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第60 课时 专题强化：用“动态圆”思想分析临界问题
目标要求 1.理解“平移圆”、“旋转圆”、“放缩圆”的适用条件。2.会用“平移圆”法、“旋转圆”
法、“放缩圆”法分析临界问题。
考点一 “平移圆”
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种
带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射
速度大小为v0，则半径R＝mv0
qB ，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入
射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝mv0
qB 的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方
法叫“平移圆”法
例1 如图所示，三角形ABC 内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，AB 边长为L，∠A＝30°，∠B
＝90°，D 是AB 边的中点。现在DB 段上向磁场内射入速度大小相同、方向平行于BC 边的同种粒子(不
考虑粒子间的相互作用和粒子重力)，若从D 点射入的粒子恰好能垂直AC 边射出磁场，则AC 边上有粒
子射出的区域长度为( )
A.1
4 L
B.1
3L
C.√3−1
2
L
D.√3−1
3
L
答案 C
解析 由题意可知，粒子均向上偏转，从D 点射入和从B 点射入的粒子的运动轨迹如图所示，
1
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设两个粒子在AC 边上的出射点分别为E、F 点，由于从D 点射入的粒子恰好能垂直AC 边射出磁场，所以
A 点为该粒子做圆周运动的圆心，则粒子做圆周运动的半径为R＝1
2L，则有AE＝1
2L，因为D 点是AB 的
中点，所以D 点是从B 点射出的粒子做圆周运动的圆心，所以有AD＝DF，则根据几何知识有AF＝2×1
2
L·cos 30°＝√3 L
2
，所以有粒子射出的区域长度为EF＝AF－AE＝√3−1
2
L，故A、B、D 错误，C 正确。
考点二 “旋转圆”
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，
它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则
圆周运动轨迹半径为R＝m v0
qB ，如图所示
轨迹圆圆心共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、
半径R＝mv0
qB 的圆上
界定方法
将一半径为R＝m v0
qB 的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条
件，这种方法称为“旋转圆”法
例2 (多选)(2024·山东日照市模拟)如图所示，挡板MQ 左侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感
应强度为B，挡板中间空隙NP 长度为L，纸面上O 点到N、P 的距离相等，均为L。O 处有一粒子源，
可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡
板上的粒子均被吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
2
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A.若粒子速率v＝qBL
m ，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为1
6
B.若粒子速率v＝qBL
m ，NP 线段上各处都可能有粒子通过
C.若粒子速率v＝qBL
2m ，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为1
6
D.若粒子速率v＝qBL
2m ，NP 线段上各处都可能有粒子通过
答案 AB
解析 若粒子速率为v＝qBL
m ，
则轨迹半径r＝mv
qB ＝L
粒子运动情况如图甲所示
从P 点飞出的粒子，轨迹的圆心在N 点，该粒子从O 点发射时的速度方向与ON 垂直斜向右下，与水平方
向成60°角。从N 点飞出的粒子，轨迹的圆心在S 点，该粒子从O 点发射时的速度方向与OS 垂直，水平向
右，两粒子发射速度间的夹角θ＝60°，发射方向在这两个方向之间的粒子都可从空隙NP“逃出”，粒子
“逃出”的概率为
θ
360° ＝1
6，由图甲可知，NP 线段上各处都可能有粒子通过，故A、B 正确；若粒子速
率为v＝qBL
2m ，则轨迹半径r＝mv
qB ＝L
2
粒子运动情况如图乙所示，粒子轨迹与P 点相交时，圆心为A，
3
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粒子轨迹与PN 相切时，切点为D，圆心为C，两发射速度间的夹角θ＝∠AOC，由几何关系知θ>60°，则
粒子“逃出”的概率为
θ
360° >1
6
由图乙可知OD<ON＝L
则D 在N 点下方，故线段DN 间不可能有粒子通过，故C、D 错误。
拓展 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B，磁场
内有一块足够大的平面挡板，板面与磁场方向平行，在距挡板的距离为L 处有一粒子源，可向纸面所
在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子
均被吸收，若粒子速率v＝qBL
m ，则挡板上被粒子打中区域的长度是 (不计粒子的重力和
粒子间的相互作用)。
答案 (√3＋1)L
解析 若粒子速率为v＝qBL
m ，则轨迹半径R＝mv
qB ＝L
粒子运动情况如图所示
根据几何关系可得AB＝L，AC＝√3L
所求长度为BC＝AB＋AC＝(√3＋1)L。
考点三 “放缩圆”
适用条件
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。可
