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题型01：导数定义与运算
1．设函数f（x）满⾜
＝2，则f'（x0）＝（
）
A．﹣1
B．1
C．﹣2
D．2
2．若f（x）＝sinx．则
＝（
）
A．0
B．
C．1
D．2
3．若
（m 为常数），则f'（x0）等于（
）
A．﹣m
B．1
C．m
D．
4．若
，则f'（﹣2）＝（
）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
题型02：基础求导与复合求导运算
5．下列导数运算正确的是（
）
A．（cos3）′＝﹣sin3
B．（e3x）′＝e3x
C．
D．
6．函数
的导数为（
）
A．
B．
C．
D．
7．下列求导运算正确的是（
）
A．（e2）′＝2e
B．[（2x+7）2]′＝2（2x+7）
C．（cos2x）′＝2sin2x
D．
8．下列运算正确的是（
）
A．（sin
）′＝cos
B．（2x）'＝2xln2
C．[ln（﹣x）]′＝﹣
D．（cosx）'＝sinx
9．已知可导函数f（x）满⾜
，则f′（2）＝（
）
A．
B．
C．
D．1
10．已知函数f（x）＝f'（﹣2）x3+12x2﹣6，则f（1）＝（
）
A．10
B．
C．12
D．14
11．已知函数f（x）的导数为f'（x），若f（x）＝x3+3f'（1）x2+2x，则f'（2）＝（
）
A．26
B．12
C．8
D．2
12．已知函数f（x）＝ex+2f'（0）x+1，则f′（2）的值为（
）
A．﹣1
B．﹣2
C．e2﹣1
D．e2﹣2
13．已知函数f（x）＝（2x﹣1）3，则f′（1）＝（
）
A．8
B．6
C．3
D．1
14．函数y＝cos（2x+1）的导数是（
）
A．y′＝sin（2x+1）
B．y′＝﹣2xsin（2x+1）
C．y′＝﹣2sin（2x+1）
D．y′＝2xsin（2x+1）
15．设
，则f′（2）＝（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知某函数的导数为y′＝
，则这个函数可能是（
）
A．y＝ln
B．y＝ln
C．y＝ln（1﹣x）
D．y＝ln
题型03：在点处切线⽅程问题
17．已知直线l 与函数f（x）＝ex﹣cosx 的图象在点（0，f（0））处的切线平⾏，则直线l 的斜率为（
）
A．0
B．﹣1
C．2
D．1
18．已知直线l 与曲线f（x）＝ex+sinx 在点（0，f（0））处的切线垂直，则直线l 的斜率为（
）
A．﹣1
B．1
C．
D．2
19．函数
在点（2，f（2））处的切线斜率为2，则
的最⼩值是
（
）
A．10
B．9
C．8
D．
20．曲线f（x）＝ex﹣1在点（1，1）处的切线的倾斜⻆为（
）
A．45°
B．30°
C．60°
D．135°
21．曲线y＝x2﹣1 在点（1，﹣）处切线的倾斜⻆为（
）
A．
B．﹣
C．1
D．﹣
22．曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5 在x＝0 处的切线的倾斜⻆是（
）
A．
B．
C．
D．
23．函数
，则函数f（x）在x＝5 处切线的斜率为（
）
A．
B．
C．
D．
题型04：过点处切线⽅程问题
24．若过点P（﹣1，m）可以作三条直线与曲线C：y＝xex 相切，则m 的取值范围是（
）
A．（﹣
，+∞）
B．（
）
C．（0，+∞）
D．（
）
25．若曲线y＝（1﹣x）ex 有两条过点A（a，0）的切线，则a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
B．（﹣3，1）
C．（﹣∞，﹣3）
D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
题型05：最短距离问题
1．点P 是曲线x2﹣y﹣lnx＝0 上的任意⼀点，则点P 到直线y＝x﹣2 的最⼩距离为（
）
A．1
B．
C．
D．
2．已知点P 为函数f（x）＝e2x 的图象上⼀点，则点P 到直线l：y＝2x 的距离的最⼩值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知P 是函数f（x）＝ex+x2图象上的任意⼀点，则点P 到直线x﹣y﹣5＝0 的距离的最⼩值是（
）
A．
B．5
C．6
D．
题型06：公切线问题
4．若函数f（x）＝x2+1 的图象与曲线C：g（x）＝2a•ex+1（a＞0）存在公共切线，则实数a 的取值范围为
（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数f（x）＝x2的图象在x＝1 处的切线与函数
的图象相切，则实数a＝（
）
A．
B．
C．
D．
6．若f（x）＝lnx 与g（x）＝x2+3x+a 两个函数的图象有⼀条与直线y＝x 平⾏的公共切线，则a＝（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．3
7．已知f（x）＝lnx，
，直线l 与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与
f（x）图象的切点为（1，f（1）），则m＝（
）
A．﹣1
B．﹣3
C．﹣4
D．﹣2
8．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）＝﹣2x2+m，g（x）＝﹣3lnx﹣x，若以上两函数的图象有公共
点，且在公共点处切线相同，则m 的值为（
）
A．2
B．5
C．1
D．0
9．若直线y＝kx+b 是曲线y＝ex﹣2的切线，也是曲线y＝ex﹣1 的切线，则k+b＝（
）
A．
B．
C．
D．
题型07：导函数与原函数图像
10．已知函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f′（x）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
11．函数y＝f（x）导函数f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图象如图，那么y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
题型08：单调性不含参
13．函数
的单调递减区间为（
）
A．（0，e）
B．（e，+∞）
C．（0，1）∪（1，e）
D．（0，1）和（1，e）
14．函数y＝
﹣lnx+2 的单调递减区间为（
）
A．（﹣1，1）
B．（0，1）
C．[1，+∞）
D．（0，+∞）
15．函数f（x）＝2x﹣lnx 的单调递减区间为（
）
A．（0，）
B．（，+∞）
C．（，2）
D．（﹣∞，2）
16．函数
的单调增区间是（
）
A．（0，2）
B．（﹣∞，2）
C．（1，+∞）
D．（2，+∞）
题型09：单调性与含参“⼀次型”
17．已知函数f（x）＝ln x﹣ax（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
18．已知函数f（x）＝（2﹣a﹣ax）ex．
（1）求函数f（x）的单调区间；
19．已知函数f（x）＝elnx﹣ax（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
20．已知函数f（x）＝lnx+ax（a∈R），g（x）＝ex+x2﹣x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
21．已知函数f（x）＝ex+ax．
（1）求函数f（x）的单调区间；
22．设函数f（x）＝ax﹣（a+1）ln（x+1）（a＞﹣1）
（1）求f（x）的单调区间；
23．已知函数f（x）＝ax﹣e﹣x
（1）讨论f（x）的单调性；
题型10：单调性与含参“⼆次型”可因分
24．已知函数f（x）＝ax+
+（1﹣a2）lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
25．已知函数
．试讨论f（x）的单调区间．
26．已知
．
（1）讨论f（x）的单调性；
27．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣2．
（1）求曲线y＝f（x）在（e，e﹣3）处的切线⽅程；
（2）若a≥0，g（x）＝ax2﹣2（ax+1）﹣f（x），讨论函数g（x）的单调性．
28．已知函数
．
（1）当﹣1＜a＜0 时，求f（x）的单调区间；
29．已知函数
，
，其中a∈R．
（Ⅰ）若f′（2）＝0，求实数a 的值；
（Ⅱ）当a＞0 时，求函数g（x）的单调区间；
30．已知函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+alnx（a∈R）．
（1）若函数y＝f（x）在x＝1 处的切线平⾏于x 轴，求a 的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
题型11：单调性与含参“⼆次型”不可因分
31．已知函数
．
（1）当a＜0 时，讨论f（x）的单调性；
32．已知函数f（x）＝x﹣+1﹣alnx，a＞0，讨论f（x）的单调性．
33．已知函数f（x）＝2lnx+ax2﹣4ax+3a（a∈R）．
（1）若a＝1，求函数f（x）的零点；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
34．已知函数f（x）＝x2﹣ax+2lnx，其中a∈R．
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+y＝0，求a 的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
题型12：类⼀次与类⼆次
35．已知函数f（x）＝ex（ex﹣a）﹣a2x，讨论f（x）的单调性．
36．已知函数
（a∈R）．
（Ⅰ）若a＝0，求f（x）的最⼩值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
题型13：单调性与⼆次求导
37．已知函数f（x）＝xex+x
（1）求函数f（x）的单调区间；
38．设函数f（x）＝emx+x2﹣mx（x∈R），讨论f（x）的单调性．
题型14：单调性综合
39．已知函数
．
（1）当a＝2 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）为定义域上的单调函数，求a 的值和此时在点（1，f（1））处的切线⽅程．
40．已知函数f（x）＝e2x﹣（2a+1）ex+ax．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若过原点可以作两条直线与函数f（x）的图象相切，求a 的取值范围．
41．已知函数
．
（1）若曲线y＝f（x）与y＝g（x）有⼀条斜率为2 的公切线，求实数a 的值；
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣（a+1）g（x），讨论h（x）的单调性．
42．已知函数f（x）＝x（1﹣lnkx）．
（1）若曲线f（x）在x＝e 处的切线与直线y＝x 垂直，求k 的值；
（2）讨论f（x）的单调性．
43．已知函数
．
（1）若a＝1，求函数f（x）的极值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性．
44．已知函数f（x）＝x2ex﹣2x+1．
（1）求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线⽅程；
（2）设函数g（x）＝f′（x），求g（x）的单调区间．
45．已知曲线
在点（2，f（2））处的切线与直线
垂直．
（1）求a 的值．
（2）判断f（x）的单调性，并求极值．
46．已知函数
，直线l 在y 轴上的截距为3，且l 与曲线y＝f（x）相切于点
（1，f（1））．
（1）求实数a 的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
47．已知函数
，a∈R．
（1）当a＝1 时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若∀x∈R，f（x）≤ex﹣1，求a 的取值范围．
48．已知函数f（x）＝lnx+x﹣ax2，a∈R．
（1）若f（x）在x＝1 处取得极值，求a 的值；
（2）设g（x）＝f（x）+（a﹣3）x，试讨论函数g（x）的单调性．
49．已知函数
．
（1）讨论f（x）的单调性；
50．已知函数
．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝1 时，直线y＝1 是否为曲线y＝f（x）的⼀条切线？试说明理由．
51．已知函数f（x）＝ax﹣ln（lnx）．
（1）当
时，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意x∈[e，+∞），都有f（x）+lna≥0 成⽴，求a 的取值范围．
52．已知函数f（x）＝ex﹣sinx﹣1．
（1）求函数f（x）在（0，f（0））处的切线⽅程；
（2）讨论函数f′（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
53．已知函数f（x）＝alnx+x2﹣ax，定义域为（0，+∞）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求当函数f（x）有且只有⼀个零点时，a 的取值范围．
54．已知函数f（x）＝（mx2+1）e﹣x（m∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
55．已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣4）ex﹣2x．
（1）求f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a 的取值范围．
56．已知函数f（x）＝
．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）＝（mx﹣x2﹣1）ex（m∈R），且对任意的x1，x2∈（﹣1，1），f（x1）+e≥g（x2）恒成⽴．求
实数m 的取值范围．
题型15：已知单调性求参数范围
1．若函数f（x）＝（x2+ax）ex 在[1，2]上存在单调递减区间，则a 的取值范围是（
）
A．
B．（﹣6，﹣4）
C．
D．
2．已知函数f（x）＝aex﹣lnx 在区间（1，3）上单调递减，则实数a 的最⼤值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数f（x）＝ax+cosx 在
上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．[﹣1，+∞）
B．[1，+∞）
C．
D．
4．已知函数f（x）＝eax﹣ex 在[0，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．[0，+∞）
B．（1，+∞）
C．（e，+∞）
D．[2e，+∞）
5．已知函数f（x）＝ln（x2﹣ax）在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，1]
B．（﹣∞，2]
C．（0，2]
D．[2，+∞）
