文档文本内容
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
第5 讲 高端视角下的解析几何
微点一 极点与极线
1.极点与极线的定义
过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B 两点，过A，B 的切线交点的轨迹叫做点P 关于圆锥曲线的极线，
点P 叫做相应于此极线的极点，简称极.
一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.
2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系
如图(1)，若极点P 在圆锥曲线外，则相应的极线l 与点P 的切点弦重合，即相应的极线l 是由点P 向圆锥
曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l 与圆锥曲线有两个交点；
如图(2)，若极点P 在圆锥曲线内，则极线l 是圆锥曲线经过点P 的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，
此时，极线l 与圆锥曲线相离，它们无交点；
如图(3)，若极点P 在圆锥曲线上，则相应的极线l 与在点P 处的切线重合，即相应的极线l 就是圆锥曲线
在点P 处的切线，极线l 与圆锥曲线有唯一交点.
3.一般地，若圆M：(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0，y0)是圆外一点(极点)，则过点P(x0，y0)的圆M 的切点弦(极线)的
方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
4.从代数角度看，在圆锥曲线方程中，以x0x 替换x2，以x0 y + y0 x
2
替换xy，以y0y 替换y2，以x0+ x
2
替换
x，以y0+ y
2
替换y 即可得到点P(x0，y0)的极线方程.
5.从几何角度看，如图，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，F，
G，H，连接EH，FG 交于N，连接EG，FH 并延长，延长线交于M，则直线MN 为点P 对应的极线.
若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.
由图同理可知，PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 对应的极线.因而将△MNP 称为自极三角形.
例1 (1)(多选)已知点P 是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是( )
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2+y2=r2，则关于点P 的极线方程为x0x+y0y=r2
B.已知点P(x0，y0)在椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)外，则点P 相应的极线方程为x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1
C.对于双曲线x
2
a
2- y
2
b
2 =1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1
D.对于抛物线y2=2px，若点P(
p
2 ，0)，则对应的极线为抛物线的准线
答案 ABD
解析 对于A，点P 与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x0，y0)在圆C 的外部，
两切点分别为T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，
两条切线的方程分别为xix+yiy=r2(i=1，2)，
∵P(x0，y0)在切线上，∴x0x1+y0y1=r2，
x0x2+y0y2=r2，
∴T1(x1，y1)，T2(x2，y2)在直线x0x+y0y=r2上，由两点确定一条直线知直线T1T2的方程为x0x+y0y=r2，A 正确；
对于B，极线l 与椭圆相交，且为由点P 向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，两条切线的方程分别为
lPA：x1 x
a
2 + y1 y
b
2 =1，lPB：x2 x
a
2 + y2 y
b
2 =1，
∵P(x0，y0)在切线上，∴{
x1 x0
a
2 + y1 y0
b
2 =1,
x2 x0
a
2 + y2 y0
b
2 =1,
即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1，
故切点弦AB 所在直线方程，即为点P 相应的极线方程，为x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1，B 正确；
对于C，证明方法同椭圆，可得极线方程为x0 x
a
2 - y0 y
b
2 =1，C 错误；
对于D，由阿基米德三角形的性质可知D 正确.
(2)设椭圆C：x
2
2 +y2=1 的右焦点为F，如图所示，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，点M 的坐
标为(2，0)，O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
证明 当直线l 的斜率为0 时，∠OMA=∠OMB=0；
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
当直线l 与x 轴不重合时，由F(1，0)，
设其方程为x=my+1，
A(x1，y1)，B(x2，y2).
联立{
x =my +1,
x
2
2 + y
2=1,
消去x 得(m2+2)y2+2my-1=0.
易得Δ=8(m2+1)>0，
所以y1+y2= −2m
m
2+2，y1y2=-
1
m
2+2，
则kAM+kBM=
y1
x1−2+
y2
x2−2
= y1( x2−2)+ y2( x1−2)
( x1−2)( x2−2)
= x1 y2+ x2 y1−2( y1+ y2)
( x1−2)( x2−2)
，
而x1y2+x2y1-2(y1+y2)
=(my1+1)y2+(my2+1)y1-2(y1+y2)
=2my1y2-(y1+y2)
=2m·(−
1
m
2+2)-(−2m
m
2+2)=0，
所以kAM+kBM=0，从而∠OMA=∠OMB.
