第05 讲 共点力的平衡—动态平衡
目 录
思维导图............................................................................................................................................................................................................2
学习目标............................................................................................................................................................................................................2
知识点................................................................................................................................................................................................................ 2
技巧方法
题型分类
题型01：正交分解法解动态平衡
题型02：矢量三角形法解动态平衡
题型03：相似三角形法
题型04：拉密定理辅助圆作图法
题型05：活结，衣钩，滑环模型
题型06：整体隔离法解动态平衡
题型07：动态平衡中的临界极值问题
巩固练习
共点力动态平衡的核心学习目标是：能识别物体在共点力作用下的动态平衡过程，掌握“矢量三角形法”“图解
法”等分析技巧，精准判断力的大小和方向随状态变化的规律。
1.
概念与特征理解：明确动态平衡的定义——物体在共点力作用下缓慢运动（每一瞬间均处于平衡状态，合外
力始终为零），理解其核心特征是“平衡条件不变，但部分力的大小或方向随位置、角度等因素动态变化”。
2.
分析方法掌握：熟练运用两种核心分析方法解决问题：
图解法（矢量三角形）：根据“合力为零”将力的关系转化为封闭矢量三角形，通过三角形的动态变化（边
长、角度改变）直观判断力的大小和方向变化。
解析法：建立坐标系，将各力分解为分量，列写平衡方程（∑Fx=0、∑Fy=0），结合几何关系（如角度变
化）分析力随变量的变化规律。
3.
典型问题应用：能按“判断动态平衡过程→选择合适分析方法→分析力的变化规律→得出结论”的流程，解
决“绳球模型”“斜面滑块”“支架旋转”等典型动态平衡问题，实现定性判断和定量分析的结合。
对物体进行受力分析，是解决力学问题的基础，是研究力学问题的重要方法，它贯穿于整个力学乃至整个教材之中
在整个高中物理学习的全过程中占有极重要的地位。同时在高考命题中可以说是必考内容，每年高考题中必出一条受
力分析类考题。
知识点一：对物体进行受力分析，通常可按以下方法和步骤进行
1.明确研究对象
在进行受力分析时，研究对象可以是某一个物体，也可以是保持相对静止的若干个物体.在解决比较复杂的问题时，
灵活地选取研究对象可以使问题很快得到解决.研究对象确定以后，只分析研究对象以外的物体施予研究对象的力
（即研究对象所受的外力），而不分析研究对象施予外界的力.
2.按顺序找力
先场力（重力、电场力、磁场力），后接触力;接触力中必须先弹力，后摩擦力（只有在有弹力的接触面之间才可能有
摩擦力）.
3.只画性质力，不画效果力
画受力图时，只能按力的性质分类画力，不能按作用效果（拉力、压力、向心力等）画力，否则将出现重复.
知识点二：解决动态平衡问题的常用方法
1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态．
2．做题流程
受力分析――――――→画不同状态平衡图构造矢量三角形―――――→
方法一：动态矢量三角形法
特点：该方法适用于物体所受的三个力中，有一力的大小、方向均不变（通常为重力，也可能是其它力），另一个力
的方向不变，大小变化，第三个力则大小、方向均发生变化的问题。
如图，F1、F2、F3共点平衡，三力的合力为零，则F1、F2的合力F3′与F3等大反向，F1、F2、F3′构成矢量三角形，即
F3′为F1、F2的合力，也可以将F1、F2、F3直接构成封闭三角形．
方法二：相似三角形法
特点：相似三角形法适用于物体所受的三个力中，一个力大小、方向不变，其它二个力的方向均发生变化，且两
个变力得夹角也发生变化，同时三个力中没有二力保持垂直关系，但可以找到力构成的矢量三角形相似的几何三角形
的问题。
方法三：作辅助圆法
特点：作辅助圆法适用的问题适用情况：物体所受的三个力中，其中一个力大小、方向不变，另两个力大小、方
向都在改变，但动态平衡时两个力的夹角不变。
方法四：正交分解法
特点：根据物体平衡，对物体受力分析，在相互垂直的方向上写出两个方程。求解所求力的数学表达式，根据三
角函数知识分析某个变力的大小如何变化。
知识点三：动态平衡的临界和极值问题
1．三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题求某一边的最小值.
2. 多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式等求解.
3.若物体受包括弹力、摩擦力在内的四个力平衡，可以把弹力、摩擦力两个力合成一个力，该力方向固定不变(与
弹力夹角正切值为μ)，从而将四力平衡变成三力平衡，再用图解法求解．
【必备知识】
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，
在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去
寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学
方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动
态分析，确定最大值与最小值．
动态平衡问题常见类型
类型1 “一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
1．一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，比较力的大
小变化，利用三角函数关系确定三力的定量关系．
基本矢量图，如图所示
2．一力恒定(如重力)，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒
力之外的两力垂直时，有极值出现．
基本矢量图，如图所示
作与F1等大反向的力F1′，F2、F3合力等于F1′，F2、F3、F1′构成矢量三角形．
3.动态分析常用方法
解析法：对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达
式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化．
图解法：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．
类型2 “一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
1．一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量
三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边相比相等．
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝
2．一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正
弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化．
基本矢量图，如图所示
类型3 轻绳套轻环的动态平衡模型
1.如图所示，绳上套的是光滑轻环，作用在绳上形成“活结”，此时绳上的拉力处处相等，平衡时与水平面所成夹角
相等，即α＝β。当动点P 移至P′时，绳长保持不变，夹角α＝β 也保持不变，Q 移至Q′，
这与绳
“死结”模型截然不同。
此类问题破题关键有两点：
(1)不计轻环与绳间的摩擦时，左右两段绳中张力相等，左右两段绳与竖直方向的夹角也相
等。
(2)绳总长度不变时，sin θ＝，绳中张力和绳与竖直方向的夹角θ 随两悬点水平距离d 的变
化而变
化。
2.如图所示，“活结”两端绳子拉力相等，因结点所受水平分力相等，Fsin θ1＝Fsin θ2，故θ1＝θ2＝θ3，根据几何关系
可知，sin θ＝＝，若两杆间距离d 不变，则上下移动悬线结点，θ 不变，若两杆距离d 减小，则θ 减小，2FTcos θ＝
mg，FT＝也减小．
题型01：正交分解法解动态平衡
【典型例题1】如图甲工人正使用“涂料滚”给墙壁粉刷涂料。如图乙粉刷时工人手持撑杆使涂料滚沿竖直墙壁缓慢
移动，若涂料滚在向上缓慢移动过程中对墙壁的压力大小保持不变，则
A．涂料滚受到的摩擦力方向向上，大小不变
B．涂料滚受到的摩擦力方向向上，大小变大
C．涂料滚受到的摩擦力方向向下，大小变大
D．涂料滚受到的摩擦力方向向下，大小变小
【答案】C
【解析】
、涂料滚向上滚动，所受摩擦力方向向下，故
错误；
、对涂料滚受力分析如图：有
，
，由题意知
大小不变，向上缓慢移动过程
变
小，则撑竿对涂料滚的推力
增大，涂料滚受到的摩擦力
增大，故
正确，
错误；
故选：
。
【典型例题2】如图所示，光滑半球形容器静止在粗糙的水平面上，
为球心，一质量为
的小滑块，在水平力
的
作用下由
点沿圆弧缓慢向上移动。在小滑块沿圆弧上滑的过程中，容器始终保持静止，则
A．容器对小滑块的弹力逐渐减小
B．水平力
的大小始终保持不变
C．地面对容器的摩擦力逐渐减小
D．地面对容器的支持力保持不变
【答案】D
【解析】
．对小滑块受力分析如图所示，根据平衡条件可得
在小滑块沿圆弧上滑的过程中，
逐渐减小，则
和
都逐渐增大，故
错误；
．以小滑块和容器整体分析，则地面对容器的摩擦力与
平衡，地面对容器的支持力与整体的重力平衡，所以地
面对容器的摩擦力逐渐增大，地面对容器的支持力保持不变，故
错误，
正确。
故选：
。
【典型例题3】 图示杆秤用3 根长度相同细绳对称地系于圆形秤盘上，细绳的另一端汇聚后系在杆秤小吊环上的
点。
用该秤来称质量为
（含秤盘）的物品，重力加速度为
，则平衡时（ ）
A. 每根细绳的拉力等于
B. 每根细绳的拉力小于
C. 细绳越长，细绳的拉力越大
D. 细绳越长，细绳的拉力越小
【答案】D
【解析】设细绳与竖直方向夹角为
，细绳拉力为
，根据平衡条件可得
解得
细绳越长，
越小，则
越小，故D 正确，ABC 错误。
故选D。
【典型例题4】如图所示，粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的柱状物体A，A 与竖直墙壁之间放一光滑半圆球B，
整个装置处于平衡状态．已知A、B 的质量分别为m 和M，A、B 两物体的半径均为R，B 的圆心到水平地面的竖直距
离为R，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．地面对A 的支持力大小为(m＋M)g
B．地面对A 的摩擦力大小为Mg
C．将A 往左缓慢移动少许，竖直墙壁对B 的弹力减小
D．将A 往左缓慢移动少许，A、B 之间的弹力保持不变
【答案】 AC
【解析】 把A、B 看成一个整体，有：FN＝(M＋m)g，故A 正确；在水平方向上，摩擦力大小等于竖直墙对B 水平
向右的弹力大小FN2，对B 隔离研究，受力分析如图所示，根据几何关系，θ 等于45°，则FN1＝＝Mg，FN2＝Mgtan
θ＝Mg，故B 错误；将A 往左缓慢移动少许，θ 减小，由FN2＝Mgtan θ，竖直墙壁对B 的弹力减小，由FN1＝，A、
B 之间的弹力减小，故C 正确，D 错误．
【典型例题5】斜面倾角为
，重为
的
物体放在斜面上。平行于斜面的细线一端系着
物体，另一端通过光
滑定滑轮连着
物体，
物体在方向可变的拉力
作用下静止在如图所示位置，已知
最小时，大小为
，则有
A．
最小时，方向水平向右
B．
物体重力大小为
C．
最小时，
物体不受斜面摩擦力
D．
最小时，
物体受斜面摩擦力大小为
【答案】D
【解析】
设
物体的质量为
，绳中张力为
，物体
受力示意图如图所示。
可知当拉力
斜向右上与绳子垂直时的拉力最小，根据平衡条件有：
解得：
，
，故
错误；
当
最小时绳中张力为
，根据平衡条件可知，物体
的摩擦力为
，方向沿斜面向下，故
错误，
正确。
故选：
。
【变式训练1】如图所示为一种简易“千斤顶”。一竖直放置的轻杆，由于限制套管
的作用，只能在竖直方向上运
动。若轻杆上端放一质量为
的重物，轻杆的下端通过一与杆固定连接的小轮放在倾角
、质量为
的斜面体上，并
将斜面放在水平地面上。为了能顶起重物，沿水平方向对斜面体施加推力的最小值为
。小轮、水平面等摩擦和小轮
质量不计，重力加速度为
。则下列说法正确的是
A．最小值
B．若重物质量为
，推力的最小值仍为
C．地面对斜面体的支持力大于
D．小轮对斜面的压力大于
【答案】D
【解析】：
、当以最小值
推斜面时，设小轮受到斜面的支持力大小为
，则对小轮在竖直方向根据平衡条件
有
，解得：
，易知小轮对斜面的压力大小也为
，且垂直于斜面向下，则对斜面在水平方向
根据平衡条件有
，由上式可知，若重物质量为
，推力的最小值将变为
，且
，故
错误，
正确；
、对重物、小轮、斜面和轻杆组成的整体分析可知，地面对斜面体的支持力大小等于
，故
错误。
故选：
。
【变式训练2】如图所示，在倾角为
的固定斜面上放置一个质量为
的物块。现用一个与斜面平行的水平力推
物块，当推力为
时物块恰能沿斜面匀速下滑。取重力加速度为
，
，则物块与斜面间的动摩擦
因数为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】：对物块受力分析，可知物块受到推力、重力、支持力、摩擦力四个力作用，根据共点力平衡条件有：
代入数据解得：
故
正确，
错误；
故选：
。
【变式训练3】如图所示，质量为mB＝24 kg 的木板B 放在水平地面上，质量为mA＝22 kg 的木箱A 放在木板B 上．
一根轻绳一端拴在木箱上，另一端拴在天花板上，轻绳与水平方向的夹角为θ＝37°.已知木箱A 与木板B 之间的动摩擦
因数μ1＝0.5.现用水平向右、大小为200 N 的力F 将木板B 从木箱A 下面匀速抽出(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力
加速度g 取10 m/s2)，则木板B 与地面之间的动摩擦因数μ2的大小为( )
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】 A
【解析】
对A 受力分析如图甲所示，由题意得
Tcos θ＝f1 ①
N1＋Tsin θ＝mAg ②
f1＝μ1N1 ③
由①②③得：T＝100 N
对A、B 整体受力分析如图乙所示，由题意得
Tcos θ＋f2＝F ④
N2＋Tsin θ＝(mA＋mB)g ⑤
f2＝μ2N2 ⑥
由④⑤⑥得：μ2＝0.3，故A 正确．
【变式训练4】如图所示，轻质、不可伸长的细钢丝绳两端分别固定在竖直杆P、Q 上的a、b 两点，a 点比b 点低。脚
着粗糙杂技靴的演员在走钢丝表演时，可以在细绳的中点以及杆P、Q 的中间位置保持平衡状态，则演员（ ）
A．在P、Q 中间位置时，左右两侧绳子张力的值相等
B．在P、Q 中间位置时，左侧绳子张力的值小于右侧绳子张力的值
C．在细绳的中点时，左右两侧绳子张力的值相等
D．在细绳的中点时，左侧绳子张力的值大于右侧绳子张力的值
【答案】B
【解析】
设
到节点的高度为
，
到节点的高度为
，节点到P 的水平距离为
，节点到Q 的水平距离为
，
端绳子和
水平方向的夹角为
，
端绳子和水平方向的夹角为
，对绳子节点进行受力分析，如图所示
AB．在PQ 中间位置时，根据几何关系
，
，
因为
，可得
，根据平衡条件
可得
，
故A 错误，B 正确；
CD．在细绳的中点时，设
、
到节点绳子长度为
，根据几何关系有
，
因为
，可得
，根据平衡条件
可得
，
故CD 错误。
故选B。
【变式训练5】某同学设计了一个延缓物块下滑的装置，整个装置可简化为如图所示的模型，在粗糙水平面上有一个
斜面，在斜面上有一物块（可视为质点）恰好可以沿斜面匀速下滑，现给物块一个较大的初速度后，在斜面底端正上
方的
点通过喷气的方法对物块施加一个大小恒定、方向随物块下滑而顺时针转动的力，力的方向始终在
点和物块
所在位置的连线上，物块可以运动到斜面的底端，在此过程中斜面始终保持静止，
点的位置低于物块的初始位置，
则下列说法正确的是（ ）
A．物块受到斜面的支持力先增大后减小
B．物块对斜面的摩擦力保持不变
C．斜面对地面的摩擦力始终为零
D．地面对斜面的支持力先减小后增大
【答案】AC
【解析】A．设斜面的倾角为
，喷气对物块产生的力的大小为
，力
的方向与
到斜面的垂线的夹角为
，由于
物块恰好能沿斜面匀速下滑，则有
力
作用在物块上后，力
在垂直斜面方向上的分量为
，故物块对斜面的压力大小为
物块受到斜面的支持力大小为
由于
先减小后增大，则
先增大后减小，故A 正确；
B．物块对斜面的摩擦力大小为
故也是随
的变化而变化，故B 错误；
C．以斜面为研究对象，物块对斜面的正压力的水平分量为
方向水平向右，物块对斜面的摩擦力的水平分量
，
方向水平向左，由
可得
故有
即使斜面产生相对运动趋势的合外力为零，故地面对斜面的摩擦力为零，则斜面对地面的摩擦力也为零，故C 正确；
D．以斜面和物块整体为研究对象，结合以上分析可知，斜面受到的作用力有斜面自身的重力、地面对斜面的支持力、
物块对斜面的压力和物块对斜面的摩擦力，物块对斜面的压力和摩擦力的合力方向竖直向下，大小为
斜面和物块的质量不变，若斜面质量为
，由平衡条件可知，地面对斜面的支持力
随着
的变化，地面对斜面的支持力先增大后减小，故D 错误。
故选AC。
【变式训练6】图是可用来制作豆腐的石磨。木柄
静止时，连接
的轻绳处于绷紧状态。O 点是三根轻绳的结
点，F、
和
分别表示三根绳的拉力大小，
且
。下列关系式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
以
点为研究对象，受力分析如图
由几何关系可知
由平衡条件可得
联立可得
故D 正确，ABC 错误。
故选D。
【变式训练7】如图所示，某健身者右手拉着抓把沿图示位置A 水平缓慢移动到位置B，他始终保持静止，不计绳子质
量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，则重物下移过程（ ）
A. 绳子的拉力逐渐增大
B. 该健身者所受合力逐渐减小
C. 该健身者对地面的压力逐渐增大
D. 该健身者对地面的摩擦力逐渐减小
【答案】D
【解析】
A．对重物受力分析，绳子的拉力等于重物的重力，保持不变，A 错误；
B．该健身者始终保持静止状态，受力平衡，故健身者所受合力始终为零，B 错误；
C．对人受力分析，设绳子与水平方向的夹角为
，根据平衡条件可知
绳子与水平方向的夹角
不断变大，该健身者受到地面的支持力逐渐减小，故该健身者对地面的压力逐渐减小，C 错
误；
D．该健身者对地面的摩擦力
该健身者对地面的摩擦力逐渐减小，D 正确。
故选D
【变式训练8】冰雪运动爱好者利用无人机牵引，在光滑水平冰面上匀速滑行，如图所示。牵引绳与竖直方向成角
，
人所受空气阻力恒定。则（ ）
A.