6．设函数f（x）＝ax﹣alnx（a＞0 且a≠1）在区间（1，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．[e，+∞）
B．[e2，+∞）
C．[2e，+∞）
D．[ee，+∞）
7．已知函数f（x）＝lnx﹣ax﹣2 在区间（1，2）上不单调，则实数a 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数f（x）＝xlnx+ax2+a2在区间（0，+∞）上单调递减，则a 的取值范围是（
）
A．
B．（﹣∞，﹣1）
C．
D．（﹣∞，﹣1]
9．已知函数f（x）＝（2﹣x）ex﹣ax 在（0，5）上为减函数，则a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，5e）
B．[5e，+∞）
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）
10．函数
在区间[1，3]上单调递减，则m 的取值范围为（
）
A．
B．
C．（﹣∞，6）
D．（﹣∞，6]
11．若函数f（x）＝
在（0，π）上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣1]
B．[﹣1，+∞）
C．（﹣∞，1]
D．[1，+∞）
12．若函数f（x）＝x2+alnx﹣x+1（a∈R）在
上单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．[0，+∞）
B．（0，+∞）
C．
D．
13．若函数f（x）＝kx﹣6lnx+x2在区间[1，+∞）上单调递增，则实数k 的取值范围为（
）
A．[4，+∞）
B．（﹣∞，4]
C．（4，+∞）
D．（﹣∞，4）
题型16：根据函数图像判断极值
14．函数f（x）＝x3+bx2+cx+d 的⼤致图象如图所示，则x12+x22等于（
）
A．
B．
C．
D．
15．已知函数y＝
的图象如图所示（其中f′（x）是定义域为R 函数f（x）的导函数），则以下说法
错误的是（
）
A．f′（1）＝f′（﹣1）＝0
B．当x＝﹣1 时，函数f（x）取得极⼤值
C．⽅程xf′（x）＝0 与f（x）＝0 均有三个实数根
D．当x＝1 时，函数f（x）取得极⼩值
16．如图是f（x）的导函数f′（x）的图象，则f（x）的极⼩值点的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
17．设函数f（x）在R 上可导，其导函数为f′（x），且函数g（x）＝xf′（x）的图象如图所示，则下列结论
中⼀定成⽴的是（
）
A．f（x）有两个极值点
B．f（x）有两个极⼩值
C．f（0）为函数的极⼩值
D．f（﹣1）为f（x）的极⼩值
18．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx 的图象如图所示，则x12+x22等于（
）
A．
B．
C．
D．
题型17：求函数极值
19．设函数f（x）＝+lnx 则（
）
A．x＝2 为f（x）的极⼩值点
B．x＝2 为f（x）的极⼤值点
C．
为f（x）的极⼩值点
D．
为f（x）的极⼤值点
20．已知函数
，则f（x）的极⼤值点为（
）
A．
B．1
C．e
D．2e
21．已知e 为⾃然对数的底数，设函数f（x）＝（ex﹣1）（x﹣1）k（k＝1，2），则（
）
A．当k＝1 时，f（x）在x＝1 处取得极⼩值
B．当k＝1 时，f（x）在x＝1 处取得极⼤值
C．当k＝2 时，f（x）在x＝1 处取得极⼩值
D．当k＝2 时，f（x）在x＝1 处取得极⼤值
（多选）22．设函数f（x）在R 上可导，其导函数f′（x）且函数y＝（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下
列结论中⼀定成⽴的是（
）
A．函数f（x）有极⼤值f（﹣2）
B．函数f（x）有极⼤值f（2）
C．函数f（x）有极⼩值f（1）
D．函数f（x）有极⼩值f（2）
23．已知函数f（x）＝xex．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线⽅程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；
24．已知函数
．
（1）求f（x）在x＝0 处的切线⽅程；
（2）求f（x）的极值．
25．已知函数f（x）＝x2﹣10x+3alnx 在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y﹣1＝0 垂直．
（1）求a 的值；
（2）求函数f（x）的极值．
26．已知函数
，其中a∈R．
（1）当a＝1 时，求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线⽅程；
（2）讨论f（x）的极值．
27．已知函数
．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＝2 时，若函数
，求函数g（x）极值点的个数．
28．已知函数
在点（1，f（1））处的切线与直线x+4y+2024＝0 垂直．
（1）求a 的值；
（2）求f（x）的单调区间和极值．
29．已知函数f（x）＝（x+a）ln|x|（a∈R）为奇函数．
（1）求a 的值；
（2）当x＞0 时，求f（x）的单调区间和极值．
题型18：已知函数极值求参
1．已知f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1 处有极值0，则a+b＝（
）
A．11 或4
B．﹣4 或﹣11
C．11
D．4
2．若函数f（x）＝
在区间
内有极⼤值，则a 的取值范围是（
）
A．
B．（1，+∞）
C．（1，2）
D．（2，+∞）
3．设a≠0，若x＝a 为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极⼤值点，则（
）
A．a＜b
B．a＞b
C．ab＜a2
D．ab＞a2
4．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2 处有极⼩值，则实数c 的值为（
）
A．2
B．2 或6
C．6
D．4 或6
5．已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx﹣17（a，b，c∈R）的导函数为f′（x），f′（x）≤0 的解集为{x|﹣2≤x≤3}，若
f（x）的极⼩值等于﹣98，则a 的值是（
）
A．﹣
B．
C．2
D．5
6．设a∈R，若函数y＝ex+ax 有⼤于零的极值点，则实数a 的取值范围是（
）
A．a＜﹣1
B．a＞﹣1
C．a＞﹣
D．a＜﹣
7．若函数
在
上有极⼤值，则a 的取值范围为
（
）
A．
B．
C．（2，e）
D．（e，+∞）
8．已知函数f（x）＝
﹣ax 在（1，+∞）上有极值，则实数a 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
9．若函数f（x）＝x2+（a﹣1）x﹣alnx 存在唯⼀的极值，且此极值不⼩于1，则a 的取值范围为（
）
A．[
，2）
B．[
，+∞）
C．[0，）
D．（﹣1，0）∪[
，+∞）
10．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2﹣2x 有两个极值点，则实数a 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，e﹣2）
B．（0，e﹣2）
C．（﹣∞，e﹣1）
D．（0，e﹣1）
题型19：求函数最值
11．函数f（x）＝lnx﹣x 在区间（0，e]（e 为⾃然对数的底）上的最⼤值为（
）
A．﹣1
B．0
C．1
D．1﹣e
12．已知函数
，其导函数f′（x）为偶函数，
，则函数g（x）＝f′（x）
ex 在区间[0，2]上的最⼩值为（
）
A．﹣3e
B．﹣2e
C．e
D．2e
13．函数y＝
在[0，2]上的最⼤值是（
）
A．
B．
C．0
D．
14．已知f（x）＝2x3﹣6x2+m（m 为常数）在[﹣2，2]上有最⼤值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最⼩值是
（
）
A．﹣37
B．﹣29
C．﹣5
D．以上都不对
15．已知函数f（x）＝excosx﹣1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线⽅程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，
]上的最⼤值和最⼩值．
16．已知函数f（x）＝（x﹣
）e﹣x（x≥
）．
（1）求f（x）的导函数；
（2）求f（x）在区间[
，+∞）上的取值范围．
17．已知函数
．
（1）若a＝0，求y＝f（x）在（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）若函数f（x）在x＝﹣1 处取得极值，求f（x）的单调区间，以及最⼤值和最⼩值．
18．已知函数，
．
（1）求f（x）在区间（﹣∞，1）上的极⼩值和极⼤值点；
（2）求f（x）在[﹣1，e]（e 为⾃然对数的底数）上的最⼤值．
19．设函数f（x）＝x2+1﹣lnx．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x 在区间
上的最⼩值．
20．已知函数
的导函数y＝f'（x）的两个零点为﹣3 和0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）的极⼩值为﹣e3，求f（x）在区间[﹣5，+∞）上的最⼤值．
21．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当0＜a＜3 时，记f（x）在区间[0，1]的最⼤值为M，最⼩值为m，求M﹣m 的取值范围．
题型20：已知函数最值求参
1．若函数f（x）＝asinx+
sin3x 在x＝
处有最值，那么a＝（
）
A．2
B．
C．
D．
2．若函数f（x）＝3x﹣x3在区间（a2﹣4，a）上有最⼩值，则实数a 的取值范围是（
）
A．
B．（﹣1，4）
C．（﹣1，2]
D．（﹣1，2）
3．已知函数f（x）＝lnx+ax 存在最⼤值0，则a 的值为（
）
A．﹣2
B．﹣
C．1
D．e
4．若函数y＝x3+
x2+m 在[﹣2，1]上的最⼤值为
，则m 等于（
）
A．0
B．1
C．2
D．
5．已知函数f（x）＝x3+3x2﹣9x+1，若f（x）在区间[k，2]上的最⼤值为28，则实数k 的取值范围为（
）
A．（﹣∞，﹣3）
B．（﹣∞，﹣3]
C．（﹣3，+∞）
D．[﹣3，+∞）
6．若函数f（x）＝x3+x2﹣在区间（a，a+5）内存在最⼩值，则实数a 的取值范围是（
）
A．[﹣5，0）
B．（﹣5，0）
C．[﹣3，0）
D．（﹣3，0）
7．已知函数f（x）＝lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]上取得最⼩值4，则m＝（
）
A．﹣3e
B．﹣1
C．﹣e3
D．e2
8．若函数f（x）＝
（a＞0）在[1，+∞）上的最⼤值为
，则a 的值为（
）
A．
B．
C．
+1
D．
﹣1
（多选）9．若函数f（x）＝2x3﹣ax2（a＜0）在
上有最⼤值，则a 的取值可能为（
）
A．﹣6
B．﹣5
C．﹣4
D．﹣3
题型21：含参函数的极值最值讨论
10．设a＞0，函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a（1+lnx）．
（1）若曲线y＝f（x）在（2，f（2））处的切线与直线y＝﹣x+1 垂直，求该切线⽅程；
（2）当0＜a＜1 时，求函数f（x）的极值．
11．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（1）当a＝时，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数．
12．设
．
（1）g（x）＝f'（x）在[1，2]上单调，求a 的取值范围；
（2）已知f（x）在x＝1 处取得极⼩值，求a 的取值范围．
13．设函数f（x）＝xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）令g（x）＝f′（x），求g（x）的单调区间；
（3）已知f（x）在x＝1 处取得极⼤值，求实数a 的取值范围．
14．已知函数f（x）＝（x﹣1﹣）ex+1，其中e＝2.718…为⾃然对数的底数，常数a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间（0，+∞）上的零点个数；
（Ⅱ）函数F（x）的导数F′（x）＝（ex﹣a）f（x），是否存在⽆数个a∈（1，4），使得lna 为数F（x）的
极⼤值点？说明理由．
15．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．
（1）当a＝0 时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）令g（x）＝f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值．
16．设函数f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x 轴平⾏，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x＝2 处取得极⼩值，求a 的取值范围．
17．已知函数
（a 为常数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设函数g（x）＝xf（x）有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围．
18．已知函数f（x）＝ax﹣x2﹣lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）存在极值，且这些极值的和⼤于5+ln2，求实数a 的取值范围．
19．已知函数f（x）＝（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a＝0，证明：当﹣1＜x＜0 时，f（x）＜0；当x＞0 时，f（x）＞0；
（2）若x＝0 是f（x）的极⼤值点，求a．
20．已知函数f（x）＝﹣2a2lnx+
x2+ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1 时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线⽅程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＜0 时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最⼩值．
21．已知函数f（x）＝ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）当a＜0 时，求函数f（x）在区间[
，1]上最⼩值．
22．已知函数
．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设m＞0，求函数f（x）在区间[m，2m]上的最⼤值．
23．已知函数f（x）＝
