文档内容
专题 02 三角形的中位线（四大题型）
【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】
【题型2三角形中位线与三角形面积问题】
【题型3与三角形中位线有关的证明】
【题型4 三角形中位线的实际应用】
【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】
1．（22-23八年级下·西藏拉萨·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于
点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是
18cm，则EF的长为（ ）
A．12 B．6 C．3 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质，解答本题需要用到：平
行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．根据AC+BD=24cm，
可得出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长
度．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC+BD=24cm，
∴OA+OB=12cm，
∵△OAB的周长是18cm，
∴AB=6cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
1
∴EF= AB=3cm．
2故选C
2．（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD=8，点E，F分
别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定与性质，理解以上性质是解题的
关键．
根据题意知EF为△DBC的中位线，再根据平行四边形的性质求得BC=AD，从而求得
EF．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，
∵点E，F分别BD，CD的中点，
1
∴EF= BC=4；
2
故选：B
3．（2025·陕西西安·二模）如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，
BD⊥AD于点D，若AB=4，AC=6，则MD等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中
位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．延长BD交AC于H，证明
△ADB≌△ADH(ASA)，根据全等三角形的性质得到AH=AB=4，BD=DH，根据
三角形中位线定理计算即可．【详解】解：延长BD交AC于H，
{∠BAD=∠HAD
)
AD=AD
∠ADB=∠ADH
∴△ADB≌△ADH(ASA)
∴AH=AB=4，BD=DH，
∴HC=AC−AH=6−4=2，
∵BD=DH，BM=MC，
∴DM是△BCH的中位线，
1
∴DM= HC=1，
2
故选：D．
4．（2025·贵州·模拟预测）如图，EF是△ABC的中位线，按以下步骤作图：①以点B为
圆心，小于BE的长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N；②分别以点M，N为圆
1
心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线BP交EF于点D．若
2
AE=2，DF=1，则BC的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查三角形中位线的性质，角平分线的作法，三角形中等角对等边，由作
1
图步骤可知BD平分∠ABC，由中位线的性质可得EF∥BC，EF= BC，
2
AE=BE=2，进而可得∠ABD=∠EDB，由等角对等边可得ED=EB=2，进而计算
出EF，即可求解．
【详解】解：由作图步骤可知BD平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠CBD，
∵ EF是△ABC的中位线，AE=2，
1
∴ EF∥BC，EF= BC，AE=BE=2，
2
∴ ∠EDB=∠CBD，
∴ ∠ABD=∠EDB，
∴ ED=EB=2，
∴ EF=ED+DF=2+1=3，
∴ BC=2EF=6，
故选A．
5．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以
在AB外选一点C连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE．现测得
DE=24m，则AB= ．
【答案】48m
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关
键：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
由D是AC的中点，E是BC的中点可得DE是△ABC的中位线，由三角形的中位线定
1
理可得DE= AB，进而可得AB=2DE，由此即可求出AB的长．
2
【详解】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= AB，
2
∵DE=24m，
∴AB=2DE=2×24=48m，
故答案为：48m．6．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，
AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH
的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为 ．
❑√3
【答案】
2
1
【分析】连接AG，过点A作AM⊥BC交于点M．即可得EF= AG，结合图形可
2
得当AG⊥BC时EF最小，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接AG，EF，过点A作AM⊥BC交于点M．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=120°，