角越大，绳子对人的拉力越大
B.
角越大，地面对人
支持力越大
C. 空气对无人机的作用力可能沿着绳子方向
D. 无人机对绳的拉力与绳对人的拉力是一对相互作用力
【答案】B
【解析】
AB．以人对研究对象，受力分析如图
水平方向
竖直方向
可得
人所受空气阻力恒定，
角越大，绳子对人的拉力
越小，地面对人的支持力
越大，故B 正确，A 错误；
C．由于人受重力、空气阻力、绳子拉力三力平衡，若空气对无人机的作用力沿着绳子方向，则合力不能为零，不可能
匀速滑行，故C 错误；
D．相互作用力是在两个相互作用的物体之间，无人机对绳的拉力与绳对人的拉力中涉及三个物体，故D 错误。
故选B。
【变式训练9】如图甲所示，10 个人用20 根等长的绳子拉起一个鼓，一端系在鼓上，一端用手拉住，每根绳子与竖直
面的夹角均相等，若绳子连接鼓的结点、拉绳子的手分别在其所在圆周上均等间距分布，鼓处于静止状态且鼓面水平，
忽略绳子质量，简化图如图乙所示。现仅使鼓在绳子的作用下保持鼓面水平沿竖直方向缓慢下降，其他条件不变，则
在鼓缓慢下降过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 绳子对鼓的合力变大
B. 绳子对鼓的合力变小
C. 每根绳子对人的作用力增大
D. 每根绳子对人的作用力减小
【答案】D
【解析】
AB．鼓缓慢下降，处于动态平衡，绳子对鼓的合力等于鼓的重力，绳子的合力不变，AB 错误；
CD．根据平衡条件得
解得
鼓缓慢下降过程中绳子与竖直方向的夹角
变小，
变大，F 减小，C 错误，D 正确。
故选D。
【变式训练10】科技改变生活，现有一款放在水平桌面上的手机支架，如图甲，其表面采用了纳米微吸材料，用手触
碰无粘感，接触到平整光滑的硬性物体时，会牢牢吸附物体。手机可以静止吸附在该手机支架上，支架和手机静止的
放在水平展台上，如图乙所示，若手机的重力为
，倾角为
，则（ ）
A. 支架对水平展台有摩擦力
B. 手机受到的摩擦力大于
C. 支架对手机的作用力方向竖直向上
D. 支架对水平展台的压力小于手机和支架的总重力
【答案】C
【解析】
B．由题意知，手机可以静止吸附在该手机支架上，说明支架会对手机产生一个吸引力。对手机受力分析，其受重力、
支持力、静摩擦力和吸引力。手机处于静止状态，受力平衡，根据平衡条件可知在平行于手机平面方向，有
故B 错误；
C．手机受重力和支架对其的作用力而处于平衡状态，可知支架对手机的作用力大小等于重力，方向竖直向上，故C 正
确；
AD．以手机和支架整体为研究对象，由平衡条件可知：支架在水平方向不受力的作用，否则水平方向无法保持平衡，
竖直方向所受支持力等于手机和支架的总重力，则支架对水平展台的压力等于手机和支架的总重力，故AD 错误。
故选C。
【变式训练11】如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态．
现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为
Ff，则该过程中( )
A．Ff变小，F 变大 B．Ff变小，F 变小
C．Ff变大，F 变小 D．Ff变大，F 变大
【答案】 D
【解析】 方法一：解析法
以小球乙为研究对象，受力分析，如图甲所示，设绳与竖直方向的夹角为α，小球乙的质量为m 乙，根据平衡条件可
得，水平拉力F＝m 乙gtan α，乙球缓慢上升一小段距离的过程中，α 增大，可知水平拉力F 逐渐增大，绳子的拉力
FT＝，故绳子的拉力也是逐渐增大；
以物体甲为研究对象，受力分析如图乙所示，根据平衡条件可得，物体甲受到的地面的摩擦力Ff 与绳子的拉力沿水平
方向的分力FTx＝FTcos θ 等大反向，故摩擦力方向向左，Ff＝逐渐增大，故D 正确．
【变式训练12】(多选)如图所示，斜面置于粗糙水平面上，斜面上方水平固定一根光滑直杆，直杆上套有一个滑块，
滑块连接一根细线，细线的另一端连接一个置于斜面上的光滑小球．最初斜面与小球都保持静止，现对滑块施加水平
向右的外力F 使其缓慢向右移动至A 点，如果整个过程中斜面保持静止，且小球未滑离斜面，当滑块滑动到A 点时细
线恰好平行于斜面，下列说法正确的是( )
A．斜面对小球的支持力逐渐减小 B．细线对小球的拉力逐渐减小
C．滑块受到水平向右的外力F 逐渐增大 D．水平地面对斜面的支持力逐渐减小
【答案】 BC
【解析】 对小球受力分析可知，沿斜面方向：FTcos α＝mgsin θ，垂直斜面方向：FN＋FTsin α＝mgcos θ(其中α
是细线与斜面的夹角，θ 为斜面的倾角)，滑块缓慢向右滑动至A 点，α 变小，则细线对小球的拉力FT 变小，斜面对小
球的支持力FN 变大，故选项B 正确，A 错误；对滑块受力分析可知，在水平方向有F＝FTcos(α＋θ)＝＝mgsin θ(cos
θ－tan αsin θ)，由于α 变小，则滑块受到水平向右的外力逐渐增大，故选项C 正确；对斜面和小球整体受力分析可
知，在竖直方向有：mg＋Mg＝FN″＋FTsin(α＋θ)，由于(α＋θ)变小，所以水平地面对斜面体的支持力FN″逐渐增大，
故选项D 错误．
【变式训练13】质量为
的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，
为半圆的最低点，
为半
圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为
的小滑块。用推力
推动小滑块由A 点向
点缓慢移
动，力
的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（ ）
A．推力
先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大
C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大
【答案】C
【解析】AB ．对滑块受力分析，由平衡条件有
滑块从A 缓慢移动B 点时，
越来越大，则推力F 越来越大，支持力N 越来越小，所以AB 错误；
C．对凹槽与滑块整体分析，有墙面对凹槽的压力为
则
越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C 正确；
D．水平地面对凹槽的支持力为
则
越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，所以D 错误；
【变式训练14】如图所示，顶端装有定滑轮的斜面体放在粗糙水平地面上，A、B 两物体通过细绳连接，并处于静止
状态（不计绳的质量和绳与滑轮间的摩擦）。现用水平向右的力F 作用于物体B 上，将物体B 缓慢拉高一定的距离，
此过程中斜面体与物体A 仍然保持静止。在此过程中（ ）
A．水平力F 一定变小
B．斜面体所受地面的支持力一定变大
C．地面对斜面体的摩擦力一定变大
D．物体A 所受斜面体的摩擦力一定变大
【答案】：C
【解析】A．取物体B 为研究对象，分析其受力情况如图所示，
则有
在将物体B 缓慢拉高的过程中，
增大，则水平力F 和细绳上的拉力T 随
之变大，A 错误；
BC．对A、B 两物体与斜面体这个系统而言，系统处于平衡状态，因拉力F 变大，则地面对斜面体的摩擦力一定变大，
而竖直方向并没有增加其他力，故斜面体所受地面的支持力不变，B 错误C 正确；
D．在这个过程中尽管绳子张力变大，但是开始时物体A 所受斜面体的摩擦力方向未知，故物体A 所受斜面体的摩擦
力的情况无法确定，D 错误。
故选C。
【变式训练15】一圆筒内壁粗糙，底端放一个质量为m 的物体（可视为质点），该物体与圆筒内壁间的动摩擦因数为
,圆筒由静止沿逆时针方向缓慢转动直到物体恰好滑动，此时物体、圆心的连线与竖直方向的夹角为
，如图所示，
以下说法正确的是（ ）
A．在缓慢转动过程中物体受到的支持力逐渐增大
B．在缓慢转动过程中物体受到的静摩擦力逐渐减小
C．物体恰好滑动时夹角
与
的关系为
D．缓慢转动过程中，圆筒对物体的作用力逐渐增大
【答案】：C
【解析】AB．对物体受力分析如图所示，正交分解，根据平衡条件列出方程
随着
的增大，
减小，
增大，选项AB 错误；
C．当物块恰好滑动时
得
选项C 正确；
D．缓慢转动过程中，圆筒对物体的作用力与重力等大反向，始终不变，D 错误。
故选C。
【变式训练16】如图所示，垂直墙角有一个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的小球静止靠在接近半圆底端的M 点。
通过细线将小球从M 点缓慢向上拉至半圆最高点的过程中，细线始终保持在小球处与半圆相切。下列说法正确的是（
）
A．细线对小球的拉力先增大后减小
B．小球对柱体的压力先减小后增大
C．柱体受到水平地面的支持力逐渐减小
D．柱体对竖直墙面的压力先增大后减小
【答案】：D
【解析】AB．以小球为对象，设小球所在位置沿切线方向与竖直方向夹角为θ，沿切线方向有
沿半径方向有
通过细线将小球从M 点缓慢向上拉至半圆最高点的过程中θ 增大，所以细线对小球的拉力减小，小球对柱体的压力增
大，故AB 错误；
CD．以柱体为对象，竖直方向有
水平方向有
θ 增大，柱体受到水平地面的支持力逐渐增大；柱体对竖直墙面的压力先增大后减小当θ=45°时柱体对竖直墙面的压力
最大，故D 正确，C 错误。
故选D。
【变式训练17】一半圆柱的工件放置在粗糙水平地面上，外圆柱表面光滑，截面为半圆，如图所示，A 为半圆水平直
径的端点，B 为半圆的最高点。将一可视为质点的小物块沿圆柱表面在作用力F 的作用下，由A 点向B 点缓慢移动，力
F 的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中半圆柱面的工件一直处于静止状态。下列说法正确的是（ ）
A．作用力F 先增大后减小
B．工件对物块的支持力先减小后增大
C．水平地面对工件的摩擦力先增大后减小
D．水平地面对工件的支持力先增大后减小
【答案】：C
【解析】AB．由于物块缓慢移动，可看作是平衡状态，设物块和O 点的连线与水平方向的夹角为
，对物块受力分析，
由平衡条件可得
物块从A 点运动到B 点的过程中，夹角
从零增大到90°，所以推力F 一直减小，物块受到的支持力一直增大，AB 错
误；
C．将物块和工件看作一个整体，对整体受力分析，如图所示
根据平衡条件可得
夹角
从零增大到90°，地面对工件的支持力N 一直增大；当
时地面对工件的摩擦力最大，所以水平地面对工
件的摩擦力先增大后减小，C 正确，D 错误。
故选C。
【变式训练18】（多选）半圆柱体Р 放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板
。在P 和
之间放
有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态，如图所示是这个装置的纵截面图。若用外力使
保持竖直
并且缓慢地向右移动，在Q 落到地面以前，发现P 始终保持静
止，在此过程中，下列
说法中正确的是（ ）
A．
对Q 的弹力逐渐减小
B．地面对P 的摩擦力逐渐增大
C．P、Q 间的弹力先减小后增大
D．地面对P 的支持力始终不变
【答案】：BD
【解析】AC．对小圆柱体Q 进行受力分析，受重力、P 对Q 的支持力F1 和MN 对Q 的支持力F2，如图
根据共点力平衡条件
，
保持竖直并且缓慢地向右移动，角
不断变大，则
变大，
变大。故AC 错误；
BD．在Q 落到地面以前，发现P 始终保持静止，把P、Q 看成整体受力分析，受重力、地面的支持力
、地面的摩檫
力
和MN 的支持力
，如图
根据共点力平衡条件
，
由
保持竖直并且缓慢地向右移动，角
不断变大，则
变大，则
变大，
不变，故BD 正确。
故选BD。
【变式训练19】如图a 所示，轻绳AD 跨过固定在水平杆BC 右端的光滑定滑轮（重力不计）栓接一质量为M 的物体，
；如图b 所示，轻杆HG 一端用铰链固定在竖直墙上，另一
端通过细绳EG 拉住，
，另一轻绳GF 悬挂在轻杆的G端，
也拉住一质量为M 的物体，重力加速度为g。下列说法正确的是
（ ）
A．图a 中BC 杆对滑轮的作用力大小为Mg
B．图b 中HG 杆弹力大小为Mg
C．轻绳AC 段张力TAC与轻绳EG 段张力TEG 大小之比为1：1
D．轻绳AC 段张力TAC与轻绳EG 段张力TEG 大小之比为2：1
【答案】：A
【解析】A．对图a，同一条轻绳拉力相等，即
绳对滑轮的作用力如图1 所示
由几何关系可知
根据平衡条件可得BC 杆对滑轮作用力大小为Mg，故A 正确；
B．对图b 中G 点受力分析如图2 所示
由图2 可得HG 杆弹力大小为
故B 错误；
CD．根据图2 可得轻绳EG 段张力
所以轻绳AC 段张力TAC 与轻绳EG 段张力TEG 大小之比为
故CD 错误。
故选A。
【变式训练20】（多选）一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O 点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系
一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F 水平向右拉b，整个系统处于静止状态。若F 方向不变，大小在一定范围内变
化，物块b 仍始终保持静止，则（ ）
A．连接a 和b 的绳的张力也在一定范围内变化
B．物块b 所受到的支持力不变
C．绳OO′的张力也在一定范围内变化
D．物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【答案】BD
【解析】AC．连接a 和b 的绳的张力T 等于物体a 的重力mag，不变，a 和b 都静止不动，则两根绳子的合力不变，
故绳OO'的张力不变，故AC 错误；
BD．对b 受力分析，如图所示
由平衡条件可得，竖直方向有
N+Tcosθ=mbg
支持力的大小与F 无关，保持不变；
水平方向有
Tsinθ=F+f
F 增大，f 先减小到零，再反向增大，一直到物体开始运动，所以物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化，故BD
正确。
故选BD。
【变式训练21】（多选）明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺庙倾侧，议欲正之，非万缗不可．一游僧
见之,曰：无烦也，我能正之．”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身．假设所用的木
楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力N，则（ ）
A．若F 一定，θ 大时N 大
B．若F 一定，θ 小时N 大
C．若θ 一定，F 大时N 大
D．若θ 一定，F 小时N 大
【答案】：BC
【解析】选木楔为研究对象，木楔受到的力有：水平向左的F、和两侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力，由于木楔处于
平衡状态，所以侧给它的与木楔的斜面垂直的弹力与F 沿两侧分解的分力是相等的，力F 的分解如图
则
所以
由公式可知，当F 一定，θ 小时FN 大，当θ 一定，F 大时FN 大，AD 错误，BC 正确；
故选BC。
【点睛】对力进行分解时，一定要分清力的实际作用效果的方向如何，再根据平行四边形定则或三角形定则进行分解
即可。
【变式训练22】（多选）如图所示，在竖直平面内固定有半径为R 的半圆轨道，其两端点M、N 连线水平。将一轻质
小环A 套在轨道上，一细线穿过轻环，一端系在M 点，另一端系一质量为m 的小球，小球恰好静止在图示位置。不计
一切摩擦，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．细线对M 点的拉力大小为