综上所述，∠OMA=∠OMB.
[命题视角]
本题的命题背景源于极点、极线，如图所示，设A'，B'分别为点A，B 关于x 轴的对称点，显然四边形
AA'BB'构成等腰梯形，其对角线的交点为F，以F(1，0)为极点，则对应的极线为1· x
2 +0·y=1，即x=2，而
BA'和B'A 的交点应该在极线上，从而M(2，0)就是BA'和B'A 的交点，由图形的对称性不难发现
∠OMA=∠OMB.
这一结论还可以进行推广，若F 不是焦点，而是椭圆内x 轴正半轴上的一个一般的点，如可设为(t，0)，那
么它的极线为tx
2 +0·y=1，即x=2
t ，所以点M(
2
t ，0)必定也能使∠OMA=∠OMB.
[规律方法] 极点、极线的性质
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
(1)如图1，设点P 关于圆锥曲线Γ 的极线为l，过点P 任作一割线交Γ 于点A，B，交l 于点Q，则PA
PB = AQ
BQ ；
反之，若PA
PB = AQ
BQ 成立，则点P，Q 调和分割线段AB，并且2
PQ = 1
PA + 1
PB ，2
PQ = 1
QA - 1
QB .
(2)如图2，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，
则有OR2=OP·OQ，反之若有此式成立，则点Q 为点P 关于此圆锥曲线的调和共轭点.
(3)如图3，A，B 为圆锥曲线Γ 的一条对称轴l 上的两点(不在Γ 上)，若A，B 关于Γ 调和共轭，过点B 任作
Γ 的一条割线，交Γ 于P，Q 两点，则∠PAB=∠QAB.
(4)如图4，已知点Q 在圆锥曲线Γ 的对称轴上，直线l 垂直于该对称轴，过点Q 作直线交Γ 于点M，N，P
为l 上任意一点.若点Q 与直线l 是Γ 的一对极点与极线，当对称轴是x 轴时，kPM+kPN=2kPQ.
(5)如图5，已知点A 是椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)上任一点，极点P(t，0)(|t|<a，|t|≠c，t≠0)，相应的极线x=a
2
t
，椭圆在点A 处的切线与极线x=a
2
t 交于点N，过点N 作MN⊥AP 于点M，则直线MN 恒过x 轴上的一个定
点Q，且点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆(点Q 除外).
(6)如图6，设圆锥曲线Γ 的一个焦点为F，与F 相应的准线为l.若过点F 的直线与圆锥曲线Γ 相交于M，N
两点，则Γ 在M，N 两点处的切线的交点Q 在准线l 上，且FQ⊥MN；反之，若过准线l 上一点Q 作圆锥
曲线Γ 的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN 过焦点F，且FQ⊥MN.
跟踪演练1 如图，过椭圆y
2
2 +x2=1 的焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C，D 两点，并与x 轴交于点
P，A，B 分别为椭圆的左、右顶点，直线AC 与BD 交于点Q.当点P 异于A，B 两点时，证明：⃗OP·⃗OQ
为定值.
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
证明 设直线 l 的方程为y=kx+1(k≠0，k≠±1)，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，联立{
y =kx +1,
y
2
2 + x
2=1,
消去y 得(k2+2)x2+2kx-1=0，
易得Δ=8(k2+1)>0，
则{
x1+ x2=−2k
k
2+2
,①
x1 x2=−
1
k
2+2
,②
易知A(-1，0)，B(1，0)，
则直线AC 的斜率kAC=
y1
x1+1，
其方程为y=
y1
x1+1(x+1)，
③
直线BD 的斜率kBD=
y2
x2−1，
其方程为y=
y2
x2−1(x-1)，
④
由③÷④得x +1
x−1=
y2( x1+1)
y1( x2−1)，
即
xQ+1
xQ−1=
y2( x1+1)
y1( x2−1)=
(k x2+1)( x1+1)
(k x1+1)( x2−1)
= k x1 x2+k x2+ x1+1
k x1 x2−k x1+ x2−1
=
−
k
k
2+2
+k x2−2k
k
2+2
−x2+1
−
k
k
2+2
−k(−2k
k
2+2
−x2)+ x2−1
=
(k −1)(k −2)
k
2+2
+(k −1)x2
(k −2)(k +1)
k
2+2
+(k +1)x2
=k −1
k +1 ，
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
解得xQ=-k.易得P(−1
k ，0)，
故⃗OP·⃗OQ=xPxQ=-1
k ·(-k)=1，
即⃗OP·⃗OQ为定值1.