+n，g（x）＝x2（f（x）﹣﹣）（m，n，a∈R），且曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线⽅程为y＝x﹣1．
（1）求实数m，n 的值及函数f（x）的最⼤值；
（2）当a∈（﹣e，）时，记函数g（x）的最⼩值为b，求b 的取值范围．
24．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最⼩值为﹣1 且最⼤值为1？若存在，求出a，b 的所有
值；若不存在，说明理由．
25．已知函数g（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x（a∈R）．
（1）若a＝1，求g（x）在区间[1，e]上的最⼤值；
（2）求g（x）在区间[1，e]上的最⼩值h（a）．
26．已知函数f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R）．
（1）当a＝2 时，求函数f（x）在x＝0 处的切线⽅程；
（2）求f（x）在区间[1，2]上的最⼩值．
27．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，F（x）＝ex+ax，其中x＞0，a＜0．
（1）若f（x）和F（x）在区间（0，ln3）上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围；
（2）若a∈（﹣∞，﹣
]，且函数g（x）＝xeax﹣1﹣2ax+f（x）的最⼩值为M，求M 的最⼩值．
28．已知常数项为0 的函数f（x）的导函数为
，其中a 为常数．
（1）当a＝﹣1 时，求f（x）的最⼤值；
（2）若f（x）在区间（0，e]（e 为⾃然对数的底数）上的最⼤值为﹣3，求a 的值．
题型22：导数构造解不等式
1．已知定义在（﹣3，3）上的函数f（x）满⾜f（x）+e4xf（﹣x）＝0，f（1）＝e2，f′（x）为f（x）的导函数，
当x∈[0，3）时，f′（x）＞2f（x），则不等式e2xf（2﹣x）＜e4的解集为（
）
A．（﹣2，1）
B．（1，5）
C．（1，+∞）
D．（0，1）
2．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满⾜xf'（x）+1＞0，f（3）＝﹣ln3，则不等式f（ex）+x＞0 的解集为（
）
A．（e3，+∞）
B．（0，e3）
C．（ln3，+∞）
D．（ln3，e3）
3．函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）＝2017，对任意x∈R，都有f′（x）＜2x 成⽴，则不等式f（x）＞x2+2013
的解集为（
）
A．（﹣2，2）
B．（﹣2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）
D．（﹣∞，+∞）
4．定义在R 上的函数f（x）满⾜f′（x）＞1﹣f（x），且f（0）＝6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式ex•
f（x）＞ex+5（其中e 为⾃然对数的底数）的解集为（
）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
C．（0，+∞）
D．（3，+∞）
5．f（x）是定义在R 上的函数，f'（x）是f（x）的导函数，已知f'（x）＞f（x），且f（1）＝e，则不等式f
（2x﹣1）﹣e2x﹣1＞0 的解集为（
）
A．（﹣∞，﹣1）
B．
C．（1，+∞）
D．
6．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满⾜xf'（x）﹣f（x）＜0，其中f'（x）是函数f（x）的导函数．若
2f（m﹣2019）＞（m﹣2019）f（2），则实数m 的取值范围为（
）
A．（0，2019）
B．（2019，+∞）
C．（2021，+∞）
D．（2019，2021）
7．已知定义在R 上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满⾜f′（x）﹣f（x）＞0，则不等式e4f（3x﹣4）＞e2xf
（x）的解集为（
）
A．（2，+∞）
B．（e，+∞）
C．（﹣∞，e）
D．（﹣∞，2）
8．设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有xf'（x）＞2f（x），则不等式
4f（x﹣2022）﹣（x﹣2022）2f（2）＜0 的解集为（
）
A．（0，2023）
B．（2022，2024）
C．（2022，+∞）
D．（﹣∞，2023）
9．设函数f（x）在R 上存在导数f'（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）﹣f（x）＝0，且x∈[0，+∞）时f'（x）
＜2x，若f（2a﹣2）﹣f（a﹣4）≥3a2﹣12，则实数a 的取值范围为（
）
A．[﹣2，2]
B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2]
D．[﹣2，+∞）
10．已知实数a，b 满⾜ea+a＝b+lnb+1，则下列选项中⼀定正确的是（
）
A．b＞ea
B．b＜ea
C．b＜a+1
D．b＞a+1
11．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且对于任意实数x 都有f′（x）＝ex（2x﹣1）+f（x），f（0）＝﹣1，
则不等式f（x）＜5ex 的解集为（
）
A．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）
B．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）
C．（﹣2，3）
D．（﹣3，2）
12．已知定义在R 上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满⾜f（x）+f'（x）＞0，f（3）＝1，则ex•f（x）＞
e3的解集为（
）
A．（﹣∞，1）
B．（1，+∞）
C．（﹣∞，3）
D．（3，+∞）
13．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f′（x）+2 且f（1）＝2022，则不等
式f（x）﹣2020ex﹣1＜2 的解集为（
）
A．（0，+∞）
B．（﹣∞，）
C．（1，+∞）
D．（﹣∞，1）
14．已知奇函数f（x）是定义在R 上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＞0 时，有2f（x）+xf′（x）＞x2，
则不等式（x+2021）2f（x+2021）+4f（﹣2）＜0 的解集为（
）
A．（﹣∞，﹣2019）
B．（﹣2023，﹣2019）
C．（﹣∞，﹣2023）
D．（﹣2019，0）
15．函数f（x）为R 上的可导函数，且∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（
）
A．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＞e2013f（0）
B．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＜e2013f（0）
C．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＞e2013f（0）
D．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＜e2013f（0）
16．已知函数f（x）是定义在（﹣
，
）上的奇函数，其导函数为f'（x），当x∈[0，
）时，f（x）
+f′（x）tanx＞0，则不等式cosx•f（x+
）+sinx•f（﹣x）＞0 的解集为（
）
A．（﹣
，﹣
）B．（﹣
，0）
C．（﹣
，﹣
）D．（﹣
，0）
17．对任意
，不等式sinx•f（x）＜cosx•f′（x）恒成⽴，则下列不等式错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
18．已知函数y＝f（x）对于任意的
满⾜f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f
（x）的导函数），则下列不等式不成⽴的是（
）
A．
B．
C．
D．
题型23：导数构造⽐较⼤⼩
19．已知定义在
上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且恒有cosxf'（x）+sinxf（x）＞0 成
⽴，则（
）
①
；②
；③
；④
．
A．①③④
B．①②③
C．②③④
D．①②④
20．已知
，b＝e，
，则以下不等式正确的是（
）
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
21．已知a＝
，b＝
，c＝，则（
）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
22．设
，则a，b，c 的⼤⼩顺序为（
）
A．a＜c＜b
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
23．已知a＝
，b＝
，c＝log43，则a，b，c 的⼤⼩关系是（
）
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
24．已知
，
，
，其中a，b，c∈（0，1），则（
）
A．c＜b＜a
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．a＜c＜b
25．设
，
，
，则（
）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．b＜c＜a
26．设
，
，
，则a，b，c 的⼤⼩顺序为（
）
A．a＜c＜b
B．c＜a＜b
C．a＜b＜c
D．b＜a＜c
27．设
，
，
，则（
）
A．c＜a＜b
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
题型24：两个经典不等式及其应⽤（切线放缩）
28．已知函数f（x）＝ex，（x∈R）
（1）求f（x）在点（1，e）处的切线⽅程；
（2）证明：曲线y＝f（x）与曲线y＝x2+x+1 有唯⼀公共点．
29．已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1．
（1）设x＝2 是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；
（2）证明：当a≥
时，f（x）≥0．
30．证明下列不等式：
（1）当x＞1 时，ex＞e•x
（2）设x＞0，证明：ln（1+x）＜x
（3）当x＞0 时，ln（1+
）＞
．
31．证明下列不等式：
（1）当x＞0 时，
；
（2）当
时，
；
（3）当x＞0 时，（x2﹣1）lnx≥（x﹣1）2．
32．利⽤函数的单调性证明下列不等式
（1）当x＞0 时，ln（1+x）＞
；
（2）当x＞1 时，ex＞ex；
（3）tanx＞x﹣
，x∈（0，
）；
（4）当x＞1 时，2
＞3﹣．
33．证明下列不等式：
（1）当x＞0 时，sinx＜x；
（2）当x＞0 时，
；
（3）当x＞0 时，
．
34．设函数f（x）＝lnx﹣ax+1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜
．
35．已知函数f（x）＝ln（1+x）+
x2﹣x（a≥0）．
（1）若f（x）＞0 对x∈（0，+∞）都成⽴，求a 的取值范围；
（2）已知e 为⾃然对数的底数，证明：∀n∈N*，
＜（1+
）（1+
）…（1+
）＜e．
36．已知f（x）＝xlnx，g（x）＝x﹣1．
（1）求F（x）＝g（x）﹣f（x）的单调区间和最值；
（2）证明：对⼤于1 的任意⾃然数n，都有
．
37．已知函数f（x）＝alnx+1（a∈R）．
（Ⅰ）若g（x）＝x﹣f（x），讨论函数g（x）的单调性；
（Ⅱ）若t（x）＝
x2+x，h（x）＝ex﹣1（其中e 是⾃然对数的底数），且a＝1，x∈（0，+∞），求证：h
（x）＞t（x）＞f（x）．
38．已知函数f（x）＝lnx+
，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0 时，证明：f（x）≥
．
题型25：超越函数及其应⽤
1．已知a＞b＞0，blna＝alnb，有如下四个结论：
①b＜e；
②b＞e；
③∃a，b 满⾜a•b＜e2；
④a•b＞e2．
则正确结论的序号是（
）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
2．下列四个命题：①ln5＜
ln2；②lnπ＞
；③2
＜11；④3eln2
，其中真命题的个数是
（
）（e 为⾃然对数的底数）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知函数f（x）＝kx2﹣lnx，若f（x）＞0 在函数定义域内恒成⽴，则实数k 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知0＜x1＜x2＜1，则（
）
A．
＞
B．
＜
C．x2lnx1＞x1lnx2
D．x2lnx1＜x1lnx2
5．已知a＜5 且ae5＝5ea，b＜4 且be4＝4eb，c＜3 且ce3＝3ec，则（
）
A．c＜b＜a
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c
6．已知函数f（x）＝ax﹣
，a∈R．
（1）若f（x）≥0，求a 的取值范围；
（2）若y＝f（x）的图象与y＝a 相切，求a 的值．
7．已知函数f（x）＝x3﹣alnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数y＝f（x）在区间（1，e]上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围．
8．已知函数f（x）＝ax2﹣xlnx．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若a＝e，证明：当x＞0 时，f（x）＜xex+
．
9．已知函数f（x）＝lnx+
．
（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：当a≥
时，f（x）＞e﹣x．
题型26：部分同构携⼿放缩法
1．函数
的最⼩值为________．
2．函数
的最⼩值为________．
3．函数
的最⼤值是________．
4．已知不等式
，对任意正数x 恒成⽴，则实数a 的取值范围是________．
5．已知函数
，若
恒成⽴，则实数a 的取值范围是________．
6．已知函数
，若
恒成⽴，则实数a 的取值范围是________．
7．已知a，b 分别满⾜
，则ab＝________．
8．已知x0 是函数
的零点，则
________．
题型27：整体同构携⼿脱⾐法
1．已知函数
，若对任意正数x1，x2，当x1＞x2 时，都有
成⽴，则实数m 的取值范围是________．
2．已知函数
，
，当x2＞x1 时，不等式
恒成⽴，则实数a
的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
