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专题 02 勾股定理的逆定理（三大类型）
【题型1 运用勾股定理的逆定理判段直角三角形】
【题型2 勾股数】
【题型3 勾股定理的逆定理的应用】
【题型1 运用勾股定理的逆定理判段直角三角形】
1．（2023秋•双流区期末）下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C． D．8，15，16
【答案】A
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、22+（ ）2≠22，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、82+152≠162，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：A．
2．（2023秋•市北区期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，则由
下列条件能判定△ABC为直角三角形的有（ ）
（1）∠A+∠B＝∠C
（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3
（3）a2＝c2﹣b2
（4）a：b：c＝1：2：3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【解答】解：（1）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝ ，
∴△ABC为直角三角形；
（3）∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形；
（4）∵a：b：c＝1：2：3，
∴设a＝k，b＝2k，c＝3k（其中k≠0），
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故选：C．
3．（2022秋•拱墅区校级期末）△ABC三边长为a、b、c，则下列条件能判断△ABC是直
角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝8，c＝10 B．
C．a＝12，b＝5，c＝13 D．a＝3，b＝4，c＝6
【答案】C
【解答】解：A、∵72+82≠102，∴△ABC不是直角三角形；
B、∵（ ）2+22≠（ ）2，∴△ABC不是直角三角形；
C、∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形；
D、∵32+42≠62，∴△ABC不是直角三角形；
故选：C．
4．（2023秋•昌黎县期末）下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB：BC：AC＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：2：
C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【答案】D
【解答】解：A．设AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a，因为AB2+BC2＝（3a）2+（4a）2＝
25a2，AC2＝（5a）2＝25a2，即AB2+BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，故A选项不
符合题意；
B．设AB＝a，BC＝2a，AC＝ a，因为AB2+AC2＝a2+（ a）2＝4a2，BC2＝（2a）2
＝4a2，即AB2+AC2＝BC2，所以△ABC是直角三角形，故B选项不符合题意；
C．由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A﹣∠B＝∠C，可得∠A＝90°，所以△ABC是直角三角
形，故C选项不符合题意；
D．因为∠A：∠B：∠C＝3：4：5，所以 ＝45°，
＝60°， ，所以△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意．
故选：D．
5．（2022秋•淮安区期中）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有
一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：选项A如图：A、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，AB2＝12+42＝17，∴△ABC不是直角三角形，
故本选项正确；
选项B如图：
B、∵AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，故
本选项错误；
选项C如图：
C、∵AB2＝22+22＝8，AC2＝22+22＝8，BC2＝16，∴△ABC是直角三角形，故本选项错
误；
选项D如图：
D、∵AC2＝12+32＝10，BC2＝12+32＝10，AB2＝22+42＝20，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误．
A．
故选：
【题型2 勾股数】
6．（2023秋•南明区期末）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13
【答案】A
【解答】解：A、∵32+42＝52，∴3，4，5是勾股数，符合题意；
B、∵12+22≠32，∴1，2，3不是勾股数，不符合题意；
C、∵82+102≠162，∴8，10，16不是勾股数，不符合题意；
D、∵52+102≠132，∴5，10，13不是勾股数，不符合题意．
故选：A．
7．（2023秋•新民市期末）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．2，4，6 B．1，2，3
C．8，15，17 D．0.3，0.4，0.5
【答案】C
【解答】解：A、22+42≠62，不能构成勾股数，不符合题意；
B、22+12≠32，所以不能构成勾股数，不符合题意；
C、152+82＝172，能构成勾股数，符合题意．
D、0.3，0.4，0.5不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意；
