文档内容
专题04三角形经典大题重难点题型中线（7大题型）
题型一 三角形的三边关系
题型二 与三角形的高有关的计算问题
题型三 根据三角形中线求长度、面积
题型四 三角形的内角
题型五 与角平分线有关的三角形内角和问题
题型六 三角形的外角
题型七 多边形及其内角和
【经典例题一 三角形的三边关系】
1．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知 的三边长是 ．
(1)若 ，且三角形的周长是小于22的偶数，求 的值；
(2)化简 ．
【答案】(1) 或
(2)
【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键．
（1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出 ，即可得出答案；
（2）由三角形三边关系得 ，再利用绝对值的性质化简即可．
【详解】（1）解： 的三边长是 ， ，
，即 ，
三角形的周长是小于22的偶数，
，
或 ；
（2）解：由三角形三边关系得： ，
， ，．
2．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）已知 是三角形的三边长．
(1)化简： ；
(2) 满足 ，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)此三角形是等腰三角形，详见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握三角形三边关系定理
是解题的关键．
（1）根据三角形三边关系定理可得 ， ，再去绝对值符号即可；
（2）根据 及三角形的周长是16求得a，b，c的值即可判断三角形的形状．
【详解】（1）解： 是三角形的三边长，
．
， ．
．
（2）此三角形是等腰三角形．
理由如下：
，
．．
三角形的周长是16，
．
．
此三角形是等腰三角形．
3．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知a、b、c是三角形的三边长
(1)化简 ．
(2)若 ．求（1）中式子的值．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）根据三角形的三边关系判断出 ， 及 的符号，再根据绝对值的性质化
简；
（2）将 代入（1）化简的结果即可．
【详解】（1）∵a、b、c是三角形的三边长，
∴ ，
；
（2）当 时，
原式=
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，化简绝对值，整式的加减，求代数式的值，熟知三角形任意两
边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
4．（23-24七年级下·全国·课后作业）若三边均不相等的三角形三边a，b，c（ ）满足 ，
则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为 ，所以这个三角
形为“不均衡三角形”．
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）
①4，2，1； ②13，18，9； ③19，20，19； ④9，8，6
(2)已知“不均衡三角形”三边分别为 ，求出所有符合条件的x的整数值．
【答案】(1)②(2)10，12，13，14
【分析】本题考查了三角形三边关系，求不等式的解集，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨
论思想的应用是解题的关键．
（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解；
（2）分三种情况，根据“不均衡三角形”的定义列方程求解即可．
【详解】（1）①∵ ，
∴4，2，1不能组成“不均衡三角形”；
②∵ ，
∴13，18，9能组成“不均衡三角形”；
③∵ ，
∴19，20，19不能组成“不均衡三角形”；
④∵ ，
∴9，8，6不能组成“不均衡三角形”．
故答案为：②；
（2）∵ ，
∴ ．
当 时，即 ，
则 ，
解得： （舍）
当 时，即 ，
则 ，
解得： ，则 ，符合题意的x取值为10
当 时，即 ，
则 ，
解得： ，则 ，符合题意的x取值为12，13，14
综合的x的取值为10，12，13，14．
5．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）问题提出：最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数
边三角形是指三边长度都是整数的三角形），
问题探究：为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论。
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.
按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为 ，有1个，所以总共有 个整数边三角形，
表①：
最长边 计算方
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 算式
长 法
1 1 1 1个1
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2. 根据三角形任意两边之和大于第三边，
当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为 ，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，
记为 ，有1个，所以总共有 个整数边三角形. 表②：
最长边 计算方
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 算式
长 法
1 1
2 2个1
2 1
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：表③：
最长边 计算方
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 算式
长 法
1 1
3 2 ， 2 2个2
3 1
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：表④：
（最长边长，
最长边 计算方
最短边长 最短边长，第 整数边三角形个数 算式
长 式
三边长）
1 (4,1,4) 1
4 3个2 2×3
2 (4,2,3), 2(4,2,4)
(4,3,3),
3 2
(4,3,4)
4 (4,4,4) 1
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：表⑤：
最长边 计算方
最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 算式
长 法
1 1
2 ， 2
5 3
4 ， 2
5 1
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有 个；
（2）在整数边三角形中，设最长边长为n，总结上述探究过程，当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形
个数的规律一样吗？请写出最长边长为n的整数边三角形的个数；
（3）最长边长为128的整数边三角形有 个；
拓展延伸：在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 个.