[命题视角] 本题的命题背景源于极点、极线，如图，结合极点、极线的几何定义，延长AD，BC 相交于
点G，则△PGQ 为自极三角形，点P 对应的极线为GQ.
设P(m，0)，则对应的极线为mx=1，即x= 1
m，显然点Q 在极线上，所以xQ= 1
m，不难发现⃗OP·⃗OQ=m· 1
m
+0·yQ=1.
微点二 二次曲线系方程
在平面内，由二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(a，b，c 不同时为0)所表示的曲线，叫做二次曲线.它可
以表示圆、椭圆、双曲线、抛物线及两条直线(退化二次曲线).
二次曲线系，又称二次曲线族，是二次曲线的集合，指具有某种共同性质的二次曲线的全体.常见的二次曲
线系如下：
(1)当四边形四条边的方程顺次为fi=0(i=1，2，3，4)时，过四边形四个顶点的二次曲线系方程为
f1f3+λf2f4=0(λ 为任意实数，除直线f2=0 和f4=0 外).
(2)过两直线fi=0(i=1，2)与二次曲线F(x，y)=0 的四个交点的二次曲线系方程为F(x，y)+λf1f2=0(λ 为任意实
数，除直线f1=0 和f2=0 外).
(3)过两条二次曲线F1(x，y)=0，F2(x，y)=0 的交点的二次曲线系方程为F1(x，y)+λF2(x，y)=0(λ 为任意实数，
除F2(x，y)=0 外).
(4)当三角形三边方程为fi=0(i=1，2，3)时，过三角形三个顶点的二次曲线系方程为f1f2+λf2f3+μf3f1=0(λ，μ 不
同时为0).
例2 在平面直角坐标系Oxy 中，曲线C 的方程为x2- y
2
16=1(x≥1)，设点T 在直线x=1
2上，过点T 的两条
直线分别交C 于A，B 两点和P，Q 两点，且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之
和.
解 方法一 如图所示，设T(
1
2 ，n)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
直线AB 的方程为y-n=k1(x−1
2)，
联立{
y −n=k1(x−1
2),
x
2−y
2
16 =1,
化简得(16-k1
2)x2+(k1
2-2k1n)x-1
4 k1
2-n2+k1n-16=0，显然16-k1
2≠0，Δ>0，
则有x1+x2=k1
2−2k1n
k1
2−16
，
x1x2=
1
4 k1
2+n
2−k1n+16
k1
2−16
，
故|TA|=√1+ k1
2(x1−1
2)，
|TB|=√1+ k1
2(x2−1
2)，
则|TA|·|TB|=(1+k1
2)(x1−1
2)(x2−1
2)
=(n
2+12)(1+ k1
2)
k1
2−16
.
设直线PQ 的方程为y-n=k2(x−1
2)，
同理可得|TP|·|TQ|=(n
2+12)(1+k2
2)
k2
2−16
.
因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，
所以
1+ k1
2
k1
2−16=
1+ k2
2
k2
2−16，
化简得1+
17
k1
2−16=1+
17
k2
2−16，
所以k1
2-16=k2
2-16，即k1
2=k2
2.
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
因为k1≠k2，所以k1+k2=0，
故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.
方法二 由题意|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|可知A，B，Q，P 四点共圆(割线定理)，设T(
1
2 ，n)，
直线AB 的方程为y=k1x+n-1
2k1，
直线PQ 的方程为y=k2x+n-1
2k2，
将两条相交直线用二次曲线的形式表示为(k1 x +n−1
2 k1−y)(k2 x +n−1
2 k2−y)=0，
根据条件可知，两条相交直线AB 和PQ 与曲线C 交于A，B，Q，P 四点，
所以二次曲线系方程可以写成
(k1 x +n−1
2 k1−y)(k2 x +n−1
2 k2−y)+λ(x
2−y
2
16 −1)=0，λ∈R.
