判断出点C的位置即可．
【详解】解：∵ 的面积为4，
∴ 边上的高为 ，
∴点C的位置如图所示，共有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形面积，点到直线的距离，根据三角形面积判断出点C到 的距离为2是解题的关键．
2．（2023秋·福建龙岩·八年级校考期末）如图所示的正方形网格，A、B、C、D是网格线交点，则
的面积与 的面积的大小关系为： ．填“ ”、“ ”或“ ”）
【答案】
【分析】分别求出 的面积与 的面积，即可求解．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了网格中三角形的面积的求法，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
3．（2023春·福建莆田·七年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中， ， 两点的坐标分别为 ，
．
(1)写出图中点 的坐标；
(2)将点 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的点为 ，直接写出 的坐标并求
的面积．【答案】(1)
(2)点 的坐标为 ， 的面积为 ．
【分析】（1）依据 ， 两点的坐标分别为 ， ，即可得到坐标原点的位置，进而得出点 的坐
标；
（2）依据平移的方向和距离，即可得到点 的坐标，再根据割补法进行计算即可得出 的面积．
【详解】（1）解：根据坐标系可知，点 的坐标为 ；
（2）解：如图所示，点 的坐标为 ；
的面积 ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，点的平移，网格三角形的面积，掌握平面直角坐标系的定
义以及平移是解题的关键．
基础常考题十、三角形的稳定性
1．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）在日常生活中，数学知识有着广泛的应用．观察下列四幅图片，
解释不正确的是（ ）A．图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定性
B．图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性
C．图③固定木条 旋转木条 ，当 时有 ，这是因为“同位角相等，两直线平行”
D．图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“两点之间，线段最短”的道理
【答案】D
【分析】根据三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短，进行判
断即可．
【详解】解：A、图①用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状固定不变，这是利用了三角形的稳定
性，说法正确，不符合题意；
B、图②用四根木条钉成四边形框架，它的形状是可以改变的，这说明四边形具有不稳定性，说法正确，
不符合题意；
C、图③固定木条 旋转木条 ，当 时有 ，这是因为“同位角相等，两直线平行” 说法正确，
不符合题意；
D、图④是体育课上老师测量学生跳远成绩，这是利用了“点到直线，垂线段最短”的道理，原说法错误，
符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，四边形的不稳定性，同位角相等，两直线平行，以及垂线段最短．熟
练掌握相关知识点，是解题的关键．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机
很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的
手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的 .
【答案】三角形的稳定性
【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．
【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）某木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m
价格（元/根） 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到某木材市场上
购买一根．
（1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？
（2）选择哪一种规格木棒最省钱？
【答案】（1）4种；（2）3m
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得5-3＜x＜5+3，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选
择的木棒长度；
（2）根据木棒价格可直接选出答案．
【详解】解：（1）设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5＋3，
解得2＜x＜8，
结合题干信息可得：x＝3，4，5，6．共4种选择．
（2）根据木棒的价格可得选3m最省钱．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定
理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
基础常考题十一、三角形内角和定理的证明
1．（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为 展开证明讨论，以下四个学生的作法中，
不能证明 的内角和为 的是（ ）
A． 过点A作 B． 延长BC到点D，过点C
作C． 过点A作 于点D D． 过BC上一点D作
，
【答案】C
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：A、由 ，则 ， ．由 ，得
，故符合题意．
B、由 ，则 ， ．由 ，得 ，
故符合题意．
C、由 于 ，则 ，无法证得三角形内角和是 ，故不符合题意．
D、由 ，得 ， ，则 ．由 ，得 ，
，由 ，得 ，故符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的
关键．
2．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图， ，直线 分别交 于 ， 平分
，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义得到 ，再根据三角形的内角和定理即可
解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及角平分
线的定义是解题的关键．
3．（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形
三个内角的数量关系．如图，把三角形 分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角
拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是 ”的结论．但是，通过本
学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