【答案】⑤ ， ， ，3，3个3， ；（1）12；（2）当n为奇数或n为偶数时，整数
边三角形个数的规律不一样，
当n为奇数时，最长边长为n的整数边三角形的个数为 ，当n为偶数时，最长边长为n的整数边三
角形的个数为 ；（3）4160；拓展延伸：295
【分析】⑤根据上面列举求解即可；（1）由上面列举规律求解即可；
（2）按照n为奇数或n为偶数分类，找出n与两数乘积中第一个的关系即可求解；
（3）在（2）的基础上，将 代入求解，
拓展延伸：分成当最长边是三角形的边长和侧棱两种情况求解即可．
【详解】解：⑤由题意可得，
最短边 整数边三角形个
最长边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 计算方法 算式
长 数
1 1
2 ， 2
5 3 ， ， 3 3 个 3
4 ， 2
5 1
故答案为： ， ， ，3，3个3， ；
（1）列表如下：
最短边长 最长边 三角形个数
1
2
3
4
5
6
∴最长边长为6的整数边三角形有 个，
故答案为：12；
（2）列表如下：
最长边长是奇数时 算式
13
5
7
⋯ ⋯
n
最长边长是偶数时 算式
2
4
6
⋯ ⋯
n
∴当n为奇数或n为偶数时，整数边三角形个数的规律不一样，
当n为奇数时，最长边长为n的整数边三角形的个数为 ，当n为偶数时，最长边长为n的整数边三
角形的个数为 ；
（3）当 时， ，
故答案为：4160；
拓展延伸：当侧棱是9时，底边三角形的最长边可以是1，2，3，4，5，6，7，8，
∴直三棱柱个数共有： ，
当底的棱长是9时， ，
∴ ，
故答案为：295．【点睛】本题考查数字规律型、三角形的三边关系，解决问题的关键是列出表格总结出规律及正确分类．
【经典例题二 与三角形的高有关的计算问题】
6．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，已知 ， 与 相交于点 ．
(1)找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由；
(2)如果 ， ，垂足分别为 、 ， ，求 的值．
【答案】(1) 与 ， 与 ， 与 ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查的是三角形的面积及平行线间的距离，解答此题的关键是熟知以下知识：①同底等高的
三角形面积相等；②两平行线之间的距离相等．
（1）根据同底等高的三角形面积相等可得出面积相等的三角形，过 作 ， ，垂足 、
，由平行线间的距离相等可知 ，再由三角形的面积公式即可得出 ；
（2）由 ， ， ，再根据三角形的面积公式可知 ，进而可得出
结论．
【详解】（1）解： 与 ， 与 ， 与 ．理由如下：
过 作 ， ，垂足 、 ，
，（已知），
（平行线间距离的意义）．， ，（三角形面积公式），
．
（2）解： ， ，（已知）
， （三角形面积公式）．
，
．
，
．
，
．
7．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）如图，点 和 满足 ，现同时将点 ，
分别向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到点 ， 的对应点分别为点 ， ，连接
， ， ．(1)求点 A， B的坐标；
(2)若 轴上存在点 ，使 面积等于四边形 的面积，求点 的坐标；
(3)点 从点 出发，沿 轴以每秒1个单位长度的速度向点 匀速运动，过点 作 的垂线，交 于点
，当点 到达点 时，整个运动过程随之结束．时间为 秒，若线段 将四边形 的面积分成
两部分，请直接写出 的值
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或
【分析】本题考查坐标与图形面积、非负数的非负性、平移性质．由点的坐标正确表示相应图形的面积是
解决此题的关键．
（1）由平方和绝对值的非负性可得点A，B的坐标；
（2）由 平移可得到点 的坐标，进而可表示出 面积与四边形 的面积；
（3）根据题意分别表示出两部分图形的面积即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：由平移性质得： ，
设点 ，
，令 ，
解得： 或 ，
∴ 或 ；
（3）解：如图所示：
，
①若 ，
解得： ；
②若 ，
解得： ，
故 或 ，使得 将四边形 的面积分成 的两部分．
8．（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知 平分 ， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数；
(3)当 ， ， 时，求点 到直线 的距离．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的面积公式，正
确地作出辅助线是解题的关键．（1）根据角平分线的定义得到 ，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到 ，根据角平分线的定义得到 ，根据三角
形的内角和定理即可得到结论；
（3）过 作 于 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，
，
，
；
（2）解： ， ，
，
平分 ，
，
，
，
；
（3）解：过 作 于 ，
，
，
，
，
故点 到直线 的距离为 ．
9．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， 三点，
其中 满足关系式 ．(1)求 的值；
(2)如果在第二象限内有一点 ，那么请用含 的式子表示四边形 的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点 ，使四边形 的面积与三角形 的面积相等？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点 的坐标为
【分析】（1）根据几个非负数和的性质得到 ，分别解一元一次方程得到；
（2）根据三角形的面积公式和四边形 的面积 进行计算；
（3） 可求，是已知量，根据题意，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ；
（2）解：由（1）知， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
， ，
；（3）解：由（1）知， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 的面积与 的面积相等，
∴ ，
由（2）知， ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用坐标计算线段的长度和判断线段与坐标轴的位置关系，非负数
的性质．也考查了三角形的面积公式．解题的关键是数形结合，求出 ， ， ．
10．（23-24七年级下·广东汕头·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，其中a、