以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的
4
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直线PP'上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出
临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
例3 (2024·山东泰安市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图
中虚线所示，´ab为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量
为q(q>0)的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子的重力和粒
子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A.7 π m
6qB
B.5 π m
4 qB
C.4 π m
3qB
D.3 π m
2qB
答案 C
解析 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定。设轨迹交半
圆´ab于e 点，ce 中垂线交bc 于O 点，则O 点为轨迹圆心，如图所示。
圆心角θ＝π＋2β，当β 最大时，θ 有最大值，由几何知识分析可知，当ce 与´ab相切时，β 最大，此时轨迹
过ab 中点，β＝30°，可得θ＝4
3 π，则t＝θ
2π T＝4 π m
3qB ，故选C。
例4 如图所示，正方形区域abcd 内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带
正电的粒子从O 点沿与ab 边成37°角的方向以不同的速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互
作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8。
5
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(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad 边离开磁场，求v0的取值范围。
答案 (1)143 π m
90qB (2)qBl
4 m<v0≤5qBl
9m
解析 (1)粒子从ab 边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，
有qBv0＝mv0
2
R
，又T＝2π R
v0
，
解得T＝2π m
Bq
又由几何关系得θ＝74°，
则粒子在磁场中运动的最长时间t＝360°−74°
360°
T＝143 π m
90qB
(2)当粒子轨迹与ad 边相切时，如图乙所示，
设此时速度为v01，轨道半径为R1，
由几何关系可得R1＋R1sin 37°＝0.4l
又qBv01＝mv01
2
R1
，解得v01＝qBl
4 m
当粒子运动轨迹与cd 边相切时，如图丙所示，设此时速度为v02，轨道半径为R2，
由几何关系可得R2＋R2cos 37°＝l，
又qBv02＝mv02
2
R2
，解得v02＝5qBl
9m
综上可得qBl
4 m<v0≤5qBl
9m 。
1.临界问题的分析重点是临界状态
6
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临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转
折点即为临界状态点。与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点。
2.极值问题
所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：
一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助几何图形进行直观分析。
课时精练
(分值：60 分)
1~5 题每小题4 分，共20 分
1.(多选)如图所示，在矩形GHIJ 区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P 点是GH 边的中点，四个完全
相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P 点射入匀强磁场，它们轨迹在同一平面(纸
面)内，忽略粒子重力及相互作用，下列说法正确的是( )
A.①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ 磁场区域的运动周期相同
B.④粒子的速率最大
C.③粒子的向心加速度最大
D.②粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长
答案 AB
解析 对于完全相同的粒子，其q
m相同，又T＝2π m
qB ，则在同一匀强磁场中，周期都相同，由题图知③粒
子在磁场中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ 磁场区域运动的时间最长，故A 正确，D 错误；
根据qvB＝mv
2
r ，可得r＝mv
qB
由于④粒子的半径最大，则④粒子的速率最大，因为a＝v
2
r ，T＝2π r
v
得粒子的向心加速度a＝2π
T v
可知④粒子的向心加速度最大，故B 正确，C 错误。
2.一线状粒子源垂直于匀强磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，不考虑粒子的重力和粒子间的相互
作用，则粒子经过磁场的区域(阴影部分)可能是( )
7
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答案 C
解析 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A 点，最右端发射的
粒子落在B 点，故选C。
3.(2025·山东省名校期中联考)如图所示，直角三角形ABC 区域中存在一匀强磁场，磁感应强度为B，已知
