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猜想 02 二次函数综合题（6 种常见题型专练）
题型一：线段周长问题 题型二：面积问题
题型三：角度问题 题型四：特殊三角形问题
题型五：特殊四边形问题 题型六：相似三角形问题题型一：线段周长问题
1．（2023上·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线 与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线 上方抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点E，交直线
于点Q．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段 的最大值；
(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接 ．是否存在点P，使得 为等腰三角形？若
存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在一点P，当点P的横坐标为 时， 为等腰三角形
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，进而求出直线 的解析式，设 ，则 ，则
，由此即可求出答案；
（3）先证明 ，则当 为等腰三角形，只存在 这一种情况，设
，则 ，则 ，解方程即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 中得： ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；（2）解：设直线 的解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
把 ， 代入 中得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ；
（3）解：∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴当 为等腰三角形，只存在 这一种情况，
设 ，则 ，
同理可得 ，
又∵ ，
∴ ，
解得 或 ，∴存在一点P，当点P的横坐标为 时， 为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的
定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
2．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ， ，点P是直线 下方抛物线
上的一个动点．过点P作 轴，交直线 于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则 的最小值是________；
(3)求 的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出点C的坐标为 ，根据 、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，得出
，根据 ，两点之间线段最短，当点A、M、C在同一直线上时，
最小，即 最小，求出最小值即可；
（3）求出直线 的解析式为 ，设 ，其中 ，则 ，求
出 ，得出当 时， 取得最大值 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
将点A， 的坐标代入 ，得，
解得： ，
∴ ．
（2）解：把 代入 得： ，
∴点C的坐标为 ，
∵ 、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴当点A、M、C在同一直线上时， 最小，即 最小，
∴ 的最小值为 的长，
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
（3）解：设直线 的解析式为 ，
将点A， 的坐标代入，得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，其中 ，
则 ，∴ ，
∴当 时， 取得最大值 ，
即 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，
解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
3．（2023上·湖北随州·九年级统考期末）已知抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点 的左
边），与 轴交于点 ，顶点为 ．
(1)直接写出点 ， ， 的坐标；
(2)如图1，若平行于 轴的直线 与抛物线交于点 ， （点 在点 的左边），与线段 交于点 ．
设点 的横坐标为 ，线段 的长为 ，试求 关于 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围），
并求 的最大值；
(3)如图2，若点 是在 轴右侧抛物线上的一动点，过点 作 轴交线段 于点 ，连接 ，是
否存在这样的点 ，使 是等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2) ，
(3)存在， ， ，
【分析】（1）将解析式 化为顶点式即可求得点 顶点坐标，分别令 ，得出点 的
坐标；
（2）得出 的解析式 ，根据题意得出m关于t的函数关系式为 ，根据二次函数的
性质即可求解；
（3）根据题意分 三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可．【详解】（1）解：∵ ，
∴顶点 ，
令 ，则 ，
∴ ，
令 ，则 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ， ， ；
（2）设直线 的解析为 ，则 ，
将点 代入得， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，设 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴m关于t的函数关系式为 ， 的最大值为 ．
（3）解：存在点P，使 是等腰三角形，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
设直线 的解析式为 ，将点 代入得，
∴
∵ 轴，
∴
设 ，则
①当 时，
∴ 是等腰直角三角形，
设 交 轴于点 ，则∴
∴
解得： （舍去）或 （舍去）或
∴ ；
②当 时，则 重合，
∴ ，
解得： ， （舍去）
∴ ；
③当 时，
∵
∴ ， ，
∵
解得： 或 （舍去）
当 时， ，
∴
综上所述，存在点P，使 是等腰三角形，满足条件的点P的坐标为 ， ， ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，求抛物线与坐标轴交点问题，线段最值问题，特殊三角形问题，
掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2023上·重庆渝中·九年级统考期末）抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴
交于点 ，连接 ．点 是线段 下方抛物线上的一个动点（不与点 ， 重合），过点 作 轴的平
行线交 于 ，交 轴于 ，设点 的横坐标为 ．(1)求该抛物线的解析式；
(2)用关于 的代数式表示线段 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)过点 作 于点 ， ，