∴∠B=180°−∠C=60°，AD=BC=4，
∵点E为AH的中点，点F为GH的中点，
∴EF是△AHG的中位线，
1
∴EF= AG
2
∵要使线段EF最小，
∴AG最小即可，
则当AG⊥BC时最小，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAM=180°−∠AMB−∠B=30°，
1
∴BM= AB=1，
2
在 中，由勾股定理得 ，
Rt△ABM AM=❑√AB2−BM2=❑√22−12=❑√3∴AG的最小值为❑√3，
1 ❑√3
∴EF= AG= ．
2 2
❑√3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，平行
四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键．
7．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，△ABC，BD平分∠ABC，过点A作
AE⊥BD的延长线于点E，点F为AC的中点，连接EF，若AB=7，BC=3，则EF
的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．如图，延长
AE,BC交于点G，根据角平分线和垂线证得△ABE≌△GBE(ASA)，进而得到
AB=BG，AE=EG，再利用中位线的性质得到CG=2EF，即可求得答案．
【详解】解：如图，延长AE,BC交于点G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠GBE，
∵AG⊥BE，
∴∠AEB=∠GEB，
∵BE=BE，
∵△ABE≌△GBE(ASA)，∴AB=BG=7，AE=EG，
∴E是AG的中点，
∵F是边AC的中点，
∴EF是△ACG的中位线，
1
∴EF= CG，
2
∵BC=3，
∴CG=BG−BC=4，
∴EF=2．
故答案为：2．
8．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在△ABC中，CD平分∠BCA，AD⊥CD于点
D，点E为AB的中点．若AC=3，BC=7，则DE的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，延长AD，交CB
于点F，证明△ACD≌△FCD，利用性质求出AD=DF，最后用中位线定理即可求
解．
【详解】解：如图，延长AD，交CB于点F，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠FCD ，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠FDC=90°，
在△ACD和△FCD中，
{∠ACD=∠FCD
)
CD=CD ，
∠ADC=∠FDC∴△ACD≌△FCD(ASA)，
∴AD=DF，AC=CF=3，
∴BF=BC−CF=7−3=4，
∵点D为AF中点，点E为AB中点，
∴DE为△ABF的中位线，
1
∴DE= BF=2，
2
故答案为：2．
9．（24-25八年级上·山东烟台·期末）在 ▱ABCD中，点E为CD的中点，过点D作
DG⊥BC于点G，若点F为BG的中点，DG=6，BC=10，则EF的长为 ．
【答案】❑√34
【分析】本题考查中位线有关的计算，勾股定理，取DB中点O，连接OE，OF，则
1 1
OF是△BDG中位线，OE是△BDC中位线，得到OF= DG=3，OE= BC=5，
2 2
∠BFO=∠EOF=90°，最后在Rt△EOF中利用勾股定理计算即可．
【详解】解：连接DB，取DB中点O，连接OE，OF，
∵点F为BG的中点，
∴OF是△BDG中位线，
∵DG⊥BC，DG=6，
1
∴OF= DG=3，OF∥DG，
2
∴∠BFO=∠BGD=90°，
∵点E为CD的中点，
∴OE是△BDC中位线，1
∴OE= BC=5，OE∥BC，
2
∴∠BFO=∠EOF=90°，
∴ ，
EF=❑√OE2+OF2=❑√32+52=❑√34
故答案为：❑√34．
10．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，
点E在边BC上，且AD=3，BE=4，点M，N分别是AB，DE的中点，连接MN，
则线段MN的长为 ．
5 1
【答案】 /2 /2.5
2 2
【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的中位线以及全等三角形的判定和性质，
利用中线+平行构造全等三角形转化线段和角是解题关键．
根据利用中线+平行构造△GMB≌△DMA(ASA)，得BG=AD=3，GM=DM，由
勾股定理求出EG=5，再利用MN是△DEG中位线三角形的中位线可得
1 5
MN= BE= ．
2 2
【详解】解：如图，过点B作BG∥AD，连接DM并延长交BG于点G，连接EG，
∴∠GBM=∠A，
又∵BM=AM，∠GMB=∠DMA，
∴△GMB≌△DMA(ASA)，
∴BG=AD=3，GM=DM
∵∠C=90°，BG∥AD，
∴∠GBC=90°，∴在 中， ，
Rt△GBE EG=❑√BG2+BE2
∴ ，
EG=❑√32+42=5
又∵GM=DM，EN=DN，即MN是△DEG中位线，
1 1 5
∴MN= BE= ×5= ，
2 2 2
5
故答案为： ．
2
11．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知平行四边形
AD=BC=5,AB=CD=6,AB∥CD中AD=5,AB=6，E为AB的中点，DE⊥AB，
F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．
【答案】❑√10
【分析】取DE的中点H，连接FH，证明AD=BC=5,AB=CD=6,AB∥CD，得
1
到AE=BE= AB=3，求出DE=❑√AD2−AE2=❑√52−32=4，由DE的中点H，F
2
1 1
为CE的中点，得到HF∥AB∥CD,HF= CD=3，EH= DE=2，证明
2 2
，则 ，即可求出 ．
△AEG≌△FHG(ASA) HG=≥=1 GF=❑√GH2+H F2=❑√10