mg
B．轨道对轻环的支持力大小为
mg
C．细线对轻环的作用力大小为mg
D．图示位置时MA＝
R
【答案】：BD
【详解】轻环两边细线的拉力大小相等，均
，轻环两侧细线的拉力与轻环对半圆轨道的压力的夹角相等，设为
，由
得
则
得
轻环受力平衡，则轨道对轻环的支持力大小
细线对
点的拉力大小
故A 错误，B 正确；
CD．细线对轻环的作用力是轻环两侧细线拉力的合力，大小为
此时
故C 错误，D 正确。
故选BD。
【变式训练23】如题图所示，一光滑的轻滑轮用细绳
悬挂于O 点．另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一
端连接位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F 向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F 方向不变，大小由
逐渐增
大到
，物块b 仍保持静止，则（ ）
A．物块b 所受到的支持力大小一定逐渐减小
B．物块b 与桌面间的摩擦力大小一定逐渐增大
C．物块b 受到的细绳拉力大小一定逐渐增大
D．细绳
的张力大小一定不变
【答案】AD
【解析】
AC．
处于静止即平衡状态，对
受力分析，如图所示
根据平衡条件，力
与力
与
轴所成夹角均保持不变，由平衡条件可得
由于
不变，
变大，
不变，则支持力减小，A 错误，C 正确；
B．由于不知道起初摩擦力的方向，故无法判断摩擦力的大小变化情况，
错误；
D．由于整个系统处于静止状态，所以滑轮两侧连接
和
的绳子的夹角不变，物块
只受重力以及绳子的拉力，由于
物体
平衡，则连接
和
的绳子张力
保持不变，由于绳子的张力及夹角均不变，所以
中的张力保持不变，D 正
确。
故选AD。
【变式训练24】一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O 点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水
平粗糙桌面上的物块b。外力F 水平向右拉b，整个系统处于静止状态。若F 方向不变，大小在一定范围内变化，物块
b 仍始终保持静止，则（ ）
A．连接a 和b 的绳的张力也在一定范围内变化
B．物块b 所受到的支持力不变
C．绳OO′的张力也在一定范围内变化
D．物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【答案】BD
【解析】AC．连接a 和b 的绳的张力T 等于物体a 的重力mag，不变，a 和b 都静止不动，则两根绳子的合力不变，
故绳OO'的张力不变，故AC 错误；
BD．对b 受力分析，如图所示
由平衡条件可得，竖直方向有
N+Tcosθ=mbg
支持力的大小与F 无关，保持不变；
水平方向有
Tsinθ=F+f
F 增大，f 先减小到零，再反向增大，一直到物体开始运动，所以物块b 与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化，故BD
正确。
故选BD。
【变式训练25】如图所示，用轻绳系住一质量为2m 的匀质大球，大球和墙壁之间放置一质量为m 的匀质小球，各接
触面均光滑。系统平衡时，绳与竖直墙壁之间的夹角为α，两球心连线O1O2与轻绳之间的夹角为β，则α、β 应满足（
）
A．绳子的拉力可能小于墙壁的支持力
B．墙壁的支持力一定小于两球的重力
C．3tanα=tan（α+β）
D．3tanα=3tan（α+β）
【答案】C
【解析】A．设绳子拉力为F，墙壁支持力为N，两球之间的压力为T，将两个球作为一个整体进行受力分析，如图1
所示。根据图1 中几何关系可得绳子的拉力大于墙壁的支持力，故A 错误；
B．根据平衡条件可得
N=3mgtanα
由于α 大小不确定，所以墙壁的支持力不一定小于两球的重力，故B 错误；
CD．对小球进行受力分析，如图2 所示，根据平衡条件可得
N=mgtanθ
根据几何关系可得
θ=α+β
则
N=mgtan（α+β）
联立得
3tanα=tan（α+β）
故C 正确，D 错误。
故选C。
【变式训练26】如图a 所示，轻绳AD 跨过固定在水平杆BC 右端的光滑定滑轮（重力不计）栓接一质量为M 的物体，
；如图b 所示，轻杆HG 一端用铰链固定在竖直墙上，另一端通过细绳EG 拉住，
，另一轻绳
GF 悬挂在轻杆的G端，也拉住一质量为M 的物体，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．图a 中BC 杆对滑轮的作用力大小为Mg
B．图b 中HG 杆弹力大小为Mg
C．轻绳AC 段张力TAC与轻绳EG 段张力TEG 大小之比为1：1
D．轻绳AC 段张力TAC与轻绳EG 段张力TEG 大小之比为2：1
【答案】A
【详解】A．对图a，同一条轻绳拉力相等，即
绳对滑轮的作用力如图1 所示
由几何关系可知
根据平衡条件可得BC 杆对滑轮作用力大小为Mg，故A 正确；
B．对图b 中G 点受力分析如图2 所示
由图2 可得HG 杆弹力大小为
故B 错误；
CD．根据图2 可得轻绳EG 段张力
所以轻绳AC 段张力TAC 与轻绳EG 段张力TEG 大小之比为
故CD 错误。
故选A。
【变式训练27】．（多选）半圆柱体Р 放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板
。在P 和
之间
放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态，如图所示是这个装置的纵截面图。若用外力使
保持竖
直并且缓慢地向右移动，在Q 落到地面以前，发现P 始终保持静止，在此过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．
对Q 的弹力逐渐减小
B．地面对P 的摩擦力逐渐增大
C．P、Q 间的弹力先减小后增大
D．地面对P 的支持力始终不变
【答案】BD
【解析】AC．对小圆柱体Q 进行受力分析，受重力、P 对Q 的支持力F1 和MN 对Q 的支持力F2，如图
根据共点力平衡条件
，
保持竖直并且缓慢地向右移动，角
不断变大，则
变大，
变大。故AC 错误；
BD．在Q 落到地面以前，发现P 始终保持静止，把P、Q 看成整体受力分析，受重力、地面的支持力
、地面的摩檫
力
和MN 的支持力
，如图
根据共点力平衡条件
，
由
保持竖直并且缓慢地向右移动，角
不断变大，则
变大，则
变大，
不变，故BD 正确。
故选BD。
【变式训练28】质量为
的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，
为半圆的最低点，
为半
圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为
的小滑块。用推力
推动小滑块由A 点向
点缓慢移
动，力
的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（ ）
A．推力
先增大后减小
B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大
C．墙面对凹槽的压力先增大后减小
D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大
【答案】C
【解析】AB ．对滑块受力分析，由平衡条件有
滑块从A 缓慢移动B 点时，
越来越大，则推力F 越来越大，支持力N 越来越小，所以AB 错误；
C．对凹槽与滑块整体分析，有墙面对凹槽的压力为
则
越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C 正确；
D．水平地面对凹槽的支持力为
则
越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，所以D 错误；
故选C。
【变式训练29】如图所示，垂直墙角有一个截面为半圆的光滑柱体，用细线拉住的小球静止靠在接近半圆底端的M 点。
通过细线将小球从M 点缓慢向上拉至半圆最高点的过程中，细线始终保持在小球处与半圆相切。下列说法正确的是（
）
E．细线对小球的拉力先增大后减小
F．B．小球对柱体的压力先减小后增大
G．柱体受到水平地面的支持力逐渐减小
H．D．柱体对竖直墙面的压力先增大后减小
【答案】D
【解析】AB．以小球为对象，设小球所在位置沿切线方向与竖直方向夹角为θ，沿切线方向有
沿半径方向有
通过细线将小球从M 点缓慢向上拉至半圆最高点的过程中θ 增大，所以细线对小球的拉力减小，小球对柱体的压力增
大，故AB 错误；
CD．以柱体为对象，竖直方向有
水平方向有
θ 增大，柱体受到水平地面的支持力逐渐增大；柱体对竖直墙面的压力先增大后减小当θ=45°时柱体对竖直墙面的压力
最大，故D 正确，C 错误。
故选D。
【变式训练30】一半圆柱的工件放置在粗糙水平地面上，外圆柱表面光滑，截面为半圆，如图所示，A 为半圆水平直
径的端点，B 为半圆的最高点。将一可视为质点的小物块沿圆柱表面在作用力F 的作用下，由A 点向B 点缓慢移动，力
F 的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中半圆柱面的工件一直处于静止状态。下列说法正确的是（ ）
A．作用力F 先增大后减小
B．工件对物块的支持力先减小后增大
C．水平地面对工件的摩擦力先增大后减小
D．水平地面对工件的支持力先增大后减小
【答案】C
【解析】AB．由于物块缓慢移动，可看作是平衡状态，设物块和O 点的连线与水平方向的夹角为
，对物块受力分析，
由平衡条件可得
物块从A 点运动到B 点的过程中，夹角
从零增大到90°，所以推力F 一直减小，物块受到的支持力一直增大，AB 错
误；
C．将物块和工件看作一个整体，对整体受力分析，如图所示
根据平衡条件可得
夹角
从零增大到90°，地面对工件的支持力N 一直增大；当
时地面对工件的摩擦力最大，所以水平地面对工
件的摩擦力先增大后减小，C 正确，D 错误。
故选C。
题型02：矢量三角形法解动态平衡
1、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
2、另一个力方向不变，大小可变，
3、第三个力大小方向均可变，
【典型例题1】如图所示，质量为
的小球用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于
点，在外力
的作用下，小球处于
静止状态。若要使小球处于静止状态，且悬线
与竖直方向的夹角保持
不变，则外力
的大小不可能为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】：对球受力分析，受重力
，
绳子的拉力
以及拉力
，三力平衡，将绳子的拉力
和拉力
合
成，其合力与重力平衡，如图：
当拉力
与绳子的拉力
垂直时，拉力
最小，最小值为
；
由于拉力
的方向可以在竖直向上方向与绳子所在直线的夹角内，如图中红色标记区域，因此拉力
最大值可以无穷
大，故外力
的大小不可能为
、
都有可能。
本题选不可能的，故选：
。
【典型例题2】如图，一粗糙斜面固定在地面上，一细绳一端悬挂小球
，另一端跨过斜面顶端的光滑定滑轮与物体
相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力
缓慢拉动
至细绳与竖直方向成
角，
始终静止．设
所受
的摩擦力大小为
，在这一过程中
A．
一定增大、
一定增大
B．
可能不变、
可能减小
C．
一定增大、
可能先减小后增大
D．
、
均不变化
【答案】C
【解析】在水平拉力作用下，整体保持静止状态，那么所受的合力为零。又由于重力恒定，水平拉力方向不变，可用
三角形方法解决此类动态平衡问题。最后结合
所受力的情况进行解答即可。
解：根据题意，对小球
受力分析，设
的质量为
，受绳子的拉力
、拉力
和本身重力
，由于缓慢拉动物
体
，则物体
处于动态平衡，所受的三个力可构成闭合三角形，如图所示．随着
的增大，水平拉力
、细绳拉力
均逐渐增大．设物体
的质量为
，斜面的倾角为
，对物体
受力分析，若刚开始
，物块
有上
滑趋势，受到的静摩擦力沿斜面向下，由平衡条件可得
，则随着
增大，
增大；若刚开始
，物块
有下滑趋势，受到的静摩擦力沿斜面向上，由平衡条件可得
，则随着
增大，
可能一直减小，也可能先减小到零后反向增大，故
正确，
错误；
故选：
。
【变式训练1】如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加
拉力F 使重环从A 点缓慢上升到B 点。设杆对重环的弹力大小为
，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中（
）
A．F 逐渐增大，
逐渐增大
B．F 逐渐增大，
先减小后增大
C．F 先减小后增大，
逐渐增大
D．F 先减小后增大，
先减小后增大
【答案】B
【解析】对物体受力分析，并构封闭的矢量三角形，如图所示
由图可知，在拉力到达竖直方向前，与竖直方向的夹角越来越小，拉力F 增大，
减小，经过竖直方向后，夹角又逐
渐变大，拉力F 继续增大，
也增大，故B 正确。
故选B。
【变式训练2】如图所示，光滑的轻质滑轮通过竖直杆固定于天花板上，一根不可伸长的轻绳跨过滑轮分别系着物块
M 和N，M 静止在光滑水平地面上，N 在水平拉力F 作用下处于静止状态。现将F 沿逆时针方向缓慢转至竖直方向，
此过程中M 和N 始终静止不动。下列说法正确的是（ ）
A．F 先增大后减小
B．绳的弹力先减小后增大
C．M 对地面的压力逐渐减小
D．滑轮对杆的作用力逐渐减小
【答案】D
【解析】对N 作受力分析，N 受受重力mg、拉力F 和绳的拉力T，其中重力的大小和方向均不变，绳的拉力的方向不
变；三力平衡时，三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，作图如下
力F 沿逆时针方向缓慢旋转时，由图可看出，力F 先减小后增大，而绳上的拉力T 一直减小，则M 对地面的压力逐渐
增大，滑轮对杆的作用力逐渐减小。
故选D。
【变式训练2】如图所示，一个圆环竖直固定在水平地面上，圆心为O，两根不可伸长的轻绳A、B 一端系在圆环上，
另一端通过结点悬挂一个重物，开始时，重物静止，结点位于O 点，A 绳竖直，B 绳与A 绳的夹角
。现保持结
点位置和B 绳的方向不变，让A 绳绕着O 点缓慢转至水平虚线位置。则在这个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．开始时，B 绳上的张力不为零
B．A 绳上的张力一直减小
C．A 绳上的张力先增大后减小
D．B 绳上的张力一直增大
【答案】D
【解析】A．开始时，重物受力平衡，假设B 绳上的张力不为零，则A 绳不可能竖直，A 错误；
BCD．A 绳从竖直转到水平过程，设A、B 绳上的张力分别为
、
，则该过程中结点的受力情况如图所示，由力的
矢量三角形知，A 绳上的张力先减小后增大，B 绳上的张力一直增大，BC 错误，D 正确。
故选D。
【变式训练3】消防员在抢险救灾工作中常常需要从顶楼直降到某一楼层（如图甲所示），其下降过程可简化为如图
乙所示的物理模型：脚与墙壁接触点为A 点，人的重心在B 点，A 到B 可简化为轻杆，OB 为轻绳，O 点为轻绳悬挂点
且保持固定。已知下降过程中AB 长度以及AB 与竖直方向的夹角均保持不变。初始时∠OBA=90°且消防员保持静止，
从该时刻起，消防员在缓慢下移的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．AB 杆提供支持力且支持力变小
B．AB 杆提供拉力且拉力大小保持不变
C．OB 绳拉力减小
D．消防员所受合力增大