b满足 ．
(1)求a、b的值；
(2)如果在第二象限内有一点 ，请用含m的式子表示四边形 的面积；
(3)在（2）的条件下，当 时，在坐标轴上是否存在点N，使得四边形 的面积与 的面积
相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ,
(2)
(3) 或 或 或
【分析】本题考查绝对值和二次方的非负性，平面直角坐标系中点的坐标，三角形的面积，坐标与图形，
分类讨论思想．
（1）根据非负数的性质得出a和b的值；
（2）过点M作 轴于点N，根据四边形的面积等于 和 的和得出答案；
（3）首先根据题意得出 的面积，然后分点N在x轴和y轴两种情况分别求出答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ , ．
（2）解：过点M作 轴于点N，如图所示：
∵ ， ， 且在第二象限，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ；（3）解：当 时，四边形 的面积为 ．
∴ ，
①当N在x轴上时，
设 ，则 ，
，
解得： 或 ，
∴ 或 ；
②当N在y轴上时，
设 ，则 ，
解得： 或 ，
∴ 或 ．
综上所述，点N的坐标为 或 或 或 ．
【经典例题三 根据三角形中线求长度、面积】
11．（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】
如图1， 是 中 边上的中线， 与 的面积相等吗？请说明理由，
【应用】如图2，点A、B、C分别是 、 、 的中点，且 ，则图2中阴影部分的面积为 ；
【拓展】
（1）如图3， 中，延长 至点F，使得 ，延长 至点D，使得 ，延长 至点
E，使得 ，连接 、 、 ，如果 ，那么 为 ．
（2）如图4， 中， ， ，点D、E是 、 边上的中点， 、 交于点F．若
的面积为S，则四边形 面积为 （用含S的代数式表示）；四边形 的面积存在最大值，
这个值为 ．
【答案】探究： ，理由见解析；应用：24；拓展：（1）54；（2） ，32
【分析】探究：根据等底同高的三角形面积相等，即可得结论；
应用：连接 ， ， ，运用探究结论可知 ，则 ，同理可得
，即可求得阴影部分的面积；拓展：（1）如图，连接 ， ，利用等高的性质，求得所有三角形的面积，再求和，可得
结论；
（2）连接 并延长交 于 ，可知 是 边上的中点，记6个小三角形的面积分别为 ， ， ，
， ， ，可得 ，进而可得 ，可知四边形
面积 ，要使得四边形 面积 最大，只需要使得 的面积 最大，则只需要
，可得 的面积最大值为 ，即可求得四边形 面积最大值．
本题考查与三角形中线有关的面积问题，等高模型的性质等知识，解题的关键是理解三角形中线的性质．
【详解】解：探究： ，理由如下：
过点 作 ，交 于 ，
∵ 是 中 边上的中线，则 ，
∴ ，
即： ；
应用：连接 ， ， ，
∵点A、B、C分别是 、 、 的中点，
∴ ， ， ，∴ ，
则 ，
同理可得 ，
∴阴影部分的面积为 ，
故答案为：24；
拓展：（1）如图，连接 ， ．
∵ ，则 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积
．
故答案为：54；
（2）连接 并延长交 于 ，
∵点 、 是 、 边上的中点，
∴ 是 边上的中线，记6个小三角形的面积分别为 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，即： ，
同理可知， ，
∴ ，
∴四边形 面积 ，
要使得四边形 面积 最大，只需要使得 的面积 最大，
∵ 中， ， ，
∴要使得 的面积 最大，则只需要 ，
∴ 的面积最大值为 ，
则四边形 面积最大值为 ，
故答案为： ，32．
12．（2024·山东青岛·一模）（1）如图1， 是等腰直角三角形， ， 为 的中点，
，则 ________；（2）如图2， 是直角三角形， ， 为 的中点， ， ，
则 ________；
（3）如图3，在 中， 为 的中点， ， ，则 ________．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】本题考查了三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积公式；
（1）过点 作 垂足分别为 ，根据三角形中点的性质可得 ，
根据已知得出 ，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（2）过点 作 垂足分别为 ，同（1）的方法即可求解；
（3）过点 作 垂足分别为 ，同（1）的方法即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，过点 作 垂足分别为 ，
依题意， 是等腰直角三角形， ， 为 的中点，则 ，
∴ ，
∵ ，∴
∴ ，
∴
∴ ；
故答案为： ．
（2）如图所示，过点 作 垂足分别为 ， ，
∵ 为 的中点，
∴
∴
∴
同（1）可得∴
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
（3）如图所示，过点 作 垂足分别为 ， ，∵ 为 的中点，
∴
∴
同（1）可得
∴
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形 内作一条直线将它分成面积相
等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．
【问题思考】
（1）如图1， 是 的中线，试判断： _________ （请填 “ ”、“ ”或“ ”）；
（2）如图2， ，试判断： _________ （请填“ ”、“ ”或“ ”）；【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形 内作一条直线将它分成面积相
等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线 ，②作 交 的延长
线于 ；③取 的中点 ，则直线 为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说
理过程补充完整：
∵ ，
∴ _________（由问题2的结论得）
∴ _________，
即 _________，
∵ 是 的中点，
∴ _________（由问题1的结论得）
∴ 平分 的面积，即 平分四边形 的面积．
【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线 和 ；②取
的中点 ，③连接 、 ；④过点 作 的平行线与四边形 的边 交点于 ，则直线
则为所求直线．
请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．
【答案】【问题思考】 ， ；【深入思考】 ； ； ； ；【推广探究】证明见解析
【分析】本题考查三角形中线的性质、平行线的性质及三角形的面积，【问题思考】（1）根据三角形中线的性质及三角形的面积可得结论；