【详解】解：如图，取DE的中点H，连接FH，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD=5,AB=6，
∴AD=BC=5,AB=CD=6,AB∥CD，∵E为AB的中点，
1
∴AE=BE= AB=3
2
∵DE⊥AB，
∴
DE=❑√AD2−AE2=❑√52−32=4
∵DE的中点H，F为CE的中点，
1 1
∴HF∥AB∥CD,HF= CD=3，EH= DE=2
2 2
∴AE=HF=3,∠FHG=∠AEG=90°,∠HFG=∠EAG，
∴△AEG≌△FHG(ASA)，
1
∴HG=≥= HE=1，
2
∴ ，
GF=❑√GH2+H F2=❑√12+32=❑√10
故答案为：❑√10
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、全等三角形
的判定和性质等知识，构造中位线是解题的关键．
12．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=6，
BC=8，点E、F、G分别是AD、BD、DC的中点，连接EG，则EG的长为
【答案】5
【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理．利用勾股定理求得AC=10，再
1
利用三角形中位线定理求得EG= AC，即可求解．
2
【详解】解：连接AC，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴ ，
AC=❑√62+82=10
∵点E、G分别是AD、DC的中点，
1
∴EG= AC=5，
2
故答案为：5．
13．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在四边形ABCD中，
AD=BC，P、M、N、Q分别是BD、DC、AB、AC的中点，若AD=8，则
四边形PMQN的周长为 ．
【答案】16
【分析】本题考查三角形的中位线定理．熟练掌握中位线定理，是解题的关键．利用
中位线定理，进行求解即可．
【详解】解：∵AD=BC=8，P、M、N、Q分别是BD、DC、AB、AC的中
点，
1 1
∴PN=QM= AD=4，PM=QN= BC=4，
2 2
∴四边形EGFH的周长为FG+EH+EG+FH=4+4+4+4=16；
故答案为：16．
【题型2三角形中位线与三角形面积问题】
14．（22-23八年级下·山东滨州·期中）如图所示，任意四边形ABCD，点E，F，G，H
分别为AB、BC、CD、DA的中点，若四边形ABCD的面积为m，那么四边形EFGH的面积是（ ）
1 1 1 1
A． m B． m C． m2 D． m2
2 4 2 4
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，连接BD，过点A作
1
AM⊥BD于M，交EH于N，根据三角形中位线定理得到EH∥BD，EH= BD，
2
得到AN⊥EH，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，连接BD，过点A作AM⊥BD于M，交EH于N，
∵ E H AB DA
点 ， 分别为 、 的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
1
∴EH∥BD，EH= BD，
2
∴AN⊥EH，
∵点E为AB的中点，EH∥BD，
1
∴AN= AM，
2
1
∴S = S ，
△AEH 4 △ABD
1 1 1
同理可得：S = S ，S = S ，S = S
△CFG 4 △CBD △BEF 4 △CBA △DHG 4 △CDA
(1 1 1 1 ) 1
S =S −S −S −S −S =m− S + S + S + S = m
四边形EFGH 四边形ABCD △CFG △AEH △BEF △DHG 4 △ABD 4 △CBD 4 △ABC 4 △ACD 2
故选：A．15．（23-24八年级下·福建漳州·期末）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了
证明三角形面积公式的出人相补法．如图，在△ABC中，分别取AB,AC的中点D,E，
连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG，若
DE=6,GB=4，则△ABC的面积是（ ）
A．60 B．48 C．36 D．24
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质、矩形的性质，熟
记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出BC，证
明△AFD≌△BGD，根据全等三角形的性质得到GB=AF=4，根据矩形的面积公式
计算，得到答案．
【详解】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，AD=DB，
∴BC=2DE=2×6=12，
在△AFD和△BGD中，
{∠AFD=∠BGD=90°
)
∠ADF=∠BDG ，
AD=BD
∴△AFD≌△BGD(AAS)，
∴GB=AF=4，
∴长方形BCHG的面积为：4×12=48，
∴△ABC的面积是48，
故选：B．
16．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在△ABC中，AB=8，点D在BC边上，
DA=DB=DC，点E是△ABC内部一点，EA=EB=5，延长BE交AC于点F，连接
DE，且DE=2，则△ABC的面积是（ ）A．32 B．36 C．40 D．44
【答案】C
【分析】由DA=DB=DC，可得∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，由三角形内
角和定理可求∠BAC=90°，由EA=EB=5，可得∠EBA=∠EAB，由
∠EBA+∠EFA=90°=∠EAB+∠EAF，可求∠EFA=∠EAF，则EA=EF=EB，
即E为BF的中点，BF=10，由勾股定理得，AF=❑√BF2−AB2=6，由D为BC的中
1 1
点，可得DE= CF=2，可求CF=4，则AC=10，根据S = AB×AC求解作答
2 △ABC 2
即可．
【详解】解：∵DA=DB=DC，