故选：C．
8．（2023秋•甘州区校级期末）下面四组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，2.5 D．5，12，13
【答案】D
【解答】解：A、62+72≠82，不能构成勾股数，故错误；
B、52+82≠132，不能构成勾股数，故错误；
C、1.52+22＝2.52，不是正整数，不能构成勾股数，故错误；
D、52+122＝132，能构成勾股数，故正确．
故选：D．
9．（2023秋•宿豫区期中）下列各组数是勾股数的为（ ）A．1.5，2，2.5 B． ， ， C．3，4，5 D．13，14，15
【答案】C
【解答】解：1.5，2，2.5不都是正整数，不是勾股数，故选项A不符合题意；
B、 ， ， 不都是正整数，不是勾股数，故选项B不符合题意；
C、32+42＝52，是勾股数，故选项C符合题意．
D、132+142≠152，不是勾股数，故选项D不符合题意．
C．
故选：
【题型3 勾股定理的逆定理的应用】
10．（2023秋•黎川县校级期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，求下
列问题：
（1）试说明△ABC是直角三角形；
（2）求点C到AB的距离．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【解答】解：（1）由图可知：
BC2＝12+22＝5，AC2＝42+22＝20，AB2＝42+32＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）可知： ， ， ，
∴ ，∴点C到AB的距离是 ．
11．（2023春•西宁期末）如图，在△ABC中，D是BC上的一点，AC＝4，CD＝3，AD＝
5，AB＝4 ．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）求BD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AC2+CD2＝42+32＝25，AD2＝52＝25，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠C＝90°；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC＝ ＝ ＝8，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5．
12．（2022秋•陈仓区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝ ，点D在AB上，且
BD＝1，CD＝2．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．
【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵在△BCD中，BD＝1，CD＝2，BC＝ ，
∴BD2+CD2＝12+22＝（ ）2＝BC2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵AB＝4，DB＝1，
∴AD＝3，
在Rt△ACD中，∵CD＝2，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∴AC的长为 ．
13．（2023春•台江区期末）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点．
（1）求AB和BC；
（2）求∠ABC的度数．
【答案】（1） ， ；
（2）45°．
【解答】解：（1）连接AC．
根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，
∴AB＝ ，BC＝ ；
（2）∵AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5，
∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．
14．（2023春•武昌区期中）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB
＝3，AD＝10，CD＝8．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析部分；
（2） +24．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6，
在△ACD中，AC＝6，CD＝8，AD＝10，
∵82+62＝102，即AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，即△ACD是直角三角形；
（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝6，
∴BC＝ ＝3 ，
∴Rt△ABC的面积为 •AB•BC＝ ×3×3 ＝ ，
又∵Rt△ACD的面积为 •AC•CD＝ ×8×6＝24，
∴四边形ABCD的面积为： +24．
15．（2023秋•工业园区校级期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的
顶点在格点上．（1）直接写出AB＝ ，BC＝ 2 ，AC＝ ；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）直接写出AC边上的高＝ ．
【答案】（1） ，2 ， ；
（2）△ABC为直角三角形，理由见解答；
（3） ．
【解答】解：（1）由勾股定理得：
AB＝ ＝ ，
BC＝ ＝2 ，
AC＝ ＝ ．
故答案为： ，2 ， ；
（2）△ABC为直角三角形，
理由：∵AB2＝13，BC2＝52，AC2＝65，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为直角三角形；
（3）△ABC的面积＝ AB•BC＝ × ×2 ＝13，
则AC边上的高＝13×2÷ ＝ ．
故答案为： ．16．（2023秋•淮安区期中）如图，四边形ABCD中，AD＝3，AB＝4，BC＝12，CD＝
13，∠A＝90°，计算四边形ABCD的面积．
【答案】36．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝4，AD＝3，