【答案】A
【解析】由分析可知，AB 杆提供支持力，否则无法平衡。两种情况相比较，重力大小方向不变，杆的支持力方向不变，
作出受力图如图所示
消防员下降一定高度后，再次保持静止时，相对于初始位置AB 杆的支持力变小，OB 绳拉力增大，消防员在缓慢下移
的过程中合力不变。
故选A。
【变式训练4】筷子是中华饮食文化的标志之一。如图所示，用筷子夹质量为m 的小球处于静止，筷子均在竖直平面
内，且筷子与竖直方向的夹角均为
。忽略小球与筷子之间的摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．筷子对小球的合力大于重力
B．筷子的弹力大小均为
C．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变大
D．保持左侧筷子固定不动，右侧筷子缓慢变为竖直，左、右筷子的弹力均逐渐变小
【答案】C
【解析】A．用筷子夹着小球在竖直平面内处于静止状态，则根据平衡条件可知，筷子对小球的合力的大小等于小球的
重力，方向与重力的方向相反，故A 错误；
B．由几何关系可知，筷子对小球的弹力大小为
故B 错误；
CD．在右边筷子转到竖直方向的过程中，左边筷子对小球弹力
的方向始终垂直于筷子，而小球自身的重力是一个恒
力，由此可以做出在动态平衡过程中力的矢量三角形如下图所示
当两根筷子与竖直方向夹角都为
时，三力构成的矢量三角为等腰三角形，在右边的筷子转到竖直方向时，三个力的
矢量构成一个直角三角形，易得，在右边筷子转到竖直的过程中，两筷子对小球的弹力都在增大，故C 正确，D 错误。
故选C。
【变式训练5】如图所示，一内表面光滑的半圆形凹槽放在粗糙的水平地面上，物块（可看做质点）静置于槽内最底
部的A 点处。现用一方向不变的斜向上的推力F 把物块从A 点沿着凹形槽缓慢推至B 点，整个过程中，凹槽始终保持
静止。设物块受到凹槽的支持力为
，则在上述过程中下列说法正确的是（ ）
A．F 和
都一直增大
B．F 一直增大，
先减小后增大
C．地面对凹槽的支持力一直减小
D．地面对凹槽的摩擦力保持不变
【答案】BC
【解析】AB．由题意可知，在力F 缓慢推动的过程中物块处于动态平衡中，且重力为恒力始终不变，推力的方向始终
不变，重力、推力、圆弧面对物块的弹力三力始终平衡，合力为零，则可做出力的矢量三角形，如下图所示
则根据动态变化过程中的矢量三角形可知，推力F 逐渐增大，圆弧面对物块的弹力
先减小后增大，故A 错误，B 正
确；
CD．将小物块和凹槽看成一个整体，由整体法分析可知，推力F 斜向右上方，方向不变，但大小始终在增大，因此可
知力F 在竖直方向和水平方向的分力都在始终增大，设力F 与水平方向的夹角为
，则由平衡条件可得，竖直方向有
水平方向有
由以上平衡方程结合力F 的变化情况可知，地面对凹槽的支持力一直减小；地面对凹槽的摩擦力一直增大，故C 正确，
D 错误。
故选BC。
【变式训练6】如图所示，轻绳OA 将一质量为
的小球悬挂于
点，OA 与竖直方向的夹角为
，在水平力
作用下，小球静止。现使力
沿逆时针方向缓慢旋转至竖直向上，小球位置始终不变，上述过程中（ ）
A．小球的合力逐渐减小
B．力
先减小后增大
C．轻绳OA 对球的拉力先增大再减小
D．力
最小值为
【答案】BD
【解析】A．由于小球一直保持静止，因此小球的合力一直为零，故A 错误；
BCD．小球受重力mg、拉力F 和轻绳的拉力FT，其中重力的大小和方向均不变，轻绳的拉力的方向不变。三力平衡时，
三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，如下图
力F 沿逆时针方向缓慢旋转时，由图可看出，力F 先减小后增大，且当力F 与水平方向的夹角30°时，F 最小，最小值
为
而轻绳OA 上的拉力FT 一直减小，故BD 正确，C 错误。
故选BD。
【变式训练7】如图所示，半径相同、质量分布均匀的圆柱体E 和半圆柱体M 靠在一起，E、M 之间无摩擦力，E 的重
力为G，M 下表面粗糙，E、M 均静止在水平地面上，现过E 的轴心施以水平作用力F，可缓慢地将E 拉离地面一直滑
到M 的顶端，整个过程中，M 始终处于静止状态，对该过程的分析，下列说法不正确的是（ ）
A．地面所受M 的压力不变
B．地面对M 的摩擦力逐渐增大
C．开始时拉力F 最大，且为
，以后逐渐减小为0
D．E、M 间的压力开始时最大，且为2G，以后逐渐减小到G
【答案】B
【解析】A．取整体为研究对象，地面所受M 的压力不变，总等于二者的总重力，A 正确，不符合题意；
CD．圆柱体E 受重力G、拉力F、半圆柱体的支持力N 作用处于平衡状态，这三个力构成封闭三角形，如图所示
开始时N 与竖直方向成60°角，对应图中的最大三角形，此时拉力F 和半圆柱体的支持力N 都最大，其大小分别为
随着E 向上移动，三角形逐渐减小，拉力F、半圆柱体的支持力N 都逐渐减小，当E 移动到M 顶端时，F 减小到零，N
减小到G，故开始时拉力F 最大，且为
，以后逐渐减小为0，E、M 间的压力开始时最大，且为2G，以后逐渐减
小到G，CD 正确，不符合题意；
B．取整体为研究对象，地面对M 的摩擦力等于拉力F，所以摩擦力随拉力F 的减小而减小，B 错误，符合题意。
故选B。
【变式训练8】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O 点，现用水平F 缓慢推动斜面体，小球在斜面上无
摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN，
以及绳对小球的拉力FT的变化情况是（ ）
A．FN保持不变，FT不断增大
B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
【答案】D
【解析】对小球进行受力分析，重力、支持力FN、拉力FT 组成一个闭合的矢量三角形，由于重力不变、支持力FN 方
向不变，斜面向左移动的过程中，拉力FT 与水平方向的夹角β 减小，当β=θ 时，FT⊥FN，细绳的拉力FT 最小，由图
可知，随β 的减小，斜面的支持力FN 不断增大，FT 先减小后增大．故D 正确，ABC 错误．
【变式训练9】半圆柱体P 放在粗糙的水平地面上，其右端有竖直挡板MN。在P 和MN 之间放有一个光滑均匀的
小圆柱体Q，整个装置处于静止状态。如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN 保持竖直并缓慢地向右
移动，在Q 落到地面以前，发现P 始终保持静止。在此过程中，下列说法中正确的是（ ）
A. P、Q 间的弹力逐渐增大 B. 地面对P 的摩擦力先增大后减小
C. MN 对Q 的弹力逐渐减小 D. Q 受到P 和MN 的合力逐渐增大
【答案】A
【解析】解：取Q 为研究对象,Q 受到mg 、
MN
F
、
p
F 三个力的作用,由于MN 缓慢向右移动,小圆柱体Q 处于动态平
衡状态,分析可知
MN
F
方向不变,
p
F 与竖直方向夹角增大,转动过程中Q 所受三力的变化情况如图所示,可以判断
MN
F
、
p
F 都变大,A 正确、C 错误.由于Q 受力平衡,合力始终为零,D 项错误.取P 、Q 整体为研究对象,地面对P 的摩擦力应与
MN
F
平衡,所以地面对P 的摩擦力逐渐增大,B 项错误.
【变式训练9】如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物
块N。另一端与斜面上的物块M 相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N 的细
绳与竖直方向成45°。已知M 始终保持静止，则在此过程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M 所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【解析】如图所示，以物块N 为研究对象，它在水平向左拉力F 作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°
的过程中，水平拉力F 逐渐增大，绳子拉力T 逐渐增大；
对M 受力分析可知，若起初M 受到的摩擦力f 沿斜面向下，则随着绳子拉力T 的增加，则摩擦力f 也逐渐增大；若起
初M 受到的摩擦力f 沿斜面向上，则随着绳子拉力T 的增加，摩擦力f 可能先减小后增加。故本题选BD。
【变式训练10】光滑圆柱体被
、
两支架支持处于平衡状态，接触点为
和
，圆柱体中心为
，
水平，
和水平成
。把接触点
逆时针沿圆周缓慢移到
的正下方，移动过程中圆柱体始终保持平衡。下列说法
正确的是
A．
支架的力先变大后变小
B．
支架的力先变小后变大
C．
支架的力先变大后变小
D．
支架的力先变小后变大
【答案】B
【解析】本题主要是考查了共点力的平衡问题，解答此类问题的一般步骤是：确定研究对象、进行受力分析、利用平
行四边形法则进行力的合成或者是正交分解法进行力的分解，然后在坐标轴上建立平衡方程进行解答．本题是利用图
解法来分析。
解：以圆柱体为研究对象进行受力分析，初状态在重力
、
、
作用下处于平衡状态；
当
不动，把接触点
从图示的位置缓慢沿圆周移到
的正下方的过程中。利用矢量三角形法则画出两个力的变化如
图所示，
由图可得，
先减小再增大，
不断减小，故
正确、
错误；
故选：
。
【变式训练11】如图所示，将一物体用两根等长细绳OA、OB 悬挂在半圆形架子上，B 点固定不动，在悬挂点A
由位置C 向位置D 移动的过程中，物体对OA 绳的拉力变化是( )
A. 由小变大 B. 由大变小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
【答案】C
【解析】对O 点受力分析，抓住两根绳的合力等于物体的重力，大小和方向都不变，OB 绳拉力方向不变，根据平行四
边形定则得，如图；知OA 绳上拉力大小先减小后增大．故C 正确，ABD 错误．故选C．
【变式训练12】重力都为G 的两个小球A 和B 用三段轻绳按如图所示连接后悬挂在O 点上，O、B 间的绳子长度
是A、B 间的绳子长度的2 倍，将一个拉力F 作用到小球B 上，使三段轻绳都伸直且O、A 间和A、B 间的两段绳
子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F 的最小值为( )
A.G B.G C．G D.G
【答案】 A
【解析】 对A 球受力分析可知，因O、A 间绳竖直，则A、B 间绳上的拉力为0.对B 球受力分析如图所示，则可知当
F 与O、B 间绳垂直时F 最小，Fmin＝Gsin θ，其中sin θ＝＝，则Fmin＝G，故A 项正确．
题型03：相似三角形
特点： 1、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
2、其余两个力方向、大小均在变
3、有明显长度变化关系
【典型例题1】如图所示，质量为
的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳
的下端系着小球，上端穿过小孔用力拉住，开始时绳与竖直方向夹角为
，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使
小球沿光滑圆环上升一小段距离，则下列关系正确的是
A．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力先变大后变小
B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大
C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大
D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变
【答案】D
【解析】解：小球受三个力的作用：受重力
、轻绳拉力
和圆环的弹力
。如图所示，由平衡条件可知，重
力
与弹力
的合力大小
等于轻绳拉力
，方向相反，根据力的矢量三角形与几何三角形相似，有：则有
可得
，
当小球沿光滑圆环上升时，即
点上升时，半径
不变，
减小，
减小，即
减小，
不变，即支持力大小不
变，故
错误，
正确。
故选：
。
【典型例题2】如图所示，质量分别为
、
的两个带同种电荷的小球
、
，分别用长为
的绝缘细线悬挂在同
一点
，两细线与竖直方向各成一定的角度
、
，两小球用一绝缘轻质弹簧相接，
、
球连线与过
点竖直线
交于
点，初始时刻弹簧处在压缩状态，现增加
球的电荷量，下列说法中正确的是
A．两细线的拉力之比变大
B．两细线的夹角不变
C．
与
的长度之比不变
D．
长度一定变大
【答案】C
【解析】解：对两小球进行受力分析，如下图所示：
、
为
、
两小球之间的库仑力，
、
为两小球之间的弹簧弹力，满足
对
球受力分析，
、
。
，三力满足相似三角形，则有
同理对
球有
当
球的电荷量增大则两球距离会增大，夹角
、
增大，但仍有
；
，绳长不变，
点上移，
长度变小，故
正确，
错误；
故选：
。
【变式训练1】如图所示，四分之一圆柱体P 放在水平地面上，球心O 的正上方有一个大小可忽略的定滑轮A，一根轻
绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体P 上质量为m 的小球连接，另一端系在固定竖直杆上的B 点，一质量为
的钩码挂
在AB 间的轻绳上，整个装置处于静止状态，四分之一圆柱体P 与水平地面上有摩擦，其它摩擦不计，若在钩码下方再
加挂一个钩码，P 始终未动，小球没有离开圆柱体P，当系统再次处于静止状态时，则（ ）
A．轻绳的张力增大
B．B．P 对小球的弹力减小
C．P 对地面的压力不变
D．D．P 对地面的摩擦力减小
【答案】D
【解析】AB．对m 进行受力分析，如图所示
设四分之一圆柱体的半径为R，定滑轮A 左侧轻绳长度为L，根据相似三角形有
在钩码下方再加挂一个钩码直至系统再次处于静止状态的过程中，小球会沿着P 上移，小球再次处于静止状态时，由
于AO、mg、R 不变，L 减小，则N 不变、T 减小，AB 错误；
C．设小球对P 的压力与竖直方向的夹角为θ，地面对P 的支持力为N1，则有
θ 变小，则cosθ 增大，则地面对P 的支持力增大，根据牛顿第三定律可知，P 对地面的压力增大，C 错误；
D．设轻绳与竖直方向的夹角为α，对小球和P 整体分析可知
T 和α 均变小，则f 变小，即P 对地面的摩擦力减小，D 正确。
故选D。
【变式训练2】某物理兴趣小组为了模拟机器人“手臂”，制作了如图所示装置，A、B 类似于人手臂的关节，能在竖
直面内自由转动，前臂BC 末端系一重物和一轻绳，轻绳另一端跨过滑轮牵拉前臂。初始时，关节A、B 均锁定，前臂
BC 水平。小组成员解除关节A 的锁定，通过拉绳缓慢提升重物，上臂AB 转过60°。不计“手臂”重力及一切摩擦，下
列说法正确的是（ ）
A．绳CD 拉力先减小后增大
B．绳CD 拉力先增大后减小
C．前臂BC 受到的压力大小不变
D．前臂BC 受到的压力先减小后增大
【答案】C
【解析】AB．对C 点受力分析，沿轻绳的拉力T，竖直向下大小为重物重力的拉力mg，沿AC 方向由A 指向C 的支持
力N，如图
根据三力平衡的特点可知力的三角形与边的三角形相似，有
依题意，上臂AB 转过60°过程中，
保持不变，
减小。可知绳CD 拉力减小。故AB 错误；
CD．同理，可得
上臂AB 转过60°过程中，
保持不变，
大小也保持不变。可知前臂BC 对C 点的支持力的大小不变。根据牛顿第
三定律可知，前臂BC 受到的压力大小不变。故C 正确；D 错误。
故选C。
【变式训练3】如图所示﹐木板B 放置在粗糙水平地面上，O 为光滑铵链。轻杆一端与铰链O 固定连接，另一端固定