∴∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，
∵∠DBA+∠DAB+∠DAC+∠DCA=180°，
∴∠DAB+∠DAC=90°=∠BAC，
∵EA=EB=5，
∴∠EBA=∠EAB，
∵∠EBA+∠EFA=90°=∠EAB+∠EAF，
∴∠EFA=∠EAF，
∴EA=EF=EB，即E为BF的中点，
∴BF=10，
由勾股定理得，AF=❑√BF2−AB2=6，
又∵D为BC的中点，
1
∴DE= CF=2，
2
解得，CF=4，
∴AC=10，1 1
∴S = AB×AC= ×8×10=40，
△ABC 2 2
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，中位线
等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，中位线是
解题的关键．
17．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中
点，F是AB边上的一个动点，连结DE，EF，FD．若△ABC的面积为20，则△≝¿
的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平
行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
连接BE，根据三角形的面积公式求出△DEB的面积，根据三角形中位线定理得到
DE∥AB，得到△≝¿的面积=△DEB的面积，得到答案．
【详解】解：连接BE，
∵点E是AC的中点，△ABC的面积的为20，
1
∴△CEB的面积= ×△ABC的面积=10，
2
∵点D是BC的中点，
1
∴△DEB的面积= ×△CEB的面积=5，
2
∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE∥AB，
∴△≝¿的面积=△DEB的面积=5，
故选：C．18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，AB=25，BC=24，D、E分
别是AB，BC的中点，连接DE、CD，如果DE=3.5，那么△ACB的面积是 ．
【答案】84
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理的逆定理．根据三角形中位线定
理得到AC=2DE=7，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，最后根据三角形的
面积公式计算即可．
【详解】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=7，
∴AC2+BC2=72+242=625，
∵AB2=252=625，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
1 1
∴△ACB的面积= AC×BC= ×7×24=84，
2 2
故答案为：84．
19．（22-23九年级下·江苏宿迁·自主招生）如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边
上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于 ．【答案】16
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，三角形中线的性质，平行四边形的判定及
性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．
连接DE，过点E作EF∥BD，交CB的延长线于点F．根据中位线的性质，
1
DE= BC，DE∥BC，从而得到四边形DEFB是平行四边形，求得EF=DB=4，
2
1 2 2
进而求得S = EF⋅CE=12，由BC= FC可得到S = S =8，最后根据
△CEF 2 3 △BCE 3 △CEF
三角形中线的性质即可得出△ABC的面积．
【详解】解：连接DE，过点E作EF∥BD，交CB的延长线于点F．
∵BD和CE分别是两边上的中线
1
∴DE= BC，DE∥BC，
2
∵EF∥BD，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴EF=DB=4，
∵EF∥BD，BD⊥CE
∴EF⊥CE，
1 1
∴S = EF⋅CE= ×4×6=12，
△CEF 2 2
∵四边形DEFB是平行四边形，
1
∴BF=DE= BC，
2
2
∴BC= FC，
3
2 2
∴S = S = ×12=8，
△BCE 3 △CEF 3∵CE是△ABC的中线，
∴S =2S =2×8=16
△ABC △BCE
故答案为：16
20．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形纸片ABCD中，
AB=4cm，∠ABC=60°，∠BAC=90°， 将纸片沿对角线AC对折，CF交边AD
于点E，则折叠后图中重合部分的面积是 cm2．
【答案】4❑√3
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，首先推
1
导出△BCF为等边三角形，由∠ACD=90°，求得S = AC⋅CD，再证明出点
△ACD 2
1
E为AD的中点，得到S = S ，可求出面积
△ACE 2 △ACD
【详解】解：∵△ABC折叠至△ACF处，∠ABC=∠F=60°，∠BAC=90°，
∴△BCF为等边三角形，
∴AB=AF=4cm,BC=BF=CF=8cm,
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD,
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∴AC=❑√BC2−AB2=❑√82−42=4❑√3(cm)，CD=AB=4cm,
1 1
∴S = AC⋅CD= ×4❑√3×4=8❑√3(cm2)，
△ACD 2 2
∵AE∥BC，
∴∠FAE=∠B=60°,∠FEA=∠FCB=60°,
∴∠F=∠FBE=∠FEB=60°,
∴FA=EA=FE,1 1 1 1
∴EA=EF= FB= BC= CF= AD