（2）根据平行线的性质及三角形的面积可得结论；
【深入思考】根据问题思考的结论即可得证；
【推广探究】根据问题思考的结论即可得证；
理解并掌握问题思考的结论并灵活运用是解题的关键．
【问题思考】解：（1）∵ 是 的中线，
∴ ，
∴ 和 等底同高，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ 和 同底同高，
∴ ，
故答案为： ；
【深入思考】证明：∵ ，
∴ （由问题2的结论得）
∴ ，
即 ，
∵ 是 的中点，
∴ （由问题1的结论得）
∴ 平分 的面积，即 平分四边形 的面积；
【推广探究】证明：∵点 是 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，，
∴ ，
∴直线 平分四边形 的面积，
则直线 即为所求直线．
14．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在 中， ， ， 分别为 边
上的高和中线，且 ．
(1)求 的长；
(2)求 和 的周长之差；
(3)若 为 边的三等分点，连接 ，与 交于 点，记 的面积为 ， 的面积为 ，求
的值．
【答案】(1)
(2)7cm
(3)
【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积，
（1）根据三角形面积公式得 ，据此可得 的长；（2） 的周长为 ， 的周长为 ，据此可得 和 的周长之
差；
（3）根据点 是 边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当 时，根据 为中线得
，即 ，再根据 得 ，即 ，据此即可得出
的值；当 时，同理可得 ， ，据此即可得出 的
值．
【详解】（1）在 中， ， ， ， ， 为 边上的高，
，
，
即 的长度为 ；
（2） 为 边上的中线，
，
的周长为： ，
的周长为： ，
的周长 的周长 ，
即 和 的周长之差为 ；
（3） 点 是 边的三等分点，
有以下两种情况：
①当 时，如图1所示：
在 中， ， ， ，
，为 边上的中线，
，
，即 ，
，
，
，即 ，
；
②当 时，如图2所示：
同理得： ，
，
，
，即 ，
．
综上所述： 的值为 ．
15．（16-17七年级·北京西城·期中）如图，已知 ， 分别是 的高和中线， ，
， ， ．试求：(1) 的长；
(2) 的面积；
(3) 和 的周长差．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）先根据三角形面积公式可得 ，依此可求 的长；
（2）先根据三角形面积公式计算出 ，然后利用 是边 的中线得到 ；
（3）利用等量代换得到 的周长- 的周长 ．
【详解】（1）
解：∵ ， 是边 上的高，
∴ ，
∴ ，
即 的长度为 ；
（2）
解：如图，∵ 是直角三角形， ， ， ，
∴ ，
又∵ 是边 的中线，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ．
∴ 的面积是 ；
（3）
解：∵ 是边 的中线，
∴ ，
∴ 的周长﹣ 的周长 ，
即 和 的周长的差是 ．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形
分成面积相等的两部分．
【经典例题四 三角形的内角】
16．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的
度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角
的度数分别是 ， ， ，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角
形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
(1)若一个“梦想三角形”有一个角为 ，则它的最小内角的度数为_________；
(2)如图1，已知 ，在射线 上取一点 ，过点 作 交 于点 ，以 为端点作
射线 ，交线段 于点 （点 不与 重合），若 ，判定 、 是否是“梦想
三角形”，为什么？
(3)如图2，点 在 的边上，连接 ，作 的平分线交 于点 ，在 上取一点 ，使得， ．若 是“梦想三角形”，且 ，求 的度数．
【答案】(1) 或
(2) 、 都是“梦想三角形”，见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形内角和定理、“梦想三角形”的定义、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点
并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）分两种情况：当 时三角形的一个内角的 倍时，当另外两个内角是 倍关系时，分别求解即可得
出答案；
（2）根据“梦想三角形”的定义判断即可得出答案；
（3）根据“梦想三角形”的定义、角平分线的定义结合三角形内角和定理计算即可得出答案．
【详解】（1）解：当 时三角形的一个内角的 倍，则有这个内角为 ，第三个内角为
，故最小的内角为 ，
当另外两个内角是 倍关系时，则有另外两个内角分别为 ， ，故最小的
内角为 ；
综上所述，它的最小内角的度数为 或 ；
（2）解：结论： 、 都是“梦想三角形”．
理由：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为“梦想三角形”，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是“梦想三角形”；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是“梦想三角形”， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
17．（23-24七年级下·江苏常州·期中）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是 ”，进行了一系列探究，
过程如下∶
(1)[论证]如图1，延长 至点 ，过点 作 ，就可以说明 成立，即：三
角形的内角和为 ．请完成上述说理过程．
(2)[应用]如图2，在 中， 的平分线与 的角平分线交于点 ，过点 作 ， 在
射线 上，且 ， 的延长线与 的延长线交于点 ．
① 设 ，则 ________（用含 的代数式表示）；
② 的度数为________．
(3)[拓展]如图3，在 中， ， ，过点 作 ，直线 与 相交于
点右侧的点 ， ． 绕点 以每秒 的速度逆时针方向旋转，同时 绕点 以每秒
的速度顺时针方向旋转，当 第一次与 重合后，立刻再绕着点 以原速度逆时针方向旋转至出发位
置运动全部停止．设运动时间为 秒 ．在旋转过程中，当 的值为多少时， 与 的一边平行？
请直接写出 的值．【答案】(1)见解析
(2)① ；②
(3) 的值为 或 或 或
【分析】（1）利用平行线的性质以及平角的性质即可证明；