连接一质量为m 的小球A。现将轻绳一端拴在小球A 上，另一端通过光滑的定滑轮O′由力F 牵引，定滑轮位于O 的正
上方，整个系统处于静止状态。现改变力F 的大小，使小球A 和轻杆从图示位置缓慢运动到O′正下方，木板始终保持
静止，则在整个过程中（ ）
A．外力F 逐渐增大
B．轻杆对小球的作用力减小
C．地面对木板的支持力逐渐减小
D．地面对木板的摩擦力逐渐减小
【答案】D
【解析】A．对小球A 进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示
根据几何关系可知两三角形相似，因此
缓慢运动过程
越来越小，则F 逐渐减小，故A 错误；
B．由于OA 长度不变，杆对小球的作用力大小
不变，故B 错误；
CD．对木板，由于杆对木板的作用力大小不变，方向向右下，但杆的作用力与竖直方向的夹角越来越小，所以地面对
木板的支持力逐渐增大，地面对木板的摩擦力逐渐减小，故C 错误，D 正确。
故选D。
【变式训练4】如图所示，带电小球P 固定在绝缘竖直墙面上，用绕过固定在竖直墙上O 点的小定滑轮的细线拉着带
电小球Q。小球Q 静止时P、Q 间的距离为r，O、P 间的距离为h，
。现用拉力F 缓慢拉动绳端，使小球Q 缓慢
移动，在小球Q 从图示位置缓慢移动到O 点的过程中（ ）
A．拉力F 先增大后减小
B．小球P、Q 间的库仑力逐渐减小
C．小球P、Q 系统的电势能先不变后减小
D．小球Q 在P 球位置产生的电场强度大小不变
【答案】C
【解析】AB．设小球Q 的质量为m，O、Q 间距离为L，在小球Q 到达竖直墙之前，对小球Q 受力分析，小球受重力、
拉力、库仑力，如图
根据力的矢量三角形与几何三角形相似可得
在小球Q 从图示位置到与墙壁接触的过程中，mg、h、qP、qQ 均不变，L 变小，r 不变，因此这个过程小球Q 绕小球
P 做圆周运动，当小球Q 与墙壁接触后受重力、拉力、向上的库仑力，在拉力作用下沿墙壁直线上升，库仑力变小，
小球在竖直方向受力平衡，所以F 变大，所以拉力F 先减小后增大；小球P、Q 间的库仑力先不变，再逐渐减小故AB
错误；
C．当小球Q 与墙壁接触前，库仑力不做功，小球P、Q 系统的电势能不变；当小球Q 与墙壁接触后库仑力做正功，小
球P、Q 系统的电势能减小；所以小球P、Q 系统的电势能先不变后减小，故C 正确；
D．小球Q 在P 球位置产生的电场强度由
可知先大小不变后减小，故D 错误。
故选C。
【变式训练5】如图所示，轻弹簧的劲度系数为k，一端固定在内壁光滑、半径为R 的半球形容器底部O′处（O 为球
心），弹簧另一端与质量为m 的A 小球相连，小球静止于P 点，OP 与水平方向的夹角为θ=30°，若换成质量为2m 的
小球B 与弹簧相连，小球静止在
之间的M 点（图中没有标出），重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．容器对小球A 的支持力为mg
B．容器对小球B 的支持力为2mg
C．
的长度为
D．弹簧的原长为
【答案】ABC
【解析 】对质量为m 的小球，受重力、支持力和弹簧的弹力而平衡，如图所示：
A．对A 小球，弹簧弹力T、重力
和支持力N 围成的矢量三角形和△PO’O 相似，则
即有：
；故A 正确；
B．同理对B 小球，弹簧弹力、重力、支持力和△MO’O 相似，则
则
，故B 正确．
CD．由A 分析可知，弹簧被压缩量为
，则弹簧的原长为：
，
由B 分析可知，
，
则
，故C 正确，D 错误．
【变式训练6】如图，用硬铁丝弯成的光滑半圆环竖直放置，最高点B 处固定一小滑轮，质量为m 的小球A 穿在环上．
现用细绳一端拴在A 上，另一端跨过滑轮用力F 拉动，使A 缓慢向上移动．在移动过程中关于铁丝对A 的支持力N，
说法正确的是
A．N 的方向始终背离圆心O
B．N 的方向始终指向圆心O
C．N 逐渐变小
D．N 大小不变
【答案】AD
【解析】
选取小圆环A 为研究对象，画受力分析示意图，小圆环受三个力，两个绳子的拉力和大圆环的支持力，运用三角形相
似法得到N 与A0、BO 的关系，再分析N 的变化情况．
【详解】若在物块缓慢向上移动的过程中，小圆环A 处于三力平衡状态，根据平衡条件知mg 与N 的合力与T 等大反
向共线，作出mg 与N 的合力，如图，
由三角形相似有：
得
，AO、BO 都不变，则N 大小不变，方向始终背离圆心O．故AD 正确，BC 错误．
故选AD．
【变式训练7】如图所示，在一水平面上放置了一个顶端固定有滑轮的斜面，物块
、
重叠放置在斜面上，细绳的
一端与
物块相连，另一端有结点
，结点处还有两段细绳，一段连接重物
，另一段用外力
拉住。现让外力
将
物块
缓慢向上拉动，将
从竖直拉至水平，拉动过程中始终保证夹角
，且绳子
始终拉直，物块
和
以及斜面体始终静止，则下列说法正确的是（ ）
A．绳子
的拉力先增大后减小
B．
对
的摩擦力一直在增大
C．斜面对
的摩擦力可能一直在减小
D．地面对斜面体的摩擦力一直减小
【答案】A
【解析】
A．以结点O 为研究对象，受到两段细绳的拉力和外力F，其中OA 段拉力大小等于mg，结点O 转动过程中，动态分
析图如下
根据拉密定理有
由于α 保持不变，因此
为定值。结点O 转动至水平的过程中，
角一直减小到直角，可得F 逐渐增大，γ 角从
一直增大到
，绳子的拉力
先增大后减小，故A 正确；
B．对C 受力分析，C 一直处于平衡状态，B、C 间的摩擦力一直不变，故B 错误；
C．对B、C 整体受力分析可知，绳子的拉力与摩擦力的合力等于重力沿斜面向下的分力，由于绳子的拉力
先增大后
减小，所以斜面对B 的摩擦力不可能一直减小，故C 错误；
D．对B、C 以及斜面整体分析，地面对斜面体的摩擦力大小等于拉力F 在水平方向的分力，拉力F 在水平方向的分力
先增大后减小，故摩擦力也是先增大后减小，故D 错误。
故选A。
【变式训练8】如图所示，在粗糙的水平地面上，有一质量为M 的半圆形绝缘凹槽，槽与地面接触部分粗糙，圆弧表
面光滑，圆弧右上端有一带正电的小球A，底部固定一个带正电的小球B，两球质量都为m，一开始整个装置保持静止，
后因小球A 缓慢漏电而使其沿圆弧逐渐靠近小球B，
在靠近的过程中，忽略小球A
质量的变化，下列说法正确的是（ ）
A．凹槽受到地面的摩擦力大小增大
B．A、B 两球间的库仑力大小变大
C．凹槽受到地面的支持力大小不变
D．A 球受到的支持力大小变大
【答案】C
【解析】
【详解】
AC．以凹槽和A、B 组成的整体作为研究对象，竖直方向上，整体受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力。两个力
大小相等。在整个过程中保持不变。水平方向上，不受其他外力，故地面与凹槽之间没有摩擦力，A 错误，C 正确；
BD．以A 为研究对象，受力如图所示，由图可知
所以
，
由于OB，OA 在过程中不变，重力G 也不变，所以
不变，小球A 受到的支持力不变。而AB 在该过程中减小，则AB
两球间的库仑力F 减小。B、D 错误；
故选C。
【变式训练9】如图所示，半径为
的绝缘光滑半球内有A、
两个带电小球（均可视为点电荷），A 球固定在半球的
最低点，
球静止时，A、
两球之间的距离为
，由于漏电，
球缓慢向A 球靠近，设A、
两球之间的库仑力大小
为
，光滑半球对
球的弹力大小为
，A、
两球之间的距离用x 表示，则
、
的关系图像正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
以B 为研究对象，B 受到重力G，A 对B 的库伦斥力F，绝缘光滑半球对B 的支持力N，如下图所示
由几何关系可知，力的三角形
与三角形
相似，其中
则有
因为G、R、
不变，则N 不变，B 球缓慢向A 球靠近，x 在减小，由于
为定值，因此F 线性减小，故A 正确，
BCD 错误。
故选A。
【变式训练10】如图所示，水平地面上竖直地固定着一个光滑的圆环，一个质量为m 的小球套在环上，圆环最高点有
一小孔，细线一端被人牵着，另一端穿过小孔与小球相连，使球静止于A 处，此时细线与竖直成θ 角，重力加速度为
g，将球由A 处缓慢地拉至B 处的过程中，球对细线的拉力如何变化，以及环对球的支持力如何变化？
【答案】T 减小FN 不变
【解析】对小球受力分析，构建封闭的三角形，几何三角形AOP 与红色的力三角形相似，对应边成比例；
OP
mg = PA
T = OA
F N
因为PA 减小；所以T 减小，OA=OB 所以FN 不变；
【变式训练11】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC 是质量不计的撑杆，A 端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固
定在A 点正上方，C 端吊一重物。现施加一拉力F 缓慢将重物P 向上拉，在AC 杆达到竖直前，下列说法正确的是
（ ）
A．BC 绳中的拉力FT越来越大 B．BC 绳中的拉力FT越来越小
C．AC 杆中的支撑力FN越来越大 D．AC 杆中的支撑力FN越来越小
【答案】B
【解析】 以C 点为研究对象，分析受力：重物的拉力T(等于重物的重力G)。
轻杆的支持力FN 和绳子的拉力FT 做出受力图如右图所示，由平衡条件知：FN 与FT 的合力与G 大小相等，方向相反，
根据三角形相似可得：＝＝
解得：FN＝G，FT＝G
由于AC 不变，所以FN 不变，BC 减小，FT 减小，故选项B 正确。
题型04：拉密定理（正弦定理）辅助圆法
特点： 1、三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
2.其余两个力方向、大小均在变
3.有一个角恒定不变
【典型例题1】如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM
竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α＞)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α 不变．在OM 由竖
直被拉到水平的过程中( )
A．MN 上的张力逐渐增大 B．MN 上的张力先增大后减小
C．OM 上的张力逐渐增大 D．OM 上的张力先增大后减小
【答案】 AD
【解析】 解法一：以重物为研究对象，受重力mg、OM 绳上拉力F2、MN 上拉力F1，由题意知，三个力的合力始
终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2 的夹角为π－α 不变，在F2 转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，
由图可知，MN 上的张力F1 逐渐增大，OM 上的张力F2 先增大后减小，所以A、D 正确，B、C 错误．
解法二：将重物向右上方缓慢拉起，重物处于动态平衡状态，可利用平衡条件或力的分解画出动态图分析．将重物的
重力沿两绳方向分解，画出分解的动态图如图所示．在三角形中，根据正弦定理有＝＝，由题意可知FMN 的反方向与
FOM 的夹角γ＝180°－α 不变，因sin β(β 为FMN 与G 的夹角)先增大后减小，故OM 上的张力先增大后减小，当β＝
90°时，OM 上的张力最大，因sin θ(θ 为FOM 与G 的夹角)逐渐增大，故MN 上的张力逐渐增大，选项A、D 正确，
B、C 错误．
【变式训练1】如图所示，光滑的大圆环固定在竖直平面上，圆心为
点，
为环上最高点，轻弹簧的一端固定在
点，
另一端拴接一个套在大环上质量为
的小球，小球静止，弹簧与竖直方向的夹角
为
，重力加速度为
，则下列选
项正确的是（ ）
A．小球所受弹簧的弹力等于
B．小球所受弹簧的弹力等于
C．小球所受大圆环的支持力等于
D．大圆环对小球的弹力方向一定沿
指向圆心
【答案】 AD
【解析】
D．小球受重力
、弹簧的拉力
、圆环的弹力
，圆环的弹力沿半径向外，如图所示
D 错误；
ABC．弹簧的弹力
沿弹簧向上，与竖直方向成
角，圆环的弹力
与竖直方向成
角，由正弦定理得
，G = mg
解得
N = mg，
A 正确，BC 错误。
故选A。
【变式训练2】商丘模拟)如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔．质量为m 的小球套在
圆环上．一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住．现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手
对线的拉力F 和轨道对小球的弹力FN的大小变化情况是( )
A．F 不变，FN增大 B．F 不变，FN减小 C．F 减小，FN不变
D．F 增大，FN减小
【答案】 C
【解析】 小球沿圆环缓慢上移可看作处于平衡状态，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由图可知
△OAB∽△GF′A 即：＝＝，当A 点上移时，半径不变，AB 长度减小，故F 减小，FN 不变，故C 正确．
【变式训练3】如图所示，a，b 两个小球穿在一根与水平面夹角为θ 的光滑固定细杆上，并通过一细绳跨过光滑定滑
轮相连。当两球静止时，oa 绳与杆的夹角也为θ，ob 绳恰好沿竖直方向。若b 球质量为m，a 球的质量为（ ）
A．msinθ
B．mcosθ
C．mtanθ
D．
【答案】D
【解析】分别对A、B 两球分析，运用合成法，如图：
根据共点力平衡条件，得：T＝mg
根据正弦定理可得：
＝
解得：ma：mb＝1：tanθ
所以当b 球质量为m，则a 球的质量为ma＝
，故D 正确，ABC 错误。
故选：D。
【变式训练4】如图所示各面均粗糙的斜劈置于水平地面上。轻绳绕过固定在斜劈上的定滑轮，一端与物块相连另一
端与小球相连。初始时外力
水平且与轻绳夹角为
。缓慢提升小球并保持拉力
与轻绳的夹角始终不变，
直至右侧轻绳达到水平的过程中，在该过程中物块与斜劈始终保持静止。则下列说法中正确的是
A．外力
一直增加
B．轻绳上弹力一直增大
C．物块与斜劈之间的摩擦力一定先减小后增大
D．斜劈与地面之间的摩擦力先增加后减小
【答案】 A
【解析】
、以小球为研究对象，受到重力
、拉力
和轻绳弹力
，如图所示。
根据正弦定理可得：
缓慢提升小球并保持拉力
与轻绳的夹角
始终不变，则
的变化范围为：
的变化范围是先大于
，后来等于
；
所以
一直增大，
一直减小，故
正确、
错误；
、开始不知道物块受到的摩擦力方向，绳子拉力
一直减小过程中，所以物块与斜劈之间的摩擦力变化情况不确定，
故
错误；
、
一直增加，以整体为研究对象，斜劈与地面之间的摩擦力等于拉力在水平方向的分力，所以斜劈与地面之间的
摩擦力一直增加，故
错误。
故选：
。
【变式训练5】如图
所示，工人用推车运送石球，到达目的地后，缓慢抬起把手将石球倒出（图
．若石球与板
、
之间的摩擦不计，
，图
中
与水平面的夹角为
，则在抬起把手使
变得水平的过程中，
石球对
板的压力
、对
板的压
的大小变化情况是
A．
变小、
先变大后变小
B．
变小、
变大
C．
变大、
变小
D．
变大、
先变小后变大
【答案】 A
【解析】在倒出石球的过程中，两个支持力的夹角是个确定值，为
，受力情况如图所示。
根据力的示意图结合平衡条件可得：
在转动过程中
从
增大到
，则
不断减小，
将不断减小，根据牛顿第三定律可得
将不断减小；
开始的值为
，所以
从
减小到
，其中跨过了
，因此
先增大后减小，则
将先增大后减小，
根据牛顿第三定律可得
先增大后减小，故
正确、
错误。
故选：
。
【变式训练6】如图所示，为一儿童玩具的起吊部件，B 处为一小型的电动机，OA 是可自由转动的轻杆，电动机启动
后可将OB 绳缓慢的抽进内部，使OA 杆从接近水平位置缓慢的逆时针转动，直到OA 杆竖直为止，用这种方式把小物
