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微专题 4 函数的极值、最值
[考情分析] 利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多以选择题、填空题压轴考查，或以解答
题的形式出现，难度中等；或者压轴解答题，属综合性问题，难度较大.
考点一 利用导数研究函数的极值
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f'(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点.
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点.
例1 (2024·新课标全国Ⅱ)已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
[易错提醒] (1)不能忽略函数的定义域.
(2)f'(x )=0是可导函数f(x)在x=x 处取得极值的必要不充分条件，即f'(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以
0 0
判断f(x)的极值点时，除了找f'(x)=0的实数根x 外，还需判断f(x)在x 左侧和右侧的单调性.
0 0
(3)函数的极小值不一定比极大值小.
跟踪演练1 (1)(多选)(2024·武汉统考)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的部分图象如图所示，设函数g(x)=
f(x)
，则g(x) ( )
ex
A.在区间(a，b)上单调递减
B.在区间(a，b)上单调递增
C.在x=a时取极小值
D.在x=b时取极小值
(2)(2024·秦皇岛模拟)已知0是函数f(x)=x3+ax2+1的极大值点，则a的取值范围为 ( )
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
( 2) ( 2 )
C. -∞，- D. - ，+∞
3 3
考点二 利用导数研究函数的最值
1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值.
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
2.若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.
例2 (2024·宝鸡模拟)已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数.
(1)当a=e，b=4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k+1)上存在零点；
(2)若x∈[-1，1]，且b=0，求f(x)的最小值和最大值.
[易错提醒] (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.
(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，
画出函数图象，借助图象得到函数的最值.
跟踪演练2 (1)(2024·安徽省皖江名校联盟模拟)已知函数f(x)=(x-1)sin x+(x+1)·cos x，当x∈[0，π]时，
f(x)的最大值与最小值的和为 .
{ 1
- ,x<0,
(2)(2024·浙江省金丽衢十二校联考)已知函数f(x)= x 若x 0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)<0，解得x0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
1
则g'(a)=2a+ >0，
a
可知g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
方法二 因为f(x)的定义域为R，
且f'(x)=ex-a，
若f(x)有极小值，
则f'(x)=ex-a有零点，
令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，
可知y=ex与y=a有交点，则a>0，
令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)<0，解得x0，
令g(a)=a2+ln a-1，a>0，
因为y=a2，y=ln a-1在(0，+∞)上均单调递增，
所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，
且g(1)=0，
不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
跟踪演练1 (1)BC (2)A
例2 解 (1)当a=e，b=4时，
f(x)=ex+x2-x-4，
∴f'(x)=ex+2x-1，∴f'(0)=0，
当x>0时，ex>1，
∴f'(x)>0，故f(x)在(0，+∞)上单调递增，
同理f(x)在(-∞，0)上单调递减.
f(-2)=e-2+2>0，
f(-1)=e-1-2<0，
f(0)=-3<0，f(1)=e-4<0，
f(2)=e2-2>0，
故当x>2时，f(x)>0，当x<-2时，f(x)>0，
故当x>0时，函数f(x)的零点在(1，2)内，∴k=1满足条件.
同理，当x<0时，函数f(x)的零点在(-2，-1)内，∴k=-2满足条件，
综上，k=1，-2.
(2)由已知f(x)=ax+x2-xln a，
f'(x)=axln a+2x-ln a
=2x+(ax-1)ln a，
①当x>0时，由a>1，
可知ax-1>0，ln a>0，
∴f'(x)>0；
②当x<0时，由a>1，
可知ax-1<0，ln a>0，∴f'(x)<0；
③当x=0时，f'(x)=0，
∴f(x)在[-1，0]上单调递减，
在(0，1]上单调递增，
∴当x∈[-1，1]时，f(x) =f(0)=1，f(x) =max{f(-1)，f(1)}.
min max
因为f(1)=a+1-ln a，
1
f(-1)= +1+ln a，
a
1
则f(1)-f(-1)=a- -2ln a，
a
1
设g(t)=t- -2ln t(t>0)，
t
1 2 (1 ) 2
∵g'(t)=1+ - = -1 ≥0(当且仅当t=1时取等号)，
t2 t t
∴g(t)在(0，+∞)上单调递增，而g(1)=0，
∴当t>1时，g(t)>0，即a>1时，
1
a- -2ln a>0，∴f(1)>f(-1)，
a
即f(x) =f(1)=a+1-ln a.
max
综上，f(x)的最小值为1，最大值为a+1-ln a.
(√2 )
跟踪演练2 (1) -1 π-1
4
1
(2)2ln 2+
2
例3 (1)A [f'(x)=ex+m(1+x)-x-m，
因为f(x)在区间[-1-m，1-m]上有且仅有两个极值点，
所以f'(x)在区间(-1-m，1-m)上有两个变号零点，即ex+m(1+x)=x+m在区间(-1-m，1-m)上有两个不等实数根.
t
令t=x+m，则x=t-m，上式可化为m=t+1- ，其中t∈(-1，1).
et
t
令g(t)=t+1- ，t∈(-1，1)，
et
1-t et-1+t
则g'(t)=1- = .
et et令h(t)=et-1+t，
则h'(t)=et+1>0，
即h(t)为增函数，
又h(0)=0，所以当t∈(-1，0)时，
g'(t)<0，g(t)单调递减；
当t∈(0，1)时，g'(t)>0，g(t)单调递增，所以当t=0时，g(t)取得最小值，因为g(0)=1，g(-1)=e，
1
g(1)=2- ，
e
( 1)
所以m的取值范围为 1，2- .]
e
(2)[1，4)
跟踪演练3 (1)B (2)-3