（2）①由角平分线的定义得出 ，由三角形内角和定理得出 ，
再由平行线的性质并结合三角形外角的定义及性质得出 ，推出 ，即
可得解；②由平行线的性质结合角平分线的定义得出 ，求出 即可得出答案；
（3）总时间 （秒），再分四种情况：当 第一次与 重合前， 时，延长
交 于 ；当 第一次与 重合前， 时；当 第一次与 重合后， 时，令
交 于 ；当 第一次与 重合后， 时；分别利用平行线的性质建立一元一次方程，解
方程即可得出答案．
【详解】（1）证明：延长 至点 ，过点 作 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）解①如图：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）解：∵ 绕点 以每秒 的速度顺时针方向旋转，当 第一次与 重合后，立刻再绕着点 以
原速度逆时针方向旋转至出发位置运动全部停止．
∴总时间 （秒），
∴ 的运动角度为 ，
当 第一次与 重合前， 时，延长 交 于 ，
由题意得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
当 第一次与 重合前， 时，
由题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
当 第一次与 重合后， 时，令 交 于 ，由题意得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
当 第一次与 重合后， 时，
由题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
综上所述， 的值为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理、一元一次方程的应用，熟练掌
握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
18．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 ，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在 中，如果 ，
，那么 与 互为“友爱角”， 为“友爱三角形”.
(1)如图1， 是“友爱三角形”，且 与 互为“友爱角”（ ）， ．
①求 、 的度数．
②若 是 中 边上的高，则 、 都是“友爱三角形”吗？为什么？
(2)如图2，在 中， ， ，D是边 上一点（不与点A，B重合），连接 ，若
是“友爱三角形”，直接写出 的度数．
【答案】(1)① ， ；② 、 都是“友爱三角形”，理由见解析
(2) 或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键．
（1）①利用“友爱三角形”的定义及 结合 解答即可；②由 ，
， ，求出 ， ，根据“友爱三角形”的定义即可得出
结论；
（2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可．
【详解】（1）解：① 是“友爱三角形”，且 与 互为“友爱角”（ ），
，
，
，即 ，解得 ，
；
② 、 都是“友爱三角形”，
理由： 是 中 边上的高，
，
， ，
，在 中， ， ，
，
为“友爱三角形”；
在 中， ， ，
为“友爱三角形” ；
（2）解： 的度数为 或 ，
是“友爱三角形”，D是边 上一点（不与点A，B重合），
或 ，
当 时， ；
当 时，
，即 ，
，
综上所述， 的度数为 或 ．
19．（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在 中， 分别是 ， 的平分
线， 分别是 ， 的平分线．
(1)当 ， 时， ________， ________，
(2)若 ，求 ， 的度数；
(3)请你猜想，当 的大小变化时， 的值是否变化？请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ，
(3) 的值不变，理由见解析【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算、三角形的内角和定理等知识点，学会整体思想是解题关键．
（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；
（3）利用（2）的结论即得结果．
【详解】（1）解：∵ 分别是 ， 的平分线， ， ，
∴ ， ，
∴ ；
∵ 分别是 ， 的平分线，
∴ ，
∴ ．
故答案为60，120．
（2）解：在 中， ，
∵ ， 分别是 ， 的平分线，
∴ ， ，
∴
，
∵ ， ，
， ，
∴ ， ，
∵ ， 分别是 ， 的平分线，
∴
，
∴ ．
（3）解： 的值不变，理由如下：
由（2）可知： ， ，∴ ，即当 的大小变化时， 的值不变．
20．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点 、 分别在 的边 、 上运动（不与点 重
合）， 是 的平分线， 的反向延长线交 的平分线于点 ．
(1)如图（1）当 ， 时， ．
(2)如图（2）当 时， ．
(3)在解题过程中，你认为 与 是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由．
【答案】(1)45
(2)120
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（3）由（2）的思路可得结论．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
是 的平分线，
，
平分 ，
，
，
（2）设 ， ，
平分 ，
，
，平分 ，
，
，
，
．
（3） ，理由如下：
设 ，
平分 ，
，
设 ，
，
平分 ，
，
，
．
【经典例题五 与角平分线有关的三角形内角和问题】
21．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在 中， 平分 ．
(1)求 的度数；
(2)求 的度数；
(3)探究：小明认为如果不知道 与 的具体度数，只知道 ，也能得出 的度数，你
认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由度数，你认为可以吗？若可以，请你写出求解过程；若不可以，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)可以，
【分析】本题考查角平分线定义、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题
的关键．
（1）利用三角形的内角和定理求出 ，再利用角平分线定义即可解答；
（2）先利用三角形内角和定理可得 ，然后根据角的和差即可解答；
（3）用 表示出 、 ，然后根据角的和差可得 ，最后将 代
入即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ .
∵ 平分 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
（3）解：可以，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
若 ，则 ．
22．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，连接 、
，且 ．(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 的度数；
(3)作 与 的角平分线交于点 ，探究 、 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
，证明过程见详解
【分析】（1）如图，过点 作 ，根据平行线的性质和判定，平行公理可得结论；
（2）设 ， ，根据三角形的内角和定理可得：
，从而可得结论；
（3）如图2，设 ， ，根据角平分线的定义可得 ， ，
根据8字形可得 ①， ②，由① ②可得结论．
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，解题的关键是利用8字形和三角形的
内角和定理解决问题．
【详解】（1）证明：如图1，过点 作 ，
，
，
，，
；
（2）解：设 ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中， ，
， ，
，
，
，
；
（3）解：如图2， ，理由如下：
设 ， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，即 ①，
，
，即 ②，
由（1）知： ，
由（2）知： ，得： ，
．
23．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在 中， 平分 ．
(1)如图①，若 于点D， ，求 的度数；
(2)如图①，根据（1）的解答过程，猜想并写出 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图②，在线段 上任取一点P，过点P作 于点D，请尝试写出 之间的数量
关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义：
（1）先求出 ，根据角平分线定义求出 ，根据三角形内角和定理求出 ，然后由
，代入计算即可；
（2）先利用三角形的内角和以及角平分线的定义求得 ，再根据直角三角形的性
质可得 ，然后由 ，代入计算即可；
（3）过 作 于 ，根据平行线的性质可得 ，由三角形的内角和定理及角平分线
的定义可求得 ，再根据直角三角形的性质可得 ，然后由
，代入计算可求解．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的度数为 ．
（2）解： ．理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
即 ．
（3）解： ，理由如下：
过 作 于 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
即 ，
∴ ．
24．（23-24八年级上·湖北·期末）如图，点A、B分别在射线 上运动（不与点O重合）．(1)如图1，若 的平分线交于点C，则 _______；
(2)如图2，若 的平分线交于点C，则 ________；
(3)如图2，若 的外角 的平分线交于点D，求 与 之间的数量
关系，并求出 的度数．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、多边形的内角和等知识：
（1）由三角形内角和定理得出 ，由角平分线的也得出 ，再
由三角形内角和定理即可得出结果；
（2）由三角形内角和定理和角平分线的也得出 ，再由三角形内角和定理得出
的度数；
（3）求出 ，同理： ，由四边形内角和求出 ，由（1）知：
，即可得出结果
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 的平分线交于点C，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；（2）解：在 中， ，
∵ 的平分线交于点C，
∴ ，
即 ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）解：∵ 分别是 和 的角平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
同理： ，
∵四边形内角和等于360°，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
25．（23-24七年级下·广东深圳·期中）【基础探究】
（1）如图1， ，点E是 上的点，点P是 和 之间的一点，连接 、 ．若 ，
，请你求出 的度数；（2）如图2， ， 的平分线与 的平分线交于点G，当 时，则 的
度数为 ；
（3）如图3， ，点A、点C分别是 、 上的点，点B和点F是 和 之间的点，连接
、 、 、 ．若 ， ， 、 分别平分 、 ，则 的度数为
；
【问题迁移】
（4）如图4，在 中， ， 、 分别平分 、 ．则 ；
【拓展深化】
如图，在 中，D、E是 、 上的点，设 ， ．
（5）如图5， 、 分别平分 、 ．用含m、n的式子表示 的度数为 ；【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
【分析】（1）过点 作 ，根据平行线的性质进行求解即可；
（2）设 ，由（1）可知： ，再根据
，即可得出答案；
（3）设 ，由（1）可知： ，
，根据角平分线的定义，进行求解即可；
（4）根据三角形内角和定理和角平分线的定义进行求解即可；
（5）延长 与 的延长线交于点 ，求出 ，由（4）可知：
，然后求出结果即可．
【详解】解：（1）过点 作 ，如图1所示：
，
，
，
，
即 ，
，
；
故答案为： ．（2）设 ，如图2所示：
的平分线与 的平分线交于点 ，
，
，由（1）可知： ，
，
，
，
由三角形的内角和定理得： ，
，
，
；
故答案为： ．
（3）设 ，如图3所示：
、 分别平分 、 ，
， ， ， ，
，由（1）可知： ， ，
，
，解得： ，
．
故答案为： ．
（4） ， ，
，
、 分别平分 、 ，
，
，
，
；
（5）延长 与 的延长线交于点 ，如图5所示：
，
，
，
，
、 分别平分 、 ，
由（4）可知： ，
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行公理的应用，熟练掌握
这些知识是解题的关键．
【经典例题六 三角形的外角】26．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知， ，点 为射线 上一点．
(1)如图 ，若 ， ，则 _____ ；
(2)如图 ，当点 在 延长线上时，此时 与 交于点 ，则 之间满足怎样的
关系，请说明你的结论：
(3)如图 ， 平分 ，交 于点 ，交 于点 ，且 ， ，
求 的度数．
【答案】(1) ；
(2) ，见解析；
(3) ．
【分析】（ ）延长 交 于 ，依据平行线的性质，可得 ，再根据 是
的外角，即可得到 ；
（ ）依据 ，可得 ，再根据 是 的外角，即可得到
，即 ；
（ ）设 ，则 ，进而得出 ，依据 ，可得
，求得 ，即可得出 的度数，
本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和及外角等于
不相邻的两个内角和等知识点是解题的关键．
【详解】（1）如图，延长 交 于 ，∵ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
故答案为： ；
（2） ，理由：
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，
∴ ；
（3）∵ ，
设 ，则 ，
∵ ， ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ，
在 中， ．
27．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图1， ，点A，B分别在 的边 ，上（不与点O重合）.