块C 提起，物体的质量为m，此时OA 与竖直方向的夹角为30°，OB 与竖直方向的夹角为60°，下列说法中正确的是（
）
A．此时OA 杆所承受的力为
mg
B．此时OB 的力为2mg
C．随着小物块缓慢抬起杆OA 的力保持不变
D．随着小物块缓慢抬起绳OB 的力越来越大
【答案】A
【详解】AB．对O 点受力分析，受OA 杆的支持力
、OB 绳的拉力
、OC 绳的拉力
，由于O 点处于平衡状态，
由共点力的平衡条件可得三力围成一矢量三角形，如图所示，由几何关系可得
又有
解得
A 正确，B 错误；
CD．随着小物块缓慢抬起，O 点一直处于平衡状态，矢量三角形一直与
相似，如图所示，由相似三角形的对应
边关系可得
解得
在OA 杆缓慢的逆时针转动时，几何
的OA 不变，OD 变小，AD 变大，由此可知随着小物块缓慢抬起时
和
都变小，CD 错误。
故选A。
【变式训练7】如图，轻绳两端固定在一硬质轻杆上的A、B 两点，在轻绳中点O 系一重物，OB 段绳子水平，OA 段绳
子倾斜。现将轻杆在竖直面内逆时针缓慢转动直到OA 段绳子竖直，在此过程中，绳OA、OB 的张力
和
的大小变
化情况是（ ）
A．
先减小后增大，
一直减小
B．
先减小后增大，
先增大后减小
C．
一直减小，
一直减小
D．
一直减小，
先增大后减小
【答案】C
【解析】对点O 进行受力分析，如图
系统静止，所以三力平衡，由三角形法则可得
初始时，
。将轻杆在竖直面内逆时针缓慢转动时，α 角大小不变，β 角增大，θ 角减小，故而可知
一直减小，
一直减小，C 正确。
故选C。
【变式训练8】如图，光滑的匀质圆球静置在“∠”型木板中，现将木板绕O 点逆时针缓慢旋转直至OP 边竖直，则此
过程中（ ）
A．球对OP 边的压力先增大后减小
B．球对OQ 边的压力先增大后减小
C．OP 边对球先做正功后做负功
D．球的重力势能先增大后减小
【答案】AD
【解析】AB．球的受力如图所示
设板间夹角为β，此角不变，故N、F 的夹角不变，根据正弦定理有
可得
现将木板绕O 点逆时针缓慢旋转直至OP 边竖直，则此过程中α 角减小，由于α 角先大于90°，后小于90°，FOP 先增
大后减小；β 增大最后增大到90°，故FOQ 增大，故A 正确，B 错误；
C． OP 与速度方向夹角一直是锐角，故做正功，故C 错误；
D．球的重心先升高，后降低，球的重力势能先增大后减小，故D 正确。
故选AD。
【变式训练9】如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM
竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α＞)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α 不变．在OM 由竖
直被拉到水平的过程中( )
A．MN 上的张力逐渐增大 B．MN 上的张力先增大后减小
C．OM 上的张力逐渐增大 D．OM 上的张力先增大后减小
【答案】 AD
【解析】设重物的质量为m，绳OM 中的张力为TOM，绳MN 中的张力为TMN。开始时，TOM＝mg，TMN＝0。由
于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg 等大、反向。
如图所示，已知角α 不变，在绳MN 缓慢拉起的过程中，角β 逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ 不变，在三角
形中，利用正弦定理得＝，
(α－β)由钝角变为锐角，sin(α－β)先增大后减小，则TOM 先增大后减小，选项D 正确；
同理知＝，在β 由0 变为的过程中，TMN 一直增大，选项A 正确。
【变式训练10】如图所示，a、b 两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接．已知b 球质
量为m，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦．当两球静止时，Oa 段绳与杆的夹角也为30°，Ob 段绳沿竖直方向，
则a 球的质量为
A．
B．
C．
D．2m
【答案】 A
【解析】分别对a、b 两球分析，运用合成法，用T 表示出a、b 两球的重力，同一根绳子上的拉力相等，即绳子对a、
b 两球的拉力是相等的．
【详解】分别对a、b 两球分析，运用合成法，如图：
根据共点力平衡条件，得：T=mbg；
（根据正弦定理列式）；故mb：ma=tan300：1，则ma=
m；故BCD 错误，A 正确；故选A．
题型05：活结，衣钩、滑环模型
【典型例题1】如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N 上的a、b 两点，悬挂衣服的衣架钩是
光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（ ）
A．绳的右端上移到b’，绳子拉力不变
B．将杆N 向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
【答案】AB
【解析】如图所示，两个绳子是对称的，与竖直方向夹角是相等的。
假设绳子的长度为x，则有
绳子一端在上下移动的时候，绳子的长度不变，两杆之间的距离不变，则θ 角度不变。
AC．两个绳子的合力向上，大小等于衣服的重力，由于夹角不变，所以绳子的拉力不变，A 正确，C 错误；
B．当N 向右移动后，根据
，即L 变大，绳长不变，所以θ 角减小，绳子与竖直方向的夹角变大，绳子的拉
力变大，B 正确；
D．绳长和两杆距离不变的情况下，θ 不变，所以挂的衣服质量变化，不会影响悬挂点的移动，D 错误。
故选AB。
【典型例题2】如图所示，一根不可伸长的细绳的一端固定在天花板上的B 点，另一端固定在墙壁上的A，一滑轮放置
在细绳上，滑轮下面挂着质量为m 的重物，若将细绳的A 端沿墙壁缓慢向上移动一小段距离，则移动过程中（ ）
A．细绳所受拉力保持不变
B．细绳所受拉力逐渐增大
C．细绳所受拉力逐渐减小
D．细绳与竖直方向的夹角α 和β 都减小
【答案】A
【解析】设滑轮两边的绳长分别为L1、L2，如下图所示
同一根绳子上的拉力是相等的，由平衡条件，两边绳子水平方向的分力也相等，则
而
细绳的A 端沿墙壁缓慢向上移动一小段距离时，OB 和绳长都不变，故
不变，则绳子上的拉力不变。
故选A。
【典型例题3】一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm 的两点上，弹性绳的原长
也为80 cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的
同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）
A．86 cm
B． 92 cm
C． 98 cm
D． 104 cm
【答案】B
【解析】
试题分析：设弹性绳的劲度系数为k，左、右两半段绳的伸长量
100 cm
80 cm
10 cm
2
L
，由共点力的平衡条
件可知，钩码的重力
2
2
100
80
2
1.2
100
G
k L
k L
，将弹性绳的两端缓慢移至天花板上同一点时，钩码的重力
2
G
k L
，解得
0.6
6 cm
L
L
，则弹性绳的总长度变为80 cm
2
92 cm
L
，故选B。
【变式训练1】如图所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物
G.现将轻绳的一端固定于支架上的A 点，另一端从B 点沿支架缓慢地向C 点靠近(C 点与A 点等高)．则在此过程中绳中
拉力大小( )
A．先变大后不变
B．先变大后变小
C．先变小后不变
D．先变小后变大
【答案】A
【解析】对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几何关系易知绳子拉力方向
与竖直方向夹角相等，设为θ，可知：
F1＝F2＝①
如图乙所示，设绳长为L，由几何关系
即sin θ＝②
其中d 为两端点间的水平距离，由B 点向C 点移动过程中，d 先变大后不变，因此θ 先变大后不变，由①式可知绳中拉
力先变大后不变，故A 正确．
【变式训练2】如图所示，两个轻环a 和b 套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质
量为m 的小球。在a 和b 之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b 间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦，
小物块的质量为（ ）
A. B.m C．m D．2m
【答案】 C
【解析】 由于物块通过挂钩悬挂在线上，细线穿过圆环且所有摩擦都不计，可知线上各处张力都等于小球重力mg。
如图所示，由对称性可知a、b 位于同一水平线上，物块处于圆心O 点正上方，则∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＝∠5。因圆
弧对轻环的弹力沿圆弧半径方向，且轻环重力不计，由平衡条件知环两侧细线关于圆弧半径对称，即∠5＝∠6，由几何
关系得∠1＝∠2＝∠5＝∠6＝30°，∠3＝∠4＝60°。再由物块与挂钩的受力平衡有mgcos 60°＋mgcos 60°＝Mg，故有M
＝m，C 正确。
【变式训练3】有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B 两端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M 的重物的光
滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E 两端按图乙的方式固定，然后将
同样的定滑轮且挂有质量为M 的重物挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2.现甲绳的B 端缓慢向下
移动至C 点，乙绳的E 端缓慢向右移动至F 点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是( )
A．FT1、FT2都变大 B．FT1变大、FT2变小 C．FT1、FT2都不变 D．FT1不变、FT2变大
【答案】 D
【解析】 设绳子总长为L，两堵竖直墙之间的距离为s，左侧绳长为L1，右侧绳长为L2.由于绳子上的拉力处处相等，
所以两绳与竖直方向夹角相等，设为θ，则由几何知识，得：s＝L1sin θ＋L2sin θ＝(L1＋L2)sin θ，又L1＋L2＝L
得到sin θ＝；设绳子的拉力大小为FT，重物的重力为G.以滑轮为研究对象，根据平衡条件得2FTcos θ＝G，
解得：FT＝；可见，对题图甲，当绳子右端慢慢向下移时，s、L 没有变化，则θ 不变，绳子拉力FT1 不变；对题图乙，
当绳子的右端从E 向F 移动的过程中，由于绳子的长度不变，所以两个绳子之间的夹角θ 增大，cos θ 减小，则绳子拉
力FT2 增大，故A、B、C 错误，D 正确
【变式训练4】一杂技演员表演单车过钢丝，如图所示。在两固定杆等高处各挂一个光滑的圆环，两圆环上系一段钢
丝，钢丝的长度大于两杆间距，不计钢丝重力。演员从一端缓慢骑单车到另一端。下列说法正确的是（ ）
A．到最低点时，演员受到的合力竖直向上
B．表演用的钢丝可能是光滑的
C．两个圆环对钢丝的拉力，大小始终相等
D．两个圆环对钢丝的拉力的合力，方向始终竖直向上
【答案】D
【解析】A．因为在整个过程中，演员是缓慢运动的，故可把每个时刻的演员看成是处于平衡状态，即演员所受合力应
该为0，故A 错误；
B．若钢丝是光滑的，则演员不能够骑单车运动到另一端，故B 错误；
C．对钢丝与单车接触的点进行受力分析，如下图所示
由力的平衡可得
由上式可知，只有当
时，两钢丝的拉力大小才相等，故C 错误；
D．由于平衡状态，故两钢丝拉力的合力应与演员和单车的总重力等大反向，所以两个圆环对钢丝的拉力的合力，方向
始终竖直向上，故D 正确。
故选D。
【变式训练5】如图所示，水平横杆上套有圆环A，圆环A 通过轻绳与重物B 相连，轻绳绕过固定在横杆下光滑的定滑
轮，轻绳通过光滑动滑轮挂着物体C，并在某一位置达到平衡，现将圆环A 极缓慢向右移动一小段距离后，系统仍保
持静止，则下列说法中正确的是（ ）
A．轻绳的拉力变大
B．横杆对圆A 的摩擦力不变
C．物块C 的高度下降
D．物块B 的高度下降
【答案】BC
【解析】A．物体B 保持静止，受重力和拉力，根据平衡条件，轻绳拉力大小处处相同，等于B 的重力，保持不变，A
错误；
B．圆环A 缓慢向右移动一段距离，重物C 受重力和两侧绳子的拉力，始终平衡，拉力和重力大小都不变，根据平衡条
件，动滑轮两侧绳子夹角保持不变，栓接A 的轻绳与水平方向夹角不变，杆对环的摩擦力也一定不变，B 正确；
CD．圆环A 缓慢向右移动一段距离，两段绳子夹角不变，滑轮的运动情况如图所示
所以重物C 必定下降，重物B 上升，D 错误C 正确。
故选BC。
【变式训练6】如图，A、B 两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来，处于静止状态。现将绳子一端从P 点缓慢
移到Q 点，系统仍然平衡，以下说法正确的是（ ）
A．夹角θ 将变小
B．夹角θ 将变大
C．物体B 位置将变高
D．绳子张力将增大
【答案】C
【解析】因为绳子张力始终与B 物体重力平衡，所以绳子张力不变，因为重物A 的重力不变，所以绳子与水平方向的
夹角不变，因为绳子一端从P 点缓慢移到Q 点，所以重物A 会下落，物体B 位置会升高。故选C。
【变式训练7】如图所示，A、B 两物体的质量分别为mA和mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一
切摩擦均不计。如果绳一端由Q 点缓慢地向下移到P 点，整个系统重新平衡后，物体A 的高度和两滑轮间绳与水平方
向的夹角θ 如何变化（ ）
A．物体A 的高度升高，θ 角变大
B．物体A 的高度降低，θ 角变小
C．物体A 的高度升高，θ 角不变
D．物体A 的高度不变，θ 角不变
【答案】D
【解析】绳子拉力等于物体A 的重力，由于各处都光滑连接，所以各段绳子拉力均相等。将绳一端由Q 点缓慢地向下
移到P 点，绳子拉力不变，物体B 质量不变，则稳定后绳子与水平面的夹角不变，如图所示：
因为定滑轮左侧绳子的投影长度不变，所以左侧绳子的长度不变，则物体A 的高度不变。
故选D。
【变式训练8】如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，O 点悬挂一重
物Ｍ，将两相同木块m 紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．Ｆf表示木块与挡板间摩擦力的大小，ＦＮ表示木
块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则（ ）
A．Ff变小
B．B．Ff变大
C．C．F Ｎ变小
D．D．F Ｎ变大
【答案】D
【解析】先对三个物体以及支架整体受力分析，受重力
，2 个静摩擦力，两侧墙壁对整体有一对支持力，
根据平衡条件，有：
，解得
，故静摩擦力不变，故A、B 错误；
将细线对O 的拉力按照效果正交分解，如图
设两个杆夹角为θ，则有
；
再将杆对滑块m 的推力F1 按照效果分解，如图
根据几何关系，有：
故：
，若挡板间的距离稍许增大后，角θ 变大，
变大，故滑块m 对墙壁的压力变大，C 错误，D
正确；故选D．
【点睛】本题考查了整体法和隔离法的结合应用，把M 和两个m 看作一整体，即可得到摩擦力的变化情况，再根据力
的作用效果把F1、F2 分解，从而分析滑块m 对墙壁的压力变化．