又A，B，Q，P 四点共圆，所以此二次曲线系方程为圆的方程，
由于圆的一般方程中没有xy 项，
所以二次曲线系方程中xy 项为-(k1+k2)xy=0，
所以k1+k2=0.
故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.
[规律方法] 本题从A，B，Q，P 四点共圆入手，列出二次曲线系方程，利用圆的方程的特征得到相应关
系求解.
跟踪演练2 如图，已知A，B 分别为椭圆E：x
2
9 +y2=1 的左、右顶点，P 为直线x=6 上的动点，直线
PA 与椭圆E 的另一交点为C，直线PB 与椭圆E 的另一交点为D.证明：直线CD 过定点.
证明 方法一 因为A(-3，0)，B(3，0)，
设P(6，m)，则直线PA，PB 的方程分别为y=m
9 (x+3)，y=m
3 (x-3).
由{
y = m
9 ( x +3),
x
2
9 + y
2=1,
可得(9+m2)x2+6m2x+9m2-81=0，Δ>0，
所以-3+xC=−6m
2
9+m
2 ，
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
可得xC=27−3m
2
9+m
2
，
yC=m
9 (xC+3)= 6m
9+m
2，
由{
y = m
3 ( x−3),
x
2
9 + y
2=1,
可得(1+m2)x2-6m2x+9m2-9=0，Δ>0，
所以3+xD= 6m
2
1+m
2，
可得xD=3m
2−3
1+m
2 ，
yD=m
3 (xD-3)= −2m
1+m
2，
所以kCD= yC−y D
xC−xD
=
4 m
3(3−m
2)，
所以直线CD 的方程为
y- −2m
1+m
2=
4 m
3(3−m
2)(x−3m
2−3
1+m
2 )，
即y=
4 m
3(3−m
2)(x−3m
2−3
1+m
2 )- 2m
1+m
2
=
4 m
3(3−m
2)(x−3
2)，
所以直线CD 过定点(
3
2 ，0).
方法二 设P(6，m)，当m=0 时，C，D 分别与B，A 重合，直线CD：y=0；当m≠0 时，则四条直线的方
程分别为CD：x=ty+n，AB：y=0，PA：y=m
9 (x+3)，PB：y=m
3 (x-3).
可以确定经过C，A，D，B 四点的二次曲线系方程为( y −m
9 x−m
3)( y −m
3 x +m)+λ(x-ty-n)y=0，
此时二次曲线表示椭圆，则-m
3 -m
9 +λ=0 且m-m
3 -λn=0，解得n=3
2，
故直线CD 的方程为x=ty+3
2，
即直线CD 过定点(
3
2 ，0)，
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
又直线y=0 也过该点，所以直线CD 过定点(
3
2 ，0).
微点三 仿射变换
1.仿射变换是一种二维坐标(x，y)到二维坐标(u，v)的线性变换.一般包括平移变换、伸缩变换和旋转变换.
我们常常遇到的问题是将一般图形转换为更简单的图形，比如通过伸缩变换，将椭圆变换为圆，进而借助
圆的性质求解椭圆的相关问题.
2.仿射变换在椭圆相关问题中的应用
对椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>0，b>0，a≠b)进行伸缩变换{
x' = x ,
y ' = a
b y ,可将椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1 变换为圆x'2+y'2=a2，如图所示.
仿射变换前后，一些常用量的对应关系如表
类别
变换前
变换后
方程
椭圆x
2
a
2+ y
2
b
2 =1
圆x'2+y'2=a2
横坐标
x
x'=x
纵坐标
y
y'=a
by
斜率
k= Δ y
Δ x
k'= Δ y
'
Δ x
' =
a
b Δ y
Δ x
=a
b ·k
面积
S=1
2Δx·Δy
S'=1
2Δx'·Δy'=1
2Δx·a
bΔy=a
b·S
弦长
l=√1+ k
2·Δx
l'=√1+k '
2·Δx'=√
1+ a
2
b
2 ·k
2·Δx=√
1+ a
2
b
2 ·k
2
√1+k
2
·l
不变量平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比
例3 如图，已知椭圆E：x
2
24 + y
2
12=1，O 为坐标原点，A，B 是椭圆上的两点，设直线OA，OB 的斜率
分别为k1，k2，且k1·k2=-1
2，求证：|OA|2+|OB|2为定值.