【答案】证明见解析
【分析】根据要求画出 ，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．
【详解】解：已知： ．
求证： ．
证明：如图，延长 到F，过点B作 ．
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
基础常考题十二、直角三角形的两个锐角互余
1．（2023春·广西来宾·八年级校考期末）在 中， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得 ，再代入 的度数可得 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余．
2．（2023·河北石家庄·校联考一模）我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3
倍，这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分別为 的三角形是“和谐三角
形”．概念理解：如图， ，在射线 上找一点 ，过点 作 交 于点 ，以 为
端点作射线，交线段 于点 （点 不与 重合），则 的度数为 ，
（选填“是”或“不是”）“和谐三角形”．
【答案】 是
【分析】根据三角形内角和求出 ，由此得到 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；∴ ，
∴ 是“和谐三角形”
故答案为： ，是．
【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，垂直的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题的关
键．
3．（2023春·河北承德·七年级统考期末）如图，直线 ， 的顶点A在直线n上， ，
若 ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得 ，再求出 ，然后根据直角三角形两锐
角互余求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，熟记性质是解题的关键．
基础常考题十三、三角形内角和的求解问题
1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知 ， ， ，则
为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．105°【答案】D
【分析】由直角三角形的性质得出 ， ，由平行线的性质得出 ，再由
三角形内角和定理即可求出∠CGD的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解
决问题的关键．
2．（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）如图，在 中， ， 是 的
角平分线，则 °．
【答案】
【分析】由三角形内角和可得 ，然后由角平分线的定义可得 ，然后再根
据三角形内角和可求解．
【详解】解：在 中， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵AD平分 ，
∴ ．
在 中， ．
∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及三角形内角和，熟练掌握角平分线的定义及三角形内角和定理是
解题的关键．
3．（2023春·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期中）如图，在 中， 是 边上的高， 为
角平分线，若 ，求 的度数．
【答案】
【分析】先根据邻补角互补求出 的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出 的度数，再根
据角平分线的定义求出 的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了邻补角互补，直角三角形两锐角互余，角平分的定义，三角形内角和定理，正确
求出 的度数是解题的关键．
基础常考题十四、三角形的外角定义及性质
1．（2023春·河南商丘·七年级统考期末）乐乐在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数
学模型如图所示，已知 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长 交 于F，依据 ， ，可得 ，再根据三角形外角性质，
即可得到 ．
【详解】解：如图，延长 交 于F，如图，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
2．（2023春·辽宁大连·七年级统考期末）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：把它抽象成数
学问题．如图所示，已知 ， ， ，则 的度数是 ．
【答案】 / 度
【分析】延长 交 于 ，依据 ， ，可得 ，再根据三角形外角性质，
即可得到 ．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，
， ，
，
又 ，
，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角
相等．
3．（2023春·重庆·七年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）如图， 中， ， ，
是 的角平分线， 是 上一点， ，交 于 ，交 的延长线于 ．求 的度数．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和以及三角形的外角的性质定理即可得出 的度数，再
根据垂直定义以及三角形的内角和即可得出 的度数．
【详解】解：∵在 中， ，
∴
又∵ 是 的角平分线
∴
是 的外角
∴
又∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义以及三角形的外角，难度适中，熟知三
角形内角和定理是解题的关键．
基础常考题十五、多边形的分类与概念1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）有下列说法：
①三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；
②在 中，若 ，则 是直角三角形；
③由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
④各边都相等的多边形是正多边形．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】外角的性质判断①，三角形的内角和，判断②，三角形的定义判断③，正多边形的定义判断④．
【详解】解：三角形的一个外角等于这个三角形与它不相邻的两个内角的和，故①错误；
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；故②正确；
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；故③错误；
各边和各个内角都相等的多边形是正方形；故④错误；
综上：正确的个数为1个；
故选A．
【点睛】本题考查三角形的定义，内角和定理，外角的性质，正多边形的定义．熟练掌握相关定义和性质，