2 2 2 2
∴点E为AD的中点，
1 1
∴折叠重合部分的面积为：S = S = ×8❑√3=4❑√3(cm2)，
△ACE 2 △ACD 2
故答案为：4❑√3
【题型3与三角形中位线有关的证明】
21．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）我们学习了三角形中位线定理：三角形中位线平
行于第三边并且等于第三边的一半．
在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点． 通过延长DE至F，使DE=FE，连接
1
CF，易证：DE∥BC且DE= BC．
2
【探究学习】
如果将△ADE截去，剩下梯形BCED且DE∥BC，取BD、CE的中点M、N，连接
MN，则MN叫梯形BCED的中位线，探索MN与BC和DE的关系． 写出结论 ，请
证明你的结论；
【学以致用】
在梯形BCED中，DE∥BC，∠B=30°，BD=8cm，M、N分别是BD、CE的中点，
MN=12cm，求梯形BCED的面积．1
【答案】[探究学习]：MN∥DE∥BC且MN= (BC+DE)，证明见解析；[学以致
2
用]48cm2
【分析】[探究学习]
连接DN并延长交BC延长线于F，易证△DEN≌△FCN，则可得DN=FN，因此
1
MN是△DBF的中位线．根据三角形的中位线的性质可得MN∥BF且MN= BF 由
2
1
此可得MN∥DE∥BC且MN= (BC+DE)．
2
[学以致用]
由梯形的中位线的性质可得DE+BC=2MN=24，过点D作DG⊥BC于点G，根据
三角函数的定义求出DG的长，最后再根据梯形的面积公式即可求出梯形BCED的面
积．
【详解】[探究学习]
连接DN并延长交BC延长线于F，
∵梯形BCED且DE∥BC，
∴∠DEN=∠NCF，
∵N是CE的中点，
∴NE=NC，
又∵∠DNE=∠CNF，
∴△DEN≌△FCN，
∴DN=FN，
又∵M是BD的中点，
∴ MN是△DBF的中位线，
1
∴MN∥BF且MN= BF ，
2
1
∴MN∥DE∥BC且MN= (BC+DE)．
21
故结论为：MN∥DE∥BC且MN= (BC+DE)．
2
[学以致用]
∵M、N分别是BD、CE的中点，MN=12cm，
∴DE+BC=24，
过点D作DG⊥BC于点G，
∵∠B=30° BD=8cm
， ，
∴DG=4，
1 1
∴S = (BC+DE)⋅DG= ×24×4=48cm2 ．
梯形BCED 2 2
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以
及梯形的面积公式，熟练掌握三角形中位线的判定和性质，灵活运用转化的思想解决
问题是解题的关键．
22．（2024·江苏扬州·一模）如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长
1
BC至点F，使CF= BC，连接CD和EF．
2
(1)求证：四边形DEFC是平行四边形．(2)如图2，当△ABC是等边三角形且边长是12时，求四边形DEFC的面积．
【答案】(1)见解析
(2)18❑√3
1 1
【分析】（1）由三角形中位线定理得DE= BC，DE∥BC，再由CF= BC，得
2 2
DE=CF，即可得出结论；
1
（2）过点D作DH⊥BC于H，由等边三角形的性质得∠B=60°，BD= AB=6，
2
1
则∠BDH=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BH= DB=3，由勾股定理
2
1
得DH=3❑√3，然后由CF= CB=6，即可求解．
2
【详解】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= BC，DE∥BC，
2
1
∵CF= BC，
2
∴DE=CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：
∵△ABC D AB
是等边三角形， 为 的中点
1
∴∠B=60°，BD= AB=6，
2
∵∠DHB=90°，
∴∠BDH=30°，
1
∴BH= DB=3，
2∴DH=❑√BD2−BH2=❑√62−32=3❑√3，
1
∵CF= CB=6，
2
∴S =CF⋅DH=6×3❑√3=18❑√3．
四边形DEFC
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定
理、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，
证明四边形DEFC为平行四边形是解题的关键．
23．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知，△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别是边AB，
AC，BC的中点，连接DF与EF．
(1)如图1，求证：四边形ADFE是菱形；
(2)如图2，连接DE，若AB=5cm，BC=6cm，请直接写出图中所有长为3cm的线段
和四边形ADFE的面积．
【答案】(1)见解析
(2)BF、CF、DE，6cm2
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，中位线的性质，勾股定理；
（1）利用已知条件和中位线性质，即可证明四边形DFBE是菱形；
（2）根据中点的性质以及中位线的性质得出DE=BF=FC=3cm,连接AF，根据三
线合一可得AF⊥BC，进而勾股定理求得AF的长，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，
1 1
∴DF= AC=AE，EF= AB=AD
2 2
∵AB=AC
∴AD=DF=EF=AE
∴四边形ADFE是菱形；
（2）解：∵BC=6cm，F是边BC的中点，∴BF=FC=3cm
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
1
∴DE= BC=3cm
2
连接AF，
∵BF=FC,AB=AC
∴AF⊥BC
在Rt△ABF中，AF=❑√AB2−BF2=❑√52−32=4
1 1
∴菱形ADFE的面积为 AF×DE= ×4×3=6cm2
2 2