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
证明 由题意知直线OA 的方程为y=k1x，
联立{
y =k1 x ,
x
2
24 + y
2
12 =1,
整理得(1+2k1
2)x2-24=0，
可得点A 的坐标为(
2√6
√1+2k1
2 ，2√6 k1
√1+2k1
2)或(
−2√6
√1+2k1
2 ，−2√6k1
√1+2k1
2)，
直线OB 的方程为y=k2x，
同理可得B(
2√6
√1+2k2
2 ，2√6 k2
√1+2k2
2)或B(
−2√6
√1+2k2
2 ，−2√6k2
√1+2k2
2)，
所以|OA|2+|OB|2
=(
24
1+2k1
2 + 24 k1
2
1+2k1
2)+(
24
1+2k2
2 + 24 k2
2
1+2k2
2)
=24(
1+ k1
2
1+2k1
2 + 1+ k2
2
1+2k2
2)
=24·2+3k1
2+3k2
2+ 4 k1
2k2
2
1+2k1
2+2k2
2+ 4 k1
2k2
2
=24·3(1+k1
2+k2
2)
2(1+k1
2+k2
2)
=36，
故|OA|2+|OB|2为定值.
[规律方法] 我们知道椭圆E：x
2
24 + y
2
12=1 经过伸缩变换{
x' = x ,
y ' =√2 y后，得到圆的方程为x'2+y'2=24，根据伸
缩变换前后斜率之间的关系有k'1=√2k1，k'2=√2k2，可得k'1·k'2=2k1·k2=-1.
跟踪演练3 如图，在平面直角坐标系Oxy 中，已知椭圆C：x
2
4 +y2=1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P
的直线y=kx+m 交椭圆E：x
2
16+ y
2
4 =1 于A，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.求|OQ|
|OP| 的值和△ABQ 面
积的最大值.
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
解 方法一 设P(x0，y0)，|OQ|
|OP| =λ(λ>0)，
由题意知Q(-λx0，-λy0)，
所以x0
2
4 +y0
2=1，(−λ x0)
2
16
+(−λ y0)
2
4
=1，
即λ
2
4 (
x0
2
4 + y0
2)=1，
所以λ=2，即|OQ|
|OP| =2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将y=kx+m(m≠0)代入椭圆E 的方程，
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.
由Δ=16(4+16k2-m2)>0，得m2<4+16k2，
所以x1+x2=- 8km
1+ 4 k
2，x1x2=4 m
2−16
1+ 4 k
2 ，
所以|x1-x2|=√( x1+ x2)
2−4 x1 x2=4√16 k
2+ 4−m
2
1+ 4 k
2
.
因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB 的面积S=1
2|m||x1-x2|=2√16k
2+ 4−m
2|m|
1+ 4 k
2
=2√(16 k
2+ 4−m
2)m
2
1+ 4 k
2
=2√(4−
m
2
1+ 4 k
2)
m
2
1+ 4 k
2.
令
m
2
1+ 4 k
2=t(t≠0)，将y=kx+m 代入椭圆C 的方程，
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，
由Δ=16(1+4k2-m2)≥0，可得m2≤1+4k2，
所以0<t≤1.
因此S=2√(4−t )t=2√−t
2+ 4 t，0<t≤1，
故S≤2√3，
当且仅当t=1，即m2=1+4k2，
即直线AB 与椭圆C 相切时，S 取得最大值2√3.
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
因为在△ABQ 和△OAB 中，|OQ|
|OP| =2，
所以△ABQ 的面积为3S，
所以△ABQ 的面积的最大值为6√3.
方法二 根据伸缩变换，可以将椭圆变换为圆，令{
x' = x ,
y ' =2 y ,则椭圆C 变换为圆C'：x'2+y'2=4，
椭圆E 变换为圆E'：x'2+y'2=16，
如图所示，在两个同心圆中显然有|OQ
'|
|OP
'| =4
2=2.