∴BD＝ ＝ ＝5，
在△BCD中，BD2+BC2＝25+144＝169＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴S四边形ABCD ＝ AB•AD+ BD•BC＝ ×3×4+ ×5×12＝36．
答：四边形ABCD的面积是36．
17．（2023秋•崂山区校级期末）如图，点 D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝
BD＝4，CD＝2．
（1）求BC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）2 ；
（2）4 ﹣4．
【解答】解：（1）∵∠BDC＝90°，BD＝4，CD＝2，
∴BC＝ ＝ ＝2 ，（2）∵AB＝6，AC＝4，
∴AC2+BC2＝42+（2 ）2＝16+20＝36＝62＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影 ＝S△ACB ﹣S△BDC ＝ ×4×2 ﹣ ×4×2＝4 ﹣4．
故图中阴影部分的面积为4 ﹣4．
18．（2023春•怀化期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝8，AC＝6，DC＝
．
（1）求AD，BD的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1） ， ；（2）△ABC 是直角三角形，理由见解答．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
在 Rt△ADC 中，AD＝ ＝ ＝ ，
在 Rt△ADB 中，BD＝ ＝ ＝ ；
（2）△ABC 是直角三角形，理由如下：
由（1）知 ，
∴BD+CD＝ + ＝10，
∵AB2+AC2＝82+62＝100＝102，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC 是直角三角形．19．（2023春•津南区期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9．
（1）求AC的长；
（2）判断△ABC的形状并证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于D，AB＝20，BC＝15，DC＝9，
∴BD＝ ，
AD＝ ，
∴AC＝AD+BC＝16+9＝25；
（2）∵AC＝25，BC＝15，AB＝20，202+152＝252，
∴△ABC是直角三角形．
20．（2023春•平舆县期末）已知平面直角坐标系内有两点P （x ，y ），P （x ，y ）．
1 1 1 2 2 2
（1）若|P P |表示这两点间的距离，求证：|P P |＝ ．
1 2 1 2
（2）试判断点A（4，﹣4），B（﹣1，5），C（2，1）是否构成直角三角形．
【答案】（1）见解析过程；
（2）不能构成直角三角形．
【解答】（1）证明：如图所示，构造直角三角形P P Q，则P Q＝|y ﹣y |，P Q＝|x ﹣
1 2 1 1 2 2 1
x |，
2
由勾股定理可得：P P ＝ ＝ ．
1 2（2）解：由（1）可得：
|AB|＝ ＝ ，|BC|＝ ＝ ，|AC|＝
＝ ，
∴BC2+AC2≠AB2，
∴它们不能构成直角三角形．
21．（2022秋•渭滨区期末）如图，在四边形 ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD
＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
∵AB＝4，BC＝3，根据勾股定理得：AC＝ ＝ ＝5，
又∵AD＝13，CD＝12，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD ＝ AB•BC+ AC•CD＝ ×3×4+ ×12×5＝36，
答：四边形ABCD的面积36．
22．（2023春•魏县期末）如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为 1．四边
形ABCD的四个点都在格点上．
（1）求四边形ABCD的面积和周长；
（2）∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）四边形ABCD的面积为10.5，周长为 ；
（2）是，证明见解析．
【 解 答 】 （ 1 ） 解 ： 四 边 形 ABCD 的 面 积 ＝
＝20﹣1﹣2.5﹣4﹣2
＝10.5；
∵CD2＝12+22＝5，AD2＝12+22＝5，BC2＝12+52＝26，AB2＝22+42＝20，
∴ ， ， ， ，
∴四边形ABCD的周长＝ ，
∴四边形ABCD的面积为10.5，周长为 ；（2）解：连接BD，如图，
由题意得：BD2＝42+32＝25，
∵AD2+AB2＝5+20＝25，
∴BD2＝AD2+AB2，
∴△BAD是直角三角形，
∴∠BAD是直角．
23．（2023春•康县期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠ADC应为直角，工人师傅
测得∠BAC＝90°，AD＝3，CD＝4，AB＝12，BC＝13．请你帮他看一下，这个零件符
合要求吗？为什么．
【答案】这个零件符合要求，理由见解析．
【解答】解：这个零件符合要求，理由如下：
连接AC．
∵∠BAC＝90°，AB＝12，BC＝13，
∴AC＝ ＝ ＝5，
∵AD＝3，CD＝4，32+42＝52，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
故这个零件符合要求．24．（2023春•抚宁区期末）如图，每个小正方形的边长为1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求证：∠BCD＝90°．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：由题意可知AB＝3 ，BC＝ ，CD＝ ，AD＝5 ，
∴四边形ABCD的周长为8 +2 ．
（2）证明：连接BD．
∵BC＝ ，CD＝ ，BD＝ ，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