(1)若 是 的平分线， 的反向延长线与 的平分线交于点D.则 的度数为_______.
(2)如图2，若 ， ，求 的度数.
(3)如图3，若将“ ”改为“ （ ）”， ，
，求 的度数（用含 ，n的代数式表示）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了三角形外角的性质定理，熟练掌握三角形外角的性质定理是解题的关键.
（1）由三角形外角性质得到 ， ，由角平分线的定义得到
， ，代入 即可的答案；
（2）由三角形外角性质得到 ， ， ，
代入 即可的答案；
（3）由三角形外角性质得到 ， ， ，
代入 即可的答案.【详解】（1）解：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴
∵ 是 的平分线， 的反向延长线与 的平分线交于点D.
∵ ，
∴
故答案为：
（2）∵ ，
∴ .
∵ ，
∴
∵ ，
∴
（3）∵ ，
∴
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
28．（23-24七年级下·四川成都·期中）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：
(1)【习题回顾】如图1，在 中， ， 是角平分线， 是高， 、 相交于点F．求证： ；
(2)【变式思考】如图2，在 中， ， 是 边上的高，若 的外角 的平分线
交 的延长线于点F，其反向延长线与 边的延长线交于点E，若 ，求 和 的度数；
(3)【探究延伸】如图3，在 中，在 上存在一点D，使得 ，角平分线 交 于点
F． 的外角 的平分线所在直线MN与 的延长线交于点M，若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2) ，
(3)
【分析】（1）由余角的性质可得 ，由角平分线的性质和外角的性质可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求 ，由角平分线的性质可求 ，由
余角的性质可求解；
（3）由平角的性质和角平分线的性质可求 ，由外角的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， 是高，
∴ ，
∴
∵ 是角平分线，
∴
∵ ，
∴
（2）∵ ，
∴
∵ 是 的平分线
∴
∵ 是 边上的高，
∴
∴
∵ ，
∴
（3）∵C、A、G三点共线， 是角平分线，
∴∵ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解
决问题是解题的关键．
29．（23-24七年级下·广东江门·期中）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很
多数学问题，请你解答：
(1)如图1， 和 具有怎样的数量关系？请直接写出______；
(2)如图2， 的平分线与 的平分线相交于点Q，求 的大小；
(3)如图3，点P是线段 上的动点（不与A，D重合），连接 、 ， 的值是否变化？
如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不变，理由见解析
【分析】（1）如图1，延长 交 于 ．由题意知： ， ，故 ，
．进而推断出 ．（2）如图2，延长 交 于 ．由题意知： ， ，得 ，
，故 ．因为 的平分线与 的平分线相交于点 ，所以
， ．那么，
．
（3）由题意知： ，得 ，故 ．
【详解】（1）如图1，延长 交 于 ．
，理由如下：
由题意知： ， ．
， ．
和 是对顶角，
．
．
（2）如图2，延长 交 于 ．
由题意知： ， ．
， ．．
平分 ，
．
同理可得： ．
四边形 的内角和等于 ．
．
．
（3）如图3，设 和 交于点O，
由题意知： ．
．
．
的值不变．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形内
角和等于 ，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质、对顶角的性质、角平分线的定义以及四边形
内角和等于 是解题的关键．
30．（23-24七年级下·重庆·期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发
现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关．
测量数据如下表：
测量 和度数测量工具 量角器
示意图 与 的平分线交于点
第一次
第二次
测量数据
第三次
第四次
… …
(1)通过以上测量数据，请你写出 与 的数量关系： ；
(2)如图2， 的平分线交于点 ，当 时，求 的度数；
(3)如图3，在 中，若 与 的平分线交于点 ，请猜想 与 的数量关系，并进行证
明．
【答案】(1)
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】（1）由表中 与 的测量数据，找到规律即可得到答案；（2）利用三角形内角和定理得到 ，再由邻补角定义、角平分线定义得到
，最后在 中，由三角形内角和定理求解即可得到答案；
（3）根据角平分线定义、三角形外角性质列式化简即可得到答案．
【详解】（1）解：
测量 和度数
测量工具 量角器
示意图 与 的平分线交于点
第一次
第二次
测量数据
第三次
第四次
… …
与 的数量关系： ，
故答案为：
（2）解：如图所示：
， ，，
在 中， ，则 ，
，
的平分线 交于点 ，
，
在 中， ；
（3）解： ，
证明如下：
与 的平分线 交于点 ，
， ，
， ，
．
【点睛】本题考查规律探究，涉及找规律、角平分线定义、三角形内角和定理、邻补角定义、三角形外角
性质等知识，熟练掌握角平分线定义、三角形内角和与外角性质，数形结合得到角的关系是解决问题的关
键．
【经典例题七 多边形及其内角和】
31．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角
线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律．
(1)在图5中画出从 点出发的所有对角线；
(2)根据探究，整理得到下面表格：
多边形的边数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条 1 2 3 4 5 ……数
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 ……
①表格中 ______， ______；（用含n的代数式表示）
②拓展应用：