根据伸缩变换的性质，对应点分线段所成的比不变，
则有|OQ|
|OP| =|OQ
'|
|OP
'| =2，
根据伸缩变换的性质有S△ABQ=1
2S△A'B'Q'，
由|OQ
'|
|OP
'| =2 有S△A'B'Q'=3S△A'B'O，
又S△A'B'O=1
2|OA'||OB'|sin∠A'OB'.
在圆中根据图形的变化情况可知，
当A'B'与圆C'相切时，sin∠A'OB'取得最大值√3
2 ，
此时S△A'B'O=4√3，S△A'B'Q'=12√3，
所以△ABQ 面积的最大值为6√3.
专题强化练
[分值：51 分]
1.(17 分)设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P 在直线l：x-y-2=0 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线
PA，PB，且与抛物线C 分别相切于A，B 两点.
(1)求△APB 的重心G 的轨迹方程；(7 分)
(2)证明：∠PFA=∠PFB.(10 分)
(1)解 设切点A，B 坐标分别为(x0，x0
2)和(x1，x1
2) (x1≠x0)，
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
所以切线AP 的方程为2x0x-y-x0
2=0，切线BP 的方程为2x1x-y-x1
2=0，
由于P 既在AP 上，又在BP 上，
所以{
2 x0 xP−yP−x0
2=0,
2 x1 xP−yP−x1
2=0,
解得{
xP= x0+ x1
2
,
y P= x0 x1,
P(
x0+ x1
2
，x0 x1)，
所以△APB 的重心G 的横坐标
xG= x0+ x1+ xP
3
=xP，
yG= x0
2+ x1
2+ y P
3
= x0
2+ x1
2+ x0 x1
3
=( x0+ x1)
2−x0 x1
3
=4 xP
2 −yP
3
，
所以yP=-3yG+4xG
2 ，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为
x-(-3y+4x2)-2=0，即y=1
3(4x2-x+2).
(2)证明 方法一 因为F(0，1
4)，⃗
FA=(x0，x0
2−1
4)，⃗
FP=(
x0+ x1
2
，x0 x1−1
4)，⃗
FB=(x1，x1
2−1
4).
由于P 点在抛物线外，则|⃗FP|≠0.
所以cos∠PFA=⃗
FP·⃗FA
|⃗FP||⃗FA |
=
x0+ x1
2
· x0+(x0 x1−1
4)(x0
2−1
4)
|⃗FP|√
x0
2+(x0
2−1
4)
2
= x0 x1+ 1
4
|⃗FP|
，
同理有cos∠PFB=⃗
FP·⃗FB
|⃗FP||⃗FB|
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
=
x0+ x1
2
· x1+(x0 x1−1
4)(x1
2−1
4)
|⃗FP|√
x1
2+(x1
2−1
4)
2
= x0 x1+ 1
4
|⃗FP|
，故∠PFA=∠PFB.
方法二 ①当x1x0=0 时，由于x1≠x0，
不妨设x0=0，则A(0，0)，
所以P 点坐标为(
x1
2 ，0)，
则P 点到直线AF 的距离为d1=| x1|
2
，
而直线BF 的方程为y-1
4 = x1
2−1
4
x1
x，
即(x1
2−1
4)x-x1y+1
4 x1=0.
所以P 点到直线BF 的距离为
d2=|(x1
2−1
4)
x1
2 + x1
4|
√(x1
2−1
4)
2
+ x1
2
=(x1
2+ 1
4)
| x1|
2
x1
2+ 1
4
=| x1|
2
，
所以d1=d2，即得∠PFA=∠PFB.
②当x1x0≠0 时，直线AF 的方程为
y-1
4 = x0
2−1
4
x0
x，
即(x0
2−1
4)x-x0y+1
4 x0=0，
直线BF 的方程为y-1
4 = x1
2−1
4
x1
x，
即(x1
2−1
4)x-x1y+1
4 x1=0，
所以P 点到直线AF 的距离为
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
d3=|(x0
2−1
4)
x0+ x1
2
−x0
2 x1+ 1
4 x0|
√(x0
2−1
4)
2
+ x0
2
=|
x0−x1
2 |(x0
2+ 1
4)
x0
2+ 1
4
=| x0−x1|
2
，
同理可得P 点到直线BF 的距离d4=| x1−x0|
2
，
因此由d3=d4，可得到∠PFA=∠PFB.
综上，∠PFA=∠PFB.