即∠BCD＝90°．25．（2023春•惠州校级期中）如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、
“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海
里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口 小时后相距30海里．如果知道
“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，得
PQ＝16×1.5＝24（海里），
PR＝12×1.5＝18（海里），
QR＝30（海里），
∵242+182＝302，
即PQ2+PR2＝QR2，
∴∠QPR＝90°．
由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°，
即“海天”号沿西北方向航行．
26．（2023春•京山市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
CD＝5，DA＝5 ．
（1）求△BCD的面积；（2）求BD的长．
【答案】（1）8；
（2） ．
【解答】解：（1）作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：
则∠M＝90°，
∴∠DCM+∠CDM＝90°，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC2＝AB2+BC2＝25，
∴AC＝5，
∵AD＝5 ，CD＝5，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCM＝90°，
∴∠ACB＝∠CDM，
∵∠ABC＝∠M＝90°，
在△ABC和△CMD中
∴△ABC≌△CMD（AAS），
∴CM＝AB＝3，DM＝BC＝4，
∴△BCD的面积＝ ，（2）∵CM＝3，BC＝4，
∴BM＝BC+CM＝7，
∴BD＝ ．
27．（2023春•乾安县期中）在一条东西走向的河流一侧有一村庄 C，河边原有两个取水
点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民
取水，决定在河边新建一个取水点 D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路
CD，测得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米．求证：CD⊥AB．
【答案】见解答．
【解答】证明：由题知BD＝2.5，CD＝6，BC＝6.5，
在三角形BCD中，BD2+CD2＝BC2，
∴三角形BCD是直角三角形，
∴∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB．
28．（2023春•市中区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝
60°，有一动点E自A向B以2cm/s的速度运动，动点F自B向C以4cm/s的速度运动，
若E，F同时分别从A，B出发．
（1）试问出发几秒后，△BEF为等边三角形？
（2）试问出发几秒后，△BEF为直角三角形？
【答案】（1）5秒；
（2）3或7.5秒．【解答】解：（1）出发x秒后，△BEF为等边三角形，则AE＝2x cm、BF＝4x cm，
∴BE＝（30﹣2x）cm，
∵∠B＝60°，
∴当BE＝BF时，△BEF为等边三角形，
∴30﹣2x＝4x，
解得x＝5，
即出发5秒后，△BEF为等边三角形；
（2）设经过t秒，△BEF是直角三角形，
①当∠BEF＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BFE＝30°，
∴BE＝ BF，即30﹣2t＝ ×4t，
解得：t＝7.5；
②当∠BFE＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝ BE，即4t＝ ×（30﹣2t），
解得：t＝3，
综上所述，经过3秒或7.5秒，△BEF是直角三角形．
29．（2022秋•安宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为 A
（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC．
（1）求AC，AB的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】（1） ， ；
（2）△ABC是直角三角形，理由见解析．
【解答】解：（1）∵A（0，4），B（2，0），C（2，5），
∴ ， ．
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵B（2，0），C（2，5），
∴BC＝5﹣0＝5，
由（1）已得： ， ，
∴AC2+AB2＝25＝BC2，
∴∠CAB是直角，
∴△ABC是直角三角形．
30．（2022秋•福山区期中）2022年2月8日，中国女子自由式滑雪运动员谷爱凌夺得
2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台金牌，这枚金牌对于中国的意义非凡，它标志
着中国的滑雪运动进入了一个新阶段．自由式滑雪大跳台是北京冬奥会新增项目，运动
员从一个近50米高的斜坡下滑获取初速度，然后上滑至跳台的尽头腾跃，完成空翻、
转体、抓板等技术动作组合．如图所示跳台可近似看作Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，
BC＝4m，AC＝3m，假设运动员P从点B出发沿射线BA以20m/s的速度匀速运动，则
当运动时间t等于多少时，△BPC为直角三角形？
【答案】0.25秒或0.16秒．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4m，AC＝3m，
∴ ．
如图，作AB边上的高CD．∵ ，
∴ ．
①当∠BCP为直角时，点P与点A重合，BP＝BA＝5m，
∴t＝5÷20＝0.25（秒）．
②当∠BPC为直角时，P与D重合，BP＝20tm，CP＝2.4m，BC＝4m，
在Rt△BCP中，∵BP2+CP2＝BC2，
∴（20t）2+2.42＝42，
解得t＝0.16．（负值舍去）
综上，当t等于0.25秒或0.16秒时，△BPC为直角三角形．
