专练3 14 小题＋1 大题(立几)
——节选自武汉四调
一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的)
1.已知集合A＝{x|x2－4x≤0},B＝{x|－3<x≤4},则(∁RA)∩B＝( )
A.(0,4)
B.[－3,4]
C.(－3,0)
D.[4,＋∞)
答案 C
解析 由x2－4x≤0,可得x(x－4)≤0,
解得0≤x≤4,
所以A＝{x|0≤x≤4},
所以∁RA＝{x|x<0 或x>4},
所以(∁RA)∩B＝{x|x<0 或x>4}∩{x|－3<x≤4}＝(－3,0).
2.数列{an}的通项公式为an＝2n－11,Sn为其前n 项和,则Sn的最小值为( )
A.－9
B.－7
C.－3
D.－19
答案 D
解析 令an＝2n－11<0,
因为n∈N*,所以解得n＝1,2,3,
所以数列{an}的前3 项为负,从第4 项起为正,
所以Sn的最小值为S3＝21－11＋22－11＋23－11＝14－33＝－19.
3.已知向量a,b 满足|a|＝1,|b|＝2,(a－b)⊥a,则a 与b 的夹角为( )
A.π
6
B.π
4
C.π
3
D.2π
3
答案 C
解析 因为(a－b)⊥a,
所以(a－b)·a＝0,
所以a2－a·b＝0,
所以a2＝a·b＝|a|·|b|·cos <a,b>＝|a|2,
又|a|＝1,|b|＝2,
cos<a,b>＝1
2,<a,b>∈[0,π],
所以<a,b>＝π
3 ,故选C.
4.随着DeepSeek 的流行,各种AI 大模型层出不穷,现有甲、乙两个AI 大模型,在对甲、乙两个大
模型进行深度体验后,6 位评委分别对甲、乙进行打分(满分10 分),得到如图所示的统计表格,则下
列结论不正确的是( )
评委编号
模型名称
1
2
3
4
5
6
甲
7.0
9.3
8.3
9.2
8.9
8.9
乙
8.1
9.1
8.5
8.6
8.7
8.6
A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数
B.甲得分的众数大于乙得分的众数
C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D.甲得分的方差大于乙得分的方差
答案 A
解析 甲、乙的得分从小到大排列如下:
甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,
乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1,
甲得分的中位数为8.9,乙得分的中位数为8.6,甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故C 正确;
甲得分的众数为8.9,乙得分的众数为8.6,甲得分的众数大于乙得分的众数,故B 正确;
甲得分的平均数7.0＋8.3＋8.9＋8.9＋9.2＋9.3
6
＝8.6,
乙得分的平均数8.1＋8.5＋8.6＋8.6＋8.7＋9.1
6
＝8.6,
所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数,故A 错误;
甲的方差
s1
2＝(7.0−8.6)
2＋(8.3−8.6)
2＋(8.9−8.6)
2＋(8.9−8.6)
2＋(9.2−8.6)
2＋(9.3−8.6)
2
6
≈0.613 3,
乙的方差为
s2
2＝(8.1−8.6)
2＋(8.5−8.6)
2＋(8.6−8.6)
2＋(8.6−8.6)
2＋(8.7−8.6)
2＋(9.1−8.6)
2
6
≈0.086 7,
故甲得分的方差大于乙得分的方差,故D 正确.
5.若tan(α ＋π
4)＝7,则cos 2α 的值为( )
A. 7
25
B.3
4
C.12
25
D.4
5
答案 A
解析 由tan(α ＋π
4)＝7,
可得
tan α ＋tan π
4
1−tan α tan π
4
＝7,即tan α ＋1
1−tan α ＝7,
解得tan α＝3
4,
所以cos 2α＝cos
2α −sin
2α
cos
2α ＋sin
2α
＝1−tan
2α
1＋tan
2α
＝
1−(
3
4)
2
1＋(
3
4)
2 ＝7
25.