①求点 的坐标；
②连接 ，在 轴上是否存在点 ，使得 为直角三角形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)① ；②存在， 或
【分析】（1）将点 和 代入解析式，列方程组求解即可得到答案；
（2）令 求出点C坐标，从而求出直线 解析式，用t表示点P点 坐标，从而得到 关于t的函
数，求出最值即可得到答案；
（3）①根据题意用t表示点H的坐标根据面积列方程求解即可得到答案；②设出点 坐标，分
， 两类讨论，根据勾股定理逆定理即可得到答案．
【详解】（1）将点 和 代入解析式，
得 ，解得 ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）由题意可得P点坐标为 ，令 得 ，
∴点C坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，将B、C坐标代入，
得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 轴，
∴点M的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 的值最大， ，
此时点 的坐标为： ；
（3）①由题意可得，如图1，
∵ ， 轴，
∴点C、H纵坐标相同，点N、H、P的横坐标相同，
∴点H的坐标为 ，点N的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ， （不符合题意舍去）∴点P的坐标为 ；
②当 时，如图2所示，
∵ ，
∴点Q、P的纵坐标相同，
∴此时Q点坐标为 ，
即 ；
当 时，如图3所示，
设 ，
根据勾股定理得 ，解得 ，
∴ ，
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，根据二次函数性质求最值问题，动点围成直角三角形问题，解
题的关键是根据题意设出点的坐标，利用性质列式求解．
5．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的
两个交点为 和 ，与 轴的交点为 ，顶点为点 ．
(1)求 、 的值；
(2)若点 为该抛物线对称轴上的一个动点，当 时，求点 的坐标；
(3)若点 使得 是以 为斜边的直角三角形，其中 ，求此时 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，设 ，根据勾股定理得出 ， ，进而解方程即可
求解；
（3）设点 为 的中点，则 ，如图所示，以 为圆心 为半径作圆，交 轴于点 ，根据
勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：将 和 代入 得，解得：
∴抛物线解析式为 ，
（2）由 ，令 ，解得： ，
∴
∵ ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
点 为该抛物线对称轴上的一个动点，
设 ，∵ ，
∴ ， ，
∵
∴
解得：
∴点 的坐标为 ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵点 ，其中 ，使得 是以 为斜边的直角三角形，
设点 为 的中点，则 ，如图所示，以 为圆心 为半径作圆，交 轴于点 ，
∴ ，
即 ，解得： 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，线段问题，特殊三角形问题，直径所对的圆周
角是直角，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023上·江苏南京·九年级统考期末）抛物线 与x轴交于 两点，与
y轴交于点C．
(1)求a，b满足的关系式；
(2)当 时， 为抛物线在第二象限内一点，点P到直线 的距离为d，则d与n的函数表达式
为_____；
(3)过 （其中 ）且垂直y轴的直线l与抛物线交于M，N两点．若对于满足条件的任意t值，
线段 的长都不小于2，结合函数图像，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据题意知，点A、B关于对称轴 对称，由此求得a，b满足的关系式；
（2）过P作 于H，过P作 轴交 于K，求出二次函数解析式 ，证明
是等腰直角三角形，得 ，再求出直线 解析式为 ，设 可得
，故 ，即可得 ，进而可求出d与n的函数表
达式；
（3）由 与x轴交于 两点，可得 ，然后分当 时和
当 时两种情况求解．
【详解】（1）∵抛物线 与x轴交于 两点，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
整理得： ；
（2）过P作 于H，过P作 轴交 于K，如图：∵ ，
∴ ，
将 代入 得：
，
解得 ，
∴ ，
令 得 ，
∴ ，
由 可得 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
设直线 解析式为 ，把 代入得，
，
∴ ，
∴直线 解析式为 ．
∵ 为抛物线在第二象限内一点，
∴ ，
在 中，令 得 ，
∴ ，
∴ ，
∵点P到直线 的距离为d，即 ，
∴ ，∴ ；
故答案为： ；
（3）∵ 与x轴交于 两点，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
由（1）知抛物线对称轴为直线 ，
当 时，如图：
∵线段 的长不小于2，
∴M到直线 的距离不小于1，
∴在 中，当 时， ，
∴ ，
解得 ；
当 时，如图：∵线段 的长不小于2，
∴M到直线 的距离不小于1，
∴在 中，当 时， ，
∴ ，
解得 ；
综上所述，a的取值范围是 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分
类讨论思想和数形结合思想的应用．
7．（2023上·河南驻马店·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于 ，
两点．与y轴交于点C，且 ，点P为抛物线 上的一个动点，过点P作
轴于点D，交直线 于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在x轴下方的抛物线上，且 时，求此时点P的坐标；
(3)第一象限抛物线上是否在在点P，使点P到直线 的距离是点D到直线 的距离的5倍？若存在，请
直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)(3)存在，
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求出直线 的解析式，设 ，则 ， ，由 ，即可求P点坐标；
（3）过点D作 交于G，过点P作 交于H，由 ，可得 ，设
，则 ， ，再由 ，即可求 ．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ，
将于 ， ， 代入 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 （舍），
∴ ．
（3）存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线 的距离的5倍，理由如下：过点D作 交于G，过点P作 交于H，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 （舍）或 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的图象及性质，相似三角形的判