【变式训练9】如图所示，在竖直平面内一根不可伸长的柔软轻绳通过光滑的轻质滑轮悬挂一重物。轻绳一端固定在
墙壁上的A 点，另一端从墙壁上的B 点先沿着墙壁缓慢移到C 点，后由C 点缓慢移到D 点，不计一切摩擦，且墙壁BC
段竖直，CD 段水平，在此过程中关于轻绳的拉力F 的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．F 一直增大
B．B．F 一直减小
C．F 先减小后增大
D．D．F 先不变后增大
【答案】D
【解析】【详解】当轻绳另一端在C 点时，设轻绳左右两侧间的夹角为2θ 以滑轮为研究对象，分析受力情况，受力分
析图如图所示
根据平衡条件得
2Fcosθ=mg
得到轻绳的拉力
F=
轻绳的一端在BC 间移动时
则θ 不变；则轻绳另一端从B 点沿墙壁缓慢移到D 点，由几何知识可知，θ 先不变后增大，cosθ 先不变后减小，轻绳
的拉力F 先不变后增大，D 项正确，ABC 错误；
故选D。
【变式训练10】如图所示，一根轻绳一端固定于天花板的A 点，另一端悬挂于天花板的B 点，绳上挂一质量为m 的光
滑圆环。在细绳右端悬挂点由B 点向A 点慢慢移动的过程中，绳中的张力（ ）
A．变小
B．变大
C．先变小后变大
D．先变大后变小
【答案】A
【解析】【详解】ABCD．光滑圆环始终处于绳子的中点处，设绳子形成的夹角为
，绳中的张力为F，则
解得
当右端悬挂点由B 点向A 点慢慢移动时，夹角
逐渐变小，F 逐渐变小，故A 正确，BCD 错误。
故选A。
题型06：整体隔离法解动态平衡问题
【典型例题1】如图所示，固定有光滑竖直杆的三角形斜劈放置在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球与套在竖直
杆上的小滑块用轻绳连接，开始时轻绳与斜劈平行。现给小滑块施加一个竖直向上的拉力
，使小滑块沿杆缓慢上升，
整个过程中小球始终未脱离斜劈，则
A．小球对斜劈的压力先减小后增大
B．竖直向上的拉力
先增大后减小
C．斜劈对地面的压力逐渐减小
D．地面对斜劈的摩擦力逐渐减大
【答案】C
【解析】：
、对小球受力分析，做出矢量三角形，如图一所示，在小滑块向上缓慢上升过程中，图中虚线代表绳上
力变化情况，由图可得斜劈对小球的支持力减小，根据牛顿第三定律，小球对斜劈的压力减小，故
错误
、对小球与小滑块连同轻绳在内整体受力分析，如图二所示，
减小，
竖直方向分力
减小，
，
所以
变大，故
错误；
、对整体受力分析得，
变大，那么地面对斜劈的支持力减小，地面对斜劈没有摩擦力，故
正确，
错误。
故选：
。
【变式训练1】如图所示，斜面上固定有一与斜面垂直的挡板，另有一截面为
圆的光滑柱状物体甲放置于斜面上，
半径与甲相同的光滑球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态．现在从球心
．处对甲施加一平行
于斜面向下的力
，使甲沿斜面方向缓慢向下移动．设乙对挡板的压力大小为
，甲对斜面的压力大小为
，甲对乙
的弹力为
．在此过程中
A．
逐渐增大，
逐渐增大，
逐渐增大
B．
逐渐减小，
保持不变，
先减小后增大
C．
保持不变，
逐渐增大，
先增大后减小
D．
逐渐减小，
保持不变，
逐渐减小
【答案】D
【解析】先对物体乙受力分析，受重力、挡板的支持力
和甲物体的支持力
，如图1
图1
根据平衡条件，结合几何关系可以看出挡板的支持力
不断减小，甲对乙的弹力
不断减小，根据牛顿第三定律，
乙对挡板的压力
不断减小，甲对乙的弹力
不断减小；
对甲乙整体受力分析，如图2
图2
根据平衡条件，有
沿斜面方向有：
垂直于斜面方向有：
解得：
，保持不变。
结合牛顿第三定律，物体甲对斜面的压力
不变。故
正确，
错误。
故选：
。
【变式训练2】在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A,A 与竖直墙面间放一光滑圆球B,整个装置
处于静止状态,截面如图所示。现对B 施加一竖直向下的力F,F 的作用线通过球心,设墙对B 的作用力为F1,B 对A 的作用
力为F2,地面对A 的摩擦力为F3。若F 缓慢增大而整个装置仍保持静止,在此过程中( )
A.F1 保持不变,F3 缓慢增大
B.F1 缓慢增大,F3 保持不变
C.F2 缓慢增大,F3 缓慢增大
D.F2 缓慢增大,F3 保持不变
球B 受力情况如图所示,墙对球B 的作用力及A 对球B 的作用力的合力与F 及重力的合力大小相等,方向相反,故当F 增大
时,B 对A 的压力增大,即F2 增大,同理可知,墙对B 的作用力F1 增大;对整体分析,整体竖直方向受重力、支持力及压力F,
水平方向受墙的作用力F1 和地面对A 的摩擦力F3 而处于平衡,由平衡条件得,当F 增大时,地面对A 的摩擦力F3 增大,故
选项C 正确。
答案C
【变式训练3】质量均为1 kg 的木块M 和N 叠放在水平地面上,用一根细线分别拴接在M 和N 右侧,在绳子中点用力
F=5 N 拉动M 和N 一起沿水平面匀速滑动,细线与竖直方向夹角θ=60°。则下列说法正确的是( )
A.木块N 和地面之间的动摩擦因数μ=0.25
B.木块M 和N 之间的摩擦力是Ff=2.5 N
C.木块M 对木块N 的压力大小为10 N
D.若θ 变小,拉动M、N 一起匀速运动所需拉力应大于5 N
【答案】AB
【解析】
以M、N 为整体受力分析,得F=μ·2mg,得μ=0.25,A 正确;单独分析M 受力,因绳子有竖直向下的分力,故M 对N 的压力大
于10 N,绳子作用在M 上的水平分力为2.5 N,B 正确,C 错误;θ 变化后,N 对地面的压力仍为20 N,所以需要拉力不变,D 错
误。
答案AB
题型07: 平衡中的临界、极值问题
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，
在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2．极值问题
平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．
3．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去
寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学
方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动
态分析，确定最大值与最小值．
【典型例题1】一个箱子在平行于斜面的轻绳拉动下，沿倾角为30°的固定斜面匀速上滑。已知箱子与斜面间的动摩擦
因数为
，重力加速度大小为
。若轻绳能承受的最大拉力为
，则箱子的质量最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当轻绳中的拉力达到最大值
时，此时箱子的质量有最大值，根据平衡条件有
，
解得
故选C。
【典型例题2】小明在观察如图所示的沙子堆积时，发现沙子会自然堆积成圆锥体，且在不断堆积过程中，材料相同
的沙子自然堆积成的圆锥体的最大底角都是相同的。小明测出这堆沙子的底部周长为31.4m，利用物理知识测得沙子
之间的动摩擦因数为0.5，估算出这堆沙子的体积最接近（圆锥体的体积公式
，其中S 是圆锥体的底面积，h
是圆锥体的高，
取3.14）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】沙堆底部周长为31.4m，则圆锥体的底部圆半径为
对锥面上的一粒沙粒分析，当沙粒刚好静止时，则有
可得
解得圆锥体高为
圆锥体的体积约为
可知这堆沙子的体积最接近
。
故选B。
【变式训练1】如图所示，质量m＝5.2 kg 的金属块放在水平地面上，在斜向上的拉力F 作用下，向右以v0＝2.0 m/s
的速度做匀速直线运动．已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝
10 m/s2.求所需拉力F 的最小值．
【答案】 2 N
【解析】 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cos θ＋
μsin θ＝，sin (α＋θ)＝(其中sin α＝)，故所需拉力F 的最小值Fmin＝＝2 N.
【变式训练2】如图所示，用一根轻质细绳将重为10N 的画框对称悬挂在竖直墙上，画框上两个挂钉间的距离为
0.5m。若绳能承受的最大拉力为10N，要使绳不会被拉断，绳子的最短长度为（ ）
A．
B．0.5m
C．
D．1.0m
【答案】C
【解析】对画进行受力分析如图
受到重力mg 和两个大小相等的细绳拉力F1、F2 的作用而处于静止状态，当
时，对应于细绳不被拉断的最小长度为L，设此时F1 和F2 与竖直方向的夹角都为
，由平衡条件知
解得
设画框上两个挂钉间的距离为的d，绳子的最小长度为
故选C。
【变式训练2】港珠澳大桥的人工岛创新围岛填土在世界范围内首次提出深插式钢圆筒快速成岛技术，1600t 起重船
“振浮8 号”吊起巨型钢筒直接固定在海床上插入到海底，然后在中间填土形成人工岛，如图甲，每个圆钢筒的直径
为22.5m，高度为55m，质量为550t，由若干根特制起吊绳通过液压机械抓手连接钢筒。某次试吊将其吊在空中，每
根绳与竖直方向的夹角为
，如图乙所示，每根绳所能承受的最大拉力为
，则至少需要多少根绳子才能成
功起吊（
，
）（ ）
A．7 根
B．8 根
C．9 根
D．10 根
【答案】C
【解析】设n 根绳拉力在竖直方向的分矢量和与重力大小相等、方向相反。则
由题知
得
即至少需要9 根绳子才能成功起吊。
故选C。
【变式训练3】如图所示，不可伸长的轻绳AO 和BO 共同吊起质量为m 的重物，AO 与BO 垂直，BO 与竖直方向的夹
角为θ，OC 连接重物，已知OA、OB、OC 能承受的最大拉力相同，则下列说法中正确的是（ ）
A．AO 所受的拉力大小为
B．AO 所受的拉力大小为
C．BO 所受的拉力大小为
D．若逐渐增加C 端所挂重物的质量，一定是绳AO 先断
【答案】C
【解析】ABC．对结点O 进行受力分析，AO 绳拉力为TAO，BO 绳拉力为TBO，OC 绳拉力大小为重物的重力mg，如
图
由平衡条件可得
故AB 错误；C 正确；
D．依题意，OA、OB、OC 能承受的最大拉力相同，由O 点受力分析图可知，在力的三角形里，三个力成比例增大，
若逐渐增加C 端所挂重物的质量，一定是绳CO 先断。故D 错误。
故选C。
【变式训练4】如图所示，两根半圆柱体静止于粗糙程度处处相同的水平地面上，紧靠但无相互作用力。现将一根圆
柱体轻放在这两根半圆柱体上，三者均静止。已知圆柱体和两半圆柱体的材料、长度、半径、密度均相同，不考虑它
们之间的摩擦，则半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆柱体的质量为m，则半圆柱体的质量为
，设圆柱体与半圆柱体之间的弹力大小为F，对圆柱体进行受
力分析，根据平衡条件有
解得
令地面对一个半圆柱体的支持力为N，结合对称性，对圆柱体与半圆柱体整体进行分析有
解得
三者始终处于静止状态，则有
解得
即半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为
。
故选B。
【变式训练5】扩张机的原理如图所示，A、B、C 为活动铰链，在A 处作用一水平力
，滑块D 就能在比
大得多的
压力下向上顶起物体，已知滑块D 与左壁接触面间的动摩擦因数为
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若要扩张机能
够顶起质量为
的物体，并使其上升，必须满足的条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】将力
分解成沿杆的两个力
、
，那么
杆AB 顶滑块D 使滑块与墙面之间产生一个垂直墙面的压力
同时给滑块一个沿墙壁向上的力
当满足条件
则滑块D 就能在比
大得多的压力下向上顶起质量为
的物体
可得
，
故选A。
【变式训练6】如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m 和2m 的物块A、B，通过不可伸长的
轻绳跨过滑轮连接，A、B 间的接触面和轻绳均与木板平行．A 与B 间、B 与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩
擦力等于滑动摩擦力．当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B 刚好要滑动，则μ 的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 A、B 刚要滑动时受力平衡，受力如图所示．
对A：FT＝mgsin 45°＋μmgcos 45°
对B：2mgsin 45°＝FT＋3μmgcos 45°＋μmgcos 45°
整理得，μ＝，选项C 正确．
【变式训练7】质量为M 的木楔倾角为θ（θ<45°），在水平面上保持静止，当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，
它正好匀速下滑。当用与木楔斜面成α 角的力F 拉木块时，木块匀速上滑，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静
止，木块与木楔间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g）。下列结论正确的是（ ）
A．当α＝0 时，F 有最小值，最小值为mgsinθ+μmgcosθ
B．当α＝0 时，F 有最小值，最小值为mgsinθ
C．当α＝θ 时，F 有最小值，最小值为mgsinθ+μmgcosθ
D．当α＝θ 时，F 有最小值，最小值为mgsin2θ
【答案】D
【解析】木块在木楔斜面上匀速下滑时，有
mgsinθ＝μmgcosθ
木块在力F 的作用下沿斜面匀速上滑时，由平衡条件得
Fcosα＝mgsinθ+Ff
Fsinα+FN＝mgcosθ
且
Ff＝μFN
解得
当α＝θ 时，F 有最小值
Fmin＝mgsin2θ
故选D。
【变式训练8】如图，斜面固定，倾角为30°，斜面底端固定一挡板．轻弹簧劲度系数为1000N/m，原长10cm，一端
与挡板相连，另一端放上重为100N 的物体后压缩到8cm，已知物体与斜面间最大静摩擦力为35N。现在用力F 沿斜面
向上拉物块，物块保持静止，则力F 的取值可能为（ ）
A．60N
B．70N
C．80N
D．90N
【答案】A
【解析】压缩的弹簧对物体产生向上的推力
最大静摩擦力大小为
重力沿斜面的分力大小为
由于物体在重力，弹簧弹力、斜面的支持力，及摩擦力作用下可以平衡，所以拉力F 的最小值为零。当静摩擦沿斜面
向下达到最大时，拉力F 值会有最大值，此时
解得
由此可知拉力的取值范围为
一、单选题
1.如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB 固定在竖直平面内，A 端与水平面相切．穿在轨道上的小球在拉力F 作用下，
缓慢地由A 向B 运动，F 始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为FN.在运动过程中( )
A．F 增大，FN 增大
B．F 减小，FN 减小
C．F 增大，FN 减小
D．F 减小，FN 增大
【答案】C
【解析】 对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示：
根据共点力平衡条件有：
FN＝mgcos θ，
F＝mgsin θ，
其中θ 为支持力FN 与竖直方向的夹角，当小球向上移动时，θ 变大，故FN 减小，F 增大，故选C.
