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专题一 微专题 5 导数与不等式证明
(分值：50分)
1.(16分)(2024·大连模拟)已知函数f(x)=xln x+ax+1(a∈R).
(1)若f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(7分)
(2)当x>1时，证明：exln x>e(x-1).(9分)
9
2.(17分)(2024·黔西模拟)已知函数f(x)= x2-xln x-2x.
2
(1)判断f(x)的单调性；(8分)
(1 3 5 2n-1)
(2)证明：9 + + +…+ >3n-ln(2n+1)(n∈N*).(9分)
3 5 7 2n+1
3.(17分)(2024·泰安模拟)在数学中，由m×n个数a (i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)排列成的m行n列的数
ij
a a …a
( 11 12 1n )
… … … …
表 a a … a 称为m×n矩阵，其中a 称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩
i1 i2 in ij
… … … …
a a … a
m1 m2 mn
阵乘法是指对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若A=
a a …a
( 11 12 1n ) b …b …b
… … … … ( 11 1j 1p )
b … b … b
a a … a ，B= 21 2j 2p ，则
i1 i2 in … … … … …
… … … …
b … b … b
a a … a n1 nj np
m1 m2 mnc …c …c
( 11 1j 1p )
… … … … …
C=AB= c … c … c ，其中c =a b +a b +…+a b ，i=1，2，…，
i1 ij ip ij i1 1j i2 2j in nj
… … … … …
c … c … c
m1 mj mp
m，j=1，2，…，p.已知 ( 1x )(lnx) = ( c 1 ) ，函数f(x)=c +c .
0-2 ax c 1 2
2
(1)讨论f(x)的单调性；(8分)
(2)若x ，x (x 0，解得x>1，
令g'(x)<0，解得01时，exln x> ，
x
设h(x)=ex-ex，x>1，
h'(x)=ex-e，
故当x>1时，h'(x)>0，
∴h(x)=ex-ex在(1，+∞)上单调递增，
∴h(x)>h(1)=0，∴ex>ex.
ex
∴当x>1时， >e，
x
ex (x-1)
即 >e(x-1).
x
由此可证，当x>1时，
ex (x-1)
exln x> >e(x-1).
x
方法二 当x>1时，
要证exln x>e(x-1)成立，x-1
即证ln x> ，x>1.
ex-1
x-1
设G(x)=ln x- ，x>1，
ex-1
1
ex-1-(x-1)ex-1
G'(x)= -
x (ex-1 ) 2
ex-1+x2-2x
= ，
xex-1
设m(x)=ex-1+x2-2x，x>1，
m'(x)=ex-1+2x-2
=ex-1+2(x-1)，
当x>1时，m'(x)>0，
∴m(x)在(1，+∞)上单调递增.
∴m(x)>m(1)=0，∴G'(x)>0，
∴G(x)在(1，+∞)上单调递增，
G(x)>G(1)=0，
由此可证，当x>1时，
exln x>e(x-1)成立.
9
2.(1)解 易知函数f(x)= x2-xln x-2x的定义域为(0，+∞)，
2
可得f'(x)=9x-(ln x+1)-2=9x-ln x-3，
令g(x)=9x-ln x-3，
1 9x-1
则g'(x)=9- = ，
x x
( 1)
当x∈ 0， 时，g'(x)<0，
9
( 1)
此时g(x)在 0， 上单调递减，
9
(1 ) (1 )
当x∈ ，+∞ 时，g'(x)>0，此时g(x)在 ，+∞ 上单调递增，
9 9
(1) 9
所以f'(x)=g(x)≥g =1+ln 9-3=ln 9-2=ln >0；
9 e2
即f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，
因此f(x)在(0，+∞)上单调递增.
(2)证明 由(1)可知f'(x)=9x-ln x-3>0，即9x>ln x+3，2n-1 2n-1
可得9× >ln +3，
2n+1 2n+1
n n
(
2i-1)
(
2i-1
)
所以 Σ 9× > Σ ln +3 ，
2i+1 2i+1
i=1 i=1
(1 3 5 2n-1)
即可得9 + + +…+
3 5 7 2n+1
1 3 2n-1
>ln +ln +…+ln +3n
3 5 2n+1
=ln 1-ln 3+ln 3-ln 5+…+ln(2n-1)-ln(2n+1)+3n
=3n-ln(2n+1)，
(1 3 5 2n-1)
即9 + + +…+ >3n-ln(2n+1)(n∈N*).
3 5 7 2n+1
3.(1)解 由矩阵乘法定义知f(x)=ln x+ax2-2ax，x∈(0，+∞)，
1 2ax2-2ax+1
∵f'(x)= +2ax-2a= ，
x x
1
∴当a=0时，f'(x)= >0，
x
f(x)在(0，+∞)上单调递增，
当a≠0时，方程2ax2-2ax+1=0的判别式Δ=4a(a-2)，
当02时，Δ>0，
令f'(x)=0，方程两根记为α，β，
a-√a2-2a a+√a2-2a
则α= ，β= ，
2a 2a
当a<0时，α>0，β<0，
当x∈(0，α)时，f'(x)>0，
f(x)在(0，α)上单调递增，
当x∈(α，+∞)时，f'(x)<0，
f(x)在(α，+∞)上单调递减，
当a>2时，β>α>0，
当x∈(0，α)∪(β，+∞)时，
f'(x)>0，f(x)在(0，α)，(β，+∞)上单调递增，
当x∈(α，β)时，f'(x)<0，f(x)在(α，β)上单调递减，
综上，当0≤a≤2时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
( a-√a2-2a) (a-√a2-2a )
当a<0时，f(x)在 0， 上单调递增，在 ，+∞ 上单调递减；
2a 2a
当a>2时，
( a-√a2-2a) (a+√a2-2a ) (a-√a2-2a a+√a2-2a)
f(x)在 0， ， ，+∞ 上单调递增，在 ， 上单调递
2a 2a 2a 2a
减.
(2)证明 由(1)知当a>2时，f(x)有两个极值点，
f(x)( 1)
设P(x)= 02，
2
∴P'(x)>0，
( 1]
∴P(x)在 0， 上单调递增，
2
(1) 3
∴P(x)≤P =-2ln 2- a，
2 2
( 1)
由(1)知x ∈ 0， ，a>2，
1 2
3
∴P(x )<-2ln 2- a<-3-2ln 2，
1 2
f(x )
1
即 <-3-2ln 2，
x
1
∴f(x )<-3x -2x ln 2，
1 1 1
又由(1)知f(x)在(x ，x )上单调递减且x ∈(x ，x )，
1 2 0 1 2
∴f(x )+f(x )<2f(x )<-6x -4x ln 2，
0 2 1 1 1
∴f(x )+f(x )+6x +x ln 16<0.
0 2 1 1