6.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且C＝π
3 ,c＝6,△ABC 面积为√3,D 为边AB 上一
点,CD 是∠ACB 的角平分线,则CD＝( )
A.√3
B.1
C.√3
2
D.1
2
答案 B
解析 在△ABC 中C＝π
3 ,c＝6,
由余弦定理可得c2＝b2＋a2－2bacos C,
所以62＝b2＋a2－2bacos π
3 ,
所以36＝b2＋a2－ba,
又△ABC 面积为√3,
所以1
2basin π
3 ＝√3,所以ba＝4,
所以36＝b2＋a2－ba＝(a＋b)2－3×4,
所以a＋b＝4√3,
因为CD 是∠ACB 的角平分线,C＝π
3 ,
所以∠ACD＝∠DCB＝π
6 ,
因为S△ACD＋S△BCD＝S△ABC,
所以1
2AC·CDsin∠ACD＋1
2BC·CDsin∠BCD＝1
2AC·CBsin∠ACB,
所以1
2b·CDsin π
6 ＋1
2a·CDsin π
6
＝1
2basin π
3 ＝√3,
所以b·CD＋a·CD＝4√3,
所以(b＋a)·CD＝4√3,所以CD＝1.
7.已知正四棱锥的侧棱长为3√3,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为( )
A.1
B.√3
C.2
D.3
答案 D
解析 设底面边长为a(a>0),
则高h＝√
(3√3)
2−(
√2
2 a)
2
＝√27−a
2
2 ,
由h>0,所以0<a<3√6,
所以体积V＝1
3a2h＝1
3√27 a
4−1
2 a
6,
设f(a)＝27a4－1
2a6,a∈(0,3√6),
则f'(a)＝108a3－3a5＝3a3(6＋a)(6－a),
所以当0<a<6 时,f'(a)>0,所以f(a)在(0,6)上单调递增;
当6<a<3√6时,f'(a)<0,所以f(a)在(6,3√6)上单调递减;
所以当a＝6 时f(a)取得极大值,即为最大值,此时该棱锥的体积最大,
此时h＝√27−6
2
2 ＝3.
8.已知连续型随机变量ξ 服从正态分布N(
1
2 , 1
4),记函数f(x)＝P(ξ≤x),则f(x)的图象( )
A.关于直线x＝1
2对称
B.关于直线x＝1
4 对称
C.关于点(
1
2 , 1
2)成中心对称
D.关于点(
1
4 , 1
4)成中心对称
答案 C
解析 由连续型随机变量ξ 服从正态分布N(
1
2 , 1
4),
可得μ＝1
2,σ2＝1
4,可得μ＝1
2,σ＝1
2,
所以正态密度曲线关于x＝1
2对称,
即P(ξ≤x)＝P(ξ≥1－x),
由f(x)＝P(ξ≤x),可得f(x)＝P(ξ≤x)在x≤1
2时随着x 的增加,f(x)增加较快,在x>1
2时随着x 的增加,
f(x)增加越来越慢,
所以f(x)无对称轴,故A,B 错误;
f(x)＋f(1－x)＝P(ξ≤x)＋P(ξ≤1－x)＝P(ξ≥1－x)＋P(ξ≤1－x)＝1,
所以f(x)关于点(
1
2 , 1
2)成中心对称,故C 正确,D 错误.
二、选择题(本大题共3 小题,每小题6 分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,不选或有选错的得0 分)
9.若复数z＝3−5i
1−i ,则( )
A.z＝4－i
B.|z|＝√17
C.z 在复平面内对应的点位于第四象限
D.复数ω 满足|ω|＝1,则|ω－z|的最大值为√17＋1
答案 BCD
解析 复数z＝3−5i
1−i ＝(3−5i)(1＋i)
(1−i)(1＋i) ＝4－i,z＝4＋i,故A 错误;
z＝4＋i,|z|＝√4
2＋1＝√17,故B 正确;
z 的实部为4,虚部为－1,则z 在复平面内对应的点位于第四象限,故C 正确;
因为复数ω 满足|ω|＝1,设ω 在单位圆上,则|ω－z|表示ω 和点z 之间的距离,
其最大值为z 到原点的距离加半径,最大值为√17＋1,故D 正确.