定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2023上·山西吕梁·九年级校考期末）综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，顶点为P，连接 ， 于点
B， ，Q是 （不与点O，B重合）上的一个动点，连接 ，将 沿着 对折后，点O落
在点C处， 交x轴于点D．
(1)求抛物线的表达式．(2)当 的面积 的面积时，求点Q的坐标．
(3)在线段 上是否存在这样的点Q，使得 的值最小，若存在，请直接写出 的最小值；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据已知点的坐标，分别求出点P的横坐标和纵坐标，即可得解；
（2）设 ，根据折叠的性质得到 ， ，利用勾股定理求出 ，证明
，得到 ，求出m即可；
（3）过Q作 ， ，垂足分别为M，N，设 ，根据三角函数的定义得到
，继而求出 ，再结合 ， ，可得 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵P为顶点， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，将 代入，
得 ，解得： ，
∴ ；
（2）设 ，
∵ 折叠后得到 ，∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，解得： ，
∴ ；
（3）如图，过Q作 ， ，垂足分别为M，N，设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴存在点Q，使得 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及了二次函数解析式，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，
勾股定理，解直角三角形，最短距离，知识点较多，难度较大，解题的关键是灵活证明相似三角形，结合
图象推理论证．
9．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P： 的图
象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q： 的图象关于原点中心对称．
(1)求抛物线P的表达式；
(2)连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作 轴，交抛物线P的图象于点E，求线段DE
长度的最大值；
(3)如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件
的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 最大值为
(3) 或 或 或
【分析】（1）先求出抛物线Q与y轴、x轴的交点坐标，再由抛物线Q与抛物线P关于原点对称即可得点
A、B、C坐标，即可求抛物线P；
（2）设 得表达式为 ，将点B、C代入得 ，设 ，则 ，
表示出 及可求解；
（3）对称轴与x轴交于点F， 得对称轴为 ，判断 ，分① ，②
两种情况求解即可；【详解】（1）解：当 时， ，
∴抛物线Q与y轴的交点为 ，
当 时， ，
解得： 或 ，
∴抛物线Q与x轴的交点为 ，
∵抛物线Q与抛物线P关于原点对称，
∴ ，
将点A、C代入 中得 ，
解得： ，
∴ ．
（2）设 的表达式为 ，
将点B、C代入 得 ，
解得： ，
∴ ，
设 ，则 ；
，
∴ 最大值为 ．
（3）对称轴与x轴交于点F，
∵ 的对称轴为 ，
∴ ，
①当 时， 是等腰三角形，
，
∴ 或 ．
②当 时， 是等腰三角形，
，
∴ 或 ．∴ 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一次函数应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关
键．
10．（2023上·四川广安·九年级统考期末）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，并与
直线 交于B，C两点，其中C是直线 与y轴的交点，连接 ．
(1)求B，C两点的坐标以及抛物线的解析式；
(2)求证： 为直角三角形；
(3)在抛物线的对称轴上有一点P，当 的周长最小时，求出点P的坐标．
【答案】(1) ， ；
(2)见解析
(3)点P的坐标为
【分析】（1）先由直线 与x轴、y轴分别交于点B、点C求得B，C的坐标，再将其代入
列方程组求出a、c的值，即可求解；
（2）先求得A的坐标，根据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形；（3）因为 的长为定值，所以当 的值最小时，则 的周长最小，当点P与点E重合时，
的值最小，求出点E的坐标即可．
【详解】（1）解：直线 ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时， ，
∴ ， ．
∵抛物线 经过点 和点 ，
∴ ，解得
∴抛物线的解析式为 ；
（2）证明：已知抛物线 ，
当 时，则 ，
解得 ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；
（3）解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为 ．
如图，设抛物线的对称轴 ： 与直线 交于点E，点P是直线 上的点，连接 ．
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 为定值，
∴当 的值最小时， 的周长最小．
∵ ，
∴当点P与点E重合时， ，
∴此时 最小．
∵直线 ，
当 时， ，
∴ ，
∴当 的周长最小时，点P的坐标为 ．
【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、勾
股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识与方法，此题综合性强，难度较大，
属于考试压轴题．
题型二：面积问题
1．（2023上·河南·九年级校联考期末）如图，已知抛物线 与直线 交于 ，
两点．(1)求 的值及抛物线的解析式；
(2)若点P是位于直线 上方的抛物线上的一个动点，求 面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 的面积最大值为8，此时点 的坐标为
【分析】（1）将 代入直线 可得a的值，再将A，C两点代入抛物线 即可解答；
（2）过点P作 轴交x轴于点E，交直线 于点F，过点C作 轴交x轴于点Q，设出点P的
坐标，利用 即可解答．
【详解】（1）解：将 代入 并解得 ，
∴点 的坐标为 ，
将 ， 代入 ，
得 ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图，过点P作 轴交x轴于点E，交直线 于点F，过点C作 轴交x轴于点Q，
设点P的坐标为 ，
则点F的坐标为 ，
，又∵点 的坐标为 ，
∴点 的坐标为 ，
，
，
又∵ ，
∴当 时， 的面积取最大值，最大值为8，此时点 的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，解题的关键是利用
数形结合以及函数思想相结合．
2．（2023上·安徽安庆·九年级统考期末）如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点
，与 轴交于点 ，连接 交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线的解析式；