3．对不等式
进⾏同构变形，并写出相应的⼀个同构函数．
4．对⽅程
进⾏同构变形，并写出相应的⼀个同构函数．
5．对不等式
进⾏同构变形，并写出相应的⼀个同构函数．
6．设实数
，若对任意的
，不等式
恒成⽴，则
的最⼩值为________．
7．已知函数
，若关于x 的不等式
恒成⽴，则实数a 的取值范围
是________．
8．已知对任意
，不等式
恒成⽴，则实数k 的取值范围为________．
9．已知
，不等式
，对任意的实数
恒成⽴，则实数a 的最⼩值是(
)
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
，当
时，
恒成⽴，则实数m 的取值范围为(
)
A．
B．
C．
D．
题型28：对数单身狗
1．已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣xlnx（a∈R）．
（1）当a＝1 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当0＜x≤1 时，f（x）≤0 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
2．已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯⼀的极⼤值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
3．已知函数f（x）＝（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．
（1）若a＝0，求函数f（x）在点P（e﹣1，f（e﹣1））处的切线⽅程；
（2）若a＝0，证明：当﹣1＜x＜0 时，f（x）＜0；当x＞0 时，f（x）＞0；
（3）若x＝0 是f（x）的极⼤值点，求a．
题型29：指数“找基友”
4．已知函数f（x）＝e﹣x+ax（a∈R）
（1）讨论f（x）的最值；
（2）若a＝0，求证：f（x）＞﹣x2+
．
5．f（x）＝a（x﹣1），g（x）＝（ax﹣1）ex，a∈R．
（1）证明：存在唯⼀实数a，使得直线y＝f（x）和曲线y＝g（x）相切；
（2）若不等式f（x）＞g（x）有且只有两个整数解，求a 的范围．
6．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣x﹣ax2，a∈R．
（1）当a＝0 时，求函数f（x）的最⼩值；
（2）若x＞0 时，不等式f（x）≥0 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
题型30：指对在⼀起，常常要分⼿
7．已知函数f（x）＝
，曲线f（x）＝
在点（e，f（e））处的切线与直线e2x﹣y+e＝0 垂直．（注：
e 为⾃然对数的底数）
（Ⅰ）若函数f（x）在区间（m，m+1）上存在极值，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）求证：当x＞1 时，
＞
．
8．已知f（x）＝ex﹣alnx﹣a，其中常数a＞0．
（1）当a＝e 时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数y＝f（x）有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：
＜1＜x2＜a；
（3）求证：e2x﹣2﹣ex﹣1lnx﹣x≥0．
9．已知函数f（x）＝
，
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：a＝1 时，f（x）+g（x）﹣（1+
）lnx＞e．
题型31：洛必达法则在导数中应⽤
1．已知函数f（x）＝
+
，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程为x+2y﹣3＝0．
（Ⅰ）求a、b 的值；
（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1 时，f（x）＞
+
，求k 的取值范围．
2．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）当a＝4 求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）若x＞1 时，f（x）＞0，求a 的取值范围．
3．已知函数f（x）＝x（ex﹣1）﹣ax2（a∈R），g（x）＝ex﹣m+m（x﹣1），m∈R，
（Ⅰ）当m＝1 时，求曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线⽅程；
（Ⅱ）当x≥0 时，f（x）≥0，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若关于x 的⽅程g（x）＝lnx+mx 有两个不同的实数解，求m 的取值范围．
4．设f（x）＝（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的最⼩值；
（2）若对任意的x≥0，都有f（x）≥ax 成⽴，求实数a 的取值范围．
5．已知函数f（x）＝
+
，如果当x＞0，且x≠1 时，f（x）＞
+
，求k 的取值范围．
6．设函数f（x）＝ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）若a＝0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0 时f（x）≥0，求a 的取值范围．
题型32：不等式证明中的“隐零点”
7．设函数f（x）＝e2x﹣alnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；
（Ⅱ）证明：当a＞0 时，f（x）≥2a+aln
．
8．已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）．
（Ⅰ）设x＝0 是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2 时，证明：f（x）＞0．
9．已知函数f（x）＝xex﹣a（x+lnx）．
（1）若a＝0，求函数f（x）在x＝1 处的切线⽅程；
（2）讨论f（x）极值点的个数；
（3）若x0是f（x）的⼀个极⼩值点，且f（x0）＞0，证明：
．
10．已知函数f（x）＝aex+sinx+x，x∈[0，π]．
（1）证明：当a＝﹣1 时，函数f（x）有唯⼀的极⼤值点；
（2）当﹣2＜a＜0 时，证明：f（x）＜π．
11．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax 的图象在x＝0 处的切线⽅程是x+y+b＝0．
（1）求a，b 的值；
（2）求证函数f（x）有唯⼀的极值点x0，且
．
12．已知函数f（x）＝ex﹣t﹣lnx．
（Ⅰ）若x＝1 是f（x）的极值点，求t 的值，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当t≤2 时，证明：f（x）＞0．
13．已知函数f（x）＝aex﹣2x，a∈R．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当a≥1 时，证明：f（x）﹣lnx+2x＞2．
14．已知函数f（x）＝ex+a﹣lnx（其中e＝2.71828…，是⾃然对数的底数）．
（Ⅰ）当a＝0 时，求函数图象在（1，f（1））处的切线⽅程；
（Ⅱ）求证：当
时，f（x）＞e+1．
题型33：不等式恒成⽴与存在性中的“隐零点”
15．已知函数f（x）＝ax+xlnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a 的取值范围；
（2）求h（x）＝xlnx+lnx﹣f（x）的单调区间；
（3）当a＝1 且k∈Z 时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成⽴，求k 的最⼤值．
16．已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna．
（1）当a＝e 时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三⻆形的⾯积；
（2）若f（x）≥1，求a 的取值范围．
17．已知函数f（x）＝lnx﹣kx（k∈R），g（x）＝x（ex﹣2）．
（1）若f（x）有唯⼀零点，求k 的取值范围；
（2）若g（x）﹣f（x）≥1 恒成⽴，求k 的取值范围．
18．已知f（x）＝asinx，g（x）＝lnx，其中a∈R，y＝g﹣1（x）是y＝g（x）的反函数．
（1）若0＜a≤1，证明：函数G（x）＝f（1﹣x）+g（x）在区间（0，1）上是增函数；
（2）证明：
sin
＜ln2；
（3）设F（x）＝g﹣1（x）﹣mx2﹣2（x+1）+b，若对任意的x＞0，m＜0 有F（x）＞0 恒成⽴，求满⾜条
件的最⼩整数b 的值．
19．已知函数f（x）＝﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．
（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0 在区间（1，+∞）内恒成⽴，且f（x）＝0 在区间（1，+∞）
内有唯⼀解．
20．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线⽅程；
（2）若当x＞1 时，f（x）+x＞k（x﹣1）恒成⽴，求正整数k 的最⼤值．
21．设函数f（x）＝ex﹣ax﹣2．
（Ⅰ）求函数f（x）＝ex﹣ax﹣2 的图象在点A（0，﹣1）处的切线⽅程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a＝1，k 为整数，且当x＞0 时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k 的最⼤值．
22．已知函数f（x）＝（x﹣a）ex（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝2 时，设函数g（x）＝f（x）+lnx﹣x﹣b，b∈Z，若g（x）≤0 对任意的
恒成⽴，
求b 的最⼩值．
23．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣
．
（1）求f（x）的最⼤值；
（2）若
﹣bx≥1 恒成⽴，求实数b 的取值范围．
24．设函数f（x）＝ex+ax，a∈R．
（1）若f（x）有两个零点，求a 的取值范围；
（2）若对任意x∈[0，+∞）均有2f（x）+3≥x2+a2，求a 的取值范围．
题型34：单变量不含参不等式证明⽅法之切线放缩
1．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1（a＞0，e 为⾃然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）记函数f（x）的最⼩值为g（a），求g（a）取最⼤值时实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，证明：（）n+（）n+…+（
）n+（）n＜
（其中n∈N*）．
2．设函数f（x）＝lnx﹣ax+1 在x＝1 处取得极值，
（1）求a 的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）证明：当x∈（1，+∞）时，
．
3．已知函数f（x）＝alnx+x2，其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝1 时，证明：f（x）≤x2+x﹣1；
（3）求证：对任意的n∈N*且n≥2，都有：
．
（其中e≈2.7183 为⾃然对数的底数）．
4．已知函数f（x）＝lnx﹣a2x2+ax．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若a＝1，求证：当x＞0 时，f（x）＜e2x﹣x2﹣2．
5．已知函数f（x）＝ex﹣m﹣ln（2x）．
（Ⅰ）设x＝1 是函数f（x）的极值点，求m 的值并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2 时，证明：f（x）＞﹣ln2．
6．已知实数a＞0，函数f（x）＝ex﹣ax﹣1（e 是⾃然对数的底数）
（1）求函数f（x）的单调区间及最⼩值．
（2）若f（x）≥0 对任意x∈R 恒成⽴，求a 的值．
（3）证明：
（n∈N*）．
7．已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1．
（1）设x＝2 是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；
（2）证明：当a≥
时，f（x）≥0．
8．已知函数f（x）＝x﹣1﹣alnx．
（1）若f（x）≥0，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n，（1+
）（1+
）…（1+
）＜m，求m 的最⼩值．
9．已知函数f（x）＝ln（1+x）+
x2﹣x（a≥0）．
（1）若f（x）＞0 对x∈（0，+∞）都成⽴，求a 的取值范围；
（2）已知e 为⾃然对数的底数，证明：∀n∈N*，
＜（1+
）（1+
）…（1+
）＜e．
题型35：单变量不含参不等式证明⽅法之虚设零点
1．已知函数f（x）＝aex﹣blnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程为y＝（
）x+1．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞0．
2．已知函数f（x）＝ax+lnx，函数g（x）的导函数g′（x）＝ex，且g（0）g′（1）＝e，其中e 为⾃然对数的
底数．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若∃x∈（0，+∞），使得不等式
成⽴，试求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）当a＝0 时，对于∀x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）﹣2．
3．已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）证明：f（x）存在唯⼀的极⼤值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
4．已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）．
（Ⅰ）设x＝0 是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当m≤2 时，证明：f（x）＞0．
5．已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＝1 时，证明：对任意的x＞0，f（x）+ex＞x2+x+2．
6．已知函数f（x）＝e﹣x+ax（a∈R）
（1）讨论f（x）的最值；
（2）若a＝0，求证：f（x）＞﹣x2+
．
7．已知f（x）＝（x﹣1）ex+
ax2．
