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第9 课时 专题强化：动态平衡和临界、极值问题
目标要求 1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题。2.会分析平衡中的临界与极值问题。
考点一 动态平衡问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用方法：
图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
1.“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
一个力(F1)恒定，另一个力(F2)方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化。
若F1与F2不垂直，当F3⊥F2时，F3有最小值，F3min＝F1sin θ，如图乙。
例1 (2024·山东泰安市新泰市校考)半圆柱体P 放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直
挡板MN。在半圆柱体P 和MN 之间放有一个光滑的均匀小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所
示是这个装置的纵截面图。现使MN 保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q 滑落到地面之前，发现P 始
终保持静止。则在此过程中，下列说法中正确的是( )
A.MN 对Q 的弹力逐渐减小
B.地面对P 的摩擦力逐渐增大
C.P、Q 间的弹力先减小后增大
D.Q 所受的合力逐渐增大
2.“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向平行，即三力构成
的矢量三角形与△ACO 几何三角形相似，则对应边比值相等。
基本矢量图，如图所示
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基本关系式：mg
H ＝F N
R+r ＝FT
L 。
例2 (2025·山东烟台市龙口市校考)如图所示为一简易起重装置，AC 是上端带有小滑轮的固定支架，
BC 为质量不计的轻杆，杆的一端C 用铰链固定在支架上，另一端B 悬挂一个质量为m 的重物，并用轻
质钢丝绳跨过滑轮A 连接在卷扬机上。开始时，杆BC 与AC 的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA 缓慢变小，
直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC 所产生的弹力( )
A.大小不变
B.逐渐增大
C.先增大后减小
D.先减小后增大
3.一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题
利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，
根据不同位置判断各力的大小变化。
例3 (多选)如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N。
初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α>π
2 )。现将重物向右上方缓慢拉起，并保
持夹角α 不变。在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )
A.MN 上的张力逐渐增大
B.MN 上的张力先增大后减小
C.OM 上的张力逐渐增大
D.OM 上的张力先增大后减小
分析动态平衡问题的流程
受力分析
画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形
2
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考点二 平衡中的临界、极值问题
1.临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不
出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好伸直，拉力F＝0。
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。
2.极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
3.解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡
的临界点和极值点。
(2)数学分析法：根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如
求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大
值与最小值。
例4 如图所示，在质量为m 的物块甲上系着两条细绳，其中长30 cm 的细绳另一端连着轻质圆环，
圆环套在水平棒上可以滑动，圆环与棒间的动摩擦因数μ＝0.75。另一细绳跨过光滑轻质定滑轮与重力
为G 的物块乙相连，定滑轮固定在距离圆环50 cm 的地方，系统处于静止状态，OA 与棒的夹角为θ，
两绳夹角为φ。当G＝6 N 时，圆环恰好开始滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10 m/s2，sin
37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)OA 绳与棒间的夹角θ；
(2)物块甲的质量m。
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例5 (2025·山东烟台市开学考)如图所示，质量m＝5.2 kg 的金属块放在水平地面上，在斜向右上的
拉力F 作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g 取10
m/s2。求所需拉力F 的最小值。
在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四
力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F 作用下做匀速直线运动，
改变θ 大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力
F'方向一定，即“摩擦角”α 满足tan α＝
F f
F N
＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。
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答案精析
例1 B [对Q 受力分析，F1表示P 对Q 的弹力，F2表示MN 对Q 的弹力，F2的方向水平向左保持不变，
F1的方向顺时针旋转，如图所示
由平行四边形的边长变化可知，F1与F2都逐渐增大，故A、C 错误；对P、Q 整体受力分析，由平衡条件
得，Ff＝F2，由于F2不断增大，故Ff不断增大，故B 正确；由于挡板MN 缓慢移动，Q 处于平衡状态，所
受合力为零，故D 错误。]
例2 A [以结点B 为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，G、FN的合力
F 合与F 大小相等、方向相反。
根据三角形相似得G
AC ＝F合
AB ＝F N
BC ，得FN＝BC
AC G
∠BCA 缓慢变小的过程中，AC、BC 不变，则FN不变，故杆BC 所产生的弹力大小不变，故选A。]
例3 AD [法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM 绳上拉力F2、MN 上拉力F1，由题
意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量
三角形在同一外接圆上，由图可知，MN 上的张力F1逐渐增大，OM 上的张力F2先增大后减小，所以A、
D 正确，B、C 错误。
法二：正弦定理
根据正弦定理
mg
sin θ3
＝
F1
sin θ1
＝
F2
sin θ2
，mg 与sin θ3保持不变，sin θ1变大，F1变大，sin θ2先增大后减
小，F2先增大后减小，故选A、D。
]
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例4 (1)53° (2)1 kg
解析 (1)当圆环恰好要开始滑动时，设此时水平棒对圆环的支持力大小为FN，细绳对圆环的拉力大小为
FT，对圆环受力分析，如图甲所示，根据平衡条件有μFN＝FTcos θ ①
FN＝FTsin θ
②
联立①②解得tan θ＝1
μ ＝4
3 ，即θ＝53°。
(2)由题意，根据几何关系可知φ＝90°
如图乙所示，以O 为坐标原点建立xOy 直角坐标系，对物块甲受力分析，根据平衡条件有Gcos θ+FTsin θ
－mg＝0
③
FTcos θ－Gsin θ＝0
④
联立③④解得m＝1 kg。
例5 2√26 N
解析 方法一 三角函数法
设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得F＝
μmg
cosθ+ μsinθ ＝
μmg
√1+ μ
2sin( β +θ)
(其中sin β＝
1
√1+ μ
2 )，当θ＝π
2 －β 时F 最小，故所需拉力F 的最小值
Fmin＝μmg
√1+ μ
2＝2√26 N。
方法二 利用“摩擦角”法
设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为α，则tan α＝
F f
F N
＝μ
①
再设FN与Ff的合力为F'。
如图所示，当拉力F 与F'垂直时有最小值
即Fmin＝mgsin α
②
由①②得Fmin＝2√26 N。
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