24．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】
（1）如图1，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证：
①AB=CD；
②AB∥CD；
【迁移应用】
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠B+∠C=90°，E，F分别是边AD，BC的中
点，连接EF，猜想AB，CD，EF三条线段的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）4EF2=AB2+CD2，证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理：
（1）①证明△AOB≌△COD(SAS)，即可得出结论；
②由△AOB≌△COD(SAS)得∠A=∠C，再由平行线的判定即可证明；
（2）连接BD，取BD的中点G，连接EG，FG，利用三角形的中位线定理，结合勾股定理即可得出结论．
【详解】解：（1）①∵ OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴ △AOB≌△COD(SAS)，
∴ AB=CD；
②由①知，△AOB≌△COD，
∴ ∠A=∠C，
∴ AB∥CD；
（2）4EF2=AB2+CD2，证明如下：
连接BD，取BD的中点G，连接EG，FG，
∵E，F分别是边AD，BC的中点，
1 1
∴¿∥AB,≥= AB,FG∥CD,FG= CD，
2 2
∴∠EGD=∠ABD,∠GFB=∠C，
∵∠DGF=∠DBC+∠GFB=∠DBC+∠C，
∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=∠ABD+∠DBF+∠C=∠ABC+∠C=90°，
∴EF2=EG2+FG2，
1 1
∴EF2= AB2+ AC2
，
4 4
∴4EF2=AB2+CD2．
25．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,E,F分别是
1
BC,AC的中点，延长BA到点D，使AD= AB．连接DE,DF．
2
(1)求证：AF与DE互相平分；
(2)若∠ABC=60°,BC=4，求DF的长．【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判
定与性质等知识；
1 1
（1）利用三角形中位线定理可得出EF∥AB， EF= AB，结合AD= AB，得出
2 2
EF=AD，可证明四边形AEFD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可得证；
（2）先证明△ABC为等边三角形，可得AE=BE=2，再利用平行四边形性质求解即
可．
【详解】（1）证明：连接EF，AE．
∵点E，F分别为BC、AC的中点，
1
∴EF∥AB， EF= AB．
2
1
又∵AD= AB，
2
∴EF=AD．
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
∴AF与DE互相平分．
（2）解：在Rt△ABC中，∠ABC=60°,BC=4，E为BC的中点，
1
∴BE= BC=2，∠ACB=30°，
2
1
∴AB= BC=2，
2
∴AB=BE，
∴△ABC为等边三角形，
∴AE=BE=2，
又∵四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE=2．
26．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，并
将OA，OB，BC，AC的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形DEFH．
(1)求证：四边形DEFH是平行四边形．
(2)如果∠OAB=45°，∠ABO=30°，OB=8，求DE的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE的长是2+2❑√3．
【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正
确地作出辅助线是解题的关键．
（1）由D，E，F，H分别是OA，OB，BC，AC的中点，根据三角形中位线定理
得DE∥HF，且DE=HF，即可证明四边形DEFH是平行四边形；
（2）作OG⊥AB于点G，因为∠OAB=45°，∠ABO=30°，OB=8，利用等腰
三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求得AG=OG=4，BG=4❑√3，再根
据三角形中位线定理求得即可．
【详解】（1）证明：∵D，E，F，H分别是OA，OB，BC，AC的中点，
1 1
∴DE∥AB，且DE= AB，HF∥AB，且HF= AB，
2 2
∴DE∥HF，且DE=HF，
∴四边形DEFH是平行四边形；
（2）解：作OG⊥AB于点G，则∠AGO=∠BGO=90°，∵∠OAB=45°，∠ABO=30°，OB=8，
1
∴∠AOG=∠OAB=45°，OG= OB=4，
2
∴AG=OG=4，BG=❑√OB2−OG2=4❑√3，
∴AB=AG+BG=4+4❑√3，
1 1
∴DE= AB= ×(4+4❑√3)=2+2❑√3，
2 2
∴DE的长是2+2❑√3．
27．（23-24八年级下·全国·期中）如图，点E为平行四边形ABCD的边AD上的一点，连
接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG.H为FG的中点，
连接DH,AF．
(1)求证：四边形AFHD为平行四边形；
(2)连接EH，交BC于点O，若OB=OE,FG=8，求OH的长度．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等
知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，再证BC是△EFG的中位线，得
1
BC∥FG，BC= FG，证出AD∥FH，AD∥FH，然后由平行四边形的判定即可
2
得出结论；
（2）连接BH、EH、CH，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解