（Ⅰ）当a＝e 时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）有2 个不同零点，求a 以的取值范围；
（Ⅲ）对∀x＞1，求证：f（x）≥
ax2+x+1+ln（x﹣1）．
8．设函数f（x）＝lnx+
ax2+x+1．
（1）当a＝﹣2 时，求函数f（x）的极值点；
（2）当a＝0 时，证明：xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成⽴．
9．设函数f（x）＝x+axlnx（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）的极⼤值点为x＝1，证明：f（x）≤e﹣x+x2．
题型36：单变量不含参不等式证明⽅法之凹凸反转
10．设函数f（x）＝aexlnx+
，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
11．已知f（x）＝xlnx﹣ax，g（x）＝﹣x2﹣2，
（Ⅰ）对⼀切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成⽴，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣1 时，求函数f（x）在[m，m+3]（m＞0）上的最值；
（Ⅲ）证明：对⼀切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞
成⽴．
12．已知函数f（x）＝elnx﹣ax（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝e 时，证明：xf（x）﹣ex+2ex≤0．
13．已知f（x）＝ex﹣alnx﹣a，其中常数a＞0．
（1）当a＝e 时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数y＝f（x）有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：
＜1＜x2＜a；
（3）求证：e2x﹣2﹣ex﹣1lnx﹣x≥0．
14．设函数f（x）＝lnx+
﹣x．
（1）当a＝﹣2 时，求f（x）的极值；
（2）当a＝1 时，证明：f（x）﹣
+x＞0 在（0，+∞）上恒成⽴．
15．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝﹣x2+ax﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）的最⼩值；
（Ⅱ）对⼀切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成⽴，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）证明：对⼀切x∈（0，+∞），都有
成⽴．
16．已知函数
，g（x）＝e﹣x+bx，a，b∈R，e 为⾃然对数的底数．
（Ⅰ）若函数y＝g（x）在R 上存在零点，求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）在
处的切线⽅程为ex+y﹣2+b＝0．求证：对任意的x∈（0，+∞），总有f（x）
＞g（x）．
17．已知f（x）＝xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在定义域上的最⼩值；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最⼩值；
（Ⅲ）证明：对⼀切x∈（0，+∞），都有lnx＞
成⽴．
题型37：单变量含参不等式证明⽅法之合理消参
18．已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1．
（1）设x＝2 是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；
（2）证明：当a≥
时，f（x）≥0．
19．设a 为实数，函数f（x）＝ex﹣2x+2a，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a＞ln2﹣1 且x＞0 时，ex＞x2﹣2ax+1．
20．设函数f（x）＝e2x﹣alnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；
（Ⅱ）证明：当a＞0 时，f（x）≥2a+aln
．
21．已知函数
（e 为⾃然对数的底数）．
（Ⅰ）当a＝e 时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线⽅程；
（Ⅱ）证明：当a≤e 时，不等式x3﹣2ax2≥lnx﹣（e2+
）x 成⽴．
22．已知函数f（x）＝（x+b）（ex﹣a），b＞0，在（﹣1，f（﹣1））处的切线⽅程为（e﹣1）x+ey+e﹣1＝0．
（1）求a，b 的值；
（2）若m≤0，证明：f（x）≥mx2+x．
23．已知f（x）＝lnx﹣x+a+1．
（1）若存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥0 成⽴，求a 的范围；
（2）求证：当x＞1 时，在（1）的条件下，
成⽴．
24．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x，（a∈R）
（1）当a 为何值时，曲线y＝f（x）在x＝1 处的切线与y 轴垂直；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a＜0 时，试证明f（x）≤﹣
﹣2．
25．已知函数f（x）＝ex+m﹣x3，g（x）＝ln（x+1）+2．
（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m 的值；
（2）当m≥1 时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．
26．已知函数f（x）＝ex+a﹣lnx（其中e＝2.71828…，是⾃然对数的底数）．
（Ⅰ）当a＝0 时，求函数图象在（1，f（1））处的切线⽅程；
（Ⅱ）求证：当
时，f（x）＞e+1．
27．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若
，求证：f（x）≥2ax﹣xeax﹣1．
题型38：双变量不含参不等式证明⽅法之换元法
28．已知函数f（x）＝ax2+xlnx（a∈R）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线x+3y＝0 垂直．
（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）求证：当n＞m＞0 时，lnn﹣lnm＞﹣；
（Ⅲ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k 恒成⽴，求实数k 的最⼤值．
29．已知函数f（x）＝lnx﹣
，g（x）＝xlnx﹣n（x2﹣1）（m，n∈R）．
（I）若函数f（x），g（x）在区间（0，1）上均单调且单调性相反，求m，n 的取值范围；
（Ⅱ）若0＜a＜b，证明：
＜
＜
．
30．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝f（x）+ax2+bx，其中g（x）的函数图象在点（1，g（1））处的切线平⾏
于x 轴．
（Ⅰ）确定a 与b 的关系；
（Ⅱ）若a≤0，判断函数g（x）的单调性；
（Ⅲ）设斜率为k 的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），求证：
＜k
＜
．
31．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2，证明：
＜f′（
）．
32．已知函数f（x）＝lnx﹣
．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）设m＞n＞0，求证：lnm﹣lnn＞
．
33．已知函数
在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．
（Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）求函数g（x）＝ln（1+x）﹣x 在[0，+∞）上的最⼤值；
（Ⅲ）已知a＞1，b＞0，证明：
．
34．设函数f（x）＝xln（ax）（a＞0）
（Ⅰ）设F（x）＝
2+f'（x），讨论函数F（x）的单调性；
（Ⅱ）过两点A（x1，f′（x1）），B（x2f′（x2））（x1＜x2）的直线的斜率为k，求证：
．
35．已知函数f（x）＝lnx+ax+b，a，b∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝0，x1，x2为两个不相等的正数，证明：
．
36．已知函数
，a∈R．
（Ⅰ）当a＝0 时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线⽅程；
（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣ax+1，求函数g（x）的极值；
（Ⅲ）若a＝﹣2，正实数x1，x2满⾜f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，证明：
．
37．已知函数f（x）＝λlnx﹣e﹣x（λ∈R）．
（1）若函数f（x）是单调函数，求λ的取值范围；
（2）求证：λ＝﹣，当0＜x1＜x2时，都有
﹣
＞1﹣
．
38．已知函数f（x）＝lnx+
．
（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：当a≥
，b＞1 时，f（lnb）＞．
题型39：双变量含参不等式证明⽅法之消参减元法
39．已知函数f（x）＝ax2﹣x﹣ln
．
（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y＝2x+1 平⾏，求f（x）在点（1，f（1））的切线⽅程；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内有两个极值点x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜2ln2﹣3．
40．已知函数f（x）＝
x+alnx．
（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线⽅程（⽤含a 的式⼦表示）
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：
．
41．已知函数f（x）＝
．
（Ⅰ）若函数f（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求证：f（t）﹣f（s）
．
42．已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．
43．已知函数f（x）＝x2﹣x+alnx，（a＞0）．
（1）若a＝1，求f（x）在（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）若f（x）存在两个极值点x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＞
．
44．已知函数
，其中a＞0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：﹣3＜f（x1）+f（x2）＜﹣2．
45．已知函数f（x）＝（x2﹣a）ex，a∈R．
（Ⅰ）当a＝0 时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若在区间（1，2）上存在不相等的实数m，n，使f（m）＝f（n）成⽴，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求证：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．
46．已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．
（1）当a＝0 时，求函数y＝f（1﹣2x），x∈[0，）的最⼤值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数f（x）存在两个极值点，x1，x2，且x1＜x2，若0＜x1＜，求证：f（x1）﹣f（x2）＞﹣ln2．
47．已知函数f（x）＝﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1 时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．
48．已知函数f（x）＝（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）．
（1）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y＝0 平⾏，求实数k 的值；
（2）若对于任意x1，x2∈（0，3]，且
恒成⽴，求实数k 的取值
范围．
题型40：极值点偏移
1．已知函数f（x）＝xe﹣x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若x∈（0，1），求证：f （2﹣x）＞f（x）；
（Ⅲ）若x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），且f（x1）＝f（x2），求证：x1+x2＞2．
2．已知函数f（x）＝lnx﹣ax 有两个零点x1，x2（x1＜x2），
（Ⅰ）求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）求证：
．
3．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
（Ⅰ）讨论f（x）函数的单调性；
（Ⅱ）设f（x）的两个零点是x1，x2，求证：
．
4．已知函数f（x）＝
ex．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当f（x1）＝f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0．
5．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．
（Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．
6．已知函数
．
（1）若f（x）存在极值点为1，求a 的值；
（2）若f（x）存在两个不同零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．
7．已知函数f（x）＝x﹣1+aex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞4．
8．已知函数f（x）＝ex﹣x2﹣ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；
（2）如果函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣）x2恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：
