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专题一 微专题 4 函数的极值、最值
(分值：100分)
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·辽宁省部分重点中学协作体模拟)下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是( )
A.f(x)=xsin x
1
B.f(x)=x+
x
1
C.f(x)=ex+
ex
D.f(x)=|x+1|-|x-1|
x
2.(2024·西安模拟)函数f(x)= 在[-3，3]上的最大值和最小值分别是( )
x2+1
6 6 2 2
A. ，- B. ，-
13 13 5 5
3 3 1 1
C. ，- D. ，-
10 10 2 2
3.(2024·银川模拟)若函数f(x)=(x2-ax-2)ex在x=-2处取得极大值，则f(x)的极小值为( )
A.-6e2 B.-4e
C.-2e2 D.-e
4.已知函数f(x)=ln x+ax存在最大值0，则a的值为( )
1
A.-2 B.-
e
C.1 D.e
5.(2024·楚雄模拟)若a>b，则函数y=a(x-a)(x-b)2的图象可能是( )
a
6.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)=cos x+ x2，若x=0是函数f(x)的唯一极小值点，则a的取值范围为( )
2
A.[1，+∞) B.(-1，1)C.[-1，+∞) D.(-∞，1]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·杭州模拟)已知函数f(x)=(x+1)ex，则下列结论正确的是( )
A.f(x)在区间(-2，+∞)上单调递增
1
B.f(x)的最小值为-
e2
C.方程f(x)=2的解有2个
D.导函数f'(x)的极值点为-3
8.(2024·新课标全国Ⅱ)设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则( )
A.当a>1时，f(x)有三个零点
B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a，使得点(1，f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·宜宾模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8，则f(1)= .
10.如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为1，高为2的圆柱，两端是半径为1的半球组成，
现欲加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底
面半径为 .
四、解答题(共31分)
2x2-ax+a
11.(14分)(2024·深圳模拟)已知函数f(x)= ，其中a∈R.
ex
(1)若a=1，求f(x)在[-1，1]上的最小值；(5分)
(2)求证：f(x)的极大值恒为正数.(9分)
12.(17分)(2024·泸州模拟)已知函数f(x)=2x3-ax2+2(a>0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(6分)
(2)若在区间[-1，1]内存在x ，x ，使得f(x )f(x )≥9，求实数a的取值范围.(11分)
1 2 1 2( π)
13.(17分)[旋转函数]在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α 0<α≤ 后，
2
所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f(x)为“α旋转函数”.
π
(1)判断函数y=√3x是否为“ 旋转函数”，并说明理由；(5分)
6
(2)已知函数f(x)=ln(2x+1)(x>0)是“α旋转函数”，求tan α的最大值；(5分)
x2 π
(3)若函数g(x)=m(x-1)ex-xln x- 是“ 旋转函数”，求m的取值范围.(7分)
2 4答案精析
1.B 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A
2√2
7.ABD 8.AD 9.-4 10.
3
11.(1)解 当a=1时，
2x2-x+1
f(x)= ，x∈[-1，1]，
ex
-2x2+5x-2
f'(x)= ，
ex
1
令f'(x)=0，得x= ，
2
(1) 1 √e
又f = = ，
2 √e e
2
且f(-1)=4e，f(1)= ，
e
(1) √e
∴f(x) =f = .
min 2 e
-2x2+(a+4)x-2a (-2x+a)(x-2)
(2)证明 因为f'(x)= = ，
ex ex
令f'(x)=0，
a
解得x =2，x = ，
1 2 2
a
若a>4，当x<2或x> 时，
2
a
f'(x)<0，当20，
2
(a )
所以f(x)在(-∞，2)， ，+∞ 上单调递减，
2
( a)
在 2， 上单调递增，
2
a
(a)
故极大值为f = a>0；
2
e2
若a=4，则f'(x)≤0，
所以函数f(x)在R上单调递减，无极大值；
a a
若a<4，当x< 或x>2时，f'(x)<0，当 0，
2 2( a)
所以f(x)在 -∞， ，(2，+∞)上单调递减，
2
(a )
在 ，2 上单调递增，
2
8-a
故极大值为f(2)= >0.
e2
综上，f(x)的极大值恒为正数.