10.已知数列{an}满足a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n,an的前n 项和为Sn,则( )
A.a1＝2
B.数列{an}是等比数列
C.Sn,S2n,S3n构成等差数列
D.数列{
1
an·an＋1}前100 项和为25
51
答案 AD
解析 对于A,当n＝1 时,可得a1＝1×21＝2,故A 正确;
对于B,a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n,
当n≥2 时,a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)·2n－1,
两式相减可得2n－1an＝n·2n－(n－1)·2n－1＝(n＋1)2n－1,所以an＝n＋1,
当n＝1,a1＝2 适合上式,所以an＝n＋1;
由
an
an−1
＝n＋1
n
不是常数,
所以数列{an}不是等比数列,故B 错误;
对于C,由an＝n＋1 可知,an－an－1＝n＋1－n＝1,
所以{an}是以2 为首项,1 为公差的等差数列,
所以Sn＝2n＋n(n−1)
2
,
所以S2n＝4n＋2n(2n−1)
2
,
S3n＝6n＋3n(3n−1)
2
,
Sn＋S3n＝2n＋n(n−1)
2
＋6n＋3n(3n−1)
2
＝8n＋5n2－2n,
又2S2n＝8n＋4n2－2n,所以Sn＋S3n≠2S2n,
所以Sn,S2n,S3n不构成等差数列,故C 错误;
对于D,
1
an·an＋1
＝
1
(n＋1)(n＋2) ＝
1
n＋1 －
1
n＋2,
所以T100＝
1
a1·a2
＋
1
a2·a3
＋
1
a3·a4＋…＋
1
a100·a101
＝1
2 －1
3 ＋1
3 －1
4 ＋1
4 －1
5＋…＋1
101 －1
102 ＝1
2 －1
102 ＝50
102 ＝25
51,故D 正确.
11.下列不等式正确的是( )
A.eπ>πe
B.－ln 0.9<1
9
C.5sin 1
5<1
D.sin 1
3< 1
π
答案 ABC
解析 对于A,令f(x)＝ln x
x ,
则f'(x)＝1−ln x
x
2
,
当x>e 时,f'(x)<0,则函数f(x)在(e,＋∞)上单调递减,
因为π>e,则f(π)<f(e),即ln π
π
<ln e
e
,即eln π<πln e,即ln πe<ln eπ,所以πe<eπ,A 正确;
对于B,令g(x)＝x－ln(x＋1),
则g'(x)＝1－
1
x＋1 ＝
x
x＋1,
当x>0 时,g'(x)＝
x
x＋1>0,
即函数g(x)在(0,＋∞)上为增函数,
所以g(
1
9)＝1
9－ln 10
9 >g(0)＝0,
即1
9>ln 10
9 ＝－ln 0.9,B 正确;
对于C,令h(x)＝x－sin x,0<x<1,
则h'(x)＝1－cos x>0 对任意的x∈(0,1)恒成立,
所以函数h(x)在(0,1)上为增函数,
因为1
5∈(0,1),
则h(
1
5)＝1
5－sin 1
5>h(0)＝0,
所以5sin 1
5<1,C 正确;
对于D,令p(x)＝sin x－x＋x
3
6 ,0<x<1,则p'(x)＝cos x－1＋x
2
2 ,
令q(x)＝cos x－1＋x
2
2 ,
由C 可知,q'(x)＝x－sin x＝h(x)>h(0)＝0 对任意的x∈(0,1)恒成立,
所以函数q(x)在(0,1)上单调递增,则p'(x)＝q(x)>q(0)＝0,则函数p(x)在(0,1)上单调递增,因为1
3
∈(0,1),则p(
1
3)＝sin 1
3 －1
3 ＋1
162＝sin 1
3 －53
162>0,即sin 1
3> 53
162,
又因为53
162 －1
π ＝53 π −162
162π
>53×3.14−162
162π
＝166.42−162
162π
>0,即sin 1
3> 53
162> 1
π ,D 错误.