＜ln2a．
9．已知函数f（x）＝+
lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x1，x2（x1＜x2）．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）求证：
+
＞．
10．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1（a 为常数），曲线y＝f（x）在与y 轴的交点A 处的切线斜率为﹣1．
（1）求a 的值及函数y＝f（x）的单调区间；
（2）若x1＜ln2，x2＞ln2，且f（x1）＝f（x2），证明：x1+x2＜2ln2．
11．已知函数f（x）＝lnx+
（a∈R 且a≠0）．
（1）若f（x）存在零点，求a 的取值范围；
（2）当a＝2 时，若函数g（x）＝f（x）﹣m 有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．
12．已知函数f（x）＝lnx+
﹣s（s，t∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性及最值；
（2）当t＝2 时，若函数f（x）恰有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：x1+x2＞4．
13．已知函数f（x）＝alnx﹣x2+（2a﹣1）x（a∈R）有两个不同的零点．
（1）求a 的取值范围；
（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞2a
14．已知函数f（x）＝x﹣aex+b（a＞0，b∈R）．
（1）求f（x）的最⼤值；
（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，证明：x1+x2＜﹣2lna．
15．设函数f（x）＝﹣e2x+（x﹣1）ex（a∈R）．
（1）当a＝时，求g（x）＝f′（x）•e1﹣x 的单调区间（f′（x）是f（x）的导数）；
（2）若f（x）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），证明：x1+2x2＞3．
16．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．
（1）若曲线y＝f（x）与直线x﹣y﹣1﹣ln2＝0 相切，求实数a 的值；
（2）若函数y＝f（x）有两个零点x1，x2，证明
．
17．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x2﹣ax（a＞0）．
（1）讨论函数h（x）＝f（x）+g（x）的极值点；
（2）若x1，x2（x1＜x2）是⽅程f（x）﹣
+
＝0 的两个不同的正实根，证明：
+
＞4a．
18．已知函数f（x）＝a﹣﹣lnx（a∈R）．
（1）若a＝2，求函数f（x）在（1，e2）上的零点个数（e 为⾃然对数）；
（2）若f（x）恰有⼀个零点，求a 的取值集合；
（3）若f（x）有两零点x1，x2（x1＜x2），求证：2＜x1+x2＜3ea﹣1﹣1．
19．已知f（x）＝xlnx﹣mx2﹣x，x∈R．
（Ⅰ）当m＝﹣2 时，求函数f（x）的所有零点；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞e2（e 为⾃然对数的底数）．
20．已知函数f（x）＝
﹣bx，g（x）＝lnx﹣f（x）．
（Ⅰ）若f（2）＝2，讨论函数g（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）是关于x 的⼀次函数，且函数g（x）有两个不同的零点x1，x2，求实数b 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：x1x2＞e2．
21．已知函数f（x）＝
﹣ax+alnx．
（Ⅰ）当a＜0 时，论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＝1 时．若⽅程f（x）＝
+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2．证明x1＜
．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+b（a，b∈R）有两个不同的零点x1，x2．
（Ⅰ）求f（x）的最值；
（Ⅱ）证明：x1•x2＜
．
23．已知函数f（x）＝xln（x）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）若对于
，都有f（x）≤ax﹣1，求实数a 的取值范围；
（3）若f（x）＝xln（x）的函数图象与y＝m 交于不同的两点A（x1，m），B（x2，m），证明：
．
24．已知函数f（x）＝lnx﹣ax．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2）．
①求a 的取值范围；
②证明：x1•x2＞e2．
25．已知函数f（x）＝xlnx+ax2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．
（1）求a 的取值范围．
（2）设f（x）的两个极值点为x1，x2，证明x1x2＞e2．
26．已知函数f（x）＝
，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1＝0 垂直．
（1）试⽐较20182019与20192018的⼤⼩，并说明理由；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣k 有两个不同的零点成x1，x2，证明：x1x2＞e2．
27．已知函数f（x）＝lnx+
﹣a（a∈R，b∈R）有最⼩值M，且M≥0．
（Ⅰ）求ea﹣1﹣b+1 的最⼤值；
（Ⅱ）当ea﹣1﹣b+1 取得最⼤值时，设F（b）＝
﹣m（m∈R），F（x）有两个零点为x1，x2（x1＜x2），
证明：x1•
＞e3．
28．已知函数f（x）＝x（lnx﹣k﹣1），k∈R
（1）当x＞1 时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx 成⽴，求实数k 的取值范围；
（3）若x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），证明：x1•x2＜e2k．
29．已知函数g（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x，a∈R．
（1）求g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）＝g（x）+（a+1）x2﹣2x，x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的两个零点，f′（x）是函数f
（x）的导函数，证明：f′（
）＜0．
30．已知函数f（x）＝x2+ax+blnx，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程为y＝2x．
（1）求a 和b 实数的值；
（2）设F（x）＝f（x）﹣x2+mx（m∈R），x1，x2（0＜x1＜x2）分别是函数F（x）的两个零点，求证F'（
）
＜0．
31．已知函数f（x）＝x2+（a﹣2）x﹣alnx（a＞0）．
（Ⅰ）若∀x＞0，使得f（x）＞3a2﹣3a 恒成⽴，求a 的取值范围；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）为函数f（x）图象上不同的两点，PQ 的中点为M（x0，y0）．
求证：
＜f′（x0）．
32．已知函数
有两个极值点x1，x2（e 为⾃然对数的底数）．
（Ⅰ）求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）求证：f（x1）+f（x2）＞2．
33．已知函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数g（x）＝﹣x3﹣ax2+a﹣
，若存在α，β∈（0，a]，使得|f（α）﹣g（β）|＜a 成⽴，求a
的取值范围；
（Ⅲ）若⽅程f（x）＝c 有两个不相等的实数根x1，x2，求证：f′（
）＞0．
34．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
（I）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
（Ⅲ）若函数y＝f（x）的图象与x 轴交于A，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．
35．设函数f（x）＝ex﹣ax+a（a∈R）．
（1）当a＝1 时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线⽅程；
（2）若函数f（x）的图象与x 轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＜x2，求a 的取值范围；
（3）证明：
＜0（f'（x）为函数f（x）的导函数）．
36．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1 有两个零点．
（1）求a 的取值范围；
（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：f'（x1•x2）＜1﹣a．
37．已知函数
．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．
①求实数a 的取值范围；
②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．
38．已知函数f（x）＝ex+ax﹣1（a∈R）．
（1）若对任意的实数x，函数y＝f′（x）的图象与直线y＝x 有且只有两个交点，求a 的取值范围；
（2）设g（x）＝f（x）
x2+1，若函数g（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：g（x1）+g（x2）
＞2．
题型41：单变量恒成⽴之参变分离后导函数零点可求型
1．已知f（x）＝xlnx，g（x）＝x3+ax2﹣x+2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
2．已知函数
．
（1）若曲线y＝f（x）在x＝1 处的切线⽅程为y＝﹣2，求f（x）的单调区间；
（2）若x＞0 时，
恒成⽴，求实数a 的取值范围．
3．（1）若曲线y＝ln（x+a）的⼀条切线为y＝ex+b，其中a，b 为正实数，求a+
的取值范围．
（2）已知函数f（x）＝ex+ax2﹣x．
①当a＝1 时，讨论f（x）的单调性；
②当x≥0 时，f（x）≥
，求a 的取值范围．
4．已知函数f（x）＝axex﹣（a+1）（2x﹣1）．
（1）若a＝1，求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线⽅程；
（2）当x＞0 时，函数f（x）≥0 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
5．已知函数f（x）＝ex（ax2+x+a）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）≤ex（ax2+2x）+1 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
6．已知函数f（x）＝lnx．
（1）求函数g（x）＝f（x）﹣x 的最⼤值；
（2）若∀x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
7．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2（其中e 为⾃然对数的底数）．
（Ⅰ）判断函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若对任意的x＞0，f（x）+ex≥x3+x，求a 的取值范围．
题型42：单变量恒成⽴之参变分离后导函数零点可猜型
8．已知函数f（x）＝ex﹣xlnx，g（x）＝ex﹣tx2+x，t∈R，其中e 是⾃然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处切线⽅程；
（Ⅱ）若g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成⽴，求t 的取值范围．
9．已知函数
．
（Ⅰ）当a＝0 时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线⽅程；
（Ⅱ）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）当x≥2 时，f（x）≥0 恒成⽴，求a 的取值范围．
10．已知函数f（x）＝
（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤ex﹣1+
﹣1 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
11．函数
，
．
（Ⅰ）讨论f（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），总有f（x）≤g（x）成⽴，求实数a 的取值范围．
12．已知函数
（a 为常数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）不等式f（x）≥1 在x∈（0，2]上恒成⽴，求实数a 的取值范围．
13．已知函数f（x）＝
．
（1）若函数f（x）在区间（a，a
）上存在极值，求正实数a 的取值范围；
（2）如果当x≥1 时，不等式f（x）≥
恒成⽴，求实数k 的取值范围．
题型43：单变量恒成⽴之参变分离后导函数零点不可求型
14．已知函数f（x）＝axex﹣lnx+b 在x＝1 处的切线⽅程为y＝（2e﹣1）x﹣e．
（1）求a，b 值；
（2）若f（x）≥mx 恒成⽴，求实数m 的取值范围．
15．已知函数f（x）＝xlnx+ax（a∈R）
（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围；
（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x 恒成⽴，求正整数k 的值．
16．已知函数f（x）＝aex﹣xex+x﹣a（a∈R）．
（Ⅰ）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线⽅程；
（Ⅱ）若对任意x＞0 都有f（x）＜x+1 恒成⽴，求a 的最⼤整数值．
17．已知函数f（x）＝
．
（1）若函数f（x）的图象在x＝1 处的切线为y＝1，求f（x）的极值；
（2）若f（x）≤ex+
﹣1 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
18．已知函数
．
（1）求证：函数f（x）有唯⼀零点；
（2）若对任意x∈（0，+∞），xex﹣lnx≥1+kx 恒成⽴，求实数k 的取值范围．
19．已知函数f（x）＝5+lnx，g（x）＝