2.如图所示，在水平放置的木棒上的M、N 两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小金属环．现将木
棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N 两点的拉力F1、F2 的变化情况，下列判断正确的是(
)
A．F1 和F2 都变大
B．F1 变大，F2 变小
C．F1 和F2 都变小
D．F1 变小，F2 变大
【答案】C
【解析】 由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力相等．木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度后，绳
子之间的夹角变小，绳对小金属环的合力等于小金属环的重力，保持不变，所以绳子上的拉力变小，选项C 正确，A、
B、D 错误．
3.如图所示，轻绳OA 将一质量为m 的小球悬挂于O 点，OA 与竖直方向的夹角为
，在水平力F 作用下，小球
静止。现使力F 沿逆时针方向缓慢旋转至竖直向上，小球位置始终不变，
上述过程中（
）
A．力F 逐渐减小
B．力F 逐渐增大
C．轻绳OA 对球的拉力先增大再减小
D．力F 最小值为
【答案】D
【解析】小球受重力mg、拉力F 和轻绳的拉力FT，其中重力的大小和方向均不变，轻绳的拉力的方向不变；三力平
衡时，三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，作图如下
力F 沿逆时针方向缓慢旋转时，由图可看出，力F 先减小后增大，且当力F 与水平
方向的夹角
30°时，F 最小，最小值为
而轻绳OA 上的拉力FT 一直减小。
4．如图所示，一条不可伸长的轻绳一端固定于悬点O，另一端连接着一个质量为
的小球。在水平力
的作用下，
小球处于静止状态，轻绳与竖直方向的夹角为
，已知重力加速度为
，则下列说法正确的是（ ）
A．绳的拉力大小为
B．水平力
大小为
C．保持小球的位置不变，改变
的方向，
的最小值是
D．保持
的方向不变，缓慢将小球拉高（
），
大小先增大后减小
【答案】C
【解析】AB．以小球为对象，根据受力平衡可得
，
联立解得
，
故AB 错误；C．保持小球的位置不变，改变
的方向，可知轻绳与竖直方向的夹角
保持不变，当
的方向与绳子垂直时，力
具有最小值，则有
故C 正确；D．保持
的方向不变，缓慢将小球拉高，根据受力平衡可得
可知轻绳与竖直方向的夹角
逐渐增大，
逐渐增大，则
逐渐增大，故D 错误。故选C。
5．如图所示，物体M 静止于倾斜的木板上，当倾角θ 由0°缓慢增大，直至M 开始滑动之前的过程中，下列说法正确
的是（ ）
A．物体对木板的压力逐渐增大
B．物体所受的支持力和摩擦力都减小
C．物体所受支持力和摩擦力的合力不变
D．物体所受重力、支持力和摩擦力这三个力的合力逐渐增大
【答案】C
【解析】A．物体对木板的压力
随倾角θ 逐渐增大，则物体对木板的压力逐渐减小，选项A 错误；B．物
体所受的支持力
摩擦力
随倾角θ 逐渐增大，物体对木板的支持力逐渐减小，摩擦力逐渐变大，选项B 错误；
CD．物体处于平衡状态，物体所受重力、支持力和摩擦力这三个力的合力始终为零，则所受支持力和摩擦力的合力与
重力等大反向，则支持力和摩擦力的合力不变，选项C 正确，D 错误。
6．如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为F1，球对木
板的压力大
小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地
转到水平位
置。不计摩擦，在此过程中（ ）
A．F1始终减小，F2始终增大
B．F1始终减小，F2始终减小
C．F1先增大后减小，F2始终减小
D．F1先增大后减小，F2先减小
【答案】B
【解析】在缓慢转动的过程中，重力的大小方向不变，F1 的方向始终不变，因此可用矢量三角形法，可知随着转动，
F2 将向竖直方向旋转，则F1、F2 均不断减小，故选B。
7．如图所示，斜面A 和物块B 静置在水平地面上，某时刻起，对B 施加一个沿斜面向上的力F，力F 从零开始随时间
均匀增大，在这一过程中A、B 始终保持静止。则（ ）
A．A 对B 的摩擦力一直变大
B．A 对B 的摩擦力不变
C．地面对A 的支持力不变
D．地面对A 的摩擦力一直变大
【答案】D
【解析】AB．开始时A 对B 的摩擦力沿斜面向上，随着F 增大，A 对B 的摩擦力先减小，当F 增大至与B 的重力沿斜
面分力大小相等时，A 对B 的摩擦力减至零，之后A 对B 的摩擦力变为沿斜面向下并增大，故A 错误；CD．对A、B
整体分析可知，地面对A 的摩擦力与F 的水平分量大小相等，所以地面对A 的摩擦力一直变大，故C 错误，D 正确。
8．如图所示，一光滑小球静止在固定的半球形碗底，现用挡板推动小球，使小球从碗底沿碗内壁缓慢移动一段路程。
若该过程中挡板始终保持竖直状态，小球对挡板的压力为
、小球对碗内壁的压力为
，下列分析正确的是（ ）
A．
增大，
减小
B．
增大，
增大
C．
减小，
减小
D．
减小，
增大
【答案】B
【解析】小球对挡板的压力、小球对碗内壁的压力与挡板对小球的支持
力、碗内壁
对小球的支持力大小相等。小球受力受重力、挡板向右的支持力和碗内
壁的支持力，
如图所示 根据平衡条件解得
，
当小球从碗底沿碗内壁向上缓慢移动一段路程过程中，
不断增加，
增大，
减小，
增大、
增大。
故选B。
9．如图所示，两个相同的小球A 和B，质量均为m，用长度相同的两根轻质细线把A，B 两球悬挂在水平天花板上的
同一点O，并用长度相同的细线连接A，B 两球。在水平外力F 的作用下，
小球A，B 均处于静
止，三根细线均处于拉直状态，其中OA 细线位于竖直方向。现保持小
球B 的位置不变，
将外力F 逆时针缓慢旋转90°角，已知重力加速度为g，则下列关于此过
程的分析正确的是
（ ）
A．细绳OA 的弹力大小可能大于mg
B．细绳OB 的弹力大小可能为2.5mg
C．外方F 的最小值为
mg D．外力F 的最小值为
mg
【答案】C
【解析】A．对球A 受力分析，受重力和OA 绳子的拉力，根据受力平衡，绳子AB 的拉力为零，绳子OA 的拉力等于
FOA=mg 故A 错误；CD．对B 球受力分析，受重力，细线OB 的拉力和所求力F，根据三力平衡条件知：任意两个力
的合力必定与第三个力等大、反向、共线，所以当F 与OB 垂直时，有最小值，如图所示
结合几何关系可得
故C 正确，D 错误；
B．对B 球受力分析，受重力，细线OB 的拉力和所求力F，根据动态三角形可知当F 水平时，OB 的拉力最大，即
故B 错误。故选C。
10.如图所示，质量分别为3m 和m 的两个可视为质点的小球a、b，中间用一细线连接，并通过另一细线将小球a 与天
花板上的O 点相连，为使小球a 和小球b 均处于静止状态，且Oa 细线向右偏离竖直方向的夹角恒为37°，需要对小球
b 朝某一方向施加一拉力F.若已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.重力加速度为g，则当F 的大小达到最小时，Oa 细线对
小球a 的拉力大小为( )
A．2.4mg
B．3mg
C．3.2mg
D．4mg
【答案】C
【解析】 以两个小球组成的整体为研究对象，作出F 在三个方向时整体的受力图．根据平衡条件得知F 与FT 的合力
与总重力总是大小相等、方向相反的，由力的合成图可以知道当F 与绳子Oa 垂直时F 有最小值，即图中2 位置，此时
Oa 细线对小球a 的拉力大小为FT＝4mgcos 37°＝3.2mg，故C 正确，A、B、D 错误．
11.如图所示，竖直墙面AO 光滑，水平地面OB 粗糙．另有一根轻杆两端各固定有可视为质点的小球P 和Q，当轻杆与
水平方向的夹角为θ 时，P、Q 处于静止状态．若使夹角θ 增大些，P、Q 仍能静止，则下列说法正确的是( )
A．轻杆对小球P 的弹力增大
B．竖直墙面AO 对小球P 的弹力增大
C．水平地面OB 对小球Q 的摩擦力减小
D．水平地面OB 对小球Q 的支持力增大
【答案】C
【解析】 对P、Q 受力分析如图，对P，有FNP＝，F＝，当θ 增大时，轻杆对P 的弹力F 减小，竖直墙面AO 对P 的
弹力FNP 减小，故A、B 错误；对Q，有F′cos θ＝Ff，F′＝F，F 减小，θ 增大，cos θ 减小，则小球Q 受到的摩擦力Ff
减小，故C 正确；对P、Q 整体受力分析，水平地面对整体的支持力FN＝FNQ＝GP＋GQ，大小不变，故D 错误．
12.质量为M 的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，A 为半圆的最低点，B 为半圆水平直径的端
点．凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为m 的小滑块．用推力F 推动小滑块由A 点向B 点缓慢移动，力F 的方向
始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是( )
A．推力F 先增大后减小
B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大
C．墙面对凹槽的压力先增大后减小
D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大
【答案】C
【解析】对滑块受力分析，由平衡条件有F＝mgsin θ，
FN＝mgcos θ，θ 为F 与水平方向的夹角，
滑块从A 缓慢移动到B 点时，θ 越来越大，则推力F 越来越大，支持力FN 越来越小，所以A、B 错误；
对凹槽与滑块整体受力分析，墙面对凹槽的压力为
FN′＝Fcos θ＝mgsin θcos θ＝mgsin 2θ，
则θ 越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C 正确；
水平地面对凹槽的支持力为
FN 地＝(M＋m)g－Fsin θ＝(M＋m)g－mgsin2θ
则θ 越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，所以D 错误．
二、多选题
1．如图所示，质量为m 的物体在恒力F 的作用下静止于倾角为30°的光滑斜
面上，则恒力F
的大小可能为（ ）
A．Mg B．
mg C．
mg D．
mg
【答案】AC
解析】AC【详解】物体平衡时受到重力、支持力和恒力F，根据矢量三角形法则可知，当F 与支持力垂直时最小，如
图所示
B．根据几何关系可得
C．故要使物体平衡
故选AC。
2．如图，在跨过光滑定滑轮的轻绳拉动下，木箱从距滑轮很远处沿水平地面向右匀速运动。已知木箱与地面间的动摩
擦因数为
，木箱始终在地面上。则整个过程中（ ）
A．拉力F 的大小变化情况是先减小后增大
B．拉力F 的大小变化情况是先增大后减小
C．拉力F 的大小变化情况是一直减小
D．木箱所受合力为零
【答案】AD
【解析】ABC．对木箱受力分析，如图所示
无论
如何变化，支持力与摩擦力的合力方向不变，则有
则
设支持力与摩擦力的合力为
，则由矢量三角形可知拉力
垂直
时，拉力最小，此时拉力与水平方向的夹角为
，
当
由0 增加到
时，拉力逐渐减小，当
由
继续增加时，拉力逐渐增大；故整个过程中拉力F 的大小变化情况
是先减小后增大，A 正确，BC 错误；
D．由于木箱始终做匀速直线运动，故木箱所受合力为零，D 正确。故选AD。
3．如图所示，杆BC 用铰链连接在竖直墙上，可绕B 端上下自由转动，另一端C 为一滑轮，重力为G的重物上系一绳
经过滑轮固定于墙上A 点处，杆恰好平衡，若将绳的A 端沿墙向下移，再使之平衡（BC 杆、滑轮、绳的质量及摩擦均
不计），则（ ）
A．重新平衡后BC 杆在原来位置之上
B．重新平衡后BC 杆在原来位置之下
C．BC 杆所受作用力变大
D．绳的拉力变小
【答案】AC
【解析】ABD．由于杆一直平衡，对两根细线的拉力的合力一定在杆的方向上，又由于而同一根绳子的张力处处相等，
故两根细线的拉力一定相等且等于物体的重力G；根据平行四边形定则，合力一定在角平分线上，由于绳的A 端沿墙
向下移，再使之平衡后AC 与杆的角度逐渐减小，故重物所在绳子与BC 的角度也减小，此时BC 需要逆时针旋转，即
重新平衡后BC 杆在原来位置之上，A 正确，BD 错误；C．由于重新平衡后两拉力的夹角不断减小，故两个拉力的合力
不断变大，故杆受到的压力不断变大，故C 正确。故选AC。
4.如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与
斜面上的物块M 相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°.已
知M 始终保持静止，则在此过程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M 所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【解析】 对N 进行受力分析如图所示，因为N 的重力与水平拉力F 的合力和细绳的拉力FT 是一对平衡力，从图中可
以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A 错误，B 正确；M 的质量与N 的质量的大小关系不
确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsin θ，则M 所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNg<mMgsin θ，则M 所
受斜面的摩擦力大小会先减小后反向增大，选项C 错误，D 正确．
5.如图所示，质量均为m 的小球A、B 用劲度系数为k1 的轻弹簧相连，B 球用长为L 的细绳悬挂于O 点，A 球固定在O
点正下方，当小球B 平衡时，细绳所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B 间的弹簧换成原长相同但劲度系数
为k2(k2＞k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2.
则下列关于FT1 与FT2、F1 与F2 大小的比较，正确的是( )
A．FT1＞FT2
B．FT1＝FT2
C．F1＜F2
D．F1＝F2
【答案】BC
【解析】 以B 为研究对象，分析受力情况，如图所示．由平衡条件可知，弹簧的弹力F 和细绳的拉力FT 的合力F 合
与其重力mg 大小相等、方向相反，即F 合＝mg，由力的三角形和几何三角形相似得＝＝.当弹簧劲度系数变大时，弹
簧的压缩量减小，故AB 的长度增加，而OB、OA 的长度不变，故FT1＝FT2，F2>F1，故A、D 错误，B、C 正确．
6.如图，表面粗糙的楔形物块A 静置在水平地面上，斜面上有小物块B，用平行于斜面的力F 拉B，使之沿斜面匀速上
滑．现逆时针缓慢旋转该力至图中虚线位置，并保证在旋转该力过程中物块B 一直处于匀速上滑状态，且在B 运动的
过程中，楔形物块A 始终保持静止．则在力F 旋转的过程中，下列关于各力变化的说法正确的是( )
A．F 可能一直减小
B．物块B 受到的摩擦力可能不变
C．物块对斜面的作用力一定减小
D．地面受到的摩擦力大小可能不变
【答案】AC
【解析】 拉力F 平行斜面向上时，先对物块B 受力分析如图：
根据平衡条件，平行斜面方向F＝Ff＋mgsin θ
垂直斜面方向FN＝mgcos θ
其中Ff＝μFN
解得F＝mg(sin θ＋μcos θ)，
Ff＝μmgcos θ
拉力改变方向后，设其与斜面夹角为α，
根据平衡条件，平行斜面方向
F′cos α＝Ff′＋mgsin θ
垂直斜面方向FN′＋F′sin α＝mgcos θ
其中Ff′＝μFN′
解得F′＝
Ff′＝μ(mgcos θ－F′sin α)
比较两式得到滑动摩擦力减小，拉力F 可能变大，
也可能减小，故A 正确，B 错误；
对A 受力分析，受重力、支持力、B 对A 的压力、B 对A 的滑动摩擦力、地面对A 的静摩擦力，如图；
由牛顿第三定律知Ff″＝Ff，FN″＝FN，
根据平衡条件，水平方向有
Ff 静＝FN″sin θ＋Ff″cos θ
结合前面A、B 选项分析可知，当拉力改变方向后，FN″和Ff″都减小，故Ff″和FN″的合力一定减小．因B 对A 的力就
是Ff″和FN″的合力，即物块对斜面的作用力一定减小；地面受到的静摩擦力也一定减小，故D 错误，C 正确．
7.如图所示，某工厂将圆柱形工件a 放在倾角为θ 的斜面上，为防止工件滚动，在其下方垫一段半径与a 相同的半圆柱
体b.若逐渐减小斜面倾角，a、b 始终处于静止状态，不计a 与接触面的摩擦，b 的质量很小．则( )
A．斜面对a 的弹力变大
B．斜面对a 的弹力先变大后变小
C．b 对a 的弹力逐渐变小
D．b 对a 的弹力不变
【答案】AC
【解析】 对a 进行受力分析，如图甲所示
根据平衡，斜面对a 的弹力F1、b 对a 弹力F2 的合力与a 的重力等大反向，则在斜面倾角逐渐减小过程中，斜面对a
的弹力F1 和b 对a 的弹力F2 的变化过程如乙图所示分析可得，斜面对a 的弹力F1 变大，b 对a 的弹力F2 逐渐变小．
故选A、C.
8.如图所示，倾角为α 的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物体a 放在斜劈的斜面上，轻质细线一端固定在物体a 上，另一
端绕过光滑的定滑轮1 固定在c 点，滑轮2 下悬挂物体b，系统处于静止状态．若将固定点c 向右移动少许，而物体a
与斜劈始终静止，则( )
A．细线对物体a 的拉力增大
B．斜劈对地面的压力减小
C．斜劈对物体a 的摩擦力减小
D．地面对斜劈的摩擦力增大
【答案】AD
【解析】 对滑轮2 和物体b 受力分析，受重力和两个拉力作用，如图甲所示．根据平衡条件有mbg＝2FTcos θ，解
得FT＝，若将固定点c 向右移动少许，则θ 增大，拉力FT 增大，A 项正确；对斜劈、物体a、物体b 整体受力分析，
受重力、细线的拉力、地面的静摩擦力和支持力作用，如图乙所示，根据平衡条件有FN＝G 总－FTcos θ＝G 总－，恒
定不变，根据牛顿第三定律可知，斜劈对地面的压力不变，B 项错误；地面对斜劈的静摩擦力Ff＝FTsin θ＝tan θ，随
着θ 的增大，摩擦力增大，D 项正确；对物体a 受力分析，受重力、支持力、拉力和静摩擦力作用，由于不知道拉力
与重力沿斜面向下的分力的大小关系，故无法判断斜劈对物体a 的静摩擦力的方向，即不能判断静摩擦力的变化情况，
C 项错误．