是解题的关键．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸
引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而
成，其中黑色皮子共有 块．
【答案】12
【分析】设足球上黑皮有x块，则白皮为 块，可得五边形的边数共有 条，六边形边数有
条．由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，可得白皮边数是黑皮边数的2倍，由此列出方程，即可求解．
【详解】解：设足球上黑皮有x块，则白皮为 块，
∴五边形的边数共有 条，六边形边数有 条．
由图形关系得：每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边，
∴白皮的边数为黑皮的2倍，
∴
解得： ，
答：白皮20块，黑皮12块．
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关
键．
3．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方
形．
【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形
【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的．
【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形．
【点睛】本题考查了几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是直角的四边形，长方形指长与
宽不相等的长方形．
基础常考题十六、多边形对角线条数问题
1．（2023秋·广东梅州·七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形对
角线的总数是（ ）
A．88 B．44 C．45 D．50
【答案】C
【分析】根据一个n边形从一个顶点出发有 条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据n边形对角线的总数为 即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
∵一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，
∴ ，
解得： ，
∴总的对角线的条数为： 条．
故选C．
【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题．掌握n边形从一个顶点出发有 条对角线和其
对角线总数为 是解题关键．
2．（2023春·江苏淮安·七年级统考期末）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是多边形的对角线，如图
是四边形 的对角线，请仔细观察下面的图形和表格，并确定二十三边形 ．．．．．
共有 条对角线．
多边形的顶点数 4 5 6 …
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 …
多边形对角线的总条数 2 5 9 …
【答案】230
【分析】根据多边形对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，结合表
格中的数据得出规律，即可求得答案．
【详解】解：由题意可得：
多边形的顶点数为4时，
从一个顶点出发的对角线有 条，共有 条，多边形的顶点数为5时，
从一个顶点出发的对角线有 条，共有 条，
多边形的顶点数为6时，
从一个顶点出发的对角线有 条，共有 条，
∴多边形的顶点数为n时，
从一个顶点出发的对角线有 条，共有 条，
∴二十三边形 ．．．．． 共有 条对角线．
故答案为：230．
【点睛】本题考查对角线的条数，结合已知条件求得从n边形的任意一个顶点可作 条对角线是解题
的关键．
3．（2023·全国·七年级假期作业）探究归纳题：
（1）试验分析：如图1，经过A点可以作1条对角线；同样，经过B点可以作______条对角线；经过C点
可以作______条对角线；经过D点可以作______条对角线．通过以上分析和总结，图1共有______条对角
线．
（2）拓展延伸：运用1的分析方法，可得：图2共有______条对角线；图3共有______条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形 ，共有______条对角线．（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有______对角线．
【答案】（1）1、1、1、2；（2）5、9；（3） ；（4）35
【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；
（2）根据对角线的定义，可得答案；
（3）根据探索，可发现规律；（4）根据对角线的公式，可得答案．
【详解】解：（1）经过 点可以做 1条对角线；同样，经过 点可以做 1条；经过 点可以做 1条；经
过 点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
故答案为：1、1、1、2；
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线，
故答案为：5、9；
（3）探索归纳：
对于 边形 ，共有 条对角线．
故答案为： ；
（4）特例验证：
十边形有 对角线．
故答案为：35.
【点睛】本题考查了多边形的对角线，发现多边形对角线公式 是解题关键．
基础常考题十七、多边形内角和问题
1．（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图，将五边形 沿对角线 所在的直线剪开，得到四边
形 和 ，设四边形内角和为 ，三角形内角和为 ，则 与 的关系式（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A【分析】根据三角形内角和公式与三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：依题意， ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023春·四川眉山·七年级校考期中）如图，七边形 中， ， 的延长线交于点O，若
， ， ， 的外角和等于 ，则 的度数为 ．
【答案】 /40度
【分析】根据题意计算 ， ， ， 的度数之和，再计算五边形 的内角和，即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ， 的外角和等于 ，
∴ ，
五边形 的内角和为 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多边形内角和问题，熟练掌握多边形的内角和等于 是解题的关键．
3．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知六边形 的每个内角都相等，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证： ．
【答案】(1)48°(2)见解析
【分析】（1）依据六边形 的各内角相等，可得一个内角的大小为 ，即可得到
，再依据四边形内角和为360°，即可得到 的度数；
（2）先证明 ，再根据平行线的判定即可得到 ．