（k∈R）．
（I）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与函数y＝g（x）的图象相切，求k 的值；
（II）若k∈N*，且x∈（1，+∞）时，恒有f（x）＞g（x），求k 的最⼤值．
（参考数据：ln5≈1.61，ln6≈1.7918，ln（
+1）＝0.8814）
20．设函数f（x）＝ex﹣ax﹣2．
（Ⅰ）求函数f（x）＝ex﹣ax﹣2 的图象在点A（0，﹣1）处的切线⽅程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a＝1，k 为整数，且当x＞0 时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k 的最⼤值．
21．设函数f（x）＝xlnx﹣
+a﹣x（a∈R）．
（1）若函数f（x）有两个不同的极值点，求实数a 的取值范围；
（2）若a＝2，k∈N，g（x）＝2﹣2x﹣x2，且当x＞2 时不等式k（x﹣2）+g（x）＜f（x）恒成⽴，试求k
的最⼤值．
题型44：单变量恒成⽴之同构或放缩后参变分离
22．已知函数f（x）＝aex﹣1﹣lnx+lna．
（1）当a＝e 时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三⻆形的⾯积；
（2）若f（x）≥1，求a 的取值范围．
23．已知函数f（x）＝x﹣alnx．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）+b（a，b∈R）在x＝1 处的切线⽅程为x+y﹣3＝0，求a，b 的值；
（Ⅱ）求函数
的极值点；
（Ⅲ）设
，若当x＞a 时，不等式h（x）≥0 恒成⽴，求a 的最
⼩值．
24．已知函数f（x）＝eax﹣x．
（1）若曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线的斜率为1，求f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≥eaxlnx﹣ax2对x∈（0，e]恒成⽴，求a 的取值范围．
25．已知函数f（x）＝1+aexlnx．
（Ⅰ）当a＝1，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥ex（xa﹣x）（a＜0），对x∈（1，+∞）恒成⽴，求实数a 的取值范围．
26．已知函数f（x）＝e﹣x﹣ax（x∈R），g（x）＝ln（x+m）+ax+1．
（Ⅰ）当a＝﹣1 时，求函数f（x）的最⼩值；
（Ⅱ）若对任意x∈（﹣m，+∞），恒有f（﹣x）≥g（x）成⽴，求实数m 的取值范围．
题型45：单变量恒成⽴之最值分析法
27．已知函数f（x）＝alnx+xb（a≠0）．
（1）当b＝2 时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a+b＝0，b＞0 时，对任意
，有f（x）≤e﹣1 成⽴，求实数b 的取值范围．
28．已知a∈R，设函数f（x）＝aln（x+a）+lnx．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≤e
+ln
﹣1 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
29．已知函数f（x）＝x﹣1﹣alnx．
（1）若f（x）≥0，求a 的值；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n，（1+
）（1+
）…（1+
）＜m，求m 的最⼩值．
30．已知函数f（x）＝xlnx﹣a（x﹣1）2﹣x+1（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝0 时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）＜0 对x∈（1，+∞）恒成⽴，求a 的取值范围．
31．已知函数f（x）＝alnx﹣ex．
（1）讨论y＝f（x）的极值点的个数；
（2）若a∈N+，且f（x）＜0 恒成⽴，求a 的最⼤值．
参考数据：
x
1.6
1.7
1.8
ex
4.953
5.474
6.050
lnx
0.470
0.531
0.588
32．函数f（x）＝x2﹣2ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y+1＝0 垂直，求a 的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3 在区间（0，e]上恒成⽴，求实数a 的取值范围．
33．已知函数f（x）＝（x+a﹣1）ex，g（x）＝x2+ax，其中a 为常数．
（1）若a＝2 时，求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线⽅程；
（2）若对任意x∈[0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成⽴，求实数a 的取值范围．
34．已知函数f（x）＝ex﹣a．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象与直线l：y＝x﹣1 相切，求a 的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣lnx＞0 恒成⽴，求整数a 的最⼤值．
35．已知函数f（x）＝eax﹣ax﹣1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设m 为整数，且对于任意正整数n（n≥2）．若
恒成⽴，求m 的最⼩值．
36．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax+1（a∈R）．
（1）讨论f（x）在（1，+∞）上的零点个数；
（2）当a＞1 时，若存在x∈（1，+∞），使f（x）＜（e﹣1）（a﹣3），求实数a 的取值范围．（e 为⾃然对
数的底数，其值为2.71828……）
37．已知函数f（x）＝ex﹣1﹣ax+lnx，（a∈R）．
（1）若函数y＝f（x）在x＝1 处的切线与直线3x﹣y＝0 平⾏，求a 的值；
（2）若不等式f（x）≥lnx﹣a+1 对⼀切x∈[1，+∞）恒成⽴，求实数a 的取值范围．
38．已知正实数a，设函数f（x）＝x2﹣a2xlnx．
（1）若
时，求函数f（x）在[1，e]的值域；
（2）对任意实数
均有
恒成⽴，求实数a 的取值范围．
39．设函数
，g（x）＝tlnx（t∈R），
（1）讨论函数h（x）＝f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若当x∈（0，1）时f（x）的图象总在函数g（x）的图象的下⽅，求正实数t 的取值范围．
40．已知函数f（x）＝lnx+x+1，g（x）＝x2+2x．
（1）求函数y＝f（x）﹣g（x）的极值；
（2）若m 为整数，对任意的x＞0 都有f（x）﹣mg（x）≤0 成⽴，求实数m 的最⼩值．
41．设函数f（x）＝2xlnx﹣2ax2（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤
﹣lnx﹣1（f′（x）为f（x）的导函数）在（1，+∞）上恒成⽴，求实数a 的取值
范围．
题型46：单变量恒成⽴端点效应⾮单验悖之含端点
42．已知函数f（x）＝e﹣x﹣ax（x∈R）．
（1）当a＝﹣1 时，求函数f（x）的最⼩值；
（2）若x≥0 时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a 的取值范围．
43．已知函数
，
．
（1）当a＝1 时，求证：当x≥0 时，f（x）≥0；
（2）若f（x）+g（x）≥0 在[0，+∞）上恒成⽴，求a 的取值范围．
44．已知函数f（x）＝axln（x+1）+x+1（x＞﹣1，a∈R）．
（1）若
，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x≥0 时，不等式f（x）≤ex 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
45．设函数f（x）＝（1﹣x2）•ex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求实数a 的取值范围．
46．设函数f（x）＝（1+x﹣x2）ex（e＝2.71828…是⾃然对数的底数）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1+2x2，求实数a 的取值范围．
题型47：单变量恒成⽴端点效应⾮单验悖之不含端点
47．设函数f（x）＝x（ex﹣1）﹣ax2，a∈R，其中e 为⾃然对数的底数．
（Ⅰ）若a＝，求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若当x≥0 时，f（x）≥0 恒成⽴，求实数a 的取值范围．
48．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（Ⅰ）当a＝4 时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线⽅程；
（Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a 的取值范围．
49．已知函数f（x）＝
．
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间（0，
）上的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，
）上满⾜f（x）＜a 恒成⽴，求实数a 的最⼩值．
50．已知f（x）＝ex﹣alnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）当a＝﹣1 时，若不等式f（x）＞e+m（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成⽴，求实数m 的取值范围．
51．已知函数f（x）＝lnx（ax+1﹣a）（a＞0）．
（1）当a＝时，设g（x）＝f（x）﹣x+1，讨论g（x）的导函数g'（x）的单调性；
（2）当x＞1 时，f（x）＞x﹣1，求a 的取值范围．
52．设函数f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）确定a 的所有可能取值，使得f（x）＞﹣e1﹣x 在区间（1，+∞）内恒成⽴（e＝2.718…为⾃然对数
的底数）．
53．设函数f（x）＝xlnx﹣ax2+（b﹣1）x，g（x）＝ex﹣ex．
（1）当b＝0 时，函数f（x）有两个极值点，求a 的取值范围；
（2）若y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x 轴平⾏，且函数h（x）＝f（x）+g（x）在x∈（1，+∞）
时，其图象上每⼀点处切线的倾斜⻆均为锐⻆，求实数a 的取值范围．
题型48：单变量不等式存在性之参变分离
1．已知函数
，g（x）＝3x+a．
（Ⅰ）若f（x）与g（x）相切，求a 的值；
（Ⅱ）当
时，P（x1，y1）为f（x）上⼀点，Q（x2，y2）为g（x）上⼀点，求|PQ|的最⼩值；
（Ⅲ）∃x0＞0，使f（x0）＞g（x0）成⽴，求参数a 的取值范围．
2．已知函数f（x）＝ax﹣ex（a∈R），g（x）＝
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex 成⽴，求a 的取值范围．
3．已知a 为实数，函数f（x）＝alnx+x2﹣4x．
（1）若x＝3 是函数f（x）的⼀个极值点，求实数a 的取值；
（2）设g（x）＝（a﹣2）x，若∃x0∈[
]，使得f（x0）≤g（x0），求实数a 的取值范围．
4．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣asinx，a∈R．
（1）若y＝f（x）在（0，0）处的切线为x﹣3y＝0，求a 的值；
（2）若存在x∈[1，2]，使得f（x）≥2a，求实数a 的取值范围．
5．已知函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣ax+a（a∈R），e 为⾃然对数的底数．
（1）当a＝1 时，求函数f（x）的单调区间；
（2）①若存在实数x，满⾜f（x）＜0，求实数a 的取值范围：②若有且只有唯⼀整数x0，满⾜f（x0）
＜0，求实数a 的取值范围．
6．f（x）＝a（x﹣1），g（x）＝（ax﹣1）ex，a∈R．
（1）证明：存在唯⼀实数a，使得直线y＝f（x）和曲线y＝g（x）相切；
（2）若不等式f（x）＞g（x）有且只有两个整数解，求a 的范围．
7．已知函数
，
，其中a∈R．
（Ⅰ）若f′（2）＝0，求实数a 的值；
（Ⅱ）当a＞0 时，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）若存在
，使得不等式f（x）≤g（x）成⽴，求实数a 的取值范围．
8．已知函数f（x）＝xlnx（x＞0）．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≥
恒成⽴，求实数m 的最⼤值．
9．已知函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）函数g（x）＝（1﹣a）x，若∃x0∈[1，e]使得f（x0）≥g（x0）成⽴，求实数a 的取值范围．
10．已知函数f（x）＝a（x+
）+blnx（其中a，b∈R）
（Ⅰ）当b＝﹣4 时，若f（x）在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；
（Ⅱ）当a＝﹣1 时，是否存在实数b，使得当x∈[e，e2]时，不等式f（x）＞0 恒成⽴，如果存在，求b
的取值范围，如果不存在，说明理由（其中e 是⾃然对数的底数，e＝2.71828…）．
11．已知函数f（x）＝
，其中a 为实数．
（1）当a＝2 时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线⽅程；
（2）是否存在实数a，使得对任意x∈（0，1）∪（1，+∞），f（x）＞
恒成⽴？若不存在，请说明理
由，若在，求出a 的值并加以证明．
12．已知函数
；
（Ⅰ）求证：f（x）≤a2﹣3；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得只有唯⼀的正整数a，对于x∈（0，+∞）恒有f（x）≤ea+k，若存在，请求
出k 的范围以及正整数a 的值；若不存在请说明理由．（下表的近似值供参考）
ln2
ln3
ln4
ln5
ln6
ln7
ln8
ln9
0.69
1.10
1.38
1.61
1.79
1.95
2.07
2.20
13．已知f（x）＝xlnx，g（x）＝
，直线l：y＝（k﹣3）x﹣k+2
（1）函数f（x）在x＝e 处的切线与直线l 平⾏，求实数k 的值
（2）若⾄少存在⼀个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成⽴，求实数a 的取值范围
（3）设k∈Z，当x＞1 时f（x）的图象恒在直线l 的上⽅，求k 的最⼤值．
题型49：单变量不等式存在性之最值分析