2.(17 分)已知焦点在x 轴上，中心在原点，离心率为√3
2 的椭圆经过点M(2，1)，动点A，B(不与点M 重合)
均在椭圆上，且直线MA 与MB 的斜率之和为1.
(1)求椭圆的方程；(5 分)
(2)证明：直线AB 经过定点，并求这个定点的坐标.(12 分)
解 (1)设椭圆方程为x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)，
由离心率为√3
2 ，得c
a=√3
2 ，
又因为a2=b2+c2，所以a2=4b2，
由点M(2，1)在椭圆上，可得4
a
2+ 1
b
2=1，
解得b2=2，a2=8，
所以椭圆的方程为x
2
8 + y
2
2 =1.
(2)方法一 (直接法)
当直线AB 与x 轴垂直时，
设A(s，t)(s≠2)，则B(s，-t).
由题意得t −1
s−2+−t −1
s−2 =1，
即s=0，所以直线AB 的方程为x=0.
当直线AB 不与x 轴垂直时，可设直线AB 的方程为y=kx+m，A(x1，y1)(x1≠2)，B(x2，y2)(x2≠2)，
将y=kx+m 代入x
2
8 + y
2
2 =1，
得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，则Δ>0，
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
所以x1+x2=- 8km
1+ 4 k
2，x1x2=4 m
2−8
1+ 4 k
2 ，
由已知可得
y1−1
x1−2 +
y2−1
x2−2 =1，
①
将y1=kx1+m 和y2=kx2+m 代入①，
并整理得
(2k-1)x1x2+(m-2k+1)(x1+x2)-4m=0，
②
将x1+x2=- 8km
1+ 4 k
2，x1x2=4 m
2−8
1+ 4 k
2 代入②，
并整理得m2+(2k+1)m+4k-2=0，
可得(2k+m-1)(m+2)=0，
因为直线AB：y=kx+m 不经过点M(2，1)，
所以2k+m-1≠0，故m=-2.
所以直线AB 的方程为y=kx-2，经过定点(0，-2)，
综上所述，直线AB 经过定点(0，-2).
方法二 (齐次式法)
椭圆的方程为x
2
8 + y
2
2 =1，
即( x−2+2)
2
8
+( y −1+1)
2
2
=1，
即( x−2)
2+ 4( x−2)
8
+( y −1)
2+2( y −1)
2
=0，
设直线AB：m(x-2)+n(y-1)=1，将其代入椭圆方程，可得
( x−2)
2+ 4( x−2)[m( x−2)+n( y −1)]
8
+( y −1)
2+2( y −1)[m( x−2)+n( y −1)]
2
=0，
即1+ 4 m
8
(x-2)2+(
n
2 +m)(x-2)(y-1)+1+2n
2
(y-1)2=0，
因为直线AB 不经过点M(2，1)，所以x≠2，
1+ 4 m
8
+(
n
2 +m)
y −1
x−2 +1+2n
2 (
y −1
x−2)
2
=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系可得kMA+kMB
= y1−1
x1−2 + y2−1
x2−2 =-
n
2 +m
1+2n
2
=1，
即-2m-3n=1，
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
令{
x−2=−2,
y −1=−3,可得{
x =0,
y =−2,
故直线AB 经过定点(0，-2).
方法三 (二次曲线系方程法)
当直线AB 的斜率存在时，易知椭圆在点M(2，1)处的切线方程为x
4 + y
2 =1，
即x+2y-4=0，
设直线MA，MB，AB 的方程分别为y=k1(x-2)+1，y=k2(x-2)+1，y=kx+m，
则过M，A，B 三点的二次曲线系方程为
(k1x-y+1-2k1)(k2x-y+1-2k2)+λ(
x
2
8 + y
2
2 −1)=0(λ∈R)，
①
由于二次曲线方程(kx-y+m)(x+2y-4)=0 也过M，A，B 三点，
所以存在λ，使得前者可以表示后者.
由于直线MA 与MB 的斜率之和为1，
即k1+k2=1，
所以①式中的y 项的系数2k1+2k2-2=0，
所以二次曲线方程(kx-y+m)(x+2y-4)=0 中的y 项系数2m+4=0，
可得m=-2，
所以直线AB 的方程为y=kx-2，恒过定点(0，-2).