AB 边长为L，∠C＝30°，相同带正电粒子(不计重力及粒子间相互作用)以不同的速率从A 点沿AB 方向射
入磁场，则( )
A.粒子速度越大，在磁场中运动的时间越短
B.粒子在磁场中运动的时间最长时，是从C 点射出的
C.粒子速度越大，在磁场中运动的路程越长
D.粒子在磁场中运动的最长路程为2
3πL
答案 D
解析 当粒子能够从AC 边射出时，由几何关系可知，粒子在磁场中的圆心角都为120°，因此运动时间为t
＝120°
360° T＝2π m
3 Bq ，当粒子速度增大，半径增大，直到不能从AC 边射出，圆心角变小，时间变短，故选项
A、B 错误；粒子速度越大，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，当粒子运动轨迹与BC 边相切时运动轨迹
最长，粒子速度再增大，粒子运动轨迹变短，并不是速度越大，粒子运动轨迹越长，故选项C 错误；当粒
子和BC 边相切时路程最大，此时有R＝AB＝L，由选项A 分析知运动的路程为s＝θR＝2
3πL，故选项D 正
确。
4.(多选)如图，空间存在着垂直于纸面、磁感应强度为B 的匀强磁场(图中未画出)，M 是垂直于x 轴的荧光
屏，O 点到屏M 的距离为R。O 点为一粒子源，从O 点沿Oy 方向发射出一束速度不同、比荷相同的带正
电粒子，经磁场偏转后均能水平向右垂直打在屏M 上，已知粒子以最大速度v0在磁场中运动轨迹如图中所
示，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则( )
8
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A.磁场方向垂直于纸面向里
B.带电粒子的比荷为v0
BR
C.磁场区域最小面积为π R
2
4
D.磁场区域最小面积为(π −2)R
2
4
答案 BD
解析 根据左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向外，故A 错误；根据R＝m v0
qB ，可知比荷为q
m ＝v0
BR ，
故B 正确；速度小于v0的粒子也能水平向右垂直打在屏M 上，所以磁场边界是过O 点与x 轴夹角为45°斜
线，如图，则磁场区域最小面积为阴影部分面积Smin＝π R
2
4
－1
2R2＝(π −2)R
2
4
，故C 错误，D 正确。
5.(多选)如图所示，平面直角坐标系中，A 点的坐标为(√3d，0)，在y 轴和直线AD 之间存在垂直纸面向里
的匀强磁场Ⅰ，在AD 和AC 之间存在垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小均为B，AD 与y 轴平
行，AD、AC 边界的夹角∠DAC＝30°。质量为m、电荷量为＋q 的粒子可在边界AC 上的不同点射入，入
射速度垂直AC 且垂直磁场，若入射速度大小为qBd
m ，不计粒子重力，则( )
A.粒子在磁场中的运动半径为d
B.粒子距A 点0.5d 处射入，不会进入Ⅰ区
C.若粒子能进入区域Ⅰ，则粒子在区域Ⅰ中运动的最短时间为2π m
3qB
D.若粒子能进入区域Ⅰ，则粒子从距A 点(√3－1)d 处射入，在区域Ⅰ内运动的时间最短
9
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答案 ACD
解析 根据Bqv＝mv
2
r 可得r＝mv
Bq ＝m
Bq·qBd
m ＝d，A 正确；如图甲所示，设粒子从P 点入射时，轨迹和
AD 相切，由几何关系知O1A＝2d，AP＝d，因此粒子距A 点0.5d 处射入，会进入Ⅰ区，B 错误；
粒子在区域Ⅰ运动时间最短时，轨迹如图乙所示，此时MN 平行于x 轴，又MN＝√3d，由几何关系可知，
轨迹对应的圆心角为120°，运动时间为t＝T
3 ＝1
3·2π m
qB ＝2π m
3qB ，C 正确；由几何关系可知∠AO2N＝
30°，又r＝d，则AE＝(√3－1)d，D 正确。
6~8 题每小题6 分，9 题15 分，共33 分
6.(2024·山东省实验中学月考)如图，半径R＝2 m 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P 为磁场边
界上的一点，大量相同的带正电粒子，在纸面内沿各个方向以相同的速率从P 点射入磁场，这些粒子射出
磁场时的位置均位于PQ 圆弧上且Q 点为最远点。已知PQ 圆弧长等于磁场边界周长的四分之一，不计粒
子重力和粒子间的相互作用，则该圆形磁场中有粒子经过的区域面积为( )
A.(3π－2) m2
B.(2π－2) m2
C.3π m2
D.2π m2
答案 A
解析 设轨迹圆的半径为r，由几何关系∠POQ＝90°，则粒子做圆周运动的半径为r＝√2 R
2
，
10
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圆形磁场中有粒子经过的区域如图中阴影所示，圆形磁场中有粒子经过的区域面积为S＝(π R
2
4
－R
2
2 )＋
π(2r )
2
8
＋π r
2
2 ＝3 π R
2
4
－R
2
2 ＝(3π－2) m2，故选A。
7.(2024·山东淄博市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所
示，其中虚线bc 足够长，∠abc＝135°。其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q 的带正
电粒子，在纸面内从a 点垂直于ab 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用及粒子重
力。以下说法正确的是( )
A.从bc 边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B.若从a 点入射的速度越大，则在磁场中运动的时间越长
C.粒子在磁场中最长运动时间不大于5 π m
4 qB
D.粒子在磁场中最长运动时间不大于3 π m
2qB
答案 D
解析 画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图甲所示。粒子入射的速度越大，其做圆周运动的半
径越大，当粒子都从ab 边射出，所用时间均为半个周期，用时相等；当粒子从bc 边射出时，速度越大，
轨迹半径越大，圆心角越大，运动时间越长，故A、B 错误；