14．设函数f（x）＝2lnx﹣mx2+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当f（x）有极值时，若存在x0，使得f（x0）＞m﹣1 成⽴，求实数m 的取值范围．
15．设
（a∈R）．
（Ⅰ）当a＝1 时，求曲线y＝f（x）在点
处的切线⽅程；
（Ⅱ）当a＜1 时，在
内是否存在⼀实数x0，使f（x0）＞e﹣1 成⽴？
16．已知
﹣x+1，a≠0．
（Ⅰ）当a＝1 时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若∃x0＞1，使
成⽴，求参数a 的取值范围．
17．已知函数f（x）＝﹣alnx﹣
．
（Ⅰ）当a＜0 时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+xf′（x），若关于x 的不等式g（x）≤﹣ex+
在x∈[1，2]上有解，求
a 的取值范围．
18．已知函数f（x）＝
+4alnx．
（1）当a＝2 时，求函数f（x）的极值；
（2）当a＞0 时，若在[1，e]（e＝2.718…）上存在⼀点x0，使得f（x0）＜g（x0）成⽴，求实数a 的取值
范围．
19．已知函数f（x）＝ax2+lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若∃x∈（0，+∞）使f（x）＞0 成⽴，求a 的取值范围．
20．已知函数f（x）＝x﹣alnx，（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）设g（x）＝﹣
，若在[1，e]上存在⼀点x0，使得f（x0）＜g（x0）成⽴，求a 的取值范围．
21．已知函数f（x）＝x（lnx﹣1），g（x）＝
．
（Ⅰ）求证：当0＜x＜时，f（x）＜x2﹣x；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，m]，使f（x0）﹣g（m）≤0，求m 的取值范围．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣a（x+1），a∈R 在（1，f（1））处的切线与x 轴平⾏．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有
成⽴，求k 的取值范围．
23．已知函数f（x）＝2x﹣+klnx．
（1）当k＝﹣3 时，求f（x）的极值；
（2）若存在x∈[1，e]，使得3x﹣f（x）＜﹣成⽴，求实数k 的取值范围．
24．已知f（x）＝x2+ax﹣lnx+1，g（x）＝x2+1．
（1）若a＝﹣1，判断是否存在x0＞0，使得f（x0）＜0，并说明理由；
（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x），是否存在实数a，当x∈（0，e]（e≈2.718，为⾃然常数）时，函数h（x）
的最⼩值为3．
题型50：双变量任意与任意/存在与存在不等问题
1．已知函数f（x）＝
+alnx（a∈R，且a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数g（x）＝2x2f′（x）﹣xf（x）﹣3a（a＜0）存在实数x1，x2∈[1，e2]，使得不等式2g（x1）＜g
（x2）成⽴，求a 的取值范围．
2．已知函数f（x）＝lnx﹣mx（m∈R），g（x）＝x﹣（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若m＝
，对∀x1，x2∈[2，2e2]都有g（x1）≥f（x2）成⽴，求实数a 的取值范围．
3．已知函数
，其中a＞0．
（1）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间（1，e）存在零点，求实数a 的取值范围；
（2）若对任意的x1、x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成⽴，求实数a 的取值范围．
4．设函数f（x）＝+xlnx，g（x）＝x3﹣x2﹣3．
（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M 成⽴，求满⾜上述条件的最⼤整数M；
（II）如果对于任意的s、t∈[
，2]，都有f（s）≥g（t）成⽴，求实数a 的取值范围．
题型51：双变量存在与任意不等问题
5．已知函数f（x）＝x﹣（a+1）lnx﹣（a∈R），g（x）＝x2+ex﹣xex．
（1）当x∈[1，e2]时，求f（x）的最⼩值；
（2）当a＜1 时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣1，0]，f（x1）＜g（x2）恒成⽴，求a 的取值
范围．
6．已知函数f（x）＝ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）
（1）当a＝时，求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）＝（x2﹣2x）ex，如果对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2）成⽴，
求实数a 的取值范围．
7．已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R），g（x）＝x2﹣2x+2．
（1）当
时，求函数y＝f（x）在区间[1，e]上的最⼤值和最⼩值；
（2）若对任意的x1∈[﹣1，2]，均存在x2∈（0，+∞），使得g（x1）＜f（x2），求a 的取值范围．
8．已知函数f（x）＝（a+1）lnx+ax2+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设
，使f
（x1）≤g（x2），求实数b 取值范围．
题型52：双变量存在与任意相等问题
9．已知函数f（x）＝lnx﹣x，g（x）＝bx3﹣bx（b≠0）．
（1）讨论g（x）的单调性
（2）若对任意x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）＝g（x2），求b 的取值范围．
10．已知函数f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）＝xe1﹣x（a∈R，e＝2.71828…）．
（1）当a＝1 时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（0，）⽆零点，求a 的最⼩值；
（3）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的xi（i＝1，2），使得f（xi）＝g（x0）成
⽴，求a 的取值范围．
11．已知函数f（x）＝
（m，n∈R）在x＝1 处取到极值2
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）＝ax﹣lnx．若对任意的
，总存在唯⼀的
，使得g（x2）
＝f（x1），求实数a 的取值范围．
题型53：双变量存在与存在相等问题
1．已知函数f（x）＝ex﹣1，g（x）＝﹣x2+4x﹣3，若有f（a）＝g（b），则b 的取值范围是（
）
A．
B．
C．[1，3]
D．（1，3）
2．已知函数
，函数
﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，
1]，使得f（x1）＝g（x2）成⽴，则实数a 的取值范围是
．
3．已知函数f（x）＝2k2x+k，x∈[0，1]．函数g（x）＝3x2﹣2（k2+k+1）x+5，x∈[﹣1，0]．对任意x1∈[0，1]，
存在x2∈[﹣1，0]，g（x2）＝f（x1）成⽴，求k 的取值范围．（f（x）的值域是g（x）的值域的⼦集即可．）
4．已知函数f（x）＝x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x（a∈R），g（x）＝
x﹣．是否存在实数a，对任意x1∈[﹣
1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′（x1）+2ax1＝g（x2）成⽴？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说
明理由．
题型54：讨论函数零点或⽅程的根个数
5．已知f（x）＝e﹣x（ax2+x+1）当a＞0 时，讨论⽅程f（x）＝1 的解个数．
6．设函数
﹣klnx，k＞0．
（Ⅰ）k＝1 时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，
]上仅有⼀个零点．
7．已知函数
的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）讨论⽅程f（x）＝1 的实数根的个数．
8．已知函数f（x）＝ex，x∈R．
（1）若直线y＝kx 与f（x）的反函数的图象相切，求实数k 的值；
（2）若m＜0，讨论函数g（x）＝f（x）+mx2零点的个数．
9．已知函数f（x）＝﹣x3+ax﹣
﹣e，其中e 为⾃然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线与曲线y＝g（x）在（0，g（0））处的切线互相垂直，求实
数a 的值；
（Ⅱ）设函数h（x）＝
，试讨论函数h（x）零点的个数．
10．已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2lnx（a∈R）．
（1）若a＝0，证明：f（x）＜0；
（2）讨论函数f（x）零点的个数．
11．已知函数f（x）＝x3﹣a（x2+x+1）．
（1）若a＝3，求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）只有⼀个零点．
12．已知函数f（x）＝ea﹣x，其中e 是⾃然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）求函数g（x）＝xf（x）的单调区间；
（Ⅱ）试确定函数h（x）＝f（x）+x 的零点个数，并说明理由．
13．设函数f（x）＝lnx+
，m∈R．
（Ⅰ）当m＝e（e 为⾃然对数的底数）时，求f（x）的极⼩值；
（Ⅱ）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数．
14．已知函数f（x）＝lnx+
（a∈R 且a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x∈[
，e]时，试判断函数g（x）＝（lnx﹣1）ex+x﹣m 的零点个数．
15．设函数f（x）＝ex﹣2a﹣ln（x+a），a∈R，e 为⾃然对数的底数．
（1）若a＞0，且函数f（x）在区间[0，+∞）内单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若0＜a＜，试判断函数f（x）的零点个数．
16．已知函数
（a∈R）．
（1）若f（x）在点（2，f（2））处的切线与直线2x+y+2＝0 垂直，求实数a 的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）讨论函数f（x）在区间[1，e2]上零点的个数．
17．已知函数f（x）＝x2+
﹣alnx（a∈R）
（1）若f（x）在x＝2 处取得极值，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线⽅程；
（2）当a＞0 时，若f（x）有唯⼀的零点x0，求[x0]
注：[x]表示不超过x 的最⼤整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[﹣1.5]＝﹣2
参考数据：ln2＝0.698，ln3＝1.099，ln5＝1.609，ln7＝1.946．
题型55：由函数零点与根个数求参
18．已知函数f（x）＝xex﹣a（x+1）2．
（1）若a＝e，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）有两个零点，求实数a 的取值范围．
19．已知函数f（x）＝ex﹣2x﹣1．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线⽅程；
（Ⅱ）设g（x）＝af（x）+（1﹣a）ex，若g（x）有两个零点，求实数a 的取值范围．
20．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x，a∈R．
（1）当a＝0 时，求曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线⽅程；
（2）试判断函数f（x）的单调性；
（3）若函数f（x）有两个零点，求a 的取值范围．
21．已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a 的取值范围．
22．已知a∈R，函数f（x）＝ex﹣ax．
（1）若函数f（x）在区间（﹣e，﹣1）上是减函数，求实数a 的取值范围；
（2）若函数F（x）＝f（x）﹣（ex﹣2ax+2lnx+a）在区间（0，）内⽆零点，求实数a 的最⼤值．
23．已知函数f（x）＝ex﹣ax2．
（1）若a＝1，证明：当x≥0 时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）只有⼀个零点，求a．
24．设函数f（x）＝lnx+x
（1）令F（x）＝f（x）+
（0＜x≤3），若F（x）的图象上任意⼀点P（x0，y0）处切线的斜率k
恒
成⽴，求实数a 的取值范围；
（2）若⽅程2mf（x）＝x2有唯⼀实数解，求正数m 的值．
25．函数f（x）＝ax+xlnx 在x＝1 处取得极值．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若y＝f（x）﹣m﹣1 在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．
26．设函数f（x）＝﹣x2+ax+lnx（a∈R）．
（I）若a＝﹣1 时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）在[
，3]上有两个零点，求实数a 的取值范围．
27．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a 的取值范围．
28．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex+ax2，a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a 的取值范围．
29．已知函数f（x）＝（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a．
（1）当a＝1 时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（0，）⽆零点，求a 的最⼩值．
30．已知函数F（x）＝
．
（Ⅰ）设函数h（x）＝（x﹣1）F（x），当a＝2 时，证明：当x＞1 时，h（x）＞0；
（Ⅱ）若F（x）有两个不同的零点，求a 的取值范围．
31．已知函数f（x）＝xex﹣a（lnx+x），a∈R．
（1）当a＝e 时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个零点，求实数a 的取值范围．