若该校要举办足球比赛，总共有 个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共
要比赛多少场．
【答案】(1)见解析
(2)① ， ；② 场
【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键．
（1）连接作图即可；
（2）①根据所给数据规律解答即可；
②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）解：① ， ；
② （场），
答：共需要比赛 场．
32．（2024七年级下·江苏·专题练习）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图
（1）， 、 是五边形 的对角线．思考下列问题：(1)如图（2）， 边形 中，过顶点 可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点 可以画 条对
角线，过顶点 可以画 条对角线．
(2)过顶点 的对角线与过顶点 的对角线有相同的吗？过顶点 的对角线与过顶点 的对角线有相同的
吗？
(3)在此基础上，你能发现 边形的对角线条数的规律吗？
【答案】(1) ， ， ，
(2)过点 的和过点 的没有重复的，但和过点 的有重复的 和 重复）
(3) 边形的对角线条数的为
【分析】此题考查了多边形的对角线的知识．
（1）过点 和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点 、 的情况．
（2）过点 的和过点 的没有重复的，但和过点 的有重复的 和 重复）；
（3）过每一点有 条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数．
【详解】（1）解：过顶点 可以画 条对角线，它们分别是 ；
过顶点 可以画 条对角线，
过顶点 可以画 条对角线；
故答案为： ， ， ， ；
（2）解：过点 的和过点 的没有重复的，但和过点 的有重复的 和 重复）；
（3）解： 边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出 条，
共有 个顶点，应为 条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2．
即 边形的对角线条数的为 ．
33．（23-24七年级下·江苏南通·期中）学习小组发现一个结论：已知直线 ，若直线 ，则 ．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线 ，点E在 之间，点P、Q分别在直线 上，连接 ．
(1)如图1，运用上述结论，探究 之间的数量关系．并说明理由；
(2)如图2， 平分 平分 ，当 时，求 的度数；
(3)如图3，若点E在 的下方， 平分 平分 的反向延长线交 于点F，当
时，请求出 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查平行线的性质、多边形内角和、角平分线的定义、平角等知识：
（1）根据平行线的性质，得出 ，进而得出结论；
（2）根据角平分线的定义、平角的定义以及四边形的内角和即可求解；
（3）利用角平分线、平角、三角形的内角和、平行线的性质以及等量代换进行计算即可．
【详解】（1）解： ，
如图1，过点E作 ，则 ，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图2，
由（1）得， ；
∵ ，
∴ ，
又∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在四边形 中，
；
（3）解：如图3，延长 交 与点M，
∵ 平分 平分 ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
34．（2024·安徽蚌埠·二模）如图是正方形、正五边形、正六边形．
(1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角 ，则 ______ ， ______ ，
______ ．
(2)按此规律，记正 边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为 ，请用含 的式子表示 ______（其
中 为不小于4的整数）．
(3)若 ，求相应的正多边形的边数 ．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了正多边形和圆的知识；
（1）根据正多边形的性质逐个求解即可；
（2）根据（1）中的结果总结规律即可；
（3）根据（2）中的结论列方程求解即可．
【详解】（1）由正方形 ，
可得： ，
；由正五边形 ，可得： ， ，
，
；
由正六边形 ，可得： ， ，
，
；
故答案为： ， ， ；
（2）根据（1）中的结果发现 等于正 边形一个内角的度数，
∴ ，
故答案为： ；
（3）∵ ，
∴ ，
解得 ．
35．（23-24七年级下·山东淄博·期中） 中， ，点D，E分别是 边 ， 上的
点，点P是一动点．设 ， ， ．
(1)若点P在线段 上，如图（1）所示，且 ，则 ___________°；
(2)若点P在线段 上运动，如图（2）所示，则 ， ， 三者之间的关系为：___________．
(3)若点P运动到边 的延长线上，如图（3）所示，则 ， ， 三者之间有何关系？请写出你的猜
想并说明理由；
(4)若点P运动到 外且在直线 的上方、直线 的左侧范围内运动时，请探究 ， ， 之间的关系（画图并直接写出结果）．
【答案】(1) ；
(2) ，理由见解析；
(3) ，理由见解析；
(4) 或． ，图见解析 ．
【分析】本题考查的是邻补角的含义，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，理解类比解题
思路是解本题的关键．
（1）由邻补角的含义结合四边形的内角和定理可得答案；
（2）由邻补角的含义结合四边形的内角和定理可得答案；
（3）如图3中，设 交 于M，再利用三角形的外角可得答案；
（4）分两种情况，先画图，再利用三角形的外角的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
（2）结论： ；
理由：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（3）结论： ，
理由：如图3中，设 交 于M．
∵ ， ，
∴
（4）情况1：如图（4），结论： ，理由：设 交 于M．
∵ ， ，
∴
情况2： ，理由如下：
如图（5）， ， ，
∴ ．
综上所述， 或．