12.解 (1)因为f(x)=2x3-ax2+2(a>0)，
所以f(0)=2，
又f'(x)=6x2-2ax，
所以f'(0)=0，
所以曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2.
(2)因为f'(x)=6x2-2ax
( a)
=6x x- ，又a>0，
3
a
所以当0 时，f'(x)>0，
3
( a) (a )
所以f(x)在 0， 上单调递减，在(-∞，0)， ，+∞ 上单调递增.
3 3
则在区间[-1，1]内存在x ，x ，使得f(x )f(x )≥9，
1 2 1 2
等价于在区间[-1，1]内存在x，使得[f(x)]2≥9，
等价于在区间[-1，1]内存在x，使得|f(x)|≥3，
等价于在区间[-1，1]内，|f(x)|的最大值不小于3.
不妨令g(x)=|f(x)|，
a
①当 ≥1，即a≥3时，f(x)在[-1，0)上单调递增，在(0，1]上单调递减，
3
且f(-1)=-a≤-3，f(0)=2，
f(1)=4-a≤1，
所以g(x) =|f(x)| =max{a，2，|4-a|}≥3，符合题意；
max max
a (a ] ( a)
②当0< <1，即00，
3 3 27
而f(-1)=-a∈(-3，0)，f(0)=2，f(1)=4-a>0，所以g(x) =|f(x)| =max{a，2，|4-a|}，
max max
要使g(x) ≥3，则必有4-a≥3，
max
解得a≤1，故00)与函数y=kx+b的图象最多有1个交点，且k=tan -α ，
2
所以ln(2x+1)=kx+b(x>0)最多有一个根，
即ln(2x+1)-kx=b(x>0)最多有一个根，
因此函数y=ln(2x+1)-kx(x>0)的图象与直线y=b(b∈R)最多有1个交点，
即函数y=ln(2x+1)-kx在 (0，+∞)上单调.
2
因为y'= -k，
2x+1
2
且x>0， ∈(0，2)，
2x+1
2 2
所以y'= -k≤0，k≥ ，所以k≥2，
2x+1 2x+1
(π ) 1
即tan -α ≥2，tan α≤ ，
2 2
1
即tan α的最大值为 .
2
x2
(3)由题意可得函数g(x)=m(x-1)ex-xln x- 与函数y=x+b的图象最多有1个交点，
2
x2
所以m(x-1)ex-xln x- =x+b，
2
x2
即m(x-1)ex-xln x- -x=b最多有一个根，
2
x2
所以函数y=m(x-1)ex-xln x- -x的图象与直线y=b(b∈R)最多有1个交点，
2
x2
即函数y=m(x-1)ex-xln x- -x在(0，+∞)上单调.
2y'=mxex-ln x-x-2，
当x→0时，y'→+∞，
(lnx+x+2)
所以y'≥0 m≥ ，
xex
max
⇒
lnx+x+2
令φ(x)= ，
xex
(x+1)(-lnx-x-1)
则φ'(x)= ，
x2ex
因为t(x)=-ln x-x-1在(0，+∞)上单调递减，
( 1 )
且t >0，t(1)<0，
e2
( 1 )
所以存在x ∈ ，1 ，使t(x )=0，
0 e2 0
1
即ln x +x =-1 ln(x ex 0)=-1 x ex 0= ，
0 0 0 0 e
⇒ ⇒
所以φ(x)在(0，x )上单调递增，
0
在(x ，+∞)上单调递减，
0
ln x +x +2 1
0 0
所以φ(x) =φ(x )= = =e，即m≥e，故m的取值范围为[e，+∞).
max 0 x ex 0 x ex 0
0 0