当直线AB 的斜率不存在时，易得直线AB 的方程为x=0，
综上所述，直线AB 经过定点(0，-2).
3.(17 分)已知椭圆C：x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，M，N 分别为左、右顶点，
直线l：x=ty+1 与椭圆C 交于A，B 两点，当t=-√3
3 时，A 是椭圆的上顶点，且△AF1F2的周长为6.
(1)求椭圆C 的方程；(4 分)
(2)设直线AM，BN 交于点Q，证明：点Q 在定直线上；(6 分)
(3)设直线AM，BN 的斜率分别为k1，k2，证明：k1
k2
为定值.(7 分)
(1)解 当t=-√3
3 时，直线l：x=-√3
3 y+1，
令x=0，得y=√3，
即椭圆的上顶点为(0，√3)，
则b=√3，
又△AF1F2的周长为6，即2a+2c=6，
即a+c=3，
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
又a2-c2=b2=3，
解得a=2，c=1，
所以椭圆C 的方程为x
2
4 + y
2
3 =1.
(2)证明 由(1)知，M(-2，0)，N(2，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依题意，点A，B 不在x 轴上，
联立{
x =ty +1,
x
2
4 + y
2
3 =1,
得(3t2+4)y2+6ty-9=0，Δ>0，
所以y1+y2=-
6t
3t
2+ 4 ，y1y2= −9
3t
2+ 4 ，
直线AM 的方程为y=
y1
x1+2(x+2)，
直线BN 的方程为y=
y2
x2−2(x-2)，
联立直线AM，BN 的方程，
得x +2
x−2=
y2( x1+2)
y1( x2−2)=
y2(t y1+3)
y1(t y2−1)=
t y1 y2+3 y2
t y1 y2−y1
，
由y1+y2=-
6t
3t
2+ 4 ，
得y1=-
6t
3t
2+ 4 -y2，代入上式.
可得x +2
x−2=
t y1 y2+3 y2
t y1 y2−y1
=
−9t
3t
2+ 4
+3 y2
−9t
3t
2+ 4
+
6t
3t
2+ 4
+ y2
=3，
解得x=4，
故直线AM，BN 的交点Q 在定直线x=4 上.
(3)证明 方法一 (非对称韦达定理之和积互化法)
由(2)知，k1
k2
= y1( x2−2)
y2( x1+2)
= y1(t y2−1)
y2(t y1+3) = t y1 y2−y1
t y1 y2+3 y2
，
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
因为y1+y2=-
6t
3t
2+ 4 ，y1y2= −9
3t
2+ 4 ，
所以ty1y2=3
2(y1+y2)，
所以
k1
k2
=
t y1 y2−y1
t y1 y2+3 y2
=
1
2 y1+ 3
2 y2
3
2 y1+ 9
2 y2
=1
3，为定值.
方法二 (仿射变换法)
由(1)知椭圆方程为x
2
4 + y
2
3 =1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
对椭圆作伸缩变换，
令{
x' = x ,
y ' = 2
√3 y ,
可得圆x'2+y'2=4，
如图，A'(x1，2
√3 y1)，B'(x2，2
√3 y2)，M'(-2，0)，N'(2，0)，F'2(1，0)，
过F'2作A'M'的垂线，垂足为P，连接A'N'，
则A'N'⊥A'M'，
则
k A
' M
'
k B
' N
' =tan∠A
' M
' N
'
tan∠B
' N
' M
' =tan∠A
' M
' N
'
tan∠B
' A
' M
'
=
| PF
'
2|
| PM
'|
| PF
'
2|
| PA
'|
=| PA
'|
| PM
'|
=| N
' F
'
2|
| M
' F
'
2|
=1
3，
又
k A
' M
'
k B
' N
' =
2
√3 y1
x1+2
2
√3 y2
x2−2
=
y1
x1+2
y2
x2−2
=
k AM
k BN
=
k1
k2
，
备战高考数学成套的一轮资料、二轮资料、培优专题、名校模拟、考前回归、高考押题尽在高考数学QQ
群1013654970
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
所以
k1
k2
=1
3，为定值
成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ 群552511468 也可联系微
信fjshuxue 加入百度网盘群4000G 一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期