当粒子的速度足够大，半径足够大时，忽略ab 段长度，运动情况可简化为如图乙所示，在直线边界磁场
问题中，根据粒子运动轨迹的对称性，结合几何关系可知此时圆心角为α＝270°，可得粒子在磁场中运动
的最长时间为t＝270°
360° T＝3 π m
2qB ，故C 错误，D 正确。
8.(2024·山东省名校联盟联考)如图所示，PQ 为磁感应强度为B＝1×10－2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场
的边界，磁场中的O 点有一粒子源，它均匀地向纸面内各个方向同时发射速率为v＝1×104 m/s、比荷为q
m
＝1×107 C/kg 的带正电的粒子。已知O 点与PQ 的距离为10 cm，不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用，
下列说法正确的是( )
11
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A.飞出磁场的粒子数占所有粒子数的三分之一
B.飞出磁场的粒子数占所有粒子数的四分之一
C.PQ 上有粒子飞出的区域长度为20 cm
D.飞出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间是最短时间的4.5 倍
答案 D
解析 粒子在磁场中，由牛顿第二定律有qvB＝mv
2
r ，运动半径为r＝mv
qB ＝0.1 m＝10 cm，等于O 到PQ 的
距离，各个方向发射的粒子的轨迹如图甲所示，水平向右和水平向左射出的粒子恰经过边界PQ，过O 点
作垂直于PQ 的水平线，则从O 点射向水平线上方的粒子都不能射出磁场，射向水平线下方的粒子都可以
射出磁场，故飞出磁场的粒子数占所有粒子数的一半，故A、B 错误；
粒子从边界飞出的临界点如图乙所示，其中打到最下面的位置距离O 点为2r，故PQ 上有粒子飞出的区域
长度为s＝√(2×0.1)
2−0.1
2 m＋0.1 m＝0.1√3 m＋0.1 m＝(10√3＋10) cm，故C 错误；
如图丙所示，水平向左发射的粒子运动时间最长，所对圆心角为270°，故在磁场中运动时间为tmax＝3
4 T，
如图丁所示，粒子轨迹对应的弦长最短，粒子运动时间最短，所对圆心角为60°，故在磁场中运动时间为
tmin＝T
6 ，所以tmax＝4.5tmin，故D 正确。
9.(15 分)如图所示，虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域
圆的半径为R。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内从圆周上的M 点射入磁场。不计粒子重力。
12
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(1)(4 分)如果一个带电粒子沿直径MON 方向射入磁场，速度v1＝qBR
m ，该粒子在磁场中运动的时间为多少？
(2)(5 分)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v2在纸面内从M 点沿不同方向射入磁场，不计粒子间相互
作用，v2＝2qBR
m
，求粒子在磁场中运动的时间的最大值；
(3)(6 分)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v3在纸面内从M 点沿不同方向射入磁场，v3＝qBR
2m ，不计
粒子间相互作用，求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。
答案 (1) π m
2qB (2) π m
3qB (3)π R
3
解析 (1)由v1＝qBR
m ，r1＝mv1
qB ，可得r1＝R，
粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示，圆弧对应的圆心角α1＝90°，由T＝2π m
qB ，
可得t1＝T
4 ＝π m
2qB
(2)由v2＝2qBR
m
，可得r2＝2R
粒子从N 点射出时在磁场运动的时间最长，如图乙所示
由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角α2＝60°
粒子在磁场中运动的时间的最大值t2＝T
6 ＝π m
3qB
13
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(3)由v3＝qBR
2m
可得r3＝R
2
粒子在磁场边界上出射点距M 点最远时，轨迹弧为一半圆，如图丙所示
由几何关系可知：出射点分布的长度为磁场边界的1
6，即s＝π R
3 。
(7 分)
10.(多选)如图所示，在x 轴上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。x 轴上放置一
无限长挡板，挡板上M、N 两点的坐标分别为(－l
2，0)和( l
2，0)，坐标为(0，√3l
2 )的P 点存在一粒子源，
可以在xOy 平面内向各个方向均匀发射速率为v、比荷为q
m的正电粒子，不计粒子重力及粒子间相互作用，
下列说法正确的是( )
A.带电粒子在磁场中顺时针运动
B.若v＝√3qBl
2m
，则打在挡板上的粒子数占总数的1
2
C.若v＝√3qBl
2m
，则挡板上有粒子打到的线段长度为(3＋√3)l
2
D.若v＝qBl
2m ，将挡板撤去，则MN 之间各处均有粒子通过
答案 BC
解析 根据左手定则，带电粒子在磁场中逆时针运动，故A 错误；根据半径公式r＝mv
qB ，可得v＝√3qBl
2m
时r＝√3l
2 ，如图甲所示，则打在挡板上的粒子的两个临界为①和②，对应的角度范围为180°，则打在挡
板上的粒子数占总数的1
2，故B 正确；打在挡板上的长度的两个临界为②和③，对应的长度分别为l1＝
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√3l
2 ，l2＝√(2r )
2−r
2＝3l
2 ，故v＝√3qBl
2m
时，挡板上有粒子打到的线段长度为Δl＝l1＋l2＝(3＋√3)l
2
，
故C 正确；当v＝qBl
2m 时，可知粒子的轨迹半径为r'＝l
2，打在MN 的临界如图乙中④和⑤，QN 段无粒子
通过，故D 错误。
15