【详解】（1）∵六边形 的每个内角都相等，
∴一个内角为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
（2）∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了多边形内角，和平行线判定，解题时注意：多边形内角和 （ 且
n为整数）．
基础常考题十八、多边形截角后的内角和问题
1．（2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）小明将一个五边形用剪刀沿直线剪去一个角，将这个五边形
分成两个多边形，那么关于这两个多边形所有的内角的和与原五边形的内角和相比，下列说法中不可能的
是（ ）
A．减少180° B．不变 C．增加180° D．增加360°
【答案】A
【分析】按照题意画出图形逐一判断即可解题．
【详解】如图，减去一个角，变为一个三角形和一个六边形，内角和增加 ；如图，减去一个角，变为一个三角形和一个五边形，内角和增加 ；
如图，减去一个角，变为一个三角形和一个四边形，内角和 ，内角和不变；
综上所述内角和不会减少180°，
故选A．
【点睛】本题考查多边形截角后的内角和问题，分情况画图讨论是解题的关键．
2．（2023·江苏·七年级假期作业）将一个多边形截去一个角后，得到一个新的多边形的内角和为 ，
则原来多边形的边数为 ．（用阿拉伯数字表示）
【答案】21或22或23
【分析】先根据多边形的内角和公式 求出新多边形的边数，再根据截去一个角后，多边形的边
数可以增加1、不变、减少1三种情况解答．
【详解】解：设新多边形的边数为n，则 ，
解得 ，
多边形截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，
所以， ，或 ，
所以原来多边形的边数为21或22或23．
故答案为：21或22或23．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是理解截去一个角后的方法，要分三种情况讨论．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角
和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．【答案】15
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
【详解】设新多边形是n边形，
由多边形内角和公式得： ，
解得： ，
则原多边形的边数是： ．
原多边形的边数是15．
【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是要熟练掌握多边形的内角和公式．
基础常考题十九、多边形外角和的实际应用
1．（2023春·河南周口·七年级校考阶段练习）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走
和转弯．某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转 ，如图，若机器人反复执行这一指令，则
从出发到第一次回到原处，机器人共走了（ ）
A．8米 B．16米 C．14米 D．18米
【答案】B
【分析】第一次回到原处正好转了 ，正好构成一个正八边形．
【详解】解：机器人转了一周共360度，
，共走了8次，
机器人共走了 (米)．
故选：B．【点睛】本题考查了多边形的外角，是一个实际问题，要理解“回到原处”就是转了 度．
2．（2023春·山西临汾·八年级统考期末）永祚寺双塔（如图1），又名凌霄双塔，是山西省太原市现存的
最高的古建筑，十三层均为正八边形楼阁式空心砖塔．如图2所示的正八边形是双塔其中一层的平面示意
图，则其外角和的度数为 ．
【答案】
【分析】直接根据多边形的外角和为 即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
外角和的度数为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为 是解题的关键．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再到C市，再到A市，
最后返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？
【答案】360°
【分析】分别记 的外角为 ，用 即可得出答案．【详解】
如图，当小汽车从P出发行驶到B市，由B市向C市行驶时转的角是 ，由C市向A市行驶时转的角是 ，
由A市向P市行驶时转的角是 ．
小汽车从P市出发，经B市、C 市、A市，又回到P市，共转 ．
【点睛】本题考查外角和定理的应用，掌握多边形的外角和为 是解题的关键．
基础常考题二十、多边形内角和与外角和结合问题
1．（2023春·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）图1是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍
利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一、燃灯佛
舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一
层的平面示意图，其内角和为（ ）
A．135° B．360° C．1080° D．1440°
【答案】C
【分析】根据正多边形的性质，利用每一个外角及内角都相等，结合多边形外角和为 或者内角和公式
求解即可得到答案．
【详解】解：在正八边形中，每一个外角为 ，
正八边形的每一个内角为 ，
正八边形的内角和为 ；另解：由多边形内角和公式可得正八边形内角和为 ；
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形内角和，涉及多边形性质，利用内角和及外角和均可求解，熟记多边形内角和
公式及外角和为 是解决问题的关键．
2．（2023春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）已知一个多边形的内角和与外角和之差为 ，则这个多
边形的边数是 ．
【答案】7
【分析】先求出多边形的内角和，再根据多边形的内角和公式求出边数即可．
【详解】解： 一个多边形的内角和与外角和之差为 ，多边形的外角和是 ，
这个多边形的内角和为 ，
设多边形的边数为 ，
则 ，
解得： ，
即多边形的边数为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能列出关于 的方程是即此题的关键，注意：边数为 的多边
形的内角和 ，多边形的外角和等于 ．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知一个正多边形的边数为n．
(1)若这个正多边形的内角和的 比外角和多 ，求n的值．
(2)若这个正多边形的一个内角为 ，求n的值．
【答案】(1)n的值为12；
(2)n的值为5．
【分析】（1）根据多边形内角和公式列式计算即可解答；
（2）先求得这个正多边形的每个外角为 ，根据多边形外角和定理解答即可．
【详解】（1）解：依题意，得 ，
解得 ，即n的值为12；
（2）解：∵正多边形的一个内角为 ，∴这个正多边形的外角为 ．
∵多边形的外角和为 ，
∴ ，即n的值为5．
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，解题的关键是牢记正多边形的内角和公式与外角和等于
360°．