答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠BAE=∠BCD，
∵BF=BE，CG=CE，∴BC是△EFG的中位线，
1
∴BC∥FG，BC= FG，
2
∵H为FG的中点，
1
∴FH= FG，
2
∴BC∥FH，BC=FH，
∴AD∥FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（2）解：如图，连接BH、EH、CH，
∵CE=CG FH=HG
， ，
1
∴CH= EF，CH∥EF，
2
1
∵EB=BF= EF，
2
∴BE=CH，
∴四边形EBHC是平行四边形，
∴OB=OC，OE=OH，
∵OB=OE，
1
∴OE=OH=OB=OC= BC，
2
1 1
又∵BC= FG=BC= ×8=4，
2 2
∴OH=2．
28．（22-23八年级下·辽宁本溪·期末）如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且
CE=DC，连接AE，分别交BC,BD于点F,G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：
(1)BF=CF
(2)判断AB与OF的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)详见解析
1
(2)AB∥OF,OF= AB，详见解析
2
【分析】本题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位
线定理等知识，证明△ABF≌△ECF是解题的关键；
（1）由平行四边形的性质得BA∥DC，BA=DC，则∠BAF=∠E，而CE=DC，
所以BA=CE，即可根据“AAS”证明△ABF≌△ECF，得BF=CF；
1
（2）由AO=CO，BF=CF，根据三角形的中位线定理得OF∥AB，且OF= AB，
2
所以AB∥OF，AB=2OF．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥DC，BA=DC，
∴∠BAF=∠E，
∵CE=DC，
∴BA=CE，
在△ABF和△ECF中，
{
∠BAF=∠E
)
∠AFB=∠EFC ，
BA=CE
∴△ABF≌△ECF(AAS)，
∴BF=CF．
（2）解：AB∥OF，AB=2OF，
证明：▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，
∴AO=CO，由（1）得BF=CF，
∴OF是△ABC的中位线，
1
∴OF∥AB，且OF= AB，
2
∴AB∥OF，AB=2OF．
29．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于
点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若AC+BD=40，AB=12，求△OEF的周长．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质；
1
（1）由平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，由中点的性质可得EO= AO，
2
1 1 1
GO= CO，FO= BO，HO= DO，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可
2 2 2
得结论；
（2）由平行四边形的性质可得EO+FO=9，由三角形中位线定理可得EF=6，即可
求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO，
∵E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点．
1 1 1 1
∴EO= AO，GO= CO，FO= BO，HO= DO，
2 2 2 2
∴EO=GO，FO=HO，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：∵AC+BD=40，
∴AO+BO=20，∴EO+FO=10，
∵E、F分别是AO、BO的中点，
1
∴EF= AB，且AB=12，
2
∴EF=6，
∴△OEF的周长=OE+OF+EF=10+6=16．
【题型4 三角形中位线的实际应用】
30．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，小义同学想测量池塘A，B两处之间的距离．
他先在A，B外选一点C，然后步测AC,BC的中点为D，E， 测得DE=20m， 则
A，B之间的距离为（ ）
A．10m B．20m C．30m D．40m
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是AC、BC的中点，即DE
是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于
第三边的一半，即可求解．
【详解】解：∵D，E是AC、BC的中点，即DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= AB,
2
∵DE=20m，
∴AB=2DE=2×20=40(m)．
故选：D．
31．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，
DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=40cm，则B，C两点的距离为
（ ）A．50cm B．60cm C．70cm D．80cm
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质2等知识点，熟练掌
握三角形的中位线定理是解题的关键．
利用三角形的中位线定理即可直接得出答案．
【详解】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
1
∴DE= BC，
2
∴BC=2DE=2×40cm=80cm，
故选：D．
32．（24-25九年级上·山西临汾·期中）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在