三、填空题(本大题共3 小题,每小题5 分,共15 分)
12.若双曲线x2－y
2
m ＝1 的离心率为2,则m 的值为 .
答案 3
解析 依题意可得a2＝1,b2＝m,
∴c2＝1＋m,∴c
2
a
2＝1＋m＝4,∴m＝3.
13.为了响应节能减排号召,某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板,该地区未来第x 年底光伏太阳
能板的保有量y(单位:万块)满足模型y＝
N
1＋(
N
y0
−1)e
−px,其中N 为饱和度,y0为初始值,p 为年增长
率.若该地区2024 年底的光伏太阳能板保有量约为20 万块,以此为初始值,以后每年的增长率均为
10%,饱和度为1 020 万块,那么2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块.
(结果四舍五入保留到整数,参考数据:e－0.5≈0.61,e－0.6≈0.55,e－0.7≈0.49)
答案 36
解析 根据题意,所给模型中y0＝20,N＝1 020,p＝10%＝0.1,x＝6,
则2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量为y＝
1 020
1＋(
1 020
20
−1)e
−0.1×6
＝
1 020
1＋50e
−0.6,
因为e－0.6≈0.55,
所以y＝
1 020
1＋50e
−0.6≈
1 020
1＋50×0.55≈36,
所以2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约36 万块.
14.在各棱长均相等的正四面体PABC 中,取棱PC 上一点T,使PT＝2TC,连接TA,TB,三棱锥T－
PAB 的内切球的球心为M,三棱锥T－ABC 的内切球的球心为N,则平面MAB 与平面NAB 的夹角的
正弦值是 .
答案 √3
3
解析 设三棱锥T－PAB 的内切球分别与平面PAB、平面TAB 相切于D,E 两点,
易知PA＝PB,TA＝TB,易知DP 平分∠APB,ET 平分∠ATB,
取AB 中点为Q,则M 在∠PQT 的平分线上,
同理三棱锥T－ABC 的内切球球心N 在∠TQC 的角平分线上,
易知AB⊥平面PQC,故MQ⊥AB,同理NQ⊥AB,
于是∠MQN 为平面MAB 与平面NAB 的夹角的平面角,
设正四面体棱长为3a,则QP＝QC＝3√3
2 a,PC＝3a,∠MQN＝1
2∠PQC,
所以sin∠MQN＝
1
2 PC
QC ＝
3
2 a
3√3
2
a
＝√3
3 .
四、解答题(本题共13 分.考查方向:立几)
15.如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝AC＝2,AA1＝4,AB⊥AC,AA1上的点E 满足BE⊥AB1.
(1)求证:BE⊥平面AB1C;
(2)求平面CBE 与平面ABE 夹角的余弦值.
(1)证明 因为CA⊥AB,CA⊥A1A,AA1∩AB＝A,AB,AA1⊂平面ABB1A1,
所以CA⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A,所以CA⊥BE,
又因为BE⊥AB1,AB1,CA⊂平面AB1C,且AB1∩AC＝A,BE⊥平面AB1C.
(2)解 以A 为坐标原点,向量⃗AB,⃗AC,⃗A A1为x,y,z 轴正方向,建立空间直角坐标系,
B(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,0,4),
设E(0,0,t),⃗BE＝(－2,0,t),⃗A B1＝(2,0,4),⃗
A B1⊥⃗BE,所以－4＋4t＝0,t＝1,
所以E(0,0,1),⃗CE＝(0,－2,1),⃗CB＝(2,－2,0),
设平面BCE 的法向量为n＝(x,y,z),
{
n·⃗CE＝0,
n·⃗CB＝0,{
−2 y ＋z＝0,
2 x−2 y ＝0,
令x＝1,则z＝2,y＝1,
∴n＝(1,1,2),
平面ABE 的法向量为⃗AC＝(0,2,0),
设平面CBE 与平面ABE 之间的夹角为α,
cos α＝|n·⃗AC |
|n|·|⃗AC |
＝
2
√6×2 ＝√6
6