成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安
湖的一侧选取一点O，分别取OA，OB的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，
故无法测量线段MN的长，于是贝贝在AO，BO延长线上分别选取P，Q两点，且满
足OP=ON，OQ=OM，贝贝测得线段PQ=90米，则A，B两点间的距离是（ ）
米．
A．120 B．140 C．160 D．180
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形
中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明△OMN≌△OQP，根据全等三角形的
性质求出MN，再根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：在△OMN和△OQP中，{
ON=OP
)
∠MON=∠QOP ，
OM=OQ
∴△OMN≌△OQP(SAS)，
∴MN=PQ=90米，
∵点M，N分别为OA，OB的中点，
∴MN是△OAB的中位线，
∴AB=2MN=180米，
故选：D．
33．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB=CD=2，且
AB与CD不平行，F、G、H分别是AC、BC、BD的中点，当△GFH的面积最大时，
△GFH的周长为 ．
【答案】2+❑√2/❑√2+2
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，三角形的中位线的性质，作FK⊥GH于点
K，如图所示，由三角形的中位线的性质可得FG=GH=1，结合三角形的面积公式
可得当K,G重合时，△GFH的面积最大，此时FG⊥GH，FG=GH=1，再进一步
解答可得答案；
【详解】解：作FK⊥GH于点K，如图所示，
∵F、G、H分别是AC、BC、BD的中点，AB=CD=2，
1 1
∴FG= AB=1，GH= CD=1，
2 2
1 1
∴S = ×GH×FK= FK，
△GFH 2 2
∵AB与CD不平行，
∴F，H不能重合，∴F、G、H是三角形的三个顶点，
∵FK⊥GH，
∴FK是△GFH的边GH上的高，
∴FK>0，
∵FK≤FG=1，
当K,G重合时，△GFH的面积最大，此时FG⊥GH，FG=GH=1，
∴FH=❑√12+12=❑√2，
此时△GFH的周长为：2+❑√2；
故答案为：2+❑√2．
34．（21-22八年级上·甘肃张掖·期中）已知一个直角三角形的两条直角边BC和AC分别为
6、8．E点F点分别为AC和BC的中点，则EF= ，斜边的高线CH=
．
【答案】 5 4.8
【分析】由勾股定理可求出AB，根据中位线定理即可求出EF；根据
1 1
×AC×BC= ×AB×CH即可求出CH．
2 2
【详解】解：∵BC=6,AC=8
∴AB=❑√AC2+BC2=10
∵E点F点分别为AC和BC的中点
1
∴EF= AB=5
2
1 1
∵ ×AC×BC= ×AB×CH
2 2
1 1
∴ ×6×8= ×10×CH
2 2
∴CH=4.8故答案为：5，4.8
【点睛】本题考查了勾股定理、中位线的性质定理．掌握中位线的性质是解题关键．
35．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】
如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．
任务
皮尺 皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点
间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）；
测量
工具
测角仪 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可
及的P， Q两点，可测得∠POQ的大小．
小明的测量及求解过程
（1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得AC=am,BC=bm；
a b
（2）分别在AC，BC上用皮尺测得CM= m,CN= m，测得MN=cm．
2 2
测量
过程
由测量可知：
a b
∵AC=am,BC=bm，CM= m,CN= m，
2 2
求解
∴点M是AC的中点， 点N是BC的中点，
过程
∴MN是△ABC的______
∵MN=cm，
∴AB=______m．
(1)把小明的求解过程补充完整；(2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ；
(3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的
知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量
得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．
【答案】(1)见解析
(2)三角形的中位线等于第三边的一半
c
(3)示意图见解析，AB= m
2
【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征．
（1）根据三角形中位线的性质即可解答；
（2）三角形的中位线等于第三边的一半；
（3）用测角仪在点A处测出∠BAP=90°，在射线AP上找一点G，用测角仪测出
∠AGB=30°，然后用皮尺测量出BG=cm，利用含30度直角三角的特征即可解答．
a b
【详解】（1）解：∵AC=am,BC=bm，CM= m,CN= m，
2 2
∴点M是AC的中点， 点N是BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∵MN=cm，
∴AB=2cm．
（2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离，
依据是：三角形的中位线等于第三边的一半；
（3）解：如图，∵∠BAP=90°,∠AGB=30°,BG=cm
，
1 c
∴AB= BG= m．
2 2